Đề thi môn Toán Lớp 11 Trang 1/ 2 trang SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI TRƯỜNG THPT PHÙNG KHẮC KHOAN THẠCH THẤT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG CÁC MÔN VĂN HÓA KHỐI 10, 11 NĂM HỌC 2022 2023 ĐỀ THI[.]
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI TRƯỜNG THPT PHÙNG KHẮC KHOAN THẠCH THẤT ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG CÁC MƠN VĂN HĨA KHỐI 10, 11 NĂM HỌC 2022-2023 ĐỀ THI MƠN: TỐN-LỚP 11 Thời gian làm 150 phút, không kể thời gian giao đề (Đề thi gồm trang) Số báo danh: Họ tên Câu (2,5 điểm): Giải phương trình cos x + (sin x + sin x − 1) = + tan x Câu (4,5 điểm): a Giải phương trình : ( x + 1)( x + ) − x + x + = 5n 2 b Tìm số hạng khơng chứa x khai triển nhị thức Niu-tơn x3 + , x x biết n số nguyên dương thỏa mãn: 3Cn2+1 + n.P2 = An2 Câu (3,0 điểm): Từ chữ số 0,1,3,5,7,8 lập số có tám chữ số mà chữ số có mặt lần cịn chữ số khác xuất lần? Câu (3,0 điểm): ( x + 2023) − x − 2023 x→0 x a Tính giới hạn I = lim b Cho dãy số ( un ) u1 = 2022; u2 = 2023 xác định bởi: 2u + un−1 un+1 = n ( n 2, n ) Tính giới hạn dãy số ( un ) Câu (5,0 điểm): Cho tứ diện ABCD gọi I , J trung điểm AC , BC đoạn BD lấy điểm K cho BK = KD ; Gọi E , F giao điểm CD AD với mặt phẳng ( IJK ) Chứng minh FK song song với IJ Đề thi môn Tốn Lớp 11 Trang 1/ trang Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A D biết AD = DC = a , AB = 2a ; SD = b Trên đoạn AD lấy điểm M cho AM = x ( x a ) Mặt phẳng ( ) qua M song song với AB SD cắt BC , SB, SA N , P , Q a Chứng minh NP song song với mặt phẳng cố định b Khi MN vng góc với MQ , tìm x để tứ giác MNPQ có diện tích lớn Câu (2,0 điểm): Cho số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c − 3b Chứng minh rằng: + + 1 2 (a + 1) (b + 2) (c + 3) - HẾT (Thí sinh khơng dùng tài liệu, cán coi thi khơng giải thích thêm) Đề thi mơn Tốn Lớp 11 Trang 2/ trang SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI TRƯỜNG THPT PHÙNG KHẮC KHOAN - THẠCH THẤT Câ u Nội dung Điể m Giải phương trình sau: KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG CÁC MƠN VĂN HĨA KHỐI 10, 11 NĂM HỌC 2022-2023 ĐÁP ÁN ĐỀ THI MƠN: TỐN LỚP 11 Thời gian làm 150 phút, không kể thời gian giao đề cos x + (sin x + sin x − 1) = + tan x 2.5 cos x x + k (k ) ĐK: tan x − x − + k 0.5 cos x + (sin x + sin x − 1) = + tan x 2(cos x − sin x)cos x + (sin x + sin x − 1) = cos x + sin x 2cos x − 2sin x cos x + 2sin x cos x + sin x − = 1.0 −2sin x + sin x + = sin x = x = + k 2 x = − + k 2 sin x = − x = 7 + k 2 Kết hợp đk pt có nghiệm: x = − 2.a 0.5 + k 2 , x = 7 + k 2 (k ) 0.5 a Giải phương trình : ( x + 1)( x + ) − x + x + = ( x + 1)( x + ) − 2.0 x2 + 5x + = x2 + 5x + − x2 + 5x + − = 0.5 Đặt t = x + x + (t 0) t = −1 ( L) Ta pt: t − 3t − = t = (TM ) 0.5 Đề thi mơn Tốn Lớp 11 Trang 1/ trang x=2 x + x + = x + x − 14 = 1.0 x = −7 KL: PT có nghiệm x = 2; x = −7 Tìm số hạng không chứa x khai triển nhị thức Niu-tơn 5n 2.5 2 2 x + , x biết n số nguyên dương thỏa mãn: 3Cn+1 + n.P2 = An x ĐK n 2, n ( n + 1)! + 2n = n! (n + 1) + = 4(n − 1) n =1.0 3Cn2+1 + n.P2 = An2 3 2!(n − 1)! (n − 2)! + Với t = 2b +Với n = 5n 15 15 15 2 2 k 3(15−k ) k −2 k x + = x + = C x x = C15k 2k x 45−5 k 15 x x k =0 k =0 0.5 Số hạng không chứa x tương ứng với 45 − 5k = k = 0.5 9 Số hạng không chứa x khai triển C15 0.5 Từ chữ số 0,1,3,5,7,8 lập số có tám chữ số mà chữ số có mặt lần chữ số khác xuất lần? 3.0 + Xét số có tám chữ số (kể chữ số đứng đầu) Có C83 = 56 cách chọn vị trí cho chữ số vị trí cịn lại có 5! = 120 cách xếp chữ số 0,1,3,5,7 1.0 Vậy có 56.120 = 6720 số + Xét số có chữ số có chữ số khơng đứng đầu Có C73 = 35 cách chọn vị trí cho chữ số vị trí cịn lại có 4! = 24 cách xếp chữ số 1,3,5,7 1.5 Vậy có 35.24 = 840 số Vậy số số cần tìm là: 6720 − 840 = 5880 số 4a ( x + 2023) − x − 2023 x→0 x Tính giới hạn I = lim Đề thi mơn Tốn Lớp 11 0.5 1.0 Trang 2/ trang x2 − 5x 2023( − x − 1) I = lim + lim x →0 x →0 x x 2023( −5 x) = lim x − x + lim x →0 x →0 x (1 − x) + − x + ( = + lim x →0 4b ( ) 2023( −5) ) (1 − x) + − x + Cho dãy số ( un ) 0.5 =− 0.25 10115 u1 = 2022; u2 = 2023 xác định bởi: 2u + un−1 un+1 = n 0.25 ( n 2, n ) 2.0 Tính giới hạn dãy số ( un ) + Với n ta có un+1 = 2un + un−1 0.5 3un+1 = 2un + un−1 3un+1 − 3un = −un + un−1 (un+1 − un ) = − (un − un−1 ) 3 (*) Xét dãy số ( ) với = un+1 − un 1 Từ (*) = − vn−1 (vn ) cấp số nhân với v1 = u2 − u1 = 1; q = − 3 Ta có: un = un − un−1 + un−1 − un−2 + + u2 − u1 + u1 = vn−1 + vn−2 + + v1 + u1 1 1− − n −1 1− q = v1 + u1 = 1− q 1+ 1 Ta có lim − 3 5.1 n −1 1.0 n −1 n −1 3 1 3 1 + 2022 = 1 − − + 2022 = + 2022 − − 4 3 n−1 = Vậy lim un = 2022 + 8091 = 4 0.5 Cho tứ diện ABCD , gọi I , J trung điểm AC , BC đoạn 1.0 BD lấy điểm K cho BK = KD ; Gọi E , F giao điểm CD AD với mặt phẳng ( IJK ) Chứng minh FK song song với IJ Đề thi môn Tốn Lớp 11 Trang 3/ trang Vẽ hình: A E F I B K D 0.5 J C Trong ( IJK ) nối JK cắt CD E , nối EI cắt AD F Ta có: IJ ( IJK ) ; AB ( ABD ) , IJ / / AB, ( IJK ) ( ABD) = FK ; FK , IJ phân biệt 5.2 5.2 a 0.5 Suy FK / / IJ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A D ; 4.0 AD = DC = a biết AB = 2a ; SD = b Trên đoạn AD lấy điểm M cho AM = x ( x a ) Mặt phẳng ( ) qua M song song với AB SD cắt BC , SB, SA N , P , Q a Chứng minh NP song song với mặt phẳng cố định b Khi MN vng góc với MQ , tìm x để tứ giác MNPQ có diện tích lớn Chứng minh NP song song với mặt phẳng cố định 2.0 Đề thi mơn Tốn Lớp 11 Trang 4/ trang 5.2 a S P Q 0.5 A B M N D C + Từ M kẻ đường thẳng song song với AB SD cắt BC N, SA Q + Từ Q kẻ đường thẳng song song với AB cắt SB P Ta có: AM AQ = AD AS AM BN MN / / AB = AD BC AQ BP PQ / / AB = AS BS BN BP mà Do = NP / / SC SC ( SCD ) , NP ( SCD ) BC BS NP / / ( SCD ) cố định b Khi MN vng góc với MQ , tìm x để tứ giác MNPQ có diện tích lớn PQ / / AB PQ / / MN Theo giả thiết MN ⊥ MQ Tứ giác MNPQ MN / / AB hình thang vuông M , Q ( MN + PQ ) MQ S MNPQ = MQ AM AM SD b.x = MQ = = SD AD AD a PQ SQ DM DM AB (a − x).2a = = PQ = = = 2(a − x) AB SA AD AD a Gọi I = AD BC MN IM AB.IM 2a.(2a − x) = MN = = = 2a − x AB IA IA 2a MQ / / SD 5.2 b Đề thi mơn Tốn Lớp 11 0.5 1.0 2.0 0.5 0.75 Trang 5/ trang SMNPQ ( MN + PQ ) MQ = ( 2a − x + 2a − x ) bx = = 2a Dấu xảy 4a − 3x = 3x x = 0.5 b b 4a − x + x ( 4a − 3x ).3x = ab 6a 6a 2a Vậy tứ giác MNPQ có diện tích lớn x = 0.25 2a Cho số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c − 3b Chứng minh rằng: + + 1 2 (a + 1) (b + 2) (c + 3) + Với số thực dương 2.0 x 0, y ta có x + y xy 1 ( x + y ) ( x + y ) xy + 2 x y ( x + y) ( x + y ) xy 0.5 + Áp dụng: 8 + = 2 (a + 1) (b + 2) b b a + + + 1 a + + 2 b a + + 2 + 2 (c + 3) b a + + c + 5 0.75 8 162 P + = 2 2 2a + b + 2c + 10 ) b b ( (c + 3) a + + 2 a + + c + 5 2 Ta có: (a − 1) + (b − 2) + (c − 1) a + b + c 2a + 4b + 2c − 0.5 Theo giả thiết: 3b a + b + c 3b 2a + 4b + 2c − hay 2a + b + 2c Do 2a + b + 2c + 10 16 P 0.25 Dấu xảy a = 1, b = 2, c = Nếu học sinh làm không theo cách nêu đáp án cho đủ số điểm phần hướng dẫn quy định Đề thi mơn Tốn Lớp 11 Trang 6/ trang ... dung Điể m Giải phương trình sau: KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG CÁC MƠN VĂN HĨA KHỐI 10, 11 NĂM HỌC 2022- 2023 ĐÁP ÁN ĐỀ THI MƠN: TỐN LỚP 11 Thời gian làm 150 phút, không kể thời gian giao... − 840 = 5880 số 4a ( x + 2023) − x − 2023 x→0 x Tính giới hạn I = lim Đề thi mơn Toán Lớp 11 0.5 1.0 Trang 2/ trang x2 − 5x 2023( − x − 1) I = lim + lim x →0 x →0 x x 2023( −5 x) = lim x − x +... - HẾT (Thí sinh khơng dùng tài liệu, cán coi thi khơng giải thích thêm) Đề thi mơn Tốn Lớp 11 Trang 2/ trang SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI TRƯỜNG THPT PHÙNG KHẮC KHOAN - THẠCH THẤT Câ