de thi hoc sinh gioi toan 11 nam 2020 2021 truong thpt dong ha quang tri

TRƯỜNG THPT ĐƠNG HÀ TỔ TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 NĂM HỌC 2020 - 2021 Mơn: TỐN Thời gian: 180 phút (Khơng kể thời gian giao đề) Ngày thi: 15 /4/2021 Câu (5,0 điểm) Tìm số nguyên dương n biết rằng: C 21n+1 +C 23n+1 +C 25n+1 + +C 22nn++11 = 1024 Một trường có 50 học sinh giỏi, có cặp anh em sinh đơi Cần chọn học số 50 học sinh để tham gia trại hè Tính xác suất để em chọn khơng sinh có cặp anh em sinh đôi x x+ x2 - Câu (2,0 điểm) Giải phương trình =2 Câu (5,0 điểm) 2 Cho ba số a > 0, b > 0, c > thỏa mãn a + b + c = Chứng minh a3 b2 + + b3 c2 + + (u ) Chứng minh dãy số n c3 a2 + với ³ un = 1 + + + 2 n dãy số tăng bị chặn Câu (2,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 1+ x2 + y2 + 2y + + x2 + y2 - 6y x, y số thực thỏa mãn x= y +1 Câu (6,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB  a, AD  2a, SA  ( ABCD) SA = a , M trung điểm CD a) Tính góc SM mp (SAB ) b) Tính theo a khoảng cách từ A đến mp (SBM ) Cho M , N , P trung điểm ba cạnh BC , CA, AB ABC Gọi H , G , O trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp ABC , I tâm đường tròn ngoại tiếp MNP Chứng minh H , G, O, I thẳng hàng Đề thi gồm trang .HẾT Họ tên:………………………….……… Lớp:………SBD:…… HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2020-2021 MƠN TỐN Câu Câu 1.1 (2 điểm) Nội dung Điểm +Xét khai triển (1+ x)2n+1 = C 20n+1 +C 21n+1x1 +C 22n+1x2 + +C 22nn++11x2n+1(1) 0.5 (1- x)2n+1 = C 20n+1 - C 21n+1x1 +C 22n+1x2 + - C 22nn++11x2n+1(2) +Trừ vế (1), (2) ta có (1+ x)2n+1 - (1- x)2n+1 = 2(C 21n+1x1 +C 23n+1x3 +C 25n+1x5 + + C 22nn++11x2n+1) (3) 0.5 +Thay x = vào (3) chia hai vế cho ta có C 21n+1 +C 23n+1 +C 25n+1 + +C 22nn++11 = 22n 2n (3 điểm) +Số cách chọn học sinh từ 50 học sinh 0,5 Gọi biến cố A: “Chọn học sinh khơng có cặp anh em sinh đôi” WA = C 50 - 4.48 = 19408 P (A) = + (2 điểm) 3 C 50 Þ W = C 50 = 19600 +Số cách chọn học sinh có cặp anh em sinh đơi 4.48 +Ta có Câu 0.5 = 1024 = 210 Û 2n = 10 Û n = +Suy Câu 1.2 0.5 WA W +Điều kiện = 19408 1213 = 19600 1225 x > 1Û x < - 0.5 x > 0.5 x < - Þ Phương trình vơ nghiệm +Xét x > 1: Đặt x= ,t Ỵ cost ổ pữ ỗ ữ ; ỗ ữ ỗ è 2÷ ø Ta có phương trình 1 + = 2 Û sin t + cost = 2sin t cost cost sint Û ỉ pư ỉ pữ ỗ ữ ữ 2sin ỗ t+ ữ = 2sin2 t sin2 t = sin t + ỗ ç ÷ ç ç ÷ ÷ 4÷ è 4ø è ø Đề thi gồm trang é ê2t = p + p + k2p ê Û ê Û æ ờ2t = p - ỗp + pử ữ ữ + k2p ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ổ pữ p tẻ ỗ 0; ữ ị t= ị x= ỗ ữ ỗ ố 2ữ ứ + é êt = ê ê êt = ê ë p cos p + k2p (k Ỵ Z) p 2p +k = thỏa x > Vậy nghiệm phương trình x = Câu 3.1 (3 điểm) 0.5 +Ta có a3 a3 b2 + a6 3 + + ³ = a2(1) 16 64 b2 + b2 + b3 b3 c2 + b6 3 + + ³ = b2(2) 16 64 c2 + c2 + c3 c3 a2 + c6 + + ³ 33 = c2(3) 16 64 a2 + a2 + 1.5 +Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta có a2 + b2 + c2 + ³ (a + b2 + c2) 16 12 9 12 Û P+ ³ Û P ³ = 16 4 16 Dấu “=” xảy a = b = c = P+ Câu 3.2 (2 điểm) Ta có " n Ỵ N * : un+1 = un + 1.5 Þ un+1 > un , " n Ỵ N * (n + 1) 0.5 Þ Dãy (un ) tăng (un ) tăng Þ un ³ u1 = 1, " n Ỵ N * 0.25 1 1 1 + + + < + + + + 1.2 2.3 (n - 1).n 22 32 n2 ỉ 1ư ỉ ỉ1 1ư 1ư ÷ ÷ ÷ = 1+ ç 1- ÷ +ç - ÷ + + ç - ữ = 2