Đề thi học sinh giỏi Toán 11 năm 2020 - 2021 trường THPT Đông Hà - Quảng Trị - TOANMATH.com

Gọi H , G, O lần lượt là trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp ABC , I là tâm đường tròn ngoại tiếp MNP... MÔN TOÁN Câu.[r]

TRƯỜNG THPT ĐÔNG HÀ TỔ TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 NĂM HỌC 2020 - 2021 Môn: TOÁN Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 15 /4/2021 Câu (5,0 điểm) Tìm số nguyên dương n biết rằng: C 21n 1  C 23n 1  C 25n 1   C 22nn11  1024 Một trường có 50 học sinh giỏi, đó có cặp anh em sinh đôi Cần chọn học sinh số 50 học sinh để tham gia trại hè Tính xác suất để em chọn không có cặp anh em sinh đôi x Câu (2,0 điểm) Giải phương trình x  x 1 2 Câu (5,0 điểm) Cho ba số a  0, b  0, c  thỏa mãn a  b  c  Chứng minh a3 b2   b3 c2   c3 a2   2 Chứng minh dãy số un  với un  1    là dãy số tăng và bị chặn 2 n Câu (2,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P   x  y  2y   x  y  6y đó x , y là các số thực thỏa mãn x  y  Câu (6,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  a, AD  2a, SA  ( ABCD ) và SA  a , M là trung điểm CD a) Tính góc SM và mp (SAB ) b) Tính theo a khoảng cách từ A đến mp (SBM ) Cho M , N , P là trung điểm ba cạnh BC, CA, AB ABC Gọi H , G, O là trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp ABC , I là tâm đường tròn ngoại tiếp MNP Chứng minh H , G, O, I thẳng hàng .HẾT Họ và tên:………………………….……… Lớp:………SBD:…… Đề thi gồm trang HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2020-2021 MÔN TOÁN Câu Nội dung Câu 1.1 +Xét khai triển (2 điểm) (1  x )2n 1  C 20n 1  C 21n 1x  C 22n 1x   C 22nn11x 2n 1(2) Điểm (1  x )2n 1  C 20n 1  C 21n 1x  C 22n 1x   C 22nn11x 2n 1(1) 0.5 +Trừ vế (1), (2) ta có (1  x )2n 1  (1  x )2n 1  2(C 21n 1x  C 23n 1x  C 25n 1x   C 22nn11x 2n 1 ) (3) +Thay x  vào (3) chia hai vế cho ta có C 21n 1  C 23n 1  C 25n 1   C 22nn11  22n +Suy 2n 0.5 0.5 0.5  1024  210  2n  10  n  Câu 1.2 +Số cách chọn học sinh bất kì từ 50 học sinh là C 503    C 503  19600 (3 điểm) +Số cách chọn học sinh đó có cặp anh em sinh đôi là 4.48 0,5 Gọi biến cố A: “Chọn học sinh không có cặp anh em sinh đôi” +Ta có A  C 503  4.48  19408 P (A)  + A   19408 1213  19600 1225 Câu +Điều kiện x   x  1 x  (2 điểm) x  1  Phương trình vô nghiệm +Xét x  : Đặt x  0.5 0.5   , t  0;    cos t Ta có phương trình 1   2  sin t  cos t  2 sin t cos t cos t sin t      sin t    sin 2t  sin 2t  sin t       Đề thi gồm trang   2t      k 2 t    k 2   4   (k  )    2t        k 2  2    t   k        0;   t    x  t  +    cos  thỏa x  0.5 Vậy nghiệm phương trình là x  Câu 3.1 (3 điểm) +Ta có b2  a6 3   3  a (1) 16 64 b2  b2  b3 b3 c2  b6 3   3  b (2) 16 64 c2  c2  c3 c3 a2  c6 3   3  c (3) 16 64 a2  a2  a3 a3 1.5 +Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta có a  b2  c2   (a  b  c ) 16 12 9 12 P  P   16 4 16 P 1.5 Dấu “=” xảy a  b  c  Câu 3.2 Ta có n  N * : un 1  un  (2 điểm)  Dãy (un ) tăng  un 1  un , n  N * (n  1) 0.5 (un ) tăng  un  u1  1, n  N * 0.25 1 1 1         1.2 2.3 (n  1).n 22 32 n2       1 1 1   1                 n  n     n un   1.0   un  , n  N *  (un ) bị chặn 0.25 Đề thi gồm trang Câu (2 điểm) 0.5 +Ta có P  x  (y  1)2  x  (y  3)2 Đường thẳng  : 2x  y   +Lấy M (x ; y )   , hai điểm A(0; 1), B(0; 3) 0.5  P  AM  BM A, B nằm cùng phía  , lấy A’ đối xứng với A qua  4 7  A '  ;  , MA '  MA  5  0.5 + P  AM  BM  A ' M  BM  A ' B  + P  A’, B, M thẳng hàng 2 2 Khi M  A ' B    M  ;    3  Vậy P  x  0.5 2 ;y   3 Câu 5.1 (4 điểm) a) +Gọi E là trung điểm AB  ME / /AD   ME  (SAB )   AD  ( SAB )    (00    900 )  Góc SM và (SAB) là góc   MSE +Tính tan  : ME  AD  2a a2 a SE  AS  AE  a     ME  2a   tan   tan MSE SE 5 a 2 2 Đề thi gồm trang b + AN  BM  (SAN )  (SBM ) 0.5 Kẻ AK  SN  AK  (SBM ) AK  d (A,(SBM )) +Tính AK : S ABM  S ABCD  (S ADM  S BCM )  S ABCD  2S ADM  2a  a  a 2S S ABM  AN BM  AN  ABM  BM 2a 4a   17 a2 4a  + 0,5 2a BC  BM 0.5 1 4a 4a    AK   d (A,(SBM ))  AK  2 AK SA AN 33 33 Câu 5.2 V : ABC  MNP (G , ) + (2 điểm)  PN / /BC +Ta có   MO  PN   MO  BC   0.5 Tương tự NO  PM V (G , ) + 0,5 0.5  O là trực tâm tam giác MNP   : H  O  GO   GH  H ,G,O thẳng hàng 0.5   V : O  I  GI   GO  I ,G,O thẳng hàng (G , ) 2 + 0.5 Vậy H , G, O, I thẳng hàng .HẾT Đề thi gồm trang