SỞ GD&ĐT HÀ NỘI TRƯỜNG THPT ĐAN PHƯỢNG Đề thức (Đề thi có trang) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MƠN: TỐN Năm học: 2018-2019 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu I (6 điểm) 1) Cho parabol ( P ) : y x x ; Tìm giá trị k để đường thẳng : y (k 6) x cắt parabol P hai điểm phân biệt M , N 2 2) Giả sử phương trình bậc hai ẩn x ( m tham số): x 2(m 1) x m (m 1) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn điều kiện x1 x2 Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức sau: cho trung điểm đoạn thẳng MN nằm đường thẳng d : y 2 x P x13 x23 x1 x2 3x1 3x2 Câu II (5điểm): 1) Giải bất phương trình: ( x 1)( x 4) x2 5x 28 ( x R) x y y 2 y 2) Giải hệ phương trình : ( x; y R) 2 2 ( x y ) x xy y x y 2018 2019 Câu III (2 điểm) Cho x 0, y số thay đổi thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ x y biểu thức P x y Câu IV(4 điểm) 1) Cho tam giác ABC có BC a, AC b diện tích S Tính số đo góc tam giác biết S a b2 2) Cho tam giác ABC tam giác có độ dài cạnh a Trên cạnh BC, CA, AB lấy a 2a điểm N , M , P cho BN , CM , AP x x a 3 Tìm giá trị x theo a để đường thẳng AN vng góc với đường thẳng PM Câu IV(3 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thang ABCD với hai đáy AB CD Biết diện tích hình thang 14 ( đơn vị diện tích), đỉnh A 1;1 trung điểm cạnh BC H ;0 Viết phương trình tổng quát đường thẳng AB biết đỉnh D có hồnh độ dương D nằm đường thẳng d : 5x y Hết Trang ĐÁP ÁN Câu I: Câu I Nội dung điểm Điểm Tìm m với parabol y x x Để đường thẳng cắt Parabol hai điểm phân biệt phương trình 2x2 6x 1 4x 6x 1 có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 hay phương trình : 0.75 2x2 kx có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 có k 16 Khi giao điểm M x1 ;(k 6) x1 1 , N x2 ;(k 6) x2 1 nên trung điểm x x ( x 6) x1 ( x 6) x2 đoạn thẳng MN I ; 2 k 3k k k Theo định lý Viet ta có x1 x2 nên I ; 2 4 Do I thuộc đường thẳng y 2 x nên k 8k hay k 4 0.75 0.75 0.75 thỏa mãn toán Giả sử phương trình bậc hai ẩn x ( m tham số); điểm x 2(m 1) x m3 (m 1) (1) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn điều kiện x1 x2 Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức sau: P x13 x23 x1 x2 3x1 3x2 Phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn điều kiện x1 x2 (m 1)2 m3 (m 1) m3 4m 2 m (*) 2 m m x1 x2 2(m 1) Với m thỏa mãn điều kiện (*), áp dụng Viet ta có : Trang 0.75 0.75 x1 x2 2(m 1) x1 x2 m (m 1) Nên P x13 x23 x1 x2 3x1 3x2 8 x1 x2 8x1 x2 8(m 1)3 m3 (m 1)2 3m2 3m m2 2m 1 2m2 5m 16m 40m 0.75 Ta có bảng biến thiên hàm số miền điều kiện Ta có giá trị lớn P 16 m 0.75 Giá trị nhỏ P -144 m 2 Câu II Điểm Câu II Nội dung Đk: x điểm Ta có (1) x 5x 28 24 x 5x 28 0.5 Đặt t x2 5x 28(t 0) 0.5 Bất phương trình trở thành t 5t 24 3 t So sánh điều kiện ta t 0.5 Với t x2 5x 28 64 9 x 0.5 KL (3 điểm) ĐKXĐ: y 1,5 (2) x y 3x y x y ( x 1) ( y 1) 3 2 x 1 y y x 0.5 0.5 Trang Thay vào phương trình thứ ta được; 2 2x 1 x 1 1 x 3x x x x (Có 2 2 x x 1.0 thể bình phương phương trình: ( x 1)2 x x 0) Giải hai pt ta x 1, x Thử lại nghiệm 1.0 KL: Hệ phương trình có hai nghiệm ( x; y) (1; 1),(2 2, 2) Câu III Điểm Câu III Nội dung 2018 2019 P ( x y) x y Có 2018 y 2019 x 2018 2019 x y điểm Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho số đương 0.5 2018y 2019x ta x y 2018 y 2019 x 2018.2019 x y 0.5 Suy P ( 2018 2019)2 x 0; y 2018 2019 GTNN P ( 2018 2019) 10.5 y x 2018 y 2019 x y x x 2018( 2018 2019) y 2019( 2019 2018) Trang 0.5 0,5 Câu IV Câu IV Nội dung Ta có S điểm Điểm 2 a b ab sin C 0,5 a b2 2ab sin C 0,5 (a b) 2ab(1 sin C ) (1) Hai số hạng tổng (1) không âm nên a b a b 1 sin C sin C 0,5 A B 45 C 90 0,5 KL điểm Ta có AN AB BN AB ( AC AB) AB AC 3 0,5 x AC AB a 0,5 x 2 1 AN PM AN PM AB AC AC AB a 3 3 2 2x x AB AC AB AB AC AC 3a 3a 0.5 Ta lại có PM PA AM 5x 4a x KL 6a 15 0.5 Trang Câu V Câu V Nội dung Điểm Gọi E AH DC điểm Dễ thấy HAB HEC S ADE S ABCD 14 13 , AE 2AH 13 , phương trình tổng quát đường thẳng AE: 2x y AH 0.5 0.5 D d D(d ;5d 1), d S ADE d 28 AE d ( D, AE ) 14 d ( D, AE ) d 30 ( L) 13 13 0.5 Suy D(2;11) 0.5 + H trung điểm AE E(2; 1) Phương trình tổng quát CD: 3x y 0.5 Đường thẳng AB qua A song song với CD PT tổng quát AB : 3x y 0.5 Trang ... x y 0.5 Suy P ( 2018 2019) 2 x 0; y 2018 2019 GTNN P ( 2018 2019) 10. 5 y x 2018 y 2019 x y x x 2018( 2018 2019) y 2019( 2019 2018) Trang 0.5 0,5... Câu III Nội dung 2018 2019 P ( x y) x y Có 2018 y 2019 x 2018 2019 x y điểm Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho số đương 0.5 2018y 2019x ta x y 2018 y 2019 x 2018. 2019. .. 2m2 5m 16m 40m 0.75 Ta có bảng biến thi n hàm số miền điều kiện Ta có giá trị lớn P 16 m 0.75 Giá trị nhỏ P -144 m 2 Câu II Điểm Câu II Nội dung Đk: x điểm Ta có (1) x 5x