de hoc sinh gioi toan 11 nam 2020 2021 truong thpt minh chau hung yen

TRƯỜNG THPT MINH CHÂU TỔ TỰ NHIÊN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2020 - 2021 Môn: TỐN - Lớp 11 Thời gian: 120 phút (Khơng kể thời gian phát đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1: (2 điểm) a) Giải phương trình: sin x + cos x = 2sin x b) Tìm tất nghiệm phương trình cos x + cos x − ( sin x − sin x ) = đoạn [ −2π ; 2π ] Câu 2: (2 điểm)   x +  ÷ x   x a) Tìm số hạng chứa khai triển b) Đề thi THPT mơn Tốn gồm 50 câu trắc nghiệm khách quan, câu có phương án trả lời có phương án đúng, câu trả lời cộng 0, điểm, điểm tối đa 10 điểm Một học sinh có lực trung bình làm 25 câu( từ câu đến câu 25), câu lại học sinh khơng biết cách giải nên chọn phương án ngẫu nhiên 25 câu cịn lại Tính xác suất để điểm thi mơn Tốn học sinh lớn điểm khơng vượt q điểm( làm trịn đến hàng phần nghìn) Câu 3:(1 điểm) Tìm tất số thực x để ba số x, x, theo thứ tự lập thành cấp số nhân Câu 4: (2 điểm) Tính giới hạn sau: a) I = lim ( 16 n +1 + − 16 n n +1 +3 n ) J = lim b) x →1 x2 + x + − x + ( x − 1) Câu 5: (1,5 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành, mặt bên SAB tam giác vuông A , SA = a , SB = 2a Điểm M nằm đoạn AD cho AM = MD Gọi ( P ) mặt phẳng qua M song song với ( SAB ) a) Tính góc hai đường thẳng SB CD b) Tính diện tích thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng ( P) Câu 6: (1,5 điểm)  x + + x + x + 17 = y + y +   x + y + y + 21 + = y − x a) Giải hệ phương trình  u1 = , n ∈ ¥ *  (u ) 9un +1 = un + + + 2un b) Cho dãy số n xác định sau  (u ) Tìm cơng thức số hạng tổng quát dãy số n tính lim un - Hết -(Giám thị coi thi khơng giải thích thêm) Họ tên thí sinh: Chữ ký giám thị:……………………… Số báo danh:……………… Phòng thi số:……… TRƯỜNG THPT MINH CHÂU HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỔ TỰ NHIÊN NĂM HỌC 2020 - 2021 Mơn: TỐN – Khối 11 Câu 1: a) Giải phương trình sau sin 3x + cos x = 2sin x Ta có : sin x + cos x = 2sin x ⇔ sin x + cos x = sin x 2 π π   x + = x + k 2π x = − + k 2π   π  3 ⇔ sin  x + ÷ = sin x ⇔  ⇔ π π k 2π   3 x + = π − x + k 2π x = +   15 (0.25) ( k ∈¢) (0.5)  π 2π k 2π  S = − + k 2π ; + k ∈ ¢ 15   (0.25) Vậy phương trình cho có tập nghiệm b) Ta có: ( ) cos x + cos x − ( sin x − sin x ) = ⇔ cos x − sin x + cos x + sin x − = π π π π     ⇔ cos  x + ÷+ sin  x + ÷− = ⇔ −2 sin  x + ÷+ sin  x + ÷− = 3 6 6 6     (0.25)   π sin  x + ÷ =   ⇔   π sin  x + ÷ = 3(VN ) 6   (0.25)  π π  x = k 2π  x + = + k 2π π   sin  x + ÷ = ⇔  ⇔  x = 2π + k 2π 6   x + π = 5π + k 2π   6 Ta có: (0.25) 4π 2π   x ∈ [ −2π ; 2π ] ⇒ x ∈ −2π ; − ;0; ; 2π  3   Vì (0.25) Câu 2: Câu 030 B1.X.T0   x+ ÷ 2x  Tìm số hạng chứa x khai triển  Lời giải Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có k     x + = C9k x 9− k  ÷ ∑  ÷ x  k =0   2x  0.25 k 1 = ∑ C9k  ÷ x9− k 2 k =0 0.25 − 2k = ⇔ k = Hệ số x ứng với 3 C9 x Vậy số hạng cần tìm b) Gọi x số câu học sinh trả lời 25 câu cịn lại Số điểm học sinh đạt + 0, 2x 0.25 0.25 (0.25) Theo yêu cầu đề < + 0, x ≤ ⇔ < x ≤ 15, x ∈ ¥ Như vậy, để điểm học sinh lớn điểm khơng vượt q điểm học sinh phải trả lời từ đến 15 câu làm sai câu lại Xác suất trả lời câu 0,25; xác suất trả lời sai câu 0,75 C25x ( 0.25 ) ( 0.75 ) x Xác suất trường hợp 15 Suy xác suất cần tính ∑ C ( 0.25) ( 0.75) x =6 x x 25 25 − x 25− x với x ∈ ¥ ≤ x ≤ 15 ≈ 0,622 (0.25) (0.25) ≈ 0, 622 (0.25) Câu 3: x = = x.4 ⇔ x − x = ⇔  x = Ta có Với x = ta có 0; 0; không cấp số nhân Với x = ta có 1; 2; cấp số nhân có cơng bội q = (0.25) Vậy x = (0.25) ( 2x) (0.25) (0.25) Câu 4: a) Ta có T = lim ( 16 n +1 + − 16 n n +1 +3 n ) n  3  1−  ÷  4 = lim  n n  16 +   + 16 +    ÷  ÷  4  16     4n − 3n = lim  ÷ n +1 n n +1 n  16 + + 16 +  (0.5)  ÷ ÷ ÷ ÷ ÷=  (0.5) b) Lời giải x2 + x + − x + x2 + x + − + − x + = lim x →1 ( x − 1) ( x − 1) lim Ta có = lim x →1 x →1 x2 + x + − 2 − 7x +1 + lim =I+J x →1 ( x − 1) ( x − 1) I = lim x →1 Tính = lim x →1 ( ( x − 1) ( x + ) ( x − 1) ( x + x + + ) = lim x →1 ( x+2 x2 + x + + 2 − 7x +1 − x −1 = lim x →1 x →1 ( x − 1) ( x − 1)  + x + +  J = lim x + x+2 −2 x + x+2−4 = lim x → ( x − 1) ( x − 1) x + x + + 2 (0.25) ) ) = (0.25) ( ) 7x +1   (0.25) = lim x →1 −7 4 + x + +  ) 7x +1   = −7 12 x + x + − 7x +1 =I+J = 12 ( x − 1) lim Do ( x →1 (0.25) Câu 5: a) Ta có : AB//CD nên (SB,CD)=(SB,AB) Do tam giác SAB vng A theo gt nên Có : · sin SBA = Suy ra: (0.25) · ( SB, CD ) = SBA (0.25) SA a 3 = = SB 2a ( SB, CD ) = 600 (0.25) ( P ) // ( SAB ) ( P ) ∩ ( ABCD ) = MN ⇒  M ∈ AD, M ∈ ( P ) ( P ) ∩ ( SCD ) = PQ MN // PQ // AB (1) b)  ( P ) // ( SAB ) ( P ) ∩ ( SAD ) = MQ  MQ // SA ⇒   M ∈ AD, M ∈ ( P ) P ) ∩ ( SBC ) = NP (       NP // SB Mà tam giác SAB vuông A nên SA ⊥ AB ⇒ MN ⊥ MQ (2) Từ (1) (2) suy thiết diện hình thang vuông M Q MQ DM DQ DQ = = ⇒ MQ = SA = MQ // SA SA DA DS DS PQ SQ ⇒ = ⇒ PQ = AB 2 CD SD  PQ // CD , với AB = SB − SA = a S MNPQ = MQ ( PQ + MN ) Khi (0.25) ⇒ ⇔ S MNPQ = SA  AB   + AB ÷ ⇔ S MNPQ = 5a 3   18 (0.25) (0.25)  x + + x + x + 17 = y + y + ( 1)   x + y + y + 21 + = y − x ( ) a)  Điều kiện: y ≥ 0, y − 3x ≥ ( 1) ⇔ ( x − y + ) + ⇔ ( x − y + 4) + x + x + 17 − y + = ( x + 4) ⇔ ( x − y + 4) + − y2 x + x + 17 + y +  = ⇔ ( x − y + ) 1 +  x + x + 17 + y +  ( x + + y) ( x + − y) =0 ( x + + y)  ÷= x + x + 17 + y + ÷  (0.25) ⇔ y = x+4 1+ (Vì: ( x + + y) x + x + 17 + y + = ( x + 4) + + ( x + 4) + y + + y x + x + 17 = y2 +1 > ∀x, y ) (0.25) Thay y = x + vào (2) ta được: ( 2) ⇔ x + ⇔ ( x + + x + 25 + = x + 16 ) ( x+4 −2 + ) ( ) x + 25 − + x + − x + 16 = 1 x + 12   ⇔ x + + ÷= x + 25 + x + + x + 16   x+4+2  x = ⇒ y = ( t/m) ⇔ 1 x + 12  + + = ( 3) x + 25 + x + + x + 16  x + + Do x + = y ≥ ⇒ x ≥ −4 ⇒ x + > nên (3) vơ nghiệm Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (0.25) ( x; y ) = ( 0; ) (0.25) ( 1) ⇔ x + + ( x + ) + = y + Chú ý: Ta giải (1) sau: f ′( t ) = 1+ f ( t ) = t + t +1 t t2 +1 = t +1 + t t +1 y2 +1 > 0, ∀t ∈ ¡ Xét hàm số có f ( t) ( 1) ⇔ f ( x + ) = f ( y ) ⇔ x + = y Do đồng biến ¡ nên b) (0.75đ) un > 0, ∀n ∈ ¥ * 9un+1 = un + + + 2un ⇔ 18un +1 = 2un + + + 2un Ta có ⇔ ( + 2un +1 ) = ( + 2un + ) ⇔ + 2un +1 = + 2un + ⇔3 Đặt ( ) + 2un +1 − = + 2un − 0,25 0,25 = + 2un − 2, ∀n ∈ ¥ * v1 =  *  , ∀n ∈ ¥ vn +1 = Ta có  0,25 ⇒ dãy số ( ) cấp số nhân có cơng bội n −1 1 ⇒ =  ÷ 3 ( v + 2) = n q= , số hạng đầu v1 = −1 1  =  n −2 + n −1 + ÷ 23  1  un =  n2 + n1 + ữ, n Ơ * 23  Kết luận 1  lim un = lim  n −2 + n −1 + ÷ = 23  ⇒ un Hết Khi 0,25 ... tên thí sinh: Chữ ký giám thị:……………………… Số báo danh:……………… Phòng thi số:……… TRƯỜNG THPT MINH CHÂU HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỔ TỰ NHIÊN NĂM HỌC 2020 - 2021 Mơn: TỐN – Khối 11 Câu... câu học sinh trả lời 25 câu lại Số điểm học sinh đạt + 0, 2x 0.25 0.25 (0.25) Theo yêu cầu đề < + 0, x ≤ ⇔ < x ≤ 15, x ∈ ¥ Như vậy, để điểm học sinh lớn điểm khơng vượt q điểm học sinh phải