THI HỌC SINH GIỎI TOÁN KHỐI 10 SỞ GD&ĐT THỪA THIÊN HUẾ TRƯỜNG THPT THUẬN AN NĂM HỌC 2012-2013 Thời gian làm bài: 120 phút ( không kể thời gian phát đề) Họ tên thí sinh : Số báo danh : ĐỀ CHÍNH THỨC Câu I (4 điểm) Cho phương trình mx (2m 1) x m , m tham số Tìm m để phương trình cho có nghiệm Tìm m để phương trình cho có hai nghiệm thỏa mãn nghiệm gấp hai lần nghiệm x y xy a Câu II (4 điểm) Cho hệ phương trình 2 x y a (1) , a tham số Giải hệ phương trình (1) a = Tìm a để hệ phương trình (1) có nghiệm Câu III (2 điểm) Giải phương trình: x 13 x 16 x Câu IV (4 điểm) Cho tam giác ABC Trên cạnh AB, BC, CA lấy điểm M, N, P thỏa mãn AM AB BC , BN 3BC AC , CP 2CA Chứng minh hai tam giác ABC MNP có trọng tâm Trong mặt phẳng tọa độ, cho A( - 2; -1); B(2; - 4) Tìm đường thẳng x = 45o điểm M cho góc MBA Câu V (2 điểm) Gọi a, b, c độ dài ba cạnh tam giác; , hb , hc độ dài ba đường cao tương ứng ba cạnh đó; r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác Chứng minh: 1 1 hb hc r Câu VI (4 điểm) a2 b2 c2 1 Cho a, b, c ba số thực dương Chứng minh: b c c a a 2b a b c Hết - HƯỚNG DẪN CHẤM CÂU I.1 NỘI DUNG ĐIỂM (2 điểm) Cho phương trình mx (2m 1) x m , m tham số Tìm m để phương trình có nghiệm 0,25đ m = 0: x 2 m : 4m 0,5đ Pt có nghiệm m Vậy: m = m I.2 0,25đ Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn nghiệm gấp hai lần nghiệm 0,25đ m Pt có nghiệm m m 2m x1 x2 m m2 Theo Viet gt ta có: x1.x2 m x x 0, 25đ Giải được: m 10m m 3 (thỏa) m 3 0, 5đ m 3 Vậy m 3 II.1 x y xy a (2 điểm) Cho hệ phương trình 2 x y a , a tham số Giải hệ phương trình a = 0,25đ x y xy a = 5: ta có 2 x y x y xy x y xy 0,25đ S P S S P 10 P S 2P đặt S = x + y ; P = xy , ta có: S x x giải P y y 1 + Với 0,25đ 0,25đ S : vô nghiệm P + Với Vậy hpt có nghiệm (1;2);(2;1) II.2 Tìm a để hệ phương trình có nghiệm Ta có: S 2S 3a (*) 3a 0,25đ a : (*) vô nghiệm 3 a : (*) có nghiệm S = -1 P : vô nghiệm S 1 a :(*) có nghiệm: P1 a S 1 0,25đ P2 a ĐK hệ pt có nghiệm S P (a) S12 P1 giải : a 0,25đ (b) S2 P2 : vô nghiệm 0,25đ Vậy a III (1 điểm) Giải phương trình: x 13 x 16 x (*) 0,25đ ĐK: x 16 Với ĐK (*) x 13 x 16 x 0,25đ x ( x 3)(16 x) x 4( x 3)(16 x) 0,25đ x 76 x 192 x 12 (thỏa) x 16 0,25đ x 12 Vậy: 16 x IV Cho tam giác ABC Trên cạnh AB, BC, CA lấy điểm M, N, P thỏa mãn AM AB BC , BN 3BC AC , CP AC Chứng minh hai tam giác ABC MNP có trọng tâm Ta có hai tam giác ABC MNP có trọng tâm AM BN CP = 0, 5đ Mà : AM BN CP = AB BC + 3BC AC + 2CA = 0, 5đ Vậy ta có ĐPCM IV.2 Trong mặt phẳng tọa độ, cho A( - 2; -1); B(2; - 4) Tìm đường thẳng x = điểm M cho góc MBA 450 Gọi M(1; y) thuộc đt x = BM (1; y 4) BA (4;3) 0,25đ GT: cos( BM , BA) y 16 ( y 4) (1)(4) 3( y 4) ( y 4) 2 2 c os450 0, 25đ y y 87 0,25đ y y 29 0,25đ Vậy : M (1;3); M (1; V 29 ) (1 điểm) Gọi a, b, c ba cạnh tam giác; , hb , hc độ dài ba đường cao tương ứng ba cạnh đó; r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác 1 1 hb hc r Chứng minh: Ta có : S a.ha Tương tự: Do đó: VI a 2S 0, 5đ b c ; hb S hc 2S 1 abc p : ĐPCM hb hc 2S S r 0,5đ (2 điểm) Cho a, b, c ba số thực dương Chứng minh: a2 b2 c2 1 b c c a a 2b a b c Áp dụng BĐT Cauchy, ta có: 0, 5đ a 1 b 1 c 1 c a b 2 bc ca ab b c c c a a a b b c c a c a b b 1 1 a b Mà = a b c bc ca ba bc ca ca ab ab bc 2 a2 b2 c2 1 1 1 0, 5đ Suy ra: a b c b c c c a a a b b 0, 5đ a2 b2 c2 1 : ĐPCM bc ca ab a b c 0, 5đ ... 2m x1 x2 m m2 Theo Viet gt ta có: x1.x2 m x x 0, 25đ Giải được: m 10m m 3 (thỏa) m 3 0, 5đ m 3 Vậy m 3 II.1 x y xy a (2 điểm)... 5: ta có 2 x y x y xy x y xy 0,25đ S P S S P 10 P S 2P đặt S = x + y ; P = xy , ta có: S x x giải P y y 1 + Với