SỞ GD&ĐT NINH BÌNH ĐỀ THI CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS Năm học 2013 – 2014 MƠN: TỐN Ngày thi: 15/3/2014 (Thời gian 150 phút không kể thời gian phát đề) Đề thi gồm 05 câu, 01 trang Câu (6,0 điểm): 2 ab 1 a b a) Rút gọn biểu thức: M= − 1+ a+b 4 b a x2 x b) Giải phương trình: + = − x2 x 1 + 2− = y x c) Giải hệ phương trình: + 2− = y x Câu (3,0 điểm): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình y = mx – −x parabol (P) có phương trình y = Chứng minh với giá trị m đường thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt A, B Tìm giá trị m để đoạn AB có độ dài nhỏ Câu (2,0 điểm): Cho số thực a, b, c đôi khác thỏa mãn ≤ a; b;c ≤ 1 Chứng minh rằng: + + ≥ 2 (a − b) (b − c) (c − a) Câu (6,0 điểm): Cho đường trịn tâm O đường kính MN, dây cung AB vng góc với MN điểm I nằm O, N Gọi K điểm thuộc dây AB nằm A, I Các tia MK, NK cắt đường tròn tâm O theo thứ tự C, D Gọi E, F, H hình chiếu C đường thẳng AD, AB, BD Chứng minh rằng: a) AC.HF = AD.CF b) F trung điểm EH c) Hai đường thẳng DC DI đối xứng với qua đường thẳng DN Câu (3,0 điểm): Cho n k số tự nhiên, A = n + 42k +1 a) Tìm k, n để A số nguyên tố b) Chứng minh rằng: + Nếu n không chia hết cho A chia hết cho + Với p ước ngun tố lẻ A ta ln có p – chia hết cho HẾT Họ tên thí sinh : Số báo danh Họ tên, chữ ký: Giám thị 1: Giám thị 2: SỞ GD&ĐT NINH BÌNH HDC ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP THCS Năm học 2013 – 2014 MƠN: TỐN (hướng dẫn chấm gồm 04 trang) Câu Đáp án Điểm a (2 điểm) Điều kiện: a;b > M= = ab a+b 4ab + a + b − 2ab 4ab 0,5 ab (a + b) a + b = a + b ab a+b Nếu a > 0, b > M=1 0,5 Nếu a < 0, b < M= –1 b (2 điểm) Điều kiện xác định: x ≠ 0,25 x x2 Đặt t = − ⇒ + = t + x x 0,5 t = Phương trình cho trở thành: 3t – 5t + =0 ⇔ t = (6 điểm) ± 21 x = −1 + t = 2/3 ⇔ x2 – 2x – =0 ⇔ x = 0,5 0,25 + t = ⇔ x2 – 3x – = ⇔ x = 0,25 Kết luận: Tập nghiệm phương trình là: + 21 − 21 ; ; −1;3 c (2 điểm) Điều kiện xác định: x; y ≥ Từ hệ suy +x>y≥ ⇒ 0,25 1 + 2− = y x 1 ⇒ < x y 0,25 1 + 2− x y 2− (2) 1 < 2− y x 1 1 ⇒ với x > y ≥ : (x; y) không + 2− < + 2− y x x y nghiệm HPT 0,5 1 1 ⇒ + 2− > + 2− y x x y ⇒ với x > y ≥ :(x;y) không nghiệm HPT 0,5 + x = y: thay vào hệ ta giải x = 1, y = 0,5 Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm 0,25 + y>x≥ Hoành độ giao điểm (d) (P) nghiệm phương trình −x mx − = (*) (*) ⇔ x + 4mx − = (3 điểm) 0,5 Ta có: = ∆′ 4m + ⇒ ∆′ > ∀m ∈ Suy với giá trị m phương trình (*) có nghiệm phân biệt, tức với giá trị m (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B Giả sử: A(x A ; y A ), B(x B ; y B ), y A = mx A − 2, y B = mx B − −4m x A + x B = x A x B = −8 Khi đó: AB2=(xA − xB)2+(yA − yB)2=(xA − xB)2+m2(xB − xA)2=(xB − xA)2(1+m2) 0,5 (16m + 32)(1 + m ) ≥ 32 = ⇒ AB = Đẳng thức xảy m = 0,5 Vậy độ dài đoạn AB nhỏ m = Sử dụng BĐT Cô-si với x > 0, y > 0, ta có: + (x + y) ≥ xy 4xy = y x 1 Suy ra: + ≥ (1) Đẳng thức xảy ⇔ x = y x y (x + y)2 (2 điểm) 0,5 0,5 Theo định lí Viét có = (x A + x B ) − 4x A x B (1 + m ) = ( −4m) − 4.( −8) (1 + m ) = (16m + 32)(1 + m ) 0,5 0,5 Do vai trò a, b, c nên giả sử a > b > c Áp dụng BĐT (1) cho cặp số dương a – b b – c, ta có: (a − b) + (b − c) ≥ 8 = (a − b + b − c) (a − c)2 Đẳng thức xảy ⇔ a – b = b – c Suy ra: (a − b) + (b − c) + (c − a) ≥ 0,5 (a − c) + = (c − a) (a − c)2 0,25 Mặt khác, a, c ∈ [0; 2] a > c nên < a – c ≤ Đẳng thức xảy ⇔ a = c = 0,25 Do đó: 0,25 (a − b) + (b − c) + (c − a) ≥ (a − c) ≥ Đẳng thức xảy (a; b; c) = (2; 1; 0) hoán vị 0,25 M D H O A f K I J I B E C N a (3 điểm) Từ giả thiết ta có tứ giác CBHF nội tiếp Theo tính chất tứ giác nội tiếp góc nội tiếp ta có : (6 điểm) FCH = FBH = ABD = ACD FHC = FBC = ABC = ADC ⇒ ∆HFC ∆DAC(g.g) HF DA ⇒ = (1) FC AC ⇒ AC.HF = AD.CF 0,5 0,25 0,25 = EAC = CBD = 1800 − CFH ⇒ EFC + CFH = 1800 EFC Chứng minh tương tự ý a ta có ∆EFC ∆DBC(g.g) ⇒ 0,5 EF DB = (2) FC BC Do đường kính MN vng góc với dây AB nên N, M điểm cung AB Suy DK đường phân giác ∆ADB , CK đường phân giác ∆ACB CA KA DA CA DA DB DA KA = = ⇒ = ⇒ = CB KB DB CB CA CB DB KB FE FH Từ(1), (2) (3) suy = ⇒ FE = FH FC FC ⇒ (3) Suy F trung điểm EH (đpcm) c (1 điểm) ta có Lấy J đoạn AB cho DN phân giác góc CDJ ADC JDB,ADJ CDB 0,5 0,5 b (2 điểm) Các tứ giác AECF, CBHF, ADBC nội tiếp, suy ra: Suy E, F, H thẳng hàng 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 ⇒ AC.BD = DC.BJ, AD.BC = DC.AJ DA DB Mà = ⇒ AD.BC = AC.BD ⇒ AJ=BJ CA CB ⇒ J trùng với I ⇒ Điều phải chứng minh a (1,5 điểm) + Khi n = 0: A hợp số + Khi n = k = 0, ta có A = số nguyên tố + Khi n ≥ k ≥ , ta chứng minh M không số nguyên tố: A =(n + 22k +1 ) − (n.2k +1 ) =(n + 22k +1 + n.2k +1 )(n + 22k +1 − n.2k +1 ) số nguyên lớn n +2 − n.2 số nguyên Mặt khác n + 22k +1 ≥ n 22k +1 ≥ 2n.2k Ta có : n + 2 2k +1 2k +1 k +1 + n.2 k +1 ⇒ n + 22k +1 − n.2k +1 ≥ 2n.2k −= n.2k +1 n.2k +1 ( − 1) > (3 điểm) Suy M hợp số Kết luận: n + 42k +1 số nguyên tố n =1 k = b (1,5 điểm) (n, 5) = ⇒ n − 15 mà 42k +1 += 5(42k − 42k −1 + + 1)5 ⇒ A5 A p ⇔ n ≡ −4 ⇒ (n4 ) p −1 ⇒ (n p −1 ) Mà ( n ) (mod p) ≡ ( −42k +1 ) ≡ ( −1) p −1 ⇒ ≡ ( −1) ⇒ 2k +1 p −1 ≡ ( 22k +1 p −1 p −1 (mod p) ( ) (mod p) ) ≡ 1(mod p) (Định lí Fermat nhỏ) 2k +1 p −1 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 p −1 0,25 (mod p) p −1 ⇒ p − 1 0,25 -Hết - ...SỞ GD&ĐT NINH BÌNH HDC ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP THCS Năm học 2013 – 2014 MƠN: TỐN (hướng dẫn chấm gồm 04 trang) Câu Đáp án Điểm a (2 điểm)... Đẳng thức xảy (a; b; c) = (2; 1; 0) hoán vị 0,25 M D H O A f K I J I B E C N a (3 điểm) Từ giả thi? ??t ta có tứ giác CBHF nội tiếp Theo tính chất tứ giác nội tiếp góc nội tiếp ta có : (6 điểm)