Bài 3 THỂ TÍCH KHỐI đa DIỆN

BÀI THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN A LÍ THUYẾT Cơng thức tính thể tích khối chóp, lăng trụ V Sđáy.h Th tớch chúp: Trong ú: Sđáy : Din tớch mt ỏy; h: dài chiều cao khối chóp Thể tích khối lăng tr: Trong ú: Sđáy V Sđáy.h : Din tớch mặt đáy; h: Chiều cao khối chóp Chú ý: Lăng trụ đứng có chiều cao cạnh bên Thể tích khối hộp chữ nhật: V  abc Thể tích khối lập phương: V  a3 CÁC CƠNG THỨC HÌNH PHẲNG CẦN NẮM Hệ thức lượng tam giác a) Cho ABC vuông A, đường cao AH 2 +) AB  AC  BC ; +) AC  CH.BC ; +) AH.BC  AB.AC ; +) AB  BH.BC ; +) AH  BH.HC ; 1   2 AB AC2 ; +) AH +) AB  BC.sinC  BC.cosB  AC.tanC  AC.cot B Trang 600 b) Cho ABC có độ dài ba cạnh a, b, c; độ dài trung tuyến ma, mb, mc ; bán kính đường trịn ngoại tiếp R; bán kính đường tròn nội tiếp r, nửa chu vi p +) Định lí hàm số cosin: a2  b2  c2  2bc.cosA ; b2  c2  a2  2ca.cosB ; c2  a2  b2  2ab.cosC a b c    2R +) Định lí hàm số sin: sin A sin B sinC +) Độ dài trung tuyến: ma2  b2  c2 a2 c2  a2 b2 a2  b2 c2  ; mb2   ; mc2   4 Các cơng thức tính diện tích a) Tam giác: 1 S  a.ha  bh b  c.hc 2 +) 1 S  bcsin A  casin B  absinC 2 +) +) S abc 4R +) S  pr (p: nửa chu vi tam giác) +) S p p  a  p  b  p  c +) ABC vuông A: S AB.AC BC.AH  2 AH  a a2 , S +) ABC đều, cạnh a: b) Hình vng: S  a (a: cạnh hình vng) c) Hình chữ nhật: S  ab (a, b: hai kớch thc) d) Hỡnh bỡnh hnh: Ã S đ áy  chiÒu cao =AB.AD.sin BAD · S  AB.AD.sin BAD  AC.BD e) Hình thoi: S   a  b h f) Hình thang: (a, b: hai đáy, h: chiều cao) g) Tứ giác có hai đường chéo vng góc: S AC.BD Trang 601 NHẮC LẠI CÁCH XÁC ĐỊNH CAC GĨC TRONG KHƠNG GIAN Góc cạnh bên mặt phẳng đáy ·SA,  P   , ta gọi H hình chiếu vng Để tính góc  P  Khi HA hình chiếu vng góc góc S SA  P ·SA, P  ·SA, AH  SAH     · Vậy  Góc cạnh bên mặt đứng Để tính góc ·SB,  SAH   biết  SAH    P  ta dựng  BK  AH  BK  AH  K  AH  BK   SAH  Vì  BK  SH nên Khi K hình chiếu vng góc B  SAH   SK hình chiếu vng góc SB  SAH  Vậy · ·SB,  SAH    ·SB, SK   BSK Góc hai mặt phẳng Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng thuộc hai mặt phẳng vng góc với giao tuyến Góc mặt bên mặt phẳng đáy · SAB  ,  P   , ta gọi H hình chiếu vng Để tính góc góc S Kẻ  P HI  AB  I  AB   AB  HI   AB   SHI   AB  SI  AB  SH Vậy · · SAB  ,  P    ·SI , HI   SIH Góc mặt bên mặt đứng Để tính góc · SAB  ,  SAH   biết  SAH    P  , ta kẻ  BK  HA BK  HA  K  HA     BK   SHA   BK  SH Trang 602 Kẻ KI  SA  I  SA   SA  KI   SA   BKI   SA  BI  SA  BK Vậy · · SAB  ,  SAH    ·KI , BI   BIK II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Thể tích khối chóp có cạnh bên vng góc với đáy Phương pháp Hình chóp có cạnh bên vng góc với đáy, cạnh bên chiều cao khối chóp MƠ HÌNH Hình chóp S ABC , cạnh SA vng góc với đáy + Đáy tam giác ABC + Đường cao SA + Cạnh bên SB, SC, SA + SAB , SAC tam giác vng A · + Góc cạnh SB với đáy ABC góc SBA · + Góc cạnh SC với đáy ABC góc SCA · + Góc mặt bên SBC với đáy góc SHA với H hình chiếu vng góc A BC MƠ HÌNH Hình chóp S ABCD , có đáy ABCD hình chữ nhật (hình vng) SA vng góc với đáy + Đáy hình chữ nhật (hình vng) ABCD + Đường cao SA + Cạnh bên SA, SB, SC, SD + SAB, SAC , SAD tam giác vuông A · + Góc cạnh SB với đáy ABCD SBA · + Góc cạnh SC với đáy ABCD SCA · + Góc cạnh SD với đáy ABCD SDA + Góc mặt bên SBC với đáy ABCD · SBA Trang 603 · SBA + Góc mặt bên SCD với đáy ABCD · SDA Bài tập Bài tập Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng Cạnh bên SA = a vng góc với a2 đáy Diện tích tam giác SBC Thể tích khối chóp cho A a a3 B a3 C 2a3 D Lời giải Chọn C Đặt cạnh hình vng x > 2 2 Suy SB = SA + AB = a + x a2 1 = SD ABC = SB.BC = a + x2 x ắắ đ x = a BC ^ ( SAB) Þ BC ^ SB 2 Dễ thấy nên ta có a3 VS.ABCD = SABCD SA = 3 Vậy thể tích khối chóp: Bài tập Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy a SBC ) khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( Thể tích khối chóp cho A a B a3 a3 C D a3 Lời giải Chọn C Gọi H hình chiếu A SB Dễ dang chứng minh a ù AH ^ ( SBC ) Þ d é ëA,( SBC ) û= AH = Ta cú 1 = 2+ ắắ đ SA = a AH SA AB2 a3 V = SABCD SA = 3 Vậy thể tích khối chóp: · Bài tập Cho hình chóp S ABC đáy ABC tam giác vuông B, AB  a , ACB  60 cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SB tạo với mặt đáy góc 45 Thể tích khối chóp S ABC Trang 604 a3 A a3 B 18 a3 C a3 D 12 Hướng dẫn giải Chọn B Ta có ABC vng B nên a BC  AB.cot ·ACB  a.cot 60   S ABC  1 a a2 BA.BC  a  2 Ta có AB hình chiếu vng góc SB  ABC      · ,  ABC   SB · , AB  SBA ·  SB  45 SAB vuông A nên · SA  AB.tan SBA  AB.tan 45  a 1 a2 a3 VS ABC  S ABC SA  a  3 18 Vậy Bài tập Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang cân,  AD P BC  , cạnh AD  2a , AB  BC  CD  a SA vng góc với mặt phẳng  ABCD  , cạnh SC tạo với mặt phẳng đáy góc 60 Thể tích khối chóp S ABCD a3 A a3 B 3a 3 C 3a 3 D Hướng dẫn giải Chọn C Gọi M trung điểm AD Ta chia hình thang cân ABCD thành ba tam giác ABM, BCM, CDM, ba tam giác tam giác cạnh a Trang 605 S ABCD Do 3a  Ta có AC hình chiếu vng góc SC · ,  ABCD   SC ·  60  ABCD    SC   · , AC   SCA Lại có AH đường cao tam giác ABM nên AH  AB a   AC  AH  a 2 SAC vuông A nên · SA  AC.tan SCA  AC.tan 60  3a 1 3a 3a 3 VS ABCD  S ABCD SA  3a  3 4 Vậy Nhận xét: Việc chia nhỏ hình thang cân ABCD thành ba tam giác giúp ta thuận tiện việc tính diện tích đáy Chú ý: Nếu ABC tam giác S ABC AB  Bài tập Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD tứ giác lồi AC  2a , BD  3a , AC  BD SA vng góc với mặt phẳng tan    ABCD  , cạnh SC tạo với mặt phẳng đáy góc  thỏa mãn Thể tích khối chóp S ABCD 2a A a3 B a3 C a3 D 12 Hướng dẫn giải Chọn A Ta có AC  BD  S ABCD  AC.BD  3a 2 Do AC hình chiếu vng góc SC  ABCD  nên ·   SC· ,  ABCD     SC· , AC   SCA  SA  AC.tan   2a 1 2a 2a VS ABCD  S S ABCD SA  3a  3 3 Vậy Trang 606 Bài tập Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng  SAB   SBC   ABC  , hai mặt phẳng · · vuông góc với nhau, SB  a , BSC  45 , ASB  30 Thể tích khối chóp a3 SABC V Tỉ số V B A 3 C D Hướng dẫn giải Chọn A Ta có: SA   ABC    SAB    ABC   SBC    SAB  ,  ABC    SAB   BC   SAB   SBC    ABC   BC    Mà  ABC , SBC tam giác vuông B a 3a AB  SB.sin ·ASB  , SA  SB.cos ·ASB  2 Xét SAB vng A có: · Xét SBC vng B có: BC  SB.tan BSC  a  S ABC  1 a 3a AB.BC  a  2 1 3a 3a 3a a3 VS ABC  S ABC SA     3 V Vậy Tổng quát:  ABC  , hai mặt phẳng  SAB   SBC  Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng · · vng góc với nhau, BSC   , ASB   Thể tích khối chóp S ABC là: VS ABC  SB sin 2 tan  12 Chứng minh: Trang 607 Xét SAB vng A có: AB  SB.sin  ; SA  SB.cos  Xét SBC vuông B có: BC  SB.tan   S ABC  1 AB.BC  SB sin  tan  2 SB sin  tan  SB cos  SB sin 2 tan  VS ABC  S ABC SA   12 Vậy Dạng Thể tích khối chóp có mặt bên vng góc với đáy Phương pháp Hình chóp có mặt bên vng góc với đáy chân đường cao nằm giao tuyến mặt phẳng đáy Ta có:                 d  a   a      a  d  Hình chóp có hai mặt vng góc với đáy giao tuyến chúng vng góc với đáy      P    d   P      P        d Ta có:  Bài tập Bài tập Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB  a , AD  a , tam giác 3a SAB cân S nằm mặt phẳng vng góc với đáy, khoảng cách AB SC Tính thể tích V khối chóp S ABCD A V a 3 B V  2a 3 V  C 2a 3 D V  3a 3 Hướng dẫn giải Chọn A Trang 608 Gọi H, I trung điểm AB, CD, kẻ HK  SI Vì tam giác SAB cân S nằm mặt phẳng vng góc với đáy Suy SH   ABCD  CD  HI  CD   SIH   CD  HK  HK   SCD   CD  SH CD P AB  d  AB, SC   d  AB,  SCD    d  H ,  SCD    HK Suy HK  3a ; HI  AD  a Trong tam giác vng SHI ta có SH  HI HK  3a HI  HK 1 VS ABCD  SH S ABCD  3a.a  a 3 3 Vậy Bài tập Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng A, AB = a 2, AC = a Hình chiếu điểm S mặt phẳng mặt phẳng 5a A 12  SAB   ABC  mặt phẳng 5a 10 B 12 trùng với trung điểm đoạn thẳng BC Biết góc  SAC  60 Thể tích khối chóp S ABC a 210 24 C a 30 D 12 Hướng dẫn giải Chọn D Trang 609 Bài tập Bài tập Cho hình chóp S ABC có SA đoạn thẳng thay đổi cho SA  x ,  x  0;  , cạnh lại Thể tích khối chóp S.ABC đạt giá trị lớn A B 16 C 12 D Tổng quát: Cho hình chóp S.ABC Hướng dẫn giải có SA đoạn thẳng Chọn D thay đổi cho SA=x, cạnh lại a (a số) với   x 0; a Ta có tam giác ABC  SABC  Thể tích Gọi M , N trung điểm SA BC  SA  BM  Ta có SAB SAC hai tam giác cân B C nên  SA  CM  SA   BCM   SA  BC BM  CM  AB   AM    Mặt khác Suy x2  BMC cân M khối chóp S ABC đạt giá trị lớn VS.ABC a3  MN  BC  BC   SAN  BC   SAN   BC  SH  SH   ABC  Kẻ SH  AN Do Ta có MN  SN  SM  S SAN  x2    x2 4 1 SA.NM x  x2 SA.NM  SH AN  SH   SH  2 AN Trang 669 x  x2  x2   x2  S  ABC  S  ABC SH     12 12   Vậy max VS ABC  x2   x2  x2   x  đạt 2 Bài tập Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a Tam giác SAB vuông S nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi  góc  SBC  , với   45 Tìm giá trị lớn tạo đường thẳng SD mặt phẳng thể tích khối chóp S ABCD A 4a C B 4a 3 D 8a 3 2a 3 Hướng dẫn giải Chọn C Gọi D đỉnh thứ tư hình  bình hành SADD SA   SBC   Khi DD / / SA mà Nên DD   SBC  ·SD, SBC    DSD · ·   SDA ,    Ta có Do SA  AD.tan   2a tan  Đặt tan   x, x   0;1 Gọi H hình chiều S lên AB , ta có 4a VS ABCD  SH S ABCD  SH 3 Do VS ABCD đạt giá trị lớn SH lớn Vì SAB vng S nên SA.SB SA AB  SA 2ax 4a  4a x SH     2ax  x AB AB 2a  SH  2a x2 1  x2  a Trang 670 Từ max SH  a Vậy tan   4a3 max VS ABCD  a.4a  3 SA  SB  SC  a, Bài tập Khối chóp S ABCD có đáy hình thoi cạnh a , cạnh SD thay đổi Thể tích lớn khối chóp S ABCD a3 A a3 B 3a C D a3 Hướng dẫn giải Chọn D Gọi I tâm hình thoi ABCD , H hình  ABCD  chiếu S lên mặt phẳng , suy H  BI Ta có SI  SA2  IA2  a  IA2 , IB  AB  IA2  a  IA2 suy SI  IB Khi tam giác SBD vng S Đặt SD  x SB.SD  SH BD  a.x  SH BD  SH  Ta có a.x BD 1 ax 1 VSABCD  SH AC.BD  AC.BD  ax AC 3 BD Ta có a2  x2 IB  2 2 Lại có BD  SB  SD  a  x suy  IA2  a  a  x 3a  x  4 AC  IA  Suy 3a  x  3a  x a x  3a  x a VSABCD  ax 3a  x   6 Bài tập : Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2, SA  SA  ABCD  M, N Trang 671 SA  SA vng góc với mặt phẳng đáy  ABCD  Gọi M , N hai điểm thay đổi hai cạnh AB, AD T  SNC  Tính tổng phẳng giá trị lớn cho mặt phẳng C vng góc với mặt 1  AN AM thể tích khối chóp S.AMCN đạt T B A T  T  SMC  2 T D 13 Hướng dẫn giải Chọn B AM  x, AN  y Đặt Gọi  O  AC  DB;  E  BD  CM;  F  BD  CN H hình chiếu vng góc O SC , đó: HO  SC  OH  SC  HE  SC   HBD     SC  BD SC  HF   Ta có Do góc  SCM   SCN  góc HE HF Suy HE  HF VS.AMCN  SA.SAMCN   x  y 3 Mặt khác Ta có x  0, y  x  2, y  gọi K trung điểm AM , OE KM x OE EB OB x       OE  EB MB  2x x 4 2x  x 4 x OF  Tương tự y 4 y mà OE.OF  OH   x  2  y  2  12 OE.OF  OH   x  2  y  2  12 y x  Nếu ta có Trang 672 2 VS.AMCN  SA.SAMCN   x  y   x  2   y  2  4 3 Suy   2 12 x  2   4   3 x  maxVS.AMCN Do  x   1 1 y   2  T    2 2 2  x  AM AN x y    y  Bài tập 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông A với AB  1, AC  Hình chiếu S mặt phẳng đáy điểm H cho  SBC  tạo tạo với SH góc 30 mặt phẳng với mặt phẳng đáy góc 60 Thể tích lớn khối chóp S.ABC mặt phẳng A C  SAB Vmax  1 Vmax  31  SAC  B D Vmax  3 Vmax  3 Hướng dẫn giải Chọn D · · SH , SAB    SH , SAC    30  Ta có nên hai  SAC  tạo với mặt phẳng đáy góc 60 mặt phẳng  SAB d  H , AB  d  H , AC   d  H , BC  Suy tức H tâm nội tiếp tâm bàng tiếp A, B,C góc tam giác S Ta có r Khi rb  3 ; p 2 cạnh a  2, b  3,c  S 1 S 3  ;ra   ; p p a S 1 S 3  ;rc   p b p c Trang 673 Chiều cao chóp lớn SHmax   3 3 3  Vmax  Bài tập Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh bên a , góc tạo      0;    Thể tích khối chóp S.ABCD mặt bên mặt phẳng đáy  với đạt giá trị lớn 4a3 49 A 4a3 27 B 2a3 C 4a3 15 75 D Hướng dẫn giải Chọn B AC  BD   O  SO   ABCD  Gọi M trung điểm CD   · ·   SCD  , ABCD   SMO   Gọi độ dài cạnh hình vng x Tam giác SMC vng M có SM  SC  CM  a2  x2 Tam giác SOM vng O có: x · OM  SM cosSMO  cos a2   x x2 x2  x2   cos a2     a  cos2  4  4 4a2 cos2   x2   1 cos2   SABCD  4a2 2a 1 tan2    x 2  tan   tan2  1 1 tan  4a2 4a2  tan2  x a.tan · SO  OM.tanSMO  tan  2  tan  Ta có: Trang 674 1 4a2 a.tan 4a3.tan VS.ABCD  SABCD SO   3  tan2   tan2   tan2         0;  tan   2 Do Thể tích khối chóp đạt giá trị lớn a3.tan  2 tan   f   Ta xét đạt giá trị lớn tan2   2 tan   tan2  1 ; ; 2 2  tan   tan   tan  Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương f   Ta có tan2   2 tan    tan2  1 2  tan  2 tan   tan2    tan2   1       2  3  tan   tan   tan    27 tan2   f      tan2   1   2 27  tan   tan  maxVSABCD  Vậy 4a3   1  Trong hình hộp chữ nhật có 4a3 27 diện tích tồn phần Bài tập Một hình hộp chữ nhật có diện tích tồn phần S Thể tích lớn hình lập khối hộp chữ nhật phương S S A S S B 36 S 6S 36 C S 3S D tích lớn Hướng dẫn giải Chọn C Gọi chiều dài, chiều rộng, chiều cao hình hộp chữ nhật a, b,c  a, b,c với Ta có S  2ab  2ac  2bc Áp dụng bất đẳng thức AM  GM : Trang 675 S  2ab  2ac  2bc  33 2ab.2ac.2bc  63 a2b2c2 63 a2b2c2  S  a2b2c2  S3 S3 S 6S  abc   216 216 36 Đẳng thức xảy a  b  c hình hộp chữ nhật trở thành hình lập phương    Bài tập Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C , đáy ABC tam giác vuông A  BCC B   ABC  Khoảng cách từ AA đến khoảng cách từ C đến      0;  x khơng đổi, góc hai mặt phẳng  ABC    ABC    Để thể    tích khối lăng trụ ABC A B C nhỏ góc  có giá trị gần giá trị sau đây? A 25 B 35 C 45 D 55 Hướng dẫn giải Chọn B Dựng AH  BC  H  BC  , CK  AC ( K  AC ) Ta có d  AA;  BCC B    AH  x d  C;  ABC     CK  x ·    · ABC  ;  ABC    CAC Xét tam giác ACK vng K có AC  CK x  sin sin Xét tam giác ACC ' vng C có Xét tam giác ABC vng A có 1    AB  2 AB AH AC CC '  AC.tan  AH AC AH  AC   x x tan  sin cos x2 x2 1 sin2    x cos    Thể tích khối lăng trụ ABC A B C VABC ABC  x3 AB.AC.CC  2sin cos2  Trang 676    Để thể tích khối lăng trụ ABC A B C nhỏ sin cos  lớn sin2  cos4   2sin2  cos2  cos2  Ta có  2sin2   cos2   cos2   3x3     sin  cos    V   2  54 Vậy Vmin  3x3 2sin2   cos2   tan  Đẳng thức xảy    35     Bài tập Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D có AB  BC BD  3cm Hai mặt phẳng  ACC A   BDDB    0     2 hợp với góc  Đường    0     CDDC   , 2 chéo BD hợp với mặt phẳng góc  Hai góc     thay đổi thỏa mãn hình hộp ADD A BCC B ln hình lăng trụ Giá     trị lớn thể tích khối hộp ABCD A B C D A cm3 B cm3 C cm3 D 12 cm3 Hướng dẫn giải Chọn B · ACC A  ;  BDDB    COD  ·  Ta có ·  CBD    ·  BC  BD.cos CBD  3cos 2 Trang 677  · CD  BD.sin CBD  3sin Lại có ·D;  CDDC    B · DC    B   Ta có      Do ADD A BCC B ln hình lăng trụ nên BC  CC VABCD ABCD  BC.CD.CC   27.sin sin Xét   cos 2      cos  2sin cos cos 2 2 2     2sin  cos  cos  2   2       27  Dấu "  " xảy 2sin     cos  tan     arctan 2 2  sin   cos  V  2 Dạng 15: Sử dụng thể tích để tính khoảng cách Phương pháp  Để tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ta sử dụng phương pháp đổi đỉnh 3V V  hS  h S áp dụng cơng thức  Trong V thể tích khối đa diện, S diện tích đáy h khoảng cách từ đỉnh đến mặt đáy  Để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo ta áp dụng công thức V 6V · ABCD sin AB,CD  d  AB;CD   d  AB;CD   · AB.CD.sin AB,CD  Bài tập Bài tập Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng B Cạnh SA vng Khoảng  SBC  góc với đáy Biết SA  a, AB  b Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng cách mặt từ điểm A đến phẳng  SBC  678 Trang a b a2  b2 A 2ab ab 2 C a  b B a2  b2 ab D a2  b2 chiều Hướng dẫn giải cao hình chóp A.SBC Do đó: Chọn D   d A, SBC   Ta có  SBC  3VA.SBC SSBC   d A, SBC   Ta có: 1 VA.SBC  VS.ABC  SA.SABC  SA.AB.BC Mặt khác SA   SBC   SA  BC mà ABC vuông B nên BC  BA Suy BC  SB hay SBC vuông B  SSBC   BC.BS d A, SBC  Vậy  SA.AB.BC SA.AB SA.AB ab     2 2 SB SA  AB a b SB.BC Bài tập Cho tứ diện cạnh điểm I nằm tứ diện Tổng khoảng cách từ I đến mặt tứ diện 6 B C D A Hướng dẫn giải Chọn D Xét tứ diện ABCD có diện tích đáy chiều cao nên thể tích tứ diện ABCD V 12 Cách trắc nghiệm: Chọn đặc biệt I  A Khi tổng khoảng cách từ I Trang 679 3VA.SBC SSBC V đến mặt tứ diện khoảng cách từ A 12 Gọi h1, h2, h3, h4 khoảng cách từ I đến mặt  BCD  ,  ACD  ,  ABD  ,  ABC  đến Đặt V1  VIBCD , V2  VIACD , V3  VIABD , V4  VIABC 3V V1  h1.SBCD  h1  SBCD Tương tự Vậy 3V 3V2 3V , h3  , h4  SACD SABD SABC h1  h2  h3  h4  3V 3V1 3V2 3V    SBCD SACD SABD SABC Tứ diện ABCD tứ diện nên h1  h2  h3  h4  Suy Ta có V  V1  V2  V3  V4 h2   BCD SBCD  SACD  SABD  SABC  3V1 V V V   3V  Bài tập Cho hình hộp chữ nhật ABCD ABC D có AB  3, AD  4, AA  Lấy điểm M cạnh AB cho BM  AM Khoảng cách từ C  đến BD  BC D  Khoảng cách từ điểm M đến A 12 B 3 C D Hướng dẫn giải Chọn B Trang 680 Ta có BM  AM  BM 4   VM BC D  VA.BC D AB 5 1 VA BC D  VC  ABD  CC .S ABD  CC .AB AD  10  VM BC D  Mà Ta có d  BD  10  C , BD  BD  AB  AD  5, SC BD  3V 12 VM , BC D  d M , BC D   S BC D  d  M , BC D    M BC D  S BC D Ta có Bài tập Cho tứ diện ABCD có AB  CD  4, AC  BD  5, AD  BC  Khoảng cách từ A đến mặt phẳng  BCD  A B 42 C 7 D Hướng dẫn giải Chọn C Áp dụng cơng thức tính nhanh thể tích khối tứ diện gần đều, ta có VABCD  = Ta có Suy p  a  b  c   a  b  c   a  b  c  2 2 2 2  4             154 2 2 2 2 BC  CD  DB  5 15   2 SBCD  p p  4  p  5  p  6  15 Trang 681 15 3VA.BCD 42 d A, BCD     SBCD 15 Ta có  Bài  tập Cho hình chóp S.ABC có SA  2, SB  3, SC  Góc · · · ASB  45, BSC  60,CSA  90 Tính khoảng cách d hai đường thẳng SA BC 34 A 17 34 B 17 34 C 17 34 D 17 Hướng dẫn giải Chọn C · · · Hình chóp S.ABC có SA  a, SB  b, SC  c ASB   , BSC   ,CSA    VS.ABC  abc 1 cos2   cos2   cos2   2cos cos cos  VS.ABC  Ta có: AC  20; BC  13 cos SA, BC   Suy SB2  SC  AC  AB2 32  42  20  13   2SA.BC 2.2 13 26 sin SA, BC   d  SA, BC   Suy 17 26 6V 34  · 17 SA.BC.sin SA, BC  Bài tập Cho tứ diện ABCD tích V Trên AB lấy hai điểm M, N Trang 682 CD lấy hai điểm P, Q thỏa mãn MN PQ 3 1 CD AB Thể tích khối MNPQ đạt giá trị lớn V A V B 16 V C 24 V D 32 Hướng dẫn giải Chọn C VABCD  AB.CD.d  AB,CD  sin AB,CD  ; VMNPQ  MN.PQ.d  MN, PQ  sin MN, PQ Do d  AB,CD   d  MN, PQ  sin AB,CD   sin MN, PQ VMNPQ VABCD Ta có    nên MN.PQ AB.CD MN PQ MN PQ MN PQ 3 2 2 CD AB CD AB CD AB MN PQ MN PQ  3 1 CD AB CD AB V MN PQ 1   MNPQ  CD AB 24 VABCD 24 Vậy VMNPQ  V V  MaxVMNPQ  24 24 Trang 683 ... x2 39 x 39 VABCD ABC D  S ABCD AH  15 39 15 65  39 13 Dạng Tỉ số thể tích khối chóp Phương pháp So sánh thể tích khối chóp cần tính với khối đa diện khác biết trước dễ dàng tính thể. ..  Bài tập    Bài tập Cho khối lăng trụ ABC ABC  có M, N, P thuộc cạnh AA , BB , CC V ABCMNP,V2    cho AM  MA , BN  NB , CP  3PC Đặt thể tích khối đa diện V1 V thể tích khối đa diện. .. 3 Vậy thể tích khối chóp: Bài tập Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy a SBC ) khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( Thể tích khối chóp cho A a B a3 a3 C D a3