CD43 THỂ TÍCH KHỐI đa DIỆN

Chun đề ㊸ Ⓐ THỂ TÍCH KHỐI CHĨP KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM  Ghi nhớ ➊ Công thức tính thể tích khối chóp  Thể tích khối chóp:  : Diện tích mặt đáy  h: Độ dài chiều cao khối chóp Chính khoảng cách từ đỉnh chóp xuống mặt đáy  Ghi nhớ ❷ Tỷ số thê tích    Cho khối chóp đoạn thẳng SA, SB, SC lấy điểm A ¢, B ¢, C ¢ khác Khi ta ln có tỉ số thể tích: Ngồi cách tính thể tích trên, ta cịn phương pháp chia nhỏ hối đa diện thành đa diện nhỏ mà dễ dàng tính tốn Sau cộng chúng lại Chú ý: Ta thường dùng tỉ số thể tích điểm chia đoạn theo tỉ lệ  Ghi nhớ ❸ Công thức diện tích tam giác ① 1 S  bcsin A  casin B  absinC 2 ② ③ ④ (p: nửa chu vi tam giác) ⑤ ⑥ vuông A: ⑦ đều, cạnh a: S a2 ⑧ Đường cao cạnh a: Ⓑ Câu 1: BÀI TẬP RÈN LUYỆN Khối chóp có diện tích đáy S , chiều cao h Thể tích khối chóp S h B A S h C 3Sh D 3Sh Lời giải Chọn B Câu 2: Nếu khối chóp tích a diện tích mặt đáy a chiều cao khối chóp A a a C B 2a D 3a Lời giải Chọn D V  S h Gọi thể tích, diện tích mặt đáy, chiều cao khối chóp V , S , h ta có Do Câu 3: h 3V 3a3   3a S a Khối chóp có nửa diện tích đáy S , chiều cao 2h tích A V  S h V  S h B C V S h D V S h Lời giải Chọn C 1 V  B.h  2S 2h  S h 3 Ta có: Câu 4: SA   ABCD  Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , thể tích khối chóp VS ABCD  2a3 A  ABCD  Tính tan    Gọi  góc tạo cạnh SC mặt phẳng B C Lời giải Chọn A 2 D + Vì + Nên SA   ABCD  ·   goc  SC ; AC   SCA + Tính AC  a , + Suy Câu 5:  ABCD  nên AC hình chiếu vng góc SC lên mặt phẳng tan     VS ABCD 3VS ABCD 3.2a  SA.S ABCD  SA    6a S ABCD a SA 6a  3 AC a Tính thể tích V khối chóp có đáy hình vuông cạnh 2a chiều cao 3a A V  4a B V  2a C V  12a 3 V   a3 D Lời giải Chọn A V  S h Thể tích khối chóp tính cơng thức: ( S diện tích đáy, h độ dài V   2a  3a  4a3 đường cao khối chóp) nên Câu 6: Khối chóp S ABCD có A , B , C , D cố định S chạy đường thẳng song song với AC Khi thể tích khối chóp S ABCD sẽ: A Giảm phân nử B Giữ nguyên C Tăng gấp đôi D Tăng gấp bốn Lời giải Chọn B Gọi  đường thẳng qua S song song AC V  B.h Ta có: +  song song AC nên  P ABCD   d  S ,  ABCD    d  ,  ABCD    h không đổi + A , B , C , D cố định nên diện tích tứ giác ABCD khơng đổi Vì thể tích khối chóp S ABCD giữ ngun Câu 7: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Thể tích khối chóp S ABCD 3a Biết diện tích tam giác SAD 2a Tính khoảng cách h từ B đến mặt phẳng  SAD  A h  a B h 9a C h 3a D h 4a Lời giải Chọn B 3VS ABCD 3.3a 1 VS ABD  VS ABCD  h.SSAD  h    a 2S SAD 2.2a Ta có Câu 8: Cho khối chóp S ABC tích V , giữ ngun chiều cao tăng cạnh đáy lên lần thể tích khối chóp thu A 3V B 6V C 9V D 12V Lời giải Chọn C Gọi a , b , c độ dài cạnh ABC Đặt S1  p 3 a  b  c abc  p  a   p  b   p  c   9S ABC  Thể tích khối chóp thu 9V Câu 9: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang với AD // BC AD  BC Kết luận sau đúng? A VS ABCD  4VS ABC B VS ABCD  6VS ABC C VS ABCD  3VS ABC Lời giải Chọn C D VS ABCD  2VS ABC 1 SABC  S ABCD  VS ABC  VS ABCD 3 Ta có Câu 10: Cho khối chóp có chiều cao h diện tích đáy B Nếu giữ nguyên chiều cao h , còn diện tích đáy tăng lên lần ta khối chóp tích A V  Bh B V Bh C V Bh V  Bh D Lời giải Chọn A V  Bh  Bh Ta có B  3B nên thể tích khối chóp Câu 11: Một kim tự tháp Ai Cập xây dựng khoảng 2500 năm trước công nguyên Kim tự tháp khối chóp tứ giác có chiều cao 150 m , cạnh đáy dài 220 m Hỏi diện tích xung quanh kim tự tháp bao nhiêu? (Diện tích xung quanh hình chóp tổng diện tích mặt bên) A 2200 346  m   B 1100 346  m   C 4400 346  48400  m  D 4400 346  m  Lời giải Chọn D Dễ thấy BD  BC  CD  220  BH  Trong tam giác vng SHB , có BD  110 2  SB  SH  BH  1502  110   10 467 Vì S ABCD hình chóp  SA  SB  SC  SD  10 467 Gọi E trung điểm AB Trong tam giác vng SEA , có SE  SA2  EA2   10 467   1102  10 346 Vậy S xq  S ABC  SE AB  2.10 346.220  4400 346 m   Câu 12: Cho hình bát diện cạnh a Gọi S tổng diện tích tất mặt hình bát diện Tính S B S  3a A S  8a C S  3a D S  3a Lời giải Chọn C Hình bát diện có tám mặt tam giác cạnh a Vậy S  a2  3a Câu 13: Một kim tự tháp Ai Cập xây dựng vào khoảng 2500 trước Công nguyên Kim tự tháp khối chóp tứ giác có chiều cao 150m , cạnh đáy dài 220m Diện tích xung quanh kim tự tháp A 1100 346  m  C 2200 346  m  B 4400 346  m  D 2420000  m  Lời giải Chọn B Gọi khối chóp tứ giác S ABCD có O tâm hình vng ABCD , M trung điểm 2 BC , SO  150 m , BC  220 m , OM  110 m , SM  SO  OM  10 346 m Diện tích xung quanh kim tự tháp: S xq  S SBC  SM BC  SM BC  4400 346  m  Câu 14: Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , chiều cao SA  a Thể tích khối chóp S ABCD A a a3 B C a a2 D Lời giải Chọn B 1 a3 V  S ABCD SA  a a  3 Thể tích khối khóp S ABCD Câu 15: Cho khối chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a , SA vng góc với mặt phẳng đáy SA  2a Tính thể tích khối chóp S ABC a3 A 12 a3 B a3 C Lời giải Chọn C a3 D 1 a2 a3 VS ABC  SA.S ABC  2a  3 Ta có Câu 16: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a , SA  a , SA vng góc với mặt đáy Thể tích khối chóp S ABCD A 2a a C B 4a a D Lời giải Chọn D 1 VS ABCD  SA AB.CD  a.2a.2a  a3 3 Thể tích khối chóp S ABCD Câu 17: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA  a Tính thể tích V khối chóp S ABCD A V a3 B V a3 C V Lời giải Chọn C a3 D V  a 1 a3 VSABCD  S ABCD SA  a a  3 Ta có: Câu 18: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA  a Tính thể tích V khối chóp S ABCD a3 V A a3 V C B V  a a3 V D Lời giải Chọn A Diện tích đáy S ABCD a3 V  SA.S ABCD   a2 3 ; thể tích Câu 19: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = AB = 2a , BC = 3a Tính thể tích S ABC A 3a B 4a C 2a Lời giải Chọn C D a 1 V  AB.BC SA  2a 3 Câu 20: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA  3a vng góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích khối chóp S ABCD A 3a B 9a C a a3 D Lời giải Chọn C Diện tích đáy S ABCD  a V  a 3a  a , chiều cao SA  3a Khi SA   ABC  Câu 21: Cho khối chóp S ABC có SA  , tam giác ABC vng cân A AB  Thể tích khối chóp S ABC A B C Lời giải Chọn B Ta có S ABC  1 1 AB AC   VS ABC  SA.S ABC  2 3 10 D S ABCD  AB AD  a.a  3a Ta có o · Dễ thấy BC  AB; BC  SB  SBA  60  SAB µA  1v  có: tan 60 o Xét tam giác vuông 1 VS ABCD  S ABCD SA  a 3.a  a 3 Vậy  SA  SA  AB tan 60o  a AB Câu 26: Cho hình chóp S ABC có SA  a vng góc với đáy ABC Biết tam giác ABC mặt phẳng A V  SBC  hợp với đáy a3 3 B  ABC  V góc 30 Tính thể tích V khối chóp S ABC 2a 3 C V a3 12 Lời giải: Chọn A ¶ Gọi I trung điểm BC , ta có SIA  30 Xét tam giác SIA vuông A ta có SA  a  AI  a Ta có AI  AB Diện tích  AB  2a S ABC  AB  a2 13 D V a3 a3 V  SA.S ABC  3 Thể tích Câu 27: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh 2a , tam giác SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt đáy Tính thể tích khối chóp S ABC A V a3 B V  a C V 3a D V  3a Lời giải: Chọn B Gọi H trung điểm AB   SAB    ABC    SAB    ABC   AB  SH  AB SH   SAB  SH  VS ABC   SH   ABC     AB AB  a S ABC   a2 ,  SH S ABC  a 3 Câu 28: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật Tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy  ABCD  Biết SD  2a góc tạo đường thẳng SC mặt phẳng  ABCD  300 Tính thể tích V khối chóp S ABCD A V 2a 3 B V a3 13 C V Lời giải Chọn D 14 a3 D V 4a … · Ta có SC  SD  2a , SI  SC.sin SCI  2a 3.sin 30  a , · CI  SC.cos SCI  2a 3.cos300  3a SI  AB  AB  2a BC  CI  BI   3a   a  2a 2 Từ đó: S ABCD  AB.BC  2a.2a  4a 1 4a VS ABCD  S ABCD SI  4a 2.a  3 Vậy Câu 29: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang vng A B , AB  BC  a , AD  2a ABCD  Hình chiếu S lên mặt phẳng  trùng với trung điểm cạnh AB Biết SC  a Tính theo a thể tích V khối chóp S ABCD A V a3 B V a 15 C V a 15 D V 2a Lời giải Chọn C MC  BC  MB  Gọi M trung điểm AB Ta có: a 15  a  2a  a a 15 VS ABCD   2 Nên a a 15 SM  suy Câu 30: Cho khối chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a cạnh bên 2a Tính thể tích V khối chóp S ABC 15 A V 13a 12 B V 11a 12 C 11a V D V 11a Lời giải Chọn B Do đáy tam giác nên gọi I trung điểm cạnh BC , AI đường cao a2 a 2a a  AO  AI   , 3.2 tam giác đáy Theo định lý Pitago ta có a2 11a SO  4a   3 Trong tam giác SOA vng O ta có 1 a 11a 11a V a  2 12 Vậy thể tích khối chóp S ABC AI  a  ㊸ Mức độ Câu 31: Cho khối chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , SA vng góc với đáy SC tạo với mặt phẳng A V  SAB  2a 3 góc 30 Tính thể tích V khối chóp cho B V 6a 3 C V 2a 3 Lời giải Chọn A Ta có · CB   SAB    SC ;  SAB     SC ; SB   CSB  300 2 Suy SB  BC.cot 30  a 3; SA  SB  AB  a 2a V  S ABCD SA  3 Thể tích khối chóp : 16 D V  2a Câu 32: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật AB  a , BC  2a , SA  2a , SA vng góc với mặt phẳng 8a A  ABCD  Tính thể tích khối chóp 4a B S ABCD tính theo a 6a C 3 D 4a Lời giải Chọn B Ta có S ABCD  AB.CD  2a 4a VS ABCD  SA.S ABCD  2a.2a  3 Thể tích khối chóp S ABCD Câu 33: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác ABC vuông C , AB  a , AC  a Cạnh bên SA  3a vng góc với mặt phẳng  ABC  Tính thể tích khối chóp S ABC a3 A B a C 3a D 2a Lời giải Chọn B 2 2 Vì tam giác ABC vuông C nên BC  AB  AC  5a  a  2a 1 S ABC  AC.BC  a.2a  a 2 1 VS ABC  SA.S ABC  3a.a  a 3 (đvtt) Câu 34: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB  a , BC  2a , đường thẳng SA vng góc với mặt phẳng A 2a  ABCD  B 3a SA  3a Thể tích khối chóp S ABCD C 6a Lời giải Chọn A 17 D a VS ABCD  a.2a.3a  2a Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp ta có  ABC  Biết SA  a , Câu 35: Cho hình chóp S ABC có cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy tam giác ABC tam giác vuông cân A , AB  2a Tính theo a thể tích V khối chóp S ABC A V a3 B V  2a C V a3 D V 2a 3 Lời giải Chọn D 1 1 2 V  SA.SABC  SA AB AC  a  2a   a 3 (dvtt) Ta có: SA   ABC  Câu 36: Cho khối chóp tam giác S ABC có , tam giác ABC có độ dài cạnh AB  5a  ABC  45 Tính thể tích khối chóp S ABC ; BC  8a ; AC  7a , góc SB A 50 3a 50 a C 50 3 a B Lời giải Chọn B 18 50 a D Ta có nửa chu vi ABC p AB  AC  BC  10a Diện tích ABC SABC  10a.5a.3a.2a  10 3a SA   ABC  nên SAB vuông, cân A nên SA  AB  1 50 3 VS ABC  SA.S ABC  5a.10 3a  a 3 Thể tích khối chóp S ABC  SAC  vng góc với mặt phẳng  ABC  , SAB tam Câu 37: Cho hình chóp S ABC có mặt phẳng  ABC  góc 60 Thể tích giác cạnh a , BC  a đường thẳng SC tạo với mặt phẳng khối chóp S ABC a3 A a3 B a3 C D 2a Lời giải Chọn C Ta thấy tam giác ABC cân B , gọi H trung điểm AB suy BH  AC  SAC    ABC  nên BH   SAC  Do Ta lại có BA  BC  BS nên B thuộc trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC  H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAC  SA  SC ·  ABC   SCA  600 Do AC hình chiếu SC lên mặt phẳng SA AC   2a 2  HC  a  BH  BC  HC  a sin 600 Ta có SC  SA.cot 60  a , 19 VS ABC 1 a3  BH S SAC  BH SA.SC  6 Câu 38: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a , cạnh SB vng góc với đáy mặt phẳng A V  SAD  3a 3  tạo với đáy góc 60 Tính thể tích khối chóp S ABCD B V 3a 3 C V 8a 3 D V 4a 3 Lời giải Chọn C SB   ABCD     SB  AD AD   ABCD   Ta có: mà AD  AB  AD  SA  SAD    ABCD   AD   AB  AD, AB   ABCD     · SA  AD, SA   SAD     SAD  ;  ABCD     SA; AB   SAB  60 1 8a3 V  SB.S ABCD  2a 3.4a   3 Ta có: SB  BD.tan 60  2a Vậy  SAB  Câu 39: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , hai mặt phẳng  SAD  vng góc với mặt phẳng  ABCD  A 3a  ABCD  ; góc đường thẳng SC mặt phẳng 60 Tính theo a thể tích khối chóp S ABCD a3 B a3 C Lời giải Chọn C 20 D 2a Ta có  SAB    ABCD    SAD    ABCD   SA   ABCD    SAB    SAD   SA  AC hình chiếu vng góc SC lên mặt phẳng  ABCD  · ,  ABCD   SCA ·  SC  60   Tam giác SAC vuông A có SA  AC.tan 60  a 1 a3 VSABCD  SA.S ABCD  a 6.a  3 Khi Câu 40: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB  a , BC  a Cạnh bên SA vng góc với đáy đường thẳng SC tạo với mặt phẳng  SAB  góc 30 Tính thể tích V khối chóp S ABCD theo a A V 6a 3 B V 2a 3 C V  3a D V 3a 3 Lời giải Chọn A  BC  SA  BC   SAB    SB hình chiếu SC lên mặt phẳng  SAB  Ta có:  BC  AB ·  ·SC ,  SAB    ·SC , SB   CSB  30 BC tan 30   SB  3a SB Xét tam giác SBC vng B có 2 Xét tam giác SAB vng A có SA  SB  AB  2a 21 Mà S ABCD  AB.BC  a 2a V  S ABCD SA  3 Vậy Câu 41: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc 60 Tính thể tích V khối chóp S ABCD A V a3 B V a3 C V a3 D V a3 6 Lời giải Chọn.D Ta có: S ABCD  a a a · SO  OB.tan SBO  tan 600  2 Chiều cao SO : 1 a a3 VS ABCD  S ABCD SO  a  3 Vậy Câu 42: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a mặt bên tạo với mặt phẳng đáy góc 60 Tính thể tích V khối chóp S ABCD A V a3 B V a3 C V Lời giải Chọn D Ta có: S ABCD  a 22 a3 D V a3 6 · Gọi M trung điểm BC , góc mặt bên ( SBC ) ( ABCD) SMO a OM  AB  2 Ta có a a · SO  OB.tan SBO  tan 600  2 Chiều cao SO : 1 a a3 VS ABCD  S ABCD SO  a  3 Vậy Câu 43: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác ABC vuông B , AB  a , AC  2a Hình chiếu ABC  vng góc S lên  trung điểm M AC Góc SB đáy 60 Thể tích S ABC bao nhiêu? a3 B a3 A a3 C a3 D 12 Lời giải Chọn B Diện tích ABC : S ABC  AB.BC  a 2 · * SBM  600  SM  MB.tan 60  a a3 VS ABC  SM S ABC  Thể tích S.ABC : Câu 44: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB  2a , AD  a Hình chiếu ABCD  S lên mặt phẳng  trung điểm H cạnh AB , đường thẳng SC tạo với đáy góc 45 Tính thể tích V khối chóp S ABCD 2a V A a3 V B 2a V C Lời giải Chọn A 23 3a V D Ta có S ABCD  2a.a  2a Do SC tạo với đáy góc 45 nên SH  HC 1 2a V  S SH  a a  2 2 ABCD ABCD 3 Mà HC  BH  BC  a  a  a Vậy Câu 45: Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a , SAD cân S nằm mặt phẳng vng góc với đáy Góc S ABCD bằng: 2a 3 A 8a 3 B  SBC  o mặt đáy 60 Tính thể tích 4a 3 C D 2a Lời giải Chọn B Gọi H trung điểm AD  SAD    ABCD    SAD    ABCD   AD  SH   ABCD   SH  AD Ta có:  S  AB  a2 ABCD hình vng cạnh 2a nên ABCD SBC  Tam giác SBC cân S  SM  BC , mà HM  BC  góc mặt phẳng  mặt · ABCD  phẳng  góc hai đường thẳng HM , SM góc SMH Theo có · SMH  60o  SH  2a.tan 60o  a 24 Vậy thể tích S ABCD : VSABCD 1 8a 3  SH S ABCD  2a 3.4a  3 Câu 46: Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a , cạnh bên 2a Tính thể tích V khối chóp S ABC a3 V A 3a 3 V B 3a 3 V C 3a V D Lời giải Chọn D Diện tích đáy AH  B  S ABC  a    3a ; AB a  a 3 2 2 Chiều cao: h  SH  SA  AH  4a  a  a VS ABC 1 3a 3a  B.h  a  3 4 Câu 47: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, tam giác SAD vuông S nằm  SBC  tạo với mặt phẳng vng góc với đáy Cho biết AB  a , SA  2SD Mặt phẳng o đáy góc 60 Thể tích khối chóp S ABCD 3a3 A 5a3 B C 5a Lời giải Chọn B 25 15a D Gọi H hình chiếu S lên cạnh AD , I hình chiếu H lên cạnh BC , ta có SH   ABCD  BC   SHI     SBC  ;  ABCD    SIH ·  60o Suy SH  a 2x SA.SD a 3 SH  AD ta có Trong tam giác vuông SAD đặt SA  2SD  x nên từ Do x a 15 5a  Suy AD  x 5a 5a V  a .a  2 Thể tích khối chóp S ABCD Câu 48: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, mặt bên SAD tam giác vng S Hình chiếu vng góc S mặt phẳng đáy điểm H thuộc cạnh AD cho HA = 3HD Biết SA = 2a SC tạo với đáy góc 30° Tính theo a thể tích V khối chóp S ABCD A V = 6a B V= 6a 3 C V = 2a D V= 6a Lời giải Chọn B SH = HD.HA = 3HD Þ SH = 3HD ìï SH · ïï tan SDH = = SA SA ï DH Þ = Þ SD = = 2a Þ DA = SD + SA2 = 4a í ïï SA SD · = ïï tan SDH SD Có: ïỵ DH = DA = a 26 Tam giác SHC có · tan SCH = SH SH SH Þ tan 30°= Þ HC = = 3a HC HC tan 30° 2 Tam giác DHC có DC = DH + HC = 2a 1 6a VS ABCD = SH AD.DC = 3a.4a.2 2a = 3 Vậy 27 ... TẬP RÈN LUYỆN Khối chóp có diện tích đáy S , chiều cao h Thể tích khối chóp S h B A S h C 3Sh D 3Sh Lời giải Chọn B Câu 2: Nếu khối chóp tích a diện tích mặt đáy a chiều cao khối chóp A a... cố định nên diện tích tứ giác ABCD khơng đổi Vì thể tích khối chóp S ABCD giữ ngun Câu 7: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Thể tích khối chóp S ABCD 3a Biết diện tích tam giác... giải Chọn D V  S h Gọi thể tích, diện tích mặt đáy, chiều cao khối chóp V , S , h ta có Do Câu 3: h 3V 3a3   3a S a Khối chóp có nửa diện tích đáy S , chiều cao 2h tích A V  S h V  S h