de thi chon hoc sinh gioi toan 9 nam 2014 2015 so gddt ninh binh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH NINH BÌNH ĐỀ THI CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS NĂM HỌC 2014-2015 Mơn: TỐN Ngày thi: 04/03/2015 Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 05 câu 01 trang Câu (5,0 điểm) ( )  x −2 +2 x   x−4  x x −8   với x không âm, khác Cho biểu thức: = + A  :  4− x   x +2   x −2   a) Rút gọn A b) Chứng minh A < với x khơng âm, khác c) Tìm x để A số nguyên Câu (5,0 điểm) Giải phương trình hệ phương trình sau: a) x + x + 12 + x + x + =x + x + y + z =  b)  xy + yz + zx = 11  xyz =  Câu (2,0 điểm) Cho số thực không âm x, y, z thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x + xy + y + y + yz + z + z + zx + x Câu (7,0 điểm) Cho đường tròn tâm O, dây cung BC cố định Điểm A cung nhỏ BC, A không trùng với B, C điểm cung nhỏ BC Gọi H hình chiếu A đoạn thẳng BC; E, F thứ tự hình chiếu B C đường kính AA’ Chứng minh rằng: a) Hai tam giác HEF ABC đồng dạng với b) Hai đường thẳng HE AC vng góc với c) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF điểm cố định A chuyển động cung nhỏ BC Câu (1,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A, độ dài cạnh huyền 2015 Trong tam giác ABC lấy 2031121 điểm phân biệt Chứng minh tồn hai điểm có khoảng cách không lớn HẾT -Họ tên thí sinh : Số báo danh: Họ tên, chữ ký: Giám thị 1: Giám thị 2: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH NINH BÌNH HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS NĂM HỌC 2014-2015 Mơn: TỐN - Ngày thi 04/03/2015 (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) I Hướng dẫn chung Bài làm học sinh đến đâu cho điểm đến Học sinh sử dụng kết câu trước làm câu sau Đối với hình, vẽ sai hình khơng vẽ hình khơng cho điểm Nếu thí sinh làm khơng theo cách nêu đáp án mà cho điểm đủ phần hướng dẫn, thang điểm chi tiết tổ chấm thống Việc chi tiết hố thang điểm (nếu có) so với thang điểm hướng dẫn phải đảm bảo không sai lệch đảm bảo thống thực tồn hội đồng chấm Tuyệt đối khơng làm tròn điểm II Hướng dẫn chi tiết Câu Đáp án a) (3,0 điểm) Điểm Với x ≥ x ≠ ta có:  ( x − 2)( x + 2) ( x − 2)( x + x + 4)   x − x +  = − A  :  x −2 x +  ( x − 2)( x + 2)     x+2 x +4  x−2 x +4 =  x + − :  x +   x +   ( = Câu (5,0 điểm) = = x +2 ) − (x + 2 x +4 x +2 x x +2 x : ): x−2 x +4 0.5 x +2 x +2 0.5 x +2 x−2 x +4 x = 0.5 x−2 x +4 b) (1,0 điểm) ( ) − x−4 x +4 x = −1 = Ta= có A − x−2 x +4 x−2 x +4 Do x ≥ x ≠ nên 0.5 0.5 x +2 x−2 x +4 0.5 ( x −2 ) > 0; ( − ( x −2 ) 2 0.5 x − + ≥ > nên A − < ⇒ A < 0,5 ) ( ) x −1 + c) (1,0 điểm) Câu (5,0 điểm) Ta có x ≥ 0, x − x + > ⇒ A ≥ Vậy ≤ A < A ∈  ⇔ A = ⇔ x = a) 3,0 điểm Tập xác định: R 0,5 0,5 0,25 2 x + x + 12 + x + x + =x + ⇔ x + x + 12 = x + − x + x + ⇒ x + x + 12 = x + 13 x + 27 − 2( x + 5) x + x + ⇔ x + x + 15 − 2( x + 5) x + x + = ⇔ ( x + 5)[( x + 3) − 2 x + x + 2] =  x = −5 ⇔  2 x + x + = x + 0,5 0,5 0,5 0,25 2 x + 3x + = x + ⇒ x + x − = 0,25  x = −1 ⇔ x =  0,25  1 Thử lại suy phương trình có tập nghiệm là: −1;   7 b) điểm 0,5  x + y = − z x + y + z =   11 11 ⇔  xy + ( x + y ) z =  xy + yz + zx =   xyz = 6   xy =  z 0,25  x + y = − z  6 ⇔  + (6 − z ) z = 11 z    xy = z 0,25 x + y = − z   ⇔  xy = z   z − z + 11z − = 0,25 z − z + 11z − = ⇔ ( z − 1)( z − 2)( z − 3) = 0,25 z = ⇔  z =  z = 0.25  x =   y = x + y = z= 1⇒  ⇒  x = x + y =    y = 0,25 =  x =  x   = y 3= =  x + y  =  x + y  y ⇒ ⇒ z= 2⇒ ,z = 3⇒    x 3=  x = =  xy 3=  xy   =   y 1=   y Câu (2,0 điểm) 2 Kết luận: Tập nghiệm hệ phương trình tập hợp hốn vị (1;2;3) 7 Ta có: x + xy + y = ( x + y ) + ( x − y ) ≥ ( x + y ) 4 ⇒ x + xy + y ≥ ( x + y ) , đẳng thức xảy x = y A= 0.25 0,25 0,5 0,5 x + xy + y + y + yz + z + z + zx + x 7 ( x + y) + ( y + z) + ( z + x= ) 7( x + y + z= ) 2 Đẳng thức xảy x = y = z =1 Vậy MinA = ≥ 0,5 0,25 0,25 A E P B Câu (7,0 điểm) H N M C O F Khơng tính tổng qt giả sử AB < AC a) 2,5 điểm Tứ giác ABHE nội tiếp =  ⇒ HEF ABC A’ 0.5 0.5 Tứ giác ACFH nội tiếp 0.5 =  ⇒ HFE ACB ⇒ hai tam giác HEF ABC đồng dạng 0.5 b) 2,5 điểm  = ABC  HEF   (cùng chắn cung AC) Mà CA ' F = ABC =  ⇒ HEF CA 'F ⇒ HE || A 'C Mặt khác A 'C ⊥ AC ⇒ HE ⊥ AC c) 2,0 điểm Gọi M, N, P thứ tự trung điểm đoạn BC, CA, AB ⇒ PM || AC Mà HE ⊥ AC ⇒ PM ⊥ HE Tam giác AHB vuông H, tam giác AEB vuông E, P trung điểm AB ⇒ PH = PE (cùng nửa AB) ⇒ MP đường trung trực đoạn HE Tương tự MN đường trung trực HF Suy M tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF ⇒ Điều phải chứng minh 0,5 0.5 0.5 0.5 0.5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 Gọi M1 , M , , M 2014 điểm thuộc đoạn BC thỏa mãn Câu (1 điểm) BM1= M1 M 2= M M 3= = M 2013 M 2014= M 2014 C= Gọi N1 , N , , N 2014 điểm thuộc đoạn AC thỏa mãn AN1= N1 N 2= N N 3= = N 2013 N 2014= N 2014 C= Gọi P1 , P2 , , P2014 điểm thuộc đoạn AB thỏa mãn BP1= P1 P2= P2 P3= = P2013 P2014= P2014 A= Khi đoạn M1 N1 , M N , , M 2014 N 2014 , M1 P1 , M P2 , , M 2014 P2014 chia tam giác 20152 − 2015 = 2015.1007 hình vng có chiều dài đường chéo 2015 tam giác vng cân có chiều dài cạnh huyền Suy tam giác vng ABC phủ kín 2031120 hình trịn đường kính 1(tính biên) ABC thành Mà có 2031121 điểm tam giác ABC nên tồn điểm thuộc hình trịn đường kính 1, ta có điều phải chứng minh 0,25 0,25 0,25 0,25 Hết ... P2 , , P2014 điểm thuộc đoạn AB thỏa mãn BP1= P1 P2= P2 P3= = P2013 P2014= P2014 A= Khi đoạn M1 N1 , M N , , M 2014 N 2014 , M1 P1 , M P2 , , M 2014 P2014 chia tam giác 20152 − 2015 = 2015. 1007... ĐÀO TẠO TỈNH NINH BÌNH HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS NĂM HỌC 2014- 2015 Mơn: TỐN - Ngày thi 04/03 /2015 (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) I Hướng dẫn chung Bài làm học sinh đến đâu... , M 2014 điểm thuộc đoạn BC thỏa mãn Câu (1 điểm) BM1= M1 M 2= M M 3= = M 2013 M 2014= M 2014 C= Gọi N1 , N , , N 2014 điểm thuộc đoạn AC thỏa mãn AN1= N1 N 2= N N 3= = N 2013 N 2014= N 2014