Gọi H , G, O lần lượt là trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp ABC , I là tâm đường tròn ngoại tiếp MNP... MÔN TOÁN Câu.[r]
(1)TRƯỜNG THPT ĐÔNG HÀ TỔ TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 NĂM HỌC 2020 - 2021 Môn: TOÁN Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 15 /4/2021 Câu (5,0 điểm) Tìm số nguyên dương n biết rằng: C 21n 1 C 23n 1 C 25n 1 C 22nn11 1024 Một trường có 50 học sinh giỏi, đó có cặp anh em sinh đôi Cần chọn học sinh số 50 học sinh để tham gia trại hè Tính xác suất để em chọn không có cặp anh em sinh đôi x Câu (2,0 điểm) Giải phương trình x x 1 2 Câu (5,0 điểm) Cho ba số a 0, b 0, c thỏa mãn a b c Chứng minh a3 b2 b3 c2 c3 a2 2 Chứng minh dãy số un với un 1 là dãy số tăng và bị chặn 2 n Câu (2,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P x y 2y x y 6y đó x , y là các số thực thỏa mãn x y Câu (6,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a, AD 2a, SA ( ABCD ) và SA a , M là trung điểm CD a) Tính góc SM và mp (SAB ) b) Tính theo a khoảng cách từ A đến mp (SBM ) Cho M , N , P là trung điểm ba cạnh BC, CA, AB ABC Gọi H , G, O là trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp ABC , I là tâm đường tròn ngoại tiếp MNP Chứng minh H , G, O, I thẳng hàng .HẾT Họ và tên:………………………….……… Lớp:………SBD:…… Đề thi gồm trang (2) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2020-2021 MÔN TOÁN Câu Nội dung Câu 1.1 +Xét khai triển (2 điểm) (1 x )2n 1 C 20n 1 C 21n 1x C 22n 1x C 22nn11x 2n 1(2) Điểm (1 x )2n 1 C 20n 1 C 21n 1x C 22n 1x C 22nn11x 2n 1(1) 0.5 +Trừ vế (1), (2) ta có (1 x )2n 1 (1 x )2n 1 2(C 21n 1x C 23n 1x C 25n 1x C 22nn11x 2n 1 ) (3) +Thay x vào (3) chia hai vế cho ta có C 21n 1 C 23n 1 C 25n 1 C 22nn11 22n +Suy 2n 0.5 0.5 0.5 1024 210 2n 10 n Câu 1.2 +Số cách chọn học sinh bất kì từ 50 học sinh là C 503 C 503 19600 (3 điểm) +Số cách chọn học sinh đó có cặp anh em sinh đôi là 4.48 0,5 Gọi biến cố A: “Chọn học sinh không có cặp anh em sinh đôi” +Ta có A C 503 4.48 19408 P (A) + A 19408 1213 19600 1225 Câu +Điều kiện x x 1 x (2 điểm) x 1 Phương trình vô nghiệm +Xét x : Đặt x 0.5 0.5 , t 0; cos t Ta có phương trình 1 2 sin t cos t 2 sin t cos t cos t sin t sin t sin 2t sin 2t sin t Đề thi gồm trang (3) 2t k 2 t k 2 4 (k ) 2t k 2 2 t k 0; t x t + cos thỏa x 0.5 Vậy nghiệm phương trình là x Câu 3.1 (3 điểm) +Ta có b2 a6 3 3 a (1) 16 64 b2 b2 b3 b3 c2 b6 3 3 b (2) 16 64 c2 c2 c3 c3 a2 c6 3 3 c (3) 16 64 a2 a2 a3 a3 1.5 +Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta có a b2 c2 (a b c ) 16 12 9 12 P P 16 4 16 P 1.5 Dấu “=” xảy a b c Câu 3.2 Ta có n N * : un 1 un (2 điểm) Dãy (un ) tăng un 1 un , n N * (n 1) 0.5 (un ) tăng un u1 1, n N * 0.25 1 1 1 1.2 2.3 (n 1).n 22 32 n2 1 1 1 1 n n n un 1.0 un , n N * (un ) bị chặn 0.25 Đề thi gồm trang (4) Câu (2 điểm) 0.5 +Ta có P x (y 1)2 x (y 3)2 Đường thẳng : 2x y +Lấy M (x ; y ) , hai điểm A(0; 1), B(0; 3) 0.5 P AM BM A, B nằm cùng phía , lấy A’ đối xứng với A qua 4 7 A ' ; , MA ' MA 5 0.5 + P AM BM A ' M BM A ' B + P A’, B, M thẳng hàng 2 2 Khi M A ' B M ; 3 Vậy P x 0.5 2 ;y 3 Câu 5.1 (4 điểm) a) +Gọi E là trung điểm AB ME / /AD ME (SAB ) AD ( SAB ) (00 900 ) Góc SM và (SAB) là góc MSE +Tính tan : ME AD 2a a2 a SE AS AE a ME 2a tan tan MSE SE 5 a 2 2 Đề thi gồm trang (5) b + AN BM (SAN ) (SBM ) 0.5 Kẻ AK SN AK (SBM ) AK d (A,(SBM )) +Tính AK : S ABM S ABCD (S ADM S BCM ) S ABCD 2S ADM 2a a a 2S S ABM AN BM AN ABM BM 2a 4a 17 a2 4a + 0,5 2a BC BM 0.5 1 4a 4a AK d (A,(SBM )) AK 2 AK SA AN 33 33 Câu 5.2 V : ABC MNP (G , ) + (2 điểm) PN / /BC +Ta có MO PN MO BC 0.5 Tương tự NO PM V (G , ) + 0,5 0.5 O là trực tâm tam giác MNP : H O GO GH H ,G,O thẳng hàng 0.5 V : O I GI GO I ,G,O thẳng hàng (G , ) 2 + 0.5 Vậy H , G, O, I thẳng hàng .HẾT Đề thi gồm trang (6)