CÔNG PHÁ TOÁN 3 FILE WORD PHẦN (14)

Chủ đề 6: Mặt cầu, mặt trụ, mặt nón The best or nothing III Mặt trụ, hình trụ, khối trụ Khái niệm mặt trụ tròn xoay Trong mặt phẳng ( P ) cho hai đường thẳng ∆ l song song với nhau, cách khoảng r Khi quay mặt phẳng ( P ) xung quanh ∆ đường thẳng l sinh mặt trịn xoay gọi mặt trụ tròn xoay Người ta thường gọi tắt mặt trụ tròn xoay mặt trụ Khi đường thẳng ∆ gọi trục mặt trụ, l gọi đường sinh mặt trụ R gọi bán kính mặt trụ Mặt trụ tập hợp tất điểm M cách đường thẳng ∆ cố định khoảng R không đổi Nếu điểm M nằm mặt trụ đường thẳng l1 qua M song song với ∆ nằm mặt trụ (vì điểm l1 cách ∆ khoảng R) Như đường thẳng l1 đường sinh mặt trụ Hình trụ trịn xoay khối trụ trịn xoay Cắt mặt trụ H, có trục ∆ , bán kính R hai mặt phẳng phân biệt ( P ) ( P ') vuông góc với ∆ , ta giao tuyến hai đường tròn ( C ) ; ( C ') Phần mặt trụ H nằm hai mặt phẳng ( P ) , ( P ') với hai hình tròn xác định ( C ) ; ( C ') gọi hình trụ Hai đường trịn ( C ) ; ( C ') gọi hai đường trịn đáy, hai hình trịn xác định chúng gọi hai mặt đáy hình trụ, bán kính chúng R gọi bán kính hình trụ Khoảng cách hai mặt đáy gọi chiều cao hình trụ Nếu gọi O, O ' tâm hai đáy đoạn thẳng OO ' gọi trục hình trụ Phần mặt trụ nằm hai mặt đáy gọi mặt xung quanh hình trụ Hình trụ phần khơng gian giới hạn hình trụ gọi khối trụ Diện tích hình trụ trịn xoay thể tích khối trụ trịn xoay Chú ý Diện tích xung quanh hình trụ trịn xoay diện tích xung quanh khối trụ giới hạn hình trụ Người ta gọi tổng diện tích xung quanh diện tích hai đáy diện tích tồn phần hình trụ Một hình lăng trụ gọi nội tiếp hình trụ hai đáy hình lăng trụ nội tiếp hai đường trịn đáy hình trụ Khi ta cịn nói hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ Định nghĩa Diện tích xung quanh hình trụ trịn xoay giới hạn diện tích xung quanh hình lăng trụ nội tiếp hình trụ có số cạnh đáy tăng lên vơ hạn Thể tích khối trụ (cịn gọi thể tích hình trụ) giới hạn thể tích hình lăng trụ nội tiếp hình trụ có số cạnh đáy tăng lên vơ hạn LOVEBOOK.VN|35 Cơng Phá Tốn – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Diện tích xung quanh hình trụ tính chu vi đáy nhân với chiều cao: S xq = 2π rl Thể tích khối trụ trịn xoay tính công thức V = B.h = π r h Một số ví dụ mặt trụ Ví dụ 1: Cho hình trụ H có bán kính R, trục OO ' 2R mặt cầu ( S ) có đường kính OO ' a So sánh diện tích mặt cầu diện tích tồn phần hình trụ b So sánh thể tích khối trụ H khối cầu ( S ) Lời giải a Diện tích tồn phần hình trụ bằng: 4π R + 2π R = 6π R Vậy Stp( S ) StpH = b Thể tích khối cầu là: V( S ) = π R 3 Thể tích khối trụ : V( H ) = π R R = 2π R ⇒ V( S ) V( H ) = Ví dụ 2: Cho hình trụ có bán kính đáy R, đường cao OO ' Cắt hình trụ mặt phẳng ( α ) vng góc với đáy cách điểm O khoảng h cho trước ( h < R ) Lúc mặt phẳng ( α ) có tính chất: A Ln tiếp xúc với mặt trụ cố định B Luôn cách mặt phẳng cho trước qua trục hình trụ khoảng h C Cắt hình trụ theo thiết diện hình vng D Cả ba tính chất sai Đáp án A Lời giải Ta có hình vẽ bên: Ta thấy A mặt phẳng ( α ) ln tiếp xúc với mặt trụ có đường cao OO ' bán kính đáy r = h Ví dụ 3: Viết cơng thức tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình trụ có đường cao h, bán kính đáy r có tâm đối xứng trùng với tâm O khối cầu Lời giải Ta có hệ thức R = h2 h2 2 +r ⇒ R = r + 4 4  h2  h2 Vậy V = π R = π  r + ÷ r + 3  4 LOVEBOOK.VN|36 Chủ đề 6: Mặt cầu, mặt trụ, mặt nón The best or nothing Ví dụ 4: Trog hình trụ nội tiếp mặt cầu bán kính R cho trước, tìm hình trụ có thiết diện qua trục lớn Lời giải Gọi bán kính đáy hình trụ x Chiều cao hình trụ y Khi hình trụ nội tiếp mặt cầu tâm mặt cầu trung điểm đoạn O1O2 (với O1 ; O2 tâm hai đáy), từ bán kính mặt cầu x, y có mối quan hệ x2 + y2 = R2 Thiết diện qua trục qua hình trụ hình chữ nhật với hai kích thước 2x y, từ diện tích S thiết diện S = xy Suy S = x y = 16 x Từ S lớn 16 x Mặt khác ta lại có x + x2 = y2 y2 lớn y2 y2 đạt max = R , 16 x 4 R2 y2 R , tức x = = ;y=R 2 Vậy hình trụ nội tiếp mặt cầu tâm I, bán kính R hình trụ có bán kính R chiều cao R có thiết diện qua trục lớn Lúc thiết diện hình vng cạnh R đáy r = Ví dụ 5: Một hình trụ có diện tích tồn phần S Xác định kích thước hình trụ (bán kính đáy chiều cao), cho thể tích khối trụ đạt giá trị lớn Lời giải Gọi bán kính đáy chiều cao hình trụ x, y với x, y > Khi S = 2π x + 2π xy hay y = V = π x2 y = S − 2π x thể tích V khối trụ bằng: 2π x xS − π x , x > Vậy V lớn hàm f ( x ) = Ta có f ' ( x ) = xS − π x lớn S S − 3π x ; f ' ( x ) = ⇔ x = 6π Vậy thể tích khối trụ lớn thiết diện qua trục hình trụ hình vng cạnh S 6π LOVEBOOK.VN|37 Cơng Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Bài tập rèn luyện kỹ I Mặt nón Câu 1: Một hình nón có đường sinh đường kính đáy Diện tích xung quanh hình nón 9π Tính đường cao h hình nón A h = B h = 3 C h = D h = Câu 2: Cho khối nón ( N ) có bán kính đáy diện tích xung quanh 15π Tính thể tích V khối nón ( N ) A V = 12π B V = 20π C V = 36π D V = 60π B 9a 3π C 12π a D 15π a Câu 4: Cho tứ diện ABCD có đường thẳng AD vng góc với mặt phẳng ( ABC ) Hai đường thẳng BD BC vng góc với Khi quay mặt tứ diện xung quanh trục đường thẳng AB Khi số hình nón khác tạo thành là: A B C A 30700cm3 B 92090cm3 C 30697cm3 D 92100cm3 Câu 6: Trong không gian, cho tam giác ABC vuông A, AC = 2a, ABC = 30° Tính độ dài đường sinh hình nón nhận quay tam giác ABC quanh trục AB C l = a B l = a D l = 2a B C D Câu 8: Một hình nón có chiều cao bẳng a bán kính đáy a Tính diện tích xung quanh S xq hình nón A S xq = 2π a B S xq = 3π a C S xq = π a D S xq = 2a Câu 9: Cho tam giác ABC vuông A, AB = 3a, AC = 4a Gọi M trung điểm AC Khi quay quanh AB, đường gấp khúc AMB, ACB sinh hình nón có diện tích xung quanh S1 S2 A S1 13 = S2 10 B S1 = S2 C S1 = S2 D S1 = S2 Câu 10: Cho hình chóp S ABC có cạnh đáy a, góc mặt bên đáy 60° Tính diện tích xung quanh S xq hình nón đỉnh S có đáy hình trịn ngoại tiếp tam giác ABC A S xq = π a2 3 B S xq = π a 10 C S xq = π a2 D S xq = π a2 D Câu 5: Một hình nón có bán kính đường trịn đáy 40cm , độ dài đường sinh 44cm Thể tích khối nón có giá trị gần A l = 4a A S1 , S Tính tỉ số Câu 3: Một hình nón có bán kính đường trịn đáy 3a đường sinh 5a Thể tích khối nón là: A 5a 3π Câu 7: Cho khối nón đỉnh O, trục OI Mặt phẳng trung trực OI chia khối nón thành phần Tỉ số thể tích hai phần là: Câu 11: Trong khơng gian, cho tam giác ABC vuông A, AB = 6a, AC = 8a Tính độ dài đường sinh l hình nón nhận quay tam giác ABC xung quanh trục AB A l = 10a B l = 100a C l = 12a D l = 14a Câu 12: Nếu hình nón có độ dài đường sinh l Thiết diện qua trục tam giác vuông, tìm thể tích khối nón A V = π l3 B V = π l3 LOVEBOOK.VN|38 Chủ đề 6: Mặt cầu, mặt trụ, mặt nón C V = π l3 12 D V = The best or nothing π l3 12 A 9π cm B 3π cm C 18π cm3 D 27π cm3 B 3π cm C 2π cm D π cm C B 3π a π a3 D π a3 Câu 16: Một khối nón tích 30π Nếu giữ ngun chiều cao tăng bán kính mặt đáy khối nón lên hai lần thể tích khối nón bằng: A 120π B 60π C 40π A 24π a C 40π a B 20π a D 12π a Câu 18: Cho hình nón trịn xoay ( N ) có đỉnh S đáy hình trịn tâm O bán kính r nằm mặt phẳng ( P ) , đường cao SO = h Điểm O ' thay đổi đoạn SO cho SO ' = x ( < x < h ) Hình trụ trịn xoay ( T ) có đáy thứ hất hình trịn tâm O bán kính r ( < r ' < r ) nằm mặt phẳng ( P) , đáy thứ hai hình trịn tâm O ' bán kính r ' nằm mặt phẳng ( Q ) , ( Q ) vng góc với SO O ' (đường tròn đáy thứ hai ( T ) giao tuyến ( Q) với mặt xung quanh ( N ) ) Hãy xác định giá trị x để thể tích phần khơng gian nằm phía LOVEBOOK.VN|39 B x = h C x = h D x = h A Mặt trụ mặt nón có chứa đường thẳng B Mọi hình chóp ln nội tiếp mặt cầu D Ln có hai đường trịn bán kính nằm mặt nón Câu 20: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh a Tính thể tích V khối nón có đỉnh S đường tròn đáy đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD? A V = π a3 B V = 2π a C V = π a3 D V = 2π a Câu 21: Cho hình nón S có chiều cao h = a bán D 480π Câu 17: Cho hình nón có bán kính đáy 4a, chiều cao 3a Diện tích xung quanh hình nón bằng: h C Có vơ số mặt phẳng cắt mặt cầu theo đường tròn Câu 15: Tam giác ABC vng B có AB = 3a, BC = a Khi quay hình tam giác xung quanh đường thẳng AB góc 360° ta khối trịn xoay Thể tích khối trịn xoay là: A π a A x = Câu 19: Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? Câu 14: Cho hình nón có độ dài đường sinh 2cm, góc đỉnh 60° Diện tích xung quanh hình nón là: A 6π cm phía ngồi ( T ) đạt giá trị nhỏ Câu 13: Cho hình nón có chiều cao 3cm , góc trục đường sinh 60° Thể tích khối nón là: ( N) kính đáy r = 2a Mặt phẳng ( P ) qua S cắt đường tròn đáy A B cho AB = 3a Tính khoảng cách d từ tâm đường tròn đáy đến ( P) A d = 3a B d = a C d = 5a D d = 2a Câu 22: Cho tứ diện ABCD có cạnh 3a Hình nón ( N) có đỉnh A đường trịn đáy đường trịn ngoại tiếp tam giác BCD Tính diện tích xung quanh S xq ( N ) A S xq = 6π a B S xq = 3π a C S xq = 12π a D S xq = 3π a II Mặt trụ Cơng Phá Tốn – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Câu 23: Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông A, AC = a, ACB = 60° Đường thẳng BC ' tạo với ( ACC ' A ') góc 30° Tính thể tích V khối trụ ABC A ' B ' C ' a3 3 A V = a B V = C V = 3a D V = a 3 π a 2h C V = 3π a h B V = π a 2h D V = π a h Câu 25: Một hình trụ trịn xoay có đường sinh đường kính đường trịn đáy Diện tích xung quanh hình trụ là: A 12π B 10π C 8π D 16π Câu 26: Cho hình trụ có bán kính r chiều cao h Viết cơng thức diện tích tồn phần Stp hình trụ A Stp = π r ( 2r + h ) B Stp = 2π r ( r + h ) C Stp = π r ( r + h ) D Stp = π r ( r + 2h ) Câu 27: Một hình trụ có bán kính R, chiều cao R Tính diện tích S thiết diện song song cách trục hình trụ khoảng A S = R2 R2 C S = B S = R R2 3 D S = R qua trục hình vng cạnh 2a Mặt phẳng ( P) a song song với trục cách trục khoảng Tính diện tích thiết diện hình trụ cắt ( P ) B a A B 2R 2R C 3a D π a D 2R Câu 30: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2a , BC = 3a Gọi M, N điểm cạnh AD, BC cho MA = 2MD, NB = NC Khi quay quanh AB đường gấp khúc AMNB, ADCB sinh hình trụ có diện tích tồn phần S1 , S Tính tỉ số S1 S2 A S1 12 = S 21 B S1 = S2 C S1 = S2 D S1 = S 15 Câu 31: Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' , có đáy tam giác cạnh 2a, khoảng cách hai đáy 3a Thể tích khối trụ ngoại tiếp hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' là: A π a B 2π a C 3π a D 4π a Câu 32: Trong khơng gian cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1, AD = Gọi M, N trung điểm AD BC Quay hình chữ nhật xung quanh trục MN ta hình trụ Tính diện tích tồn phần hình trụ đó? A 10π B 4π C 2π D 6π Câu 33: Khối trụ có thiết diện qua trục hình vng cạnh a = 2cm tích là: Câu 28: Cho hình tụ có trục OO ', có thiết diện A a R Mặt phẳng ( P ) qua OO ' cắt hình trụ theo thiết diện có diện tích bao nhiêu? C 2R Câu 24: Cho hình lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có độ dài cạnh đáy a chiều cao h Tính thể tích V khối trụ ngoại tiếp lăng trụ cho A V = Câu 29: Một hình trụ có hai đáy hai hình trịn tâm O O ' có bán kính R chiều cao A 3π cm3 B 4π cm3 C 2π cm3 D π cm3 Câu 34: Cho hình trụ có bán kính đường đáy chiều cao 2cm Diện tích xung quanh hình trụ bằng: 8π cm B 4π cm C 2π cm D 8π cm A Câu 35: Một hình trụ có bán kính 5cm chiều cao 7cm Cắt hình trụ mặt phẳng ( P ) song LOVEBOOK.VN|40 Chủ đề 6: Mặt cầu, mặt trụ, mặt nón The best or nothing song với trục cách trục 3cm Diện tích thiết diện tạo hình trụ mặt phẳng ( P ) bằng: A 112cm B 28cm C 54cm D 56cm Câu 36: Một hình trụ có tâm đáy A, B Biết mặt cầu đường kính AB tiếp xúc với mặt đáy hình trụ A, B tiếp xúc với mặt xung quanh hình trụ Diện tích mặt cầu 16π Tính diện tích xung quanh hình trụ cho 16π A B 16π Câu 37: Một hình nón có độ dài đường sinh 2a mặt phẳng qua trục cắt hình nón theo thiết diện tam giác vng Tính thể tích V khối nón A V = 2π a 3 B V = 3π a 3 C V = 3π a 3 D V = 2π a 3 ( ) A S xq = 576π B S xq = 10 11 + π C S xq = 26π D S xq = 11 + π ) III Ứng dụng thực tế Câu 39: Một trục lăn sơn nước có dạng hình trụ Đường kính đường trịn đáy 5cm, chiều dài lăn 23cm (hình bên) Sau lăn trọn 15 vịng trục lăn tạo nên sân phẳng diện diện tích là: A 1725π cm B 3450π cm C 1725π cm D 862,5π cm LOVEBOOK.VN|41 C V = D V = ( ) 125 + π ( ) 125 + 2 π 12 ( ) 125 + π 24 ( ) 125 + π Câu 41: Một thùng hình trụ tích 48π , chiều cao Diện tích xung quanh thùng là: Câu 38: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' có AD = 8, CD = 6, AC ' = 12 Tính diện tích tồn phần hình trụ có hai đường tròn đáy hai đường tròn ngoại tiếp hai hình chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' ( A V = B V = 8π D C 8π Câu 40: Cho hai hình vng có cạnh xếp chồng lên cho đỉnh X hình vng tâm hình vng cịn lại (như hình vẽ bên) Tính thể tích V vật thể trịn xoay quay mơ hình xung quanh trục XY A 12π B 24π C 4π D 18π Câu 42: Người ta cần đổ ống nước hình trụ với chiều cao 200cm , độ dày thành ống 15cm, đường kính ống 80cm Lượng bê tơng cần phải đổ là: A 0,195π m3 B 0,18π m3 C 0,14π m3 D π m3 Câu 43: Người ta xếp viên bi có bán kính r lọ hình trụ cho tất viên bi tiếp xúc với đáy, viên bi nằm tiếp xúc với viên bi xung quanh viên bi xung quanh tiếp xúc với đường sinh lọ hình trụ Tính diện tích đáy S lọ A S = 16π r B S = 25π r C S = 9π r D S = 36π r Câu 44: Một tháp khổng lồ có thân hình trụ mái nửa hình cầu Người ta muốn sơn toàn mặt thắp (kể mái) Tính diện tích S cần sơn (làm trịn đến mét vng) Cơng Phá Tốn – Lớp 12 Ngọc Huyền LB A S = 8143 ( m ) B S = 11762 ( m ) A r = ( m ) B r = 16 ( m ) C S = 12667 ( m ) D S = 23524 ( m ) C r = 32 ( m ) D r = ( m ) Câu 45: Một bồn nước inox thiết kế có dạng hình trụ (có nắp) đựng dược 10 mét khối nước Tìm bán kính r đáy bồn nước biết lượng inox sử dụng để làm bồn nước nhất? A r = π ( m) 10 C r = ( m) π B r = 2π ( m) D r = 25π ( m) Câu 46: Một cốc nước hình trụ có chiều cao cm, đường kính cm, mặt đáy phẳng dày cm, thành cốc dày 0,2 cm Đổ vào cốc 120 ml nước, sau thả vào cốc viên bi có đường kính cm Hỏi mặt nước cốc cách mép cốc (làm tròn đến hai chữ số sau dấu phẩy)? A 3, 67 cm B 2, 67 cm C 3, 28 cm D 2, 28 cm Câu 47: Một bình đựng nước dạng hình nón (khơng có nắp đáy), đựng đầy nước Biết chiều cao bình gấp lần bán kính đáy Người ta thả vào bình khối trụ đo thể tích nước 16π dm3 ) Biết mặt trào ( khối trụ nằm mặt đáy hình nón khối trụ có chiều cao đường kính đáy hình nón (như hình vẽ dưới) Tính bán kính đáy R bình nước Câu 49: Cho hai hình trụ có thể tích Bán kính hình trụ thứ hai lớn 10% so với bán kính hình trụ thứ Hỏi mối quan hệ chiều cao hai hình trụ nào? A Chiều cao thứ hai nhỏ 21% so với chiều chao thứ B Chiều co thứ lớn 21% so với chiều cao thứ hai C Chiều cao thứ lớn 10% so với chiều cao thứ hai D Chiều cao thứ hai nhỏ 10% so với chiều cao thứ Câu 50: Một bìa gồm nửa hình trịn bán kính R uốn cong lại cho hai bán kính sát vào tạo thành hình nón Tính thể tích khối nón tạo thành A V = π R3 22 B V = π R3 24 C V = π R3 12 D V = π R3 25 Câu 51: Một nồi nấu nước người ta làm dạng hình trụ, chiều cao nồi 60cm, diện tích đáy 900π cm Hỏi người cần miếng kim loại hình chữ có kích thước để tâm nồi đó? (bỏ qua kích thước mép gấp) A Chiều dài 180cm , chiều rộng 60cm B Chiều dài 900cm , chiều rộng 60cm C Chiều dài 30π cm , chiều rộng 60cm D Chiều dài 60π cm , chiều rộng 60cm A R = ( dm ) B R = ( dm ) C R = ( dm ) D R = ( dm ) Câu 48: Một nhà máy cần thiết kế bể đựng nước hình trụ tơn tích 64π ( m3 ) Tìm bán kính đáy r hình trụ cho hình trụ làm tốn nhiên liệu Câu 52: Khi sản xuất vỏ lon sữa hình trụ, nhà sản xuất ln đặt mục tiêu cho chi phí ngun liệu vỏ lon hình trụ nhỏ Muốn thể tích lon sữa dm3 nhà sản xuất cần phải thiết kế hình trụ có bán kính đáy R để chi phí nguyên liệu thấp nhất? A ( dm ) 2π B ( dm ) 3π C ( dm ) π D ( dm ) π LOVEBOOK.VN|42 Chủ đề 6: Mặt cầu, mặt trụ, mặt nón Câu 53: Một phễu có dạng hình nón Người ta đổ lượng nước vào phễu cho chiều cao lượng nước phễu chiều cao phễu Hỏi bịt kín miệng phễu đảo lộn ngược phễu lên chiều cao nước bao nhiêu? Biết chiều cao phễu 15 cm A 0,3 ( cm ) B 0,5 ( cm ) C 0, 216 ( cm ) D 0,188 ( cm ) Câu 54: Một xơ inox có dạng hình vẽ Đáy có đường kính 42cm, đáy có đường kính 18cm, cạnh bên AB = 36cm Tính diện tích xung quanh xơ A 1080π ( cm ) B 1323π ( cm C 1440π ( cm D 486π ( cm ) ) LOVEBOOK.VN|43 ) The best or nothing Cơng Phá Tốn – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Hướng dẫn giải chi tiết I Mặt nón Vậy V = π 9a 4a = 12π a Câu 1: Đáp án A Câu 4: Đáp án D Ta có: AD ⊥ BC DB ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( ADB ) ⇒ BC ⊥ AB Các hình nón tạo thành là: Hình nón tâm B, đường cao AB, đường sinh AC Câu 5: Đáp án A S = π r.l ⇔ 9π = π r.2r 1 V = π r h = π r l − r 3 ⇔ = 2.r ⇔ = r 2 Lại có: t = h + r ⇔ ( 2r ) = h + r 2 2 ⇔ 3r = h ⇔ ⇒ h2 = r2 = π 402 442 − 402 ≈ 30713 ( cm3 ) Câu 6: Đáp án A h2 27 3 = ⇔ h2 = ⇒h= = 2 2 Câu 2: Đáp án A Khi quay ∆ABC quanh trục AB l = BC = S xq = π r.l ⇔ 15π = π r.l ⇒ l = 2a = 4a sin 30° Câu 7: Đáp án D ⇒ h = 52 − 32 = 1 ⇒ V = π r h = π 32.4 = 12π 3 Câu 3: Đáp án C Ta có h = ( 5a ) − ( 3a ) = 4a Gọi V1 thể tích mặt nón tâm E, h = OE Gọi V2 thể tích mặt nón tâm I, h = OI V1 OE.EH = = V2 OI IK LOVEBOOK.VN|44 Chủ đề 6: Mặt cầu, mặt trụ, mặt nón Vậy tỉ số hai phần thể tích là: 1 = −1 The best or nothing Câu 11: Đáp án A Câu 8: Đáp án A S xq = π r.l = π r h + r = π a ( a 3) + a = 2π a Câu 9: Đáp án A Ta có S xq = π rl để tính tỉ số hai diện tích xung quanh ta cần xét: l = BC = AB + AC = 10a Câu 12: Đáp án C π r l π r π   π l V= = =  = 3  2÷ 12  13 S1 r1l1 2a ( 3a ) + ( 2a ) = = = 10 S r2l2 4a.5a 2 Câu 13: Đáp án D Câu 10: Đáp án D r = 3.tan 60° = 3 ( cm ) V= Gọi M trung điểm AC G trọng tâm ∆ABC π r h = ( ) π 3 3 = 27π ( cm3 ) Câu 14: Đáp án C ⇒ SG ⊥ ( ABC ) ⇒ SMG = 60° a a MG = = ⇒ SG = MG.tan SMG = a a tan 60° = Ta có bán kính mặt nón đỉnh S là: r = AG = a a = 3 Câu 15: Đáp án A ⇒ S xq = π r.l = π AG.SA = π a SG + AG a a a 3 π a2 = π  ÷ +  = ÷ 2  ÷  LOVEBOOK.VN|45 r = 2.sin 30° = ⇒ S xq = π r.l = π 1.2 = 2π ( cm ) Cơng Phá Tốn – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Gọi O = AC ∩ BD ⇒ SO ⊥ ( ABCD ) (do S.ABCD hình chóp tứ giác đều) π a 3a V = π BC AB = = π a3 3 Ta có AC = AB = a 2 = 2a ⇒ OA = OC = Câu 16: Đáp án A V1 = 30π = π r h ⇒ SO = SA2 − OA2 = ( a 2) V2 = π ( 2r ) h ⇒ V2 = 4V1 = 120π Bán kính đáy hình nón Câu 17: Đáp án B r= S xq = π r.l = π r h + r = π 4a ( 4a ) + ( 3a ) = 20a 2π AC =a − a = a AB π a2 (đvtt) = Sđáy = r = 2 Vậy thể tích hình nón 1 π a a3 (vtt) V = SO.S đáy = a = 3 Câu 18: Đáp án C Câu 21: Đáp án D Áp dụng định lý Thales ta có: x r' xr = ⇒ r'= h r h Khi ta có cơng thức tính thể tích khối trụ V = f ( x ) = π ( r ') ( h − x ) = π r2 x ( h − x ) h2 Khi f '( x) = Gọi O tâm đáy hình nón, H trung điểm AB nên OH ⊥ AB Ta có πr 2h 2hx − x ) = ⇔ x = x > ( h Đến ta chọn C AB ⊥ OH , AB ⊥ SO ⇒ AB ⊥ ( SOH ) ⇒ ( SAB ) ⊥ ( SOH ) Câu 19: Đáp án B Trong mặt phẳng ( SOH ) : KẺ OI ⊥ SH , ( I ∈ SH ) Câu 20: Đáp án C Suy OI ⊥ ( SAB ) ⇒ OI = d ( O; ( SAB ) ) Ta có  AB  SO = h = a, OH = r −  ÷   = ( 2a ) ( − a ) =a ⇒ ∆SOH vuông cân O LOVEBOOK.VN|46 Chủ đề 6: Mặt cầu, mặt trụ, mặt nón ⇒ SH = a ⇒ OI = a SH = 2 Vậy d ( O; ( SAB ) ) = OI = ⇒ VABC A ' B 'C ' = Đáy khối trụ đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Bán kính đáy hình nón bán kính R đường trịn ngoại tiếp ∆BCD cạnh 3a.Ta có S ∆BCD S ∆BCD = ⇒R= ( 9a ) = Vậy bán kính đường trịn R = a Khi a 3 π a h h = thể tích khối trụ V = π  ÷ ÷   (đvtt); BC.CD.BD 4R BC.CD.BD = S ∆BCD AA ' AB AC 2a.a.a = = a 2 Câu 24: Đáp án B 2a Câu 22: Đáp án B ( 3a ) = The best or nothing Câu 25: Đáp án D ( 3a ) S xq = l.π ( 2r ) = 4π = 16π 9a 4 = a Câu 26: Đáp án B Stp = h.π ( 2r ) + 2π r = 2π r ( h + r ) Chiều cao hình nón chiều cao tứ diện ABCD Ta có h = Câu 27: Đáp án D 3a = a Trong toán ta sử dụng công thức: Chiều cao khối tứ diện cạnh x h = x II Mặt trụ Câu 23: Đáp án A R 3 R a = R −  = ⇒ S = 2a.R = R ÷ ÷   Câu 28: Đáp án C Vì BA ⊥ AC BA ⊥ AA ' nên AB ⊥ ( ACC ' A ') ⇒ BC ' A = 30° ⇒ BA = AC '.tan 30° ⇔ AC.tan 60° = AC '.tan 30° ⇒ AC ' = 3a ⇒ AA ' = LOVEBOOK.VN|47 ( 3a ) − a = 2a a a x = a − ÷ = ⇒ S = x.2 a = a 3.2a 2 = 2a Câu 29: Đáp án B Cơng Phá Tốn – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Câu 34: Đáp án D S xq = 2π r.h = 2π 2.2 = 8π ( cm ) Câu 35: Đáp án D S = R.R = 2 R Câu 30: Đáp án D a = 52 − 32 = ( cm ) Vậy diện tích thiết diện là: S = 2.4.7 = 56 ( cm ) Câu 36: Đáp án B Hình trụ có diện tích tồn phần S1 , đường sinh MN = 2a bán kính đường trịn đáy AM = 2a Diện tích tồn phần S1 = 2π AM MN + 2π AM = 16π a Ta có 4π r = 16π ⇔ r = Vậy S xq trô = 2π 2.4 = 16π Câu 37: Đáp án A Hình trụ có diện tích tồn phần S , đường sinh DC = 2a bán kính đường trịn đáy AD = 3a Diện tích tồn phần S = 2π AD.DC + 2π AD = 30π a Vậy S1 16 = = S 30 15 Câu 31: Đáp án D Câu 32: Đáp án B Ta có: 2r = 2a ⇒ r = a h = r = a ⇒V = π π 2a 3π r h = 2a a = 3 Câu 38: Đáp án B Đường chéo hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' là: Stp = 2π MD AB + ( 2π MD ) = 2π ( + 1) = 4π AC '2 = AB + AD +AA '2 Câu 33: Đáp án C ⇔ AA ' = AC '2 − AB − AD = 122 − 62 − 82 Ta có: r = 1( cm ) h = ( cm ) = 11 ⇒ V = π r h = 2π ( cm3 ) LOVEBOOK.VN|48 Chủ đề 6: Mặt cầu, mặt trụ, mặt nón The best or nothing Ta có AC = AD + CD = 82 + = 10 ⇒ Bán kính đường trịn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD AC R= = Ta thấy khối nón cụt có đáy nhỏ đáy khối trụ, đáy lớn đáy khối nón, gọi đáy nhỏ Hình trụ có hai đường trịn đáy hai đường trịn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' nên có bán kính đáy R = , chiều cao Vậy thể tích khối nón cụt là: h = AA ' = 11 Diện tích tồn phần hình trụ là: Stp = 2π Rh + 2π R = 2π 5.2 11 + 2π 52 ( ) r, đáy lớn R Khi r = 5 R = 2 h hπ V2 = B + B '+ B.B ' = ( R + r + Rr ) 3 ( = ( ) ) −  52 52.2 5  +  + ÷.π 2 ÷   ( )π 125 2 − = 10 11 + π (đvtt) = III Ứng dụng thực tế Thể tích khối nón Câu 39: Đáp án B 5  125 V3 =  π = π ÷  ÷  24 Diện tích xung quanh mặt trụ là: S xq = 2π Rl = 2π 5.23 = 230π cm Vậy thể tích khối cần tìm : Sau lăn 15 vịng diện tích phần sơn V = V1 + V2 + V3 = S = 230π 15 = 3450π cm Câu 40: Đáp án C Khi quanh xung quanh trục XY ta vật thể tròn xoay bên dưới: ( 125 + 24 ) π Câu 41: Đáp án B V = 48π = h.S ® Do h = ⇒ S ® = 16π ⇒ R = S xq = 2π R.h = 2π 4.3 = 24π Câu 42: Đáp án A Số lượng bê tông cần đổ tích là: ( ) V = π 0, 42 − π ( 0, − 0,15 ) = 0,195π ( m3 ) Câu 43: Đáp án C Phân tích: Khi quay quanh trục XY thể tích khối trịn xoay thu tổng ba khối: Khối trụ phía cùng, khối nón cụt giữa, khối nón Lời giải: 125π 5 Thể tích khối trụ là: V1 = π  ÷ = 2 Bán kính đáy hình trụ là: R = r + 2r = 3r ⇒ S® = π R = 9π r Câu 44: Đáp án A Diện tích xung quanh khối cầu là: Sc = 4π 24 = 2340π Diện tích xung quanh khối trụ là: St = 48.π 30 = 1440π Vậy diện tích cần sơn là: LOVEBOOK.VN|49 Cơng Phá Toán – Lớp 12 S= Ngọc Huyền LB Sc + St = 2592π ≈ 8243 ( m3 ) 2 Xét f ( x ) = 2π x + Câu 45: Đáp án A Ta có: V = 10 ( m ) ⇒ π R h = 10 ⇔ h = 10 π R2 10π 20 = 2π R + πR R Xét f ( x ) = 2π x + f ( x ) = 4π x − f ' ( x ) = f ( x ) = 4π x − 128π x2 f ' ( x ) = ⇔ x = 32 Vậy f ( x ) đạt giá trị nhỏ x = 32 Stp = S ®+ S xq = 2π R + R.hπ = 2π R + R 128π x Câu 49: Đáp án B V1 = V2 ⇔ π R12 h1 = π R22 h2 ⇔ R2 = 20 x 110 R1 100 20 ⇒ f '( x) = ⇔ x = x π Câu 46: Đáp án D h R  ⇒ =  ÷ = 1,12 = 1, 21 h2  R1  Câu 50: Đáp án B Khối nón có r = Dung tích cốc là: V = π 2,82.8 πR R = 2π Lúc h = R − Thể tích nước bi là: R2 R = 4 V1 = 120 + .π 13 R R π R3 Khi V = π = 24 Thể tích trống cốc là: V − V1 Câu 51: Đáp án D Vậy mặt nước cách thành cốc:  h = 60 ( cm ) ⇒ S® = π R ⇒ R = 30 ( cm )   S ® = 900π ( cm ) V − V1 ≈ 2.28 π 2,82 Câu 47: Đáp án C Gọi bán kính đáy R ⇒ Chiều cao nón 3R Vì chiều cao hình trụ 2R ⇒ Rtrơ Rnãn = Vậy cần hình nhật có chiều dài 60π cm chiều rộng 60cm Câu 52: Đáp án A Stp = S ®+ S xq = 2π R + 2π R.h 3R − R R = ⇒ Rtrô = 3R 3 Mà V = 1dm ⇒ π R h = ⇒ h = ⇒ Vtrô = π Rtrô Mà Vtrô = 2 R h = π  ÷ R = π R 3 16 π ⇒ R = R Xét f ( x ) = 2π x + Câu 48: Đáp án C Vtrô = 64π ( m3 ) ⇒ π R h = 64π ⇔ h = Stp = 2π R + 2π Rh = 2π R S xq = 2π R + 64 R2 64 128 = 2π R + R R π R2 f ' ( x ) = 4π x − x x2 f '( x) = ⇔ x = 2π LOVEBOOK.VN|50 Chủ đề 6: Mặt cầu, mặt trụ, mặt nón Do R = tiết kiệm chi phí 2π Câu 53: Đáp án D Ta tính phần thể tích nước đổ vào ban đầu: Vn = π Rn2 hn  Rn 2  R = V  R h πR h ⇒ Vn = π  ÷ = ⇒ Vn = nãn Do  27 27 3  hn =  h Khi lật ngược nón ta có hình nón nhỏ lớn Thể tích khối nón nhỏ là: V = Vnãn − Vn = 26Vnãn 27 Giả sử R1 bán kính đáy nón nhỏ h1 đường cao nón nhỏ ⇒ R1 h1 = = k ⇒ Thể tích khối nón nhỏ là: R h V = π R12 h1 = π k R k h = k 3π R h = k Vnãn 3 26 26 26 ⇒k = ⇒ h1 = h = 14,812 ( cm ) 27 3 Do chiều cao nước là: 15 − 14,812 = 0,188 ( cm ) ⇒ k3 = Câu 54: Đáp án A Ta có S xq = π ( R + r ) l = π ( 21 + ) 36 = 1080π LOVEBOOK.VN|51 The best or nothing ... l3 B V = π l3 LOVEBOOK.VN |38 Chủ đề 6: Mặt cầu, mặt trụ, mặt nón C V = π l3 12 D V = The best or nothing π l3 12 A 9π cm B 3? ? cm C 18π cm3 D 27π cm3 B 3? ? cm C 2π cm D π cm C B 3? ? a π a3 D π a3...  = 3  2÷ 12  13 S1 r1l1 2a ( 3a ) + ( 2a ) = = = 10 S r2l2 4a.5a 2 Câu 13: Đáp án D Câu 10: Đáp án D r = 3. tan 60° = 3 ( cm ) V= Gọi M trung điểm AC G trọng tâm ∆ABC π r h = ( ) π 3 3 = 27π... R chiều cao A 3? ? cm3 B 4π cm3 C 2π cm3 D π cm3 Câu 34 : Cho hình trụ có bán kính đường đáy chiều cao 2cm Diện tích xung quanh hình trụ bằng: 8π cm B 4π cm C 2π cm D 8π cm A Câu 35 : Một hình trụ