Đề thi học sinh giỏi Toán 10 năm 2018 – 2019 trường Đan Phượng – Hà Nội

SỞ GD&ĐT HÀ NỘI TRƯỜNG THPT ĐAN PHƯỢNG Đề thức (Đề thi có trang) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MƠN: TỐN Năm học: 2018-2019 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu I (6 điểm) 1) Cho parabol ( P ) : y  x  x  ; Tìm giá trị k để đường thẳng  : y  (k  6) x  cắt parabol  P  hai điểm phân biệt M , N 2 2) Giả sử phương trình bậc hai ẩn x ( m tham số): x  2(m  1) x  m  (m  1)  có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn điều kiện x1  x2  Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức sau: cho trung điểm đoạn thẳng MN nằm đường thẳng d : y  2 x  P  x13  x23  x1 x2  3x1  3x2   Câu II (5điểm): 1) Giải bất phương trình: ( x  1)( x  4)  x2  5x  28 ( x  R)  x  y  y   2 y   2) Giải hệ phương trình :  ( x; y  R) 2 2 ( x  y ) x  xy  y   x  y   2018 2019 Câu III (2 điểm) Cho x  0, y  số thay đổi thỏa mãn   Tìm giá trị nhỏ x y biểu thức P  x  y Câu IV(4 điểm) 1) Cho tam giác ABC có BC  a, AC  b diện tích S Tính số đo góc tam giác biết S   a  b2  2) Cho tam giác ABC tam giác có độ dài cạnh a Trên cạnh BC, CA, AB lấy a 2a điểm N , M , P cho BN  , CM  , AP  x   x  a  3 Tìm giá trị x theo a để đường thẳng AN vng góc với đường thẳng PM Câu IV(3 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thang ABCD với hai đáy AB CD Biết   diện tích hình thang 14 ( đơn vị diện tích), đỉnh A 1;1 trung điểm cạnh BC H   ;0    Viết phương trình tổng quát đường thẳng AB biết đỉnh D có hồnh độ dương D nằm đường thẳng d : 5x  y   Hết    Trang  ĐÁP ÁN Câu I: Câu I Nội dung điểm Điểm Tìm m với parabol y  x  x  Để đường thẳng cắt Parabol hai điểm phân biệt phương trình 2x2  6x 1  4x  6x 1 có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 hay phương trình : 0.75 2x2  kx   có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 có   k  16  Khi giao điểm M  x1 ;(k  6) x1  1 , N  x2 ;(k  6) x2  1 nên trung điểm  x  x ( x  6) x1   ( x  6) x2   đoạn thẳng MN I  ;    2   k  3k  k  k Theo định lý Viet ta có x1  x2  nên I  ;  2 4    Do I thuộc đường thẳng y  2 x  nên k  8k   hay k  4  0.75 0.75 0.75 thỏa mãn toán Giả sử phương trình bậc hai ẩn x ( m tham số); điểm x  2(m  1) x  m3  (m  1)  (1) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn điều kiện x1  x2  Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức sau: P  x13  x23  x1 x2  3x1  3x2   Phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn điều kiện x1  x2    (m  1)2  m3  (m  1)  m3  4m   2  m    (*)  2  m  m   x1  x2  2(m  1)  Với m thỏa mãn điều kiện (*), áp dụng Viet ta có : Trang 0.75 0.75  x1  x2  2(m  1)   x1  x2  m  (m  1) Nên P  x13  x23  x1 x2  3x1  3x2  8   x1  x2   8x1 x2   8(m  1)3  m3  (m  1)2    3m2  3m   m2  2m  1  2m2  5m   16m  40m 0.75 Ta có bảng biến thiên hàm số miền điều kiện Ta có giá trị lớn P 16 m  0.75 Giá trị nhỏ P -144 m  2 Câu II Điểm Câu II Nội dung Đk: x  điểm Ta có (1)  x  5x  28  24  x  5x  28  0.5 Đặt t  x2  5x  28(t  0) 0.5 Bất phương trình trở thành t  5t  24   3  t  So sánh điều kiện ta  t  0.5 Với  t   x2  5x  28  64  9  x  0.5 KL (3 điểm) ĐKXĐ: y  1,5 (2)  x  y  3x  y   x  y    ( x  1)  ( y  1) 3 2  x 1  y   y  x  0.5 0.5 Trang Thay vào phương trình thứ ta được; 2  2x 1   x 1  1  x  3x    x    x     x      (Có 2  2   x   x 1.0 thể bình phương phương trình: ( x  1)2  x  x    0) Giải hai pt ta x  1, x   Thử lại nghiệm 1.0 KL: Hệ phương trình có hai nghiệm ( x; y)  (1; 1),(2  2,  2) Câu III Điểm Câu III Nội dung  2018 2019  P  ( x  y)    x y   Có 2018 y 2019 x  2018    2019 x y điểm Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho số đương 0.5 2018y 2019x ta x y 2018 y 2019 x   2018.2019 x y 0.5 Suy P  ( 2018  2019)2   x  0; y    2018 2019 GTNN P ( 2018  2019)    10.5 y  x  2018 y 2019 x   y  x  x  2018( 2018  2019)   y  2019( 2019  2018) Trang 0.5 0,5 Câu IV Câu IV Nội dung Ta có S  điểm Điểm   2 a  b  ab sin C  0,5   a  b2  2ab sin C 0,5  (a  b)  2ab(1  sin C )  (1) Hai số hạng tổng (1) không âm nên a  b  a  b    1  sin C  sin C  0,5  A  B  45   C  90 0,5 KL điểm Ta có AN  AB  BN  AB  ( AC  AB)  AB  AC 3 0,5 x AC  AB a 0,5 x 2  1  AN  PM  AN  PM    AB  AC    AC  AB   a 3  3  2 2x x  AB  AC  AB  AB  AC  AC  3a 3a 0.5 Ta lại có PM  PA  AM   5x 4a  x KL 6a 15 0.5 Trang Câu V Câu V Nội dung Điểm Gọi E  AH  DC điểm Dễ thấy HAB  HEC  S ADE  S ABCD  14 13 , AE  2AH  13 , phương trình tổng quát đường thẳng AE: 2x  y   AH  0.5 0.5 D  d  D(d ;5d 1), d  S ADE d  28  AE  d ( D, AE )  14  d ( D, AE )     d  30 ( L) 13 13  0.5 Suy D(2;11) 0.5 + H trung điểm AE  E(2; 1) Phương trình tổng quát CD: 3x  y   0.5 Đường thẳng AB qua A song song với CD PT tổng quát AB : 3x  y   0.5 Trang ... x y 0.5 Suy P  ( 2018  2019) 2   x  0; y    2018 2019 GTNN P ( 2018  2019)    10. 5 y  x  2018 y 2019 x   y  x  x  2018( 2018  2019)   y  2019( 2019  2018) Trang 0.5 0,5... Câu III Nội dung  2018 2019  P  ( x  y)    x y   Có 2018 y 2019 x  2018    2019 x y điểm Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho số đương 0.5 2018y 2019x ta x y 2018 y 2019 x   2018. 2019. .. 2m2  5m   16m  40m 0.75 Ta có bảng biến thi n hàm số miền điều kiện Ta có giá trị lớn P 16 m  0.75 Giá trị nhỏ P -144 m  2 Câu II Điểm Câu II Nội dung Đk: x  điểm Ta có (1)  x  5x 