Bài 3 THỂ TÍCH KHỐI đa DIỆN

BÀI THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN A LÍ THUYẾT Cơng thức tính thể tích khối chóp, lăng trụ V = Sđáy.h Th tớch chúp: Trong ú: Sđáy : Din tớch mt ỏy h: di chiều cao khối chóp Thể tích khối lăng trụ: Trong ú: Sđáy V = Sđáy.h : Din tớch mt ỏy h: Chiều cao khối chóp Thể tích khối hộp chữ nhật: V = a.bc Thể tích khối lập phương: V = a Chú ý: Lăng trụ đứng có chiều cao cạnh bên Chú ý: +) Đường chéo hình vng cạnh a là: +) Đường chéo hình lập phương cạnh a là: +) Đường chéo hình hộp chữ nhật có ba kích thước a, b, c là: +) Đường cao tam giác cạnh a là: Trang CÁC CÔNG THỨC HÌNH PHẲNG CẦN NẮM Hệ thức lượng tam giác a) Cho ∆ABC vuông A, đường cao AH 2 +) AB + AC = BC ; +) AC = CH.BC ; +) AH.BC = AB.AC ; +) AB = BH.BC ; +) AH = BH.HC ; 1 = + 2 AB AC2 ; +) AH +) AB = BC.sinC = BC.cosB = AC.tanC = AC.cot B b) Cho ∆ABC có độ dài ba cạnh a, b, c; độ dài trung tuyến ma, mb, mc ; bán kính đường trịn ngoại tiếp R; bán kính đường trịn nội tiếp r, nửa chu vi p +) Định lí hàm số cosin: a2 = b2 + c2 − 2bc.cos A ; b2 = c2 + a2 − 2ca.cosB ; c2 = a2 + b2 = 2ab.cosC a b c = = = 2R +) Định lí hàm số sin: sin A sin B sinC +) Độ dài trung tuyến: ma2 = b2 + c2 a2 c2 + a2 b2 a2 + b2 c2 − ; mb2 = − ; mc2 = − 4 Các cơng thức tính diện tích a) Tam giác: 1 S = ah a = bh b = c.hc 2 +) +) +) S= 1 bcsin A = casin B = absinC 2 S= abc 4R +) S = pr (p: nửa chu vi tam giác) +) S= p( p − a) ( p − b) ( p − c) +) ∆ABC vuông A: S= AB.AC BC.AH = 2 Trang a a2 AH = , S= +) ∆ABC đều, cạnh a: b) Hình vng: S = a (a: cạnh hình vng) c) Hình chữ nhật: S = ab (a, b: hai kích thước) d) Hình bình hành: · S= đ áy ì chiều cao =AB.AD.sin BAD Ã S = AB.AD.sin BAD = AC.BD e) Hình thoi: S = ( a + b) h f) Hình thang: (a, b: hai đáy, h: chiều cao) AC.BD g) Tứ giác có hai đường chéo vng góc: NHẮC LẠI CÁCH XÁC ĐỊNH CAC GĨC TRONG KHƠNG GIAN S= Góc cạnh bên mặt phẳng đáy Để tính góc S SA , ta gọi H hình chiếu vng góc Khi HA hình chiếu vng góc Vậy Góc cạnh bên mặt đứng Để tính góc biết Vì ta dựng nên Khi K hình chiếu vng góc B SK hình chiếu vng góc SB Vậy Góc hai mặt phẳng Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng thuộc hai mặt phẳng vuông góc với giao Trang tuyến Góc mặt bên mặt phẳng đáy Để tính góc góc S , ta gọi H hình chiếu vng Kẻ Vậy Góc mặt bên mặt đứng Để tính góc biết , ta kẻ Kẻ Vậy II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Thể tích khối chóp có cạnh bên vng góc với đáy Phương pháp Hình chóp có cạnh bên vng góc với đáy, cạnh bên chiều cao khối chóp Trang MƠ HÌNH Hình chóp , cạnh SA vng góc với đáy + Đáy tam giác ABC + Đường cao SA + Cạnh bên SB, SC, SA + , tam giác vuông A + Góc cạnh SB với đáy ABC góc + Góc cạnh SC với đáy ABC góc + Góc mặt bên SBC với đáy góc với H hình chiếu vng góc A BC MƠ HÌNH Hình chóp , có đáy ABCD hình chữ nhật (hình vng) SA vng góc với đáy + Đáy hình chữ nhật (hình vng) ABCD + Đường cao SA + Cạnh bên SA, SB, SC, SD + tam giác vng A + Góc cạnh SB với đáy ABCD + Góc cạnh SC với đáy ABCD + Góc cạnh SD với đáy ABCD + Góc mặt bên SBC với đáy ABCD + Góc mặt bên SCD với đáy ABCD Bài tập Bài tập Cho hình chóp đáy Diện tích tam giác có đáy hình vng Cạnh bên vng góc với Thể tích khối chóp cho Trang A B Bài tập Cho khối chóp khoảng cách từ A đến mặt phẳng C có đáy B D hình vng cạnh vng góc với đáy Thể tích khối chóp cho C D · Bài tập Cho hình chóp S ABC đáy ABC tam giác vuông B, AB = a , ACB = 60° cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SB tạo với mặt đáy góc 45° Thể tích khối chóp S ABC a3 A a3 B 18 a3 C a3 D 12 Bài tập Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang cân, ( AD P BC ) , cạnh AD = 2a , AB = BC = CD = a SA vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) , cạnh SC tạo với mặt phẳng đáy góc 60° Thể tích khối chóp S ABCD a3 A a3 B 3a 3 C 3a 3 D Bài tập Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD tứ giác lồi AC = 2a , BD = 3a , AC ⊥ BD SA vng góc với mặt phẳng tan α = ( ABCD ) , cạnh SC tạo với mặt phẳng đáy góc α thỏa mãn Thể tích khối chóp S ABCD 2a A a3 B a3 C a3 D 12 Bài tập Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng ( SAB ) ( SBC ) ( ABC ) , hai mặt phẳng · · vng góc với nhau, SB = a , BSC = 45° , ASB = 30° Thể tích khối chóp a3 SABC V Tỉ số V A B 3 C D Dạng Thể tích khối chóp có mặt bên vng góc với đáy Trang Phương pháp Hình chóp có mặt bên vng góc với đáy chân đường cao nằm giao tuyến mặt phẳng đáy Ta có: Hình chóp có hai mặt vng góc với đáy giao tuyến chúng vng góc với đáy Ta có: Bài tập Bài tập Cho hình chóp có đáy ABCD, , , tam giác SAB cân S nằm mặt phẳng vng góc với đáy, khoảng cách AB SC khối chóp A B Bài tập Cho hình chóp C A D có đáy ABC tam giác vng A, Hình chiếu điểm S mặt phẳng góc mặt phẳng Tính thể tích V mặt phẳng B , trùng với trung điểm đoạn thẳng BC Biết C Thể tích khối chóp D Trang Bài tập Cho hình chóp với mặt phẳng vng góc với đơi một, diện tích tam giác SAB, SBC, SAC khối chóp Thể tích A B Bài tập Cho hình chóp C có đáy hình vng cạnh a, hai mặt phẳng vng góc với đáy, biết BC Thể tích khối chóp A D Gọi M, N, P, Q trung điểm SB, SD, CD, B C D Dạng Thể tích khối chóp Phương pháp Hình chóp hình chóp có đáy đa giác cạnh bên Trong hình chóp đều: +) Đáy đa giác +) Đường cao hình chóp qua tâm đa giác đáy +) Các mặt bên tam giác cân Đường cao vẽ từ đỉnh mặt bên gọi trung đoạn hình chóp Chú ý: +) Phân biệt hình chóp tam giác khác với hình chóp có đáy tam giác Hình chóp tam +) Các cạnh bên hợp với đáy góc giác hình chóp có đáy tam giác +) Các mặt bên hợp với đáy góc cạnh bên Nói cách khác, hình chóp tam giác hình chóp có đáy tam giác điều ngược lại khơng +) Hình chóp tứ giác hình chóp có đáy hình vng Bài tập Trang Bài tập Cho khối chóp tam giác khối chóp có cạnh đáy a cạnh bên 2a Thể tích A B C Bài tập Cho hình chóp tam giác Thể tích khối chóp A có cạnh đáy a, góc cạnh bên mặt đáy B C Bài tập Cho hình chóp tứ giác đáy góc B C Bài tập Cho hình chóp tam giác ABC, góc SG mặt phẳng A D có cạnh đáy a cạnh bên tạo với mặt phẳng Thể tích khối chóp A D D có cạnh đáy a Gọi G trọng tâm tam giác Thể tích khối chóp B C D Bài tập Cho hình chóp tứ giác có tất cạnh nhau, đường cao mặt bên Thể tích V khối chóp A B C D Bài tập Cho khối chóp tứ giác có đáy hình vng tâm Cạnh bên Gọi cạnh trung điểm điểm đối xứng qua (tham khảo hình vẽ bên) Thể tích khối đa diện A B C D Trang Bài tập 7: Cho hình chóp cho diện tích A có cạnh bên cạnh đáy a Cho điểm nhỏ Giá trị B C D Dạng Thể tích khối chóp biết trước đường thẳng vng góc với đáy Phương pháp Hình chóp có cạnh bên vng góc với đáy, cạnh bên chiều cao khối chóp Việc tính SH ta thường dựa vào hệ thức lượng tam giác vuông Đề thường cho mối quan hệ góc đường thẳng với mặt phẳng góc hai mặt phẳng xác định độ dài đường cao Bài tập Bài tập Cho hình chóp có đáy tam giác vng cân A, cạnh , gọi M trung điểm BC, hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng trung điểm AM, tam giác SAM vuông S Thể tích khối chóp A B Bài tập Cho hình chóp C D , đáy tam giác ABC có , , , cạnh bên Gọi M trung điểm BC, hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng mãn Thể tích khối chóp A B Bài tập Cho hình chóp C điểm H thỏa D có đáy hình chữ nhật cạnh Hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng , trung Trang 10 cho Khi Đặc biệt: Ta có Ta có Suy Ta có Suy Trang 24 Mặt khác (điều phải chứng minh) Bài tập Bài tập Cho khối lăng trụ có M, N, P thuộc cạnh cho Đặt thể tích khối đa diện lại Tỉ số A B thể tích khối đa diện C D tích V độ dài cạnh bên lấy điểm M, N, P cho số dương thỏa mãn là Bài tập Cho hình lăng trụ tam giác Trên cạnh Biết thể tích khối đa diện với x, y Giá trị A B C D Dạng 11: Tỉ số thể tích khối hộp Phương pháp Cho hình khối hộp cắt cạnh , mặt phẳng Chứng minh M, N, P, Q cho Trang 25 Xét mặt phẳng Từ M, P ta kẻ đường thẳng Khi ta có song song với AC cắt theo thứ tự E, F Ta có Tương tự xét mặt phẳng Ta có Do Chia khối hộp hai khối thành Áp dụng tỉ số thể tích khối lăng trụ tam giác ta Bài tập Bài tập Cho hình lập phương có N trung điểm AN cắt cạnh chia khối lập phương thành hai phần tích tương ứng A M, P Tỉ số B Mặt phẳng qua C D Trang 26 Bài tập Cho hình hộp thuộc cạnh Một mặt phẳng qua M, N P Q Thể tích khối B C tích cạnh cho tích khối Bài tập Cho hình hộp A Gọi hai điểm M, N cho cắt cạnh A tích B D Gọi M, N, P thuộc Thể C D Dạng 12 Tách hình để tính thể tích Phương pháp Để tính thể tích khối da diện phức tạp ta Ví dụ: Cắt khối hộp mặt khơng tính trực tiếp mà tính gián tiếp thơng qua việc tính thể tích khối đơn giản (khối chóp, phẳng ta khối lăng trụ) + Khối đa diện A tạo khối đơn giản khối đa diện tích lớn Khi A B C D Hướng dẫn giải + Khối đa diện A bổ sung thêm khối để tạo thành khối B Khi + Ta sử dụng khơi phục lại hình ẩn ban đầu để tính tốn dễ dàng + Sử dụng phương pháp trải hình mặt phẳng để dễ hình dung tính tốn thuận tiện Trang 27 Cắt khối hộp mặt phẳng ta khối tứ diện , , , , Gọi V thể tích khối hộp Suy nên tứ diện tích lớn Chọn C Bài tập Bài tập Một khúc gỗ có dạng độ dài cạnh cho hình vẽ Thể tích khúc gỗ A V = 12 B V = 96 C V = 36 D V = 24 Bài tập Một hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có ba kích thước cm, cm cm Thể tích khối tứ diện A.CB’D’ A B C D Bài tập Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ tích V Gọi M, N, P điểm nằm cạnh AA’, BB’, CC’ cho AM = AA’; BN = BB’; CP = CC’ Thể tích khối chóp M.BCPN A B C D Bài tập Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành Hai cạnh AC, BD cắt O Mặt phẳng (P) qua điểm O song song với mặt phẳng (SAD) cắt khối chóp S.ABCD tạo thành hai khối tích ; Tỉ số Trang 28 A B C thuộc cạnh DD’ cho D Mặt phẳng (AMP) cắt CC’ N Thể tích khối đa diện AMNPBCD A B C D Bài tập Cho tứ diện ABCD có cạnh Gọi M, N trung điểm cạnh AB BC Điểm P cạnh CD cho PD=2CP Mặt phẳng (MNP) cắt AD Q Thể tích khối đa diện BMNPQD A B C D Bài tập Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a Cạnh AA’=2a tạo với đáy góc A Thể tích khối tứ diện ACA’B’ B C D Bài tập Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ tích 15 Gọi M, N, P điểm cạnh A’B’, B’C’, BC cho M trung điểm A’B’, B’N= BP= Đường thẳng NP cắt đường thẳng BB’ E đường thẳng EM cắt đường thẳng AB Q Thể tích khối đa diện lồi AQPCA’MNC’ A B C D Dạng 13 Phục hình trải phẳng Bài tập Cho tứ diện ABCD có ; AB=a; hai mặt phẳng (ABD), (BCD) A B Bài tập Cho tứ diện Thể tích khối tứ diện Biết góc Thể tích tứ diện ABCD C có ; D Trang 29 A B C D Bài tập Một kiến vị trí M trung điểm cạnh hộp hình lập phương cạnh 5cm Con kiến muốn bò qua sáu mặt hộp quay trở lại M Quãng đường bò ngắn kiến A B C D Bài tập Cho hình chóp tứ giác kiến bị từ đỉnh A đáy để tất mặt xung quanh trở vị trí A Biết cạnh bên 6cm, cạnh đáy 4cm Quãng đường ngắn mà kiến A B C Bài tập 13 Cho hình chóp tứ giác cạnh SA Trên cạnh có cho chu vi tam giác Gọi Q trung điểm không trùng với đỉnh theo a B Bài tập Cho hình chóp D lấy điểm hình chóp Giá trị nhỏ tổng A C có nhỏ Tỉ số D Lấy thuộc cạnh gần giá trị giá trị sau? Trang 30 A B C D Dạng 14.Bài toán cực trị liên quan đến thể tích khối đa diện Phương pháp Bước 1: Chọn ẩn Ẩn góc α cạnh thích hợp khối đa diện Bước 2: Với ẩn số chọn bước 1, ta xem yếu tố cho để tính thể tích V khối đa diện theo phương pháp biết Bước 3: Ta có hàm số f ( x) ,∀x∈ D mà cần tìm giá trị lớn giá trị nhỏ Dùng bất đẳng thức cổ điển (Cơ-si hay Bunhiacopxki) sử dụng tính đơn điệu hàm để tìm giá trị lớn giá trị nhỏ Bất đẳng thức Cô-si a) a+ b ≥ ab Cho a ≥ 0, b ≥ ta có Đẳng thức xảy a = b b) a + b+ c ≥ abc Cho a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ ta có Đẳng thức xảy a = b = c c) Cho a1 ≥ 0, a2 ≥ 0, K , an ≥ a1 + a2 + K + an n ≥ a1.a2 K an n Ta có Đẳng thức xảy a1 = a2 = K = an Các bất đẳng thức Các dạng hay sử dụng +) a b 1 + ≥ 2,∀a, b > 0; + ≥ ; b a a b ( a + b) a + ≥ 2,∀a > a ( + ) 4ab ≤ ( a + b) ≤ a2 + b2 ) ( ) + ) 3( ab+ bc + ca) ≤ ( a + b + c) ≤ a2 + b2 + c2   +) ( a + a + K + a )  a1 + a1 + K + a1 ÷÷≥ n ⇔ 1 n2 + +K + ≥ a1 a2 an a1 + a2 + K + an n  n  Bất đẳng thức Bunhiacopxki a Dạng đa thức Bất đẳng thức Bunhiacopxki Trang 31 Cho số (a ( n∈ Z,n ≥ 2) : a ,a ,K , a n )( + a22 + K + an2 b12 + b22 + K + bn2 ≥ ( a1b1 + a2b2 + K + anbn ) Dấu " = " xảy ⇔ ( b ,b ,K ,b ) ta có ( b ,b ,K ,b ) với ∀b1, b2,K , bn > n ) a a1 a2 = =K = n b1 b2 bn b Dạng phân thức Cho số ( n∈ Z,n ≥ 2) : a ,a ,K , a n n a ( a1 + a2 + K + an ) a12 a22 + +K + n ≥ b1 b2 bn b1 + b2 + K + bn Ta có Bài tập: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác ABC vng cân C SA vng góc với ( SBC ) tạo với mặt đáy góc α Thể tích khối chóp mặt phẳng đáy Cho SC = a , mặt phẳng S ABC đạt giá trị lớn a3 A 16 a3 B 27 a3 C 48 a3 D 24 Hướng dẫn giải Chọn B ·SBC , ABC = SC · =α ( ) ( ) ) ( · , AC ) = SCA ( Ta có Xét ∆SAC vng A có  SA = SC.sin α = a sin α   AC = SC.cos α = a cos α 1 1  ⇒ VS ABC = S∆ABC SA =  AC ÷.SA = ( a cos α ) a sin α = a cos α sin α 3 2  6 VS ABC đạt giá trị lớn biểu thức Trang 32 P = cos α sin α = ( − sin α ) sin α đạt giá trị lớn Cách 1: Đặt t = sin α Vì < α < 90° nên < sin α < ⇒ < t ( ⇒ P = 1− sin α 2 ) ( 1− sin α ) ( 1− sin α ) ( 2sin α ) = 2 sin α 2 2 2 Áp dụng Cô-si cho số dương 1− sin α ,1− sin α 2sin α , ta được: ( 1− sin α ) ( 1− sin α ) ( 2sin α ) 2 ( ) ( ) (  1− sin2 α + 1− sin2 α + 2sin2 α ≤   ( 1− sin α ) ( 1− sin α ) ( 2sin α ) ≤ ⇒ 2 ⇒ P 2max = )   = 27   27 ⇒ Pmax = 27 Đẳng thức xảy 1− sin2 α = 2sin2 α ⇔ sinα = Trang 33 Vậy maxVS.ABC = a3 a3 a3 Pmax = = 6 27 Bài tập Bài tập Cho hình chóp có đoạn thẳng thay đổi cho , cạnh lại Thể tích khối chóp A B vng thẳng có đáy D hình vng cạnh nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi mặt phẳng , với B C D Bài tập Khối chóp có đáy hình thoi cạnh thay đổi Thể tích lớn khối chóp góc tạo đường , C có đáy vng góc với mặt phẳng đáy cho mặt phẳng thể tích khối chóp cạnh B Bài tập : Cho hình chóp Tam giác Tìm giá trị lớn thể tích khối chóp A A đạt giá trị lớn C Bài tập Cho hình chóp , D hình vuông cạnh 2, Gọi hai điểm thay đổi hai cạnh vng góc với mặt phẳng Tính tổng đạt giá trị lớn Trang 34 A B C D Bài tập 5: Cho hình chóp Hình chiếu có đáy tam giác vng mặt phẳng đáy điểm tạo với góc cho mặt phẳng mặt phẳng Thể tích lớn khối chóp B C D bên mặt phẳng đáy với tạo với mặt phẳng đáy góc A Bài tập Cho hình chóp tứ giác với có cạnh bên Thể tích khối chóp , góc tạo mặt đạt giá trị lớn A B C D Bài tập Một hình hộp chữ nhật có diện tích tồn phần Thể tích lớn khối hộp chữ nhật A B C D Bài tập Cho hình lăng trụ đứng , đáy tam giác vuông Trang 35 Khoảng cách từ đến khoảng cách từ đổi, góc hai mặt phẳng trụ nhỏ góc A B C D không Để thể tích khối lăng có giá trị gần giá trị sau đây? Bài tập Cho hình hộp chữ nhật phẳng đến có hợp với góc Hai mặt Đường chéo hợp với mặt phẳng góc Hai góc thay đổi thỏa mãn hình hộp ln hình lăng trụ Giá trị lớn thể tích khối hộp A B C D Dạng 15: Sử dụng thể tích để tính khoảng cách Phương pháp • Để tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ta sử dụng phương pháp đổi đỉnh áp dụng cơng thức • Trong thể tích khối đa diện, diện tích đáy khoảng cách từ đỉnh đến mặt đáy • Để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo ta áp dụng công thức Trang 36 Bài tập Bài tập Cho hình chóp có đáy tam giác vng góc với đáy Biết Khoảng cách từ điểm Cạnh vuông đến mặt phẳng A B C D Bài tập Cho tứ diện cạnh điểm Tổng khoảng cách từ nằm tứ diện đến mặt tứ diện A B C D Bài tập Cho hình hộp chữ nhật Lấy điểm cạnh Khoảng cách từ điểm có Khoảng cách từ đến A B C D Bài tập Cho tứ diện ABCD có Khoảng cách từ A đến mặt phẳng A B Trang 37 C Bài D tập Cho hình chóp S.ABC có Góc Tính khoảng cách d hai đường thẳng SA BC A B C D Bài tập Cho tứ diện ABCD tích V Trên AB lấy hai điểm M, N CD lấy hai điểm P, Q thỏa mãn Thể tích khối MNPQ đạt giá trị lớn A B C D Trang 38 ... tích khối đơn giản (khối chóp, phẳng ta khối lăng trụ) + Khối đa diện A tạo khối đơn giản khối đa diện tích lớn Khi A B C D Hướng dẫn giải + Khối đa diện A bổ sung thêm khối để tạo thành khối. .. khác (điều phải chứng minh) Bài tập Bài tập Cho khối lăng trụ có M, N, P thuộc cạnh cho Đặt thể tích khối đa diện cịn lại Tỉ số A B thể tích khối đa diện C D tích V độ dài cạnh bên lấy điểm... Trang 27 Cắt khối hộp mặt phẳng ta khối tứ diện , , , , Gọi V thể tích khối hộp Suy nên tứ diện tích lớn Chọn C Bài tập Bài tập Một khúc gỗ có dạng độ dài cạnh cho hình vẽ Thể tích khúc gỗ A