BÀI 3 THỂ TÍCH KHỐI đa DIỆN

BÀI THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN MỤC TIÊU: Kiến thức: -Biết cơng thức tính thể tích khối lăng trụ, khối chóp -Biết cách xác định chiều cao khối lăng trụ, khối chóp thơng qua mối quan hệ góc, khoảng cách hệ thức lượng tam giác -Biết cách tính thể tích khối đa diện phương pháp gián tiếp: phân chia khối đa diện, tách ghép, bổ sung khối đa diện, sử dụng công thức tỉ số thể tích -Biết liên hệ với tốn thực tế thơng qua giải tốn thực tế, tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ Kỹ năng: -Thành thạo cơng thức tính diện tích khối đa diện -Tính khoảng cách, góc thơng qua tồn thể tích I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Cơng thức tính thể tích khối chóp, lăng trụ Thể tích khối chóp: V  S day h Trong đó: S day : Diện tích mặt đáy h: Độ dài chiều cao khối chóp Thể tích khối lăng trụ: V  Sday h Trong đó: S day : Diện tích mặt đáy h: Chiều cao khối chóp Chú ý: Lăng trụ đứng có chiều cao cạnh bên Thể tích khối hộp chữ nhật V = a.b.c Thể tích khối lập phương: V = a Chú ý: +) Đuờng chéo hình vng cạnh a là: a +) Đường chéo hình lập phương cạnh a là: a +) Đường chéo hình hộp chữ nhật có ba kích thước a, b, c là: a  b2  c2 Trang +) Đuờng cao tam giác cạnh a là: a Các cơng thức hình phẳng Hệ thức lượng tam giác a) Cho ∆ABC vuông A, đường cao AH +) AB2  AC  BC ; +) AH.BC = AB.AC; +) AC  CH BC +) AB2  BH BC 1 +) AH  BH  HC ; +)   2 AH AB AC +) AB  BC  sin C  BC  cos B  AC  tan C  AC  cot B b) Cho ∆ABC có độ dài ba cạnh a, b, c, độ dài trung tuyến ma , mb , mc , bán kính đường trịn ngoại tiếp R; bán kính đường tròn nội tiếp r, nửa chu vi p +) Định lí hàm số cosin: a2  b2  c2  2bc  cos A b2  c2  a2  2ca  cos B c2  a2  b2  2ab  cos C a b c +) Định lí hàm số sin:    2R sin A sin B sin C +) Độ dài trung tuyến: ma2  b2  c a 2 c  a b2 a  b2 c  ; mb   ; mc   4 Các cơng thức tính diện tích a) Tam giác: 1 +) S  a   b  hb  c  hc 2 1 +) S  bc sin A  ca  sin B  ab sin C 2 abc +) S  4R +) S=pr ( p: nửa chu vi tam giác) +) S  p ( p  a )( p  b)( p  c) Trang +) ∆ABC vuông A: S  AB  AC BC  AH  2 +) ∆ABC đều, cạnh a: AH  a a2 ,S  b) Hình vng: S  a (a: cạnh hình vng) c) Hình chữ nhật: S = ab (a, b: hai kích thước) d) Hình bình hành: S = đáy x chiều cao = AB.AD.sin BAD e) Hình thoi: S  AB  AD  sin BAD  f) Hình thang: S  AC  BD (a  b)h (a, b: hai đáy, h: chiều cao) Trang g) Tứ giác có hai đường chéo vng góc: S  AC  BD Một số kĩ thuật tính thể tích hay dùng Kĩ thuật chuyển đỉnh Khi đáy khơng đổi ta chuyển đỉnh để việc tính tốn dễ dàng +) Trường hợp 1: Đỉnh đỉnh cũ nằm đường thẳng song song với đáy: Vmoi  Vcu +) Trường hợp 2: Đỉnh đỉnh cũ nằm đường thẳng cắt đáy: Vmöi BM  Vcu AM Kĩ thuật chuyển đáy Khi chiều cao khơng đổi ta chuyển đáy để việc tính tốn dễ dàng hơn: VSABCD SSABCO  VEFG S EFG Trang Góc đường thẳng mặt phẳng Góc đường thẳng mặt phẳng góc đường thẳng hình chiếu vng góc mặt phẳng Góc cạnh bên mặt phẳng đáy Để tính góc ( SA, ( P)) , ta gọi H hình chiếu vng góc S (P) Khi HA hình chiếu vng góc SA (P) Vậy ( SA, ( P))  ( SA, AH )  SAH Góc cạnh bên mặt phẳng đứng  BK  AH Để tính góc ((S A B),(S A H)) biết (SAH )  ( P) ta dựng BK  AH ( K  AH ) Vì  nên  BK  SH BK  (SAH ) Khi K hình chiếu vng góc B (SAH) => SK hình chiếu vng góc SB (SAH) Vậy (( SAB ), ( SAH ))  ( KI , BI )  BIK Góc hai mặt phẳng Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng thuộc hai mặt phẳng vuông góc với giao tuyến Góc mặt bên mặt phẳng đáy Để tính góc ((S AB),(P)) ta gọi H hình chiếu vng góc S (P) Kẻ HI  AB ( I  AB)  AB  HI  AB  ( SHI )  AB  SI =>   AB  SH Vậy ((S AB,(P))  ( SI , HI )  SIH Trang Góc bên mặt đứng Để tính góc ((S A B),(S A H)) biết (SAH )  ( P) , ta kẻ  BK  HA BK  HA ( K  HA)    BK  ( SHA)  BK  SH Kẻ KI  SA(l  SA)  SA  KI   SA  ( BKI )  SA  BI  SA  BK Vậy: (( SAB ), ( SAH ))  ( KI , BI )  BIK II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Thể tích khối chóp Bài tốn Thể tích khối chóp có cạnh bên vng góc với đáy ►Phương pháp giải Hình chóp có cạnh bên vng góc với đáy, cạnh bên chiều cao khối chóp MƠ HÌNH Hình chóp S.ABC, cạnh SA vng góc với đáy 1.Đáy tam giác ABC Đường cao SA Cạnh bên SB, SC,SA ∆SAB, ∆SAC tam giác vuông A 5.Góc cạnh SB với đáy ABC góc SBA Góc cạnh SC với đáy ABC góc SCA Góc mặt bên SBC với đáy góc SHA với H hình chiếu vng góc A BC Trang MƠ HÌNH Hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD hình chữ nhật (hình vng) SA vng góc với đáy 1.Đáy hình chữ nhật (hình vng) ABCD Đường cao SA 3.Cạnh bên SA, SB, SC, SD ∆SAB, ∆SAC, ∆SAD tam giác vng A Góc cạnh SB với đáy ABCD SBA Góc cạnh SC với đáy ABCD SCA Góc cạnh SD với đáy ABCD SDA Góc mặt bên SBC với đáy ABCD SBA Góc mặt bên SCD với đáy ABCD SDA Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác vng A, AB = a, AC = 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy SA = a Thể tích khối chóp S.ABC a3 a3 a3 A V  a B V  C V  D V  Chú ý: Chóp tam giác O.ABC có OA, OB, OC đối mặt vng góc thể tích khối chóp S.ABC OA.OB.OC V Hướng dẫn giải Diện tích đáy 1 S ABC  AB  AC  a  2a  a 2 Chiều cao: SA = a Vậy VSABC 1 a3  S ABC SA  a  a  3 Trang Chọn C Ví dụ Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt đáy SA  a Thể tích khối chóp S.ABCD là: a3 Hướng dẫn giải Diện tích đáy S ABCD  a A B a C a3 D a3 Chiều cao: SA  a 1 a3 Vậy VABCD  B.h  a  a  3 Chọn A Ví dụ Cho hình chóp S.ABC đáy ABC tam giác vuông B, AB = a, ACB = 60° cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SB tạo với mặt đáy góc 45° Thể tích khối chóp S.ABC a3 A Hướng dẫn giải a3 B 18 a3 C Ta có ∆ABC vng B nên BC  AB  cot ACB  a  cot 60   Sshec  a3 D 12 a 3 1 a a2 BABC  a   2 1 a a2 BA  BC  a  ABC 2 Ta có AB hình chiếu vng góc SB (ABC) S   ( SB, ( ABC ))  ( SB, AB)  SBA  45 ∆SAB vuông A nên SA  AB  tan SBA  AB  tan 45  a Trang 1 a2  a3 Vậy VS ABC  S ABC  SA  a  3 18 Chọn B Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang cân, (AD// BC), cạnh AD = 2a, AB = BC = CD = a SA vng góc với mặt phẳng (ABCD), cạnh SC tạo với mặt phẳng đáy góc 60° Thể tích khối chóp S.ABCD a3 a3 3a 3 3a 3 B C D 4 Hướng dẫn giải Gọi M trung điểm AD Ta chia hình thang cân ABCD thành ba tam giác ABM, BCM, CDM, ba tam giác tam giác cạnh a A Do S ABCD 3a  Ta có AC hình chiếu vng góc SC (ABCD)= ( SC , ( ABCD))  ( SC , AC )  SCA  60 Lại có AH đường cao tam giác ABM nên AH = AB a   AC  AH  a 2 ∆SAC vuông A nên SA  AC  tan SCA  AC  tan 60  3a 1 3a  3a 3  3a  Vậy VS ABCD  S ABCD  SA   3 4 Chọn C Nhận xét: Việc chia nhỏ hình thang cân ABCD thành ba tam giác giúp ta thuận tiện việc tính diện tích đáy Chú ý: Nếu ABC tam giác S ABC  AB Trang Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD tứ giác lồi AC = 2a, BD = 3a, AC  BD SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), cạnh SC tạo với mặt phẳng đáy góc α thoả mãn tan α = Thể tích khối chóp S.ABCD là: 2a 3 Hướng dẫn giải A B Ta có AC  BD  S ABCD  a3 C a3 D a3 12 AC  BD  3a Do AC hình chiếu vng góc SC (ABCD) nên ( SC , ( ABCD))  ( SC , AC )  SCA    SA  AC  tan   2a 1 2a 2a Vậy VS ABCD  SS ABCD SA  3a   3 3 Chọn A Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với mặt phẳng (ABC), hai mặt phẳng (SAB) (SBC) | ‫د‬ vng góc với nhau, SB = a , BSC = 45°, ASB = 30° Thể tích khối chóp SABC V Tỉ số A B 3 C 3 D Hướng dẫn giải Ta có: SA  ( ABC)  (SAB)  ( ABC ) ( SBC )  ( SAB), ( ABC )  ( SAB)  BC  ( SAB) Mà  ( SBC )  ( ABC )  BC  ABC, SBC tam giác vuông B Trang 10 a3 l V 1-C 2-B 3-C 4-D 5-C 6-D 7-D 8-C 9-C 10-A 11-B 12-D 13-B 14-A 15-D 16-A 17-C 18-C 19-A 20-A 21-C 22-C 23-C 24-C 25-B 26-D 27-D 28-C Dạng Sử dụng thể tích để tính khoảng cách Phương pháp giải • Để tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ta sử dụng phương pháp đổi đỉnh áp dụng Công thức 3V V  h.S  h  S Trong V thể tích khối đa diện, S diện tích đáy h khoảng cách từ đỉnh đến mặt đáy • Để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo ta áp dụng công thức 6V V  AB.CD.sin( AB, CD)d ( AB; CD)  d ( AB; CD)  AB.CD.sin( AB, CD) Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông B Cạnh SA vuông góc với đáy Biết SA  a , AB  b Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) ab 2ab ab ab A B C D a  b2 a  b2 a  b2 a  b2 Hướng dẫn giải Ta có d  A, ( SBC )   3VA.SBC S SBC Ta có 1 VA.SBC  VS ABC  SA.S ABC  SA AB.BC Mặt khác SA  (SBC)  SA  BC mà AABC vuông B nên BC  BA Suy BC  SB hay SBC vuông B  S SBC  BC  BS SA AB.BC SA AB   Vậy d ( A, ( SBC ))  SB SB.BC Chú ý: SA AB SA  AB 2  ab a  b2 Trang 90 Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC)bằng chiều cao hình chóp A.SBC Do đó: 3V d  A, ( SBC )   ASBC S SBC Chọn D Ví dụ Cho tứ diện cạnh điểm I nằm tứ diện Tổng khoảng cách từ Iđến mặt tứ diện A B C D Hướng dẫn giải Xét tứ diện ABCD có diện tích đáy chiều cao nên thể tích tứ diện ABCDlà 12 Gọi h1 , h2 , h3 , h4 , khoảng cách từ I đến mặt (BCD),(ACD),(ABD),(ABC) V Đặt V1  VIBCD ,V2  VIACD ,V3  VIABD ,V4  VIABC Ta có V  V1  V2  V3  V4 3V1 V1  h1.S BCD  h1  S BCD Tương tự h2  3V3 3V2 3V4 , h3  , h4  S ACD S ABD S ABC Vậy h1  h2  h3  h4  3V 3V1 3V 3V    S BCD S ACD S ABD S ABC Tứ diện ABCD tứ diện nên S BCD  S ACD  S ABD  S ABC  V1  V2  V3  V4  3V  3 4 I  A Cách trắc nghiệm : Chọn đặc biệt tổng khoảng cách từ I đến mặt tứ diện Suy h1  h2  h3  h4  khoảng cách từ A đến (BCD)và  Chọn D Ví dụ Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB  3, AD  4; AA '  Lấy điểm M cạnh AB cho AM  AM Khoảng cách từ C ' đến BD Khoảng cách từ điểm M đến  BC ' D  Trang 91 A B 12 C 3 D Hướng dẫn giải BM 4   VM BC ' D  VABC ' D AB 5 1 Mà VABCD  VC ' ABO  CC  S ABD  CC  AB AD  10  VM BC ' D  Ta có BD  AB  AD  5, SC ' BD  dC ' B  BD  10 3V 12 Ta có VM BCD  d  M ,  BC ' D   S BCD  d  M ,  BC ' D    M BCO  S BC ' D Ta có BM  AM  Chọn B Ví dụ Cho tứ diện ABCD có AB  CD  4, AC  BD  5, AD  BC  Khoảng cách từ A đến mặt phẳng(BCD) 3 42 B C 7 Hướng dẫn giải Áp dụng công thức tính nhanh thể tích khối tứ diện gần đều, ta có VABCD  a  b  c a  b  c a  b  c A     4  Suy SBCD  p ( p  4)( p  5)( p  6)    52  62  42  52  62  42  52  62   BC  CD  DB   15   Ta có p  2 D 15 15 15 3VABCD  42 Ta có d ( A, ( BCD))    SBCD 15 Chọn C Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có SA  2, SB  3, SC  Góc ASB  450 , BSC  600 , CSA  900 Tính khoảng cách d hai đường thẳng SA BC Trang 92 34 17 Hướng dẫn giải A B d  34 17 C 34 17 D 34 17 Hình chóp S.ABC có SA  a, SB  b, SC  c ASB   , BSC   , ASC    VS ABC  abc  cos   cos   cos   2cos  cos  cos   VS ABC  Ta có: AC  20; BC  13 cos( SA, BC )  SB  SC  AC  AB 32  42  20  13    2SA.BC 2.2 13 26 Suy sin( SA, BC )  6V 34 17 Suy d ( SA, BC )   17 26 SA.BC.sin( SA, BC ) Chọn C Ví dụ Cho tứ diện ABCD tích V Trên AB lấy hai điểm M,N CD lấy hai điểm P,Q thỏa MN PQ 3  Thể tích khối MNPQ đạt giá trị lớn mãn CD AB V V V V A B C D 16 32 24 Hướng dẫn giải AB.CD.d ( AB, CD).sin( AB, CD);  MN PQ.d ( MN , PQ).sin( MN , PQ) VABCD  VMNPQ Trang 93 Do d ( AB, CD)  d (MN , PQ) sin( AB, CD)  sin( MN , PQ) nên Ta có VMNPQ VABCD  MN PQ AB.CD MN PQ MN PQ MN PQ 3 2 3 2  CD AB CD AB CD AB MN PQ MN PQ   3 1 CD AB CD AB VMNPQ MN PQ 1      CD AB 24 VABCD 24  Vậy VMNPQ  V V  MaxVMNPQ  24 24 Chọn C Bài tập tự luyện dạng Câu : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a.M,N trung điểm AB AD, H giao điểm CN với MD Biết SH  ( ABCD), SH  a Khoảng cách DM SC 3a 57 2a 57 3a 57 2a 57 B C D 38 19 19 27 Câu : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng, SA vng góc với đáy, mặt bên (SCD) tạo A với mặt đáy góc 600 , M trung điểm BC Biết thể tích khối chóp S.ABCD a3 Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SCD) A a B a C a D a Câu : Cho khối chóp S.ABC tích 24cm3 , SB  BC  5cm, SC  cm Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) A 3cm B 4cm C 6cm D 12cm Câu : Cho khối chóp S.ABCD tích V  6a3 , đáy ABCD hình thang với hai đáy AD BC thỏa mãn AD  2BC, diện tích tam giác SCD 34a2 Khoảng cách từ B đến (SCD) A 34 a 34 B 34 a 17 C 34 a 17 D 34 a 17 Câu : Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có AB  a, AC  2a, AA  2a BAC  1200 Gọi K,I trung điểm cạnh CC', BB' Khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (A'BK) a a a a 15 B C D 6 Câu : Cho hình lập phương ABCD A1B1C1D1 có cạnh a Khoảng cách đường thẳng A1B B1 D A a a a a B C D 6 Câu : Cho hình chóp S.ABC có hình chiếu vng góc điểm S nằm tam giác ABC Tam giác ABC có bán kính đường trịn nội tiếp r  3, BC  diện tích tam giác ABC S  10 Các mặt bên A hình chóp S.ABC tạo với đáy góc 600 Khoảng cách h từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) Trang 94 B h  A h  C h  3 D h  Câu : Cho tứ diện ABCD có AB  3a, AC  2a, AD  5a; BAC  CAD  DAB  600 Khoảng cách từ C đến (ABD) A 2a a B C a 2a D Câu : Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Tam giác SAD cân S mặt bên  SAD  vng góc với mặt phẳng đáy Biết thể tích khối chóp S.ABCD a Khoảng cách h từ B đến mặt phẳng  SCD  A h  a B h  a C h  a D h  a Câu 10 : Cho hình chóp S.ABC có độ dài đường cao từ đỉnh đến mặt phẳng đáy(ABC) a 21 Góc tạo mặt bên với mặt phẳng đáy 600 Gọi M,N trung điểm AB,SC Khoảng cách hai đường thẳng SA,MN 6a 9a 3a 12a B C D 42 42 42 42 Câu 11 : Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc A ' A a3 Khoảng cách đáy (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết thể tích khối lăng trụ hai đường thẳng AA' BC 3a 4a 3a 2a A B C D Câu 12 : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc S (ABC) điểm H thuộc cạnh AB cho HA  HB Góc đường thẳng SC (ABC) 600 Khoảng cách hai đường thẳng SA BC a 42 AC  Độ dài cạnh Câu 13 : Cho khối tứ diện ABCD tích V  , góc ACB  450 AD  BC  A a 21 B A a 42 24 C B a 21 D C D.2 Câu 14 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi tâm O cạnh a, ABC  600 , SA  SB  SC  2a Khoảng cách AB SC a 22 a 11 12 ĐÁP ÁN 1-B 2-C 3-C 4-D 11-C 12-D 13-B 14-C A B C 5-A a 11 6-C D 7-A 8-A a 22 12 9-A 10-A Dạng Bài toán thực tế khối đa diện Trang 95 Phương pháp giải Phân tích tốn, chuyển kiện thực tế hình Áp dụng bất đẳng thức, đạo hàm để giải tốn tối ưu Ví dụ mẫu Ví dụ Kim tự tháp Cheops (có dạng hình chóp đều) kim tự tháp cao Ai Cập Đáy kim tự tháp hình vng có cạnh dài 230m Các lối phòng bên chiếm 30%, khối lượng riêng đá 2,5.103 kg / m3 Khối lượng đá tạo nên kim tự tháp 4443600 Chiều cao kim tự tháp A 148m B 144m C 154m Hướng dẫn giải Áp dụng công thức tính khối lượng riêng để tính thể tích đá m m Ta có: D   V1  V1 D Thể tích khối kim tự tháp V  V1 Diện tích đáy S  2302  m2  Chiều cao h  D 156m 100 10m  (do lối phòng bên chiếm 30%) 70 7D 3V 3.4443600.10   144m S 2,5.2302.7 Chú ý: Cơng thức tính khối lượng riêng: D  m m V  Trong D khối lượng riêng, m khối V D lượng V thể tích Chọn B Ví dụ Một công ty sữa cần sản xuất hộp đựng sữa dạng hình hộp chữ nhật có đáy hình vng, chứa thể tích thực 180 ml Chiều cao hình hộp để nguyên liệu sản xuất vỏ hộp nhất? A 1802 (cm) B 360(cm) C 720(cm) D 180(cm) Hướng dẫn giải Gọi x độ dài cạnh đáy, h chiều cao hình hộp Trang 96 180 x2 Nguyên liệu sản xuất vỏ hộp diện tích tồn phần S nhỏ 180 720 360 360  2x2   Ta có S  x  xh  x  x   x  x x x x Theo ta có: x h  180  h   360  360  Ta có S  3 x     2.360 x x    360  x3  180  x  180 Dấu xảy khi: x  x Khi h  180 Hướng tư duy: Gọi x độ dài cạnh đáy, h chiều cao hình hộp Ta rút h theo x Nguyên liệu sản xuất vỏ hộp diện tích tồn phần s nhỏ Thay h theo x vào công thúc S S cịn ẩn x ta sử dụng bất đắng thức công cụ đạo hàm để tìm minS Chọn D Ví dụ Cho nhơm hình vng cạnh 12cm Người ta cắt bốn góc nhơm bốn hình vng nhau, hình vng có cạnh x(cm), gập nhơm lại hình vẽ để hộp khơng nắp Tìm x để hộp nhận tích lớn A x  B x  C x  D x  Hướng dẫn giải Ta có: h  x  cm  chiều cao hình hộp Vì nhơm gấp lại tạo thành hình hộp nên cạnh đáy hình hộp là: 12  x  cm  Vậy diện tích đáy hình hộp S  (12  x)  cm  x  x    x  (0;6) Ta có:  x  12  x  Thể tích hình hộp là: V  S.h  x.(12  x)2 Xét hàm số: y  x.(12  x)2 x  (0;6) Ta có: y '  (12  x)2  x(12  2x)  (12  x)(12  x); y '   (12  x).(12  x)   x  x  (loại) Suy với x  thể tích hợp lớn giá trị lớn y    128 Chọn C Ví dụ Một xưởng sản xuất thùng nhơm hình hộp chữ nhật khơng nắp có kích thước x, y, z  dm  Biết tỉ số hai cạnh đáy x : y  1: 3, thể tích khối hộp 18cm Để tốn vật liệu tổng x  y  z bằng: A 10 dm B 19 dm C 26 dm D 26 dm Hướng dẫn giải Trang 97 Ta có x : y  1:  y  3x x2 Tổng diện tích vật liệu khơng nắp cần dùng là:  48  xy  2( xz  yz )  x.3 x   x   x    x  x  x  x Theo giả thiết, ta có xyz  18  z  48 (0; ), ta f  x  nhỏ x  x 19 Khi x   y  6, z   x  y  z  (dm) 2 Chú ý: Ta biểu diễn ấn y,z theo X ẩn x ta sử dụng bất đẳng thức Cơng cụ đạo hàm để tìm S Cách khác: Áp dụng Cô-si 48 8  3x    x2    x x x  Xét hàm f ( x)  3x  8  3.3 x    36 x x Dấu "=" xảy 8  x    x  x x Chọn B Bài tập tự luyện dạng Câu : Với bìa hình vng, người ta cắt bỏ góc bìa hình vng cạnh 12cm gấp lại thành hình hộp chữ nhật khơng có nắp Nếu dung tích hộp 4800cm3 cạnh bìa có độ dài A 38cm B 42cm C 36cm D 44cm Câu : Một hồ bơi có dạng hình hộp chữ nhật có chiều dài 50m, chiều rộng 30m Biết hồ bơi có 000 000 lít nước Độ sâu hồ bơi lúc A 3m B 2,5m C 2m D 3m Câu : Một hộp sữa tươi dạng hình hộp chữ nhật tích thực sữa 180 ml, người ta để khoảng khơng gian trống cho khơng khí vào 10% thể tích sữa Đáy hộp hình chữ nhật có diện tích 16,5cm2 Biết độ dày hộp giấy không đáng kể Hỏi chiều cao hộp sữa bao nhiêu? Trang 98 108 400 cm cm B 10cm C D 12cm 11 33 Câu : Tháp Eiffel Pháp cao 300 m, làm hoàn toàn sắt nặng khoảng 8000000 kg A Người ta làm mơ hình thu nhỏ tháp với chất liệu cân nặng khoảng 1kg Hỏi chiều cao mơ hình bao nhiêu? A 1,5 m B m C m D 3cm Câu : Một nhơm hình chữ nhật ABCD có AD  24cm Ta gấp nhôm theo hai cạnh MN QP vào phía đến AB CD trùng hình vẽ để hình lăng trụ khuyết hai đáy Tìm x để thể tích khối lăng trụ lớn A x  B x  C x  10 D x  Câu : Từ mảnh giấy hình vng cạnh a, người ta gấp thành hình lăng trụ theo hai cách sau +) Cách Gấp thành phần dựng lên thành hình lăng trụ tứ giác tích V1 , (Hình 1) +) Cách Gấp thành phần dựng lên thành hình lăng trụ tam giác tích V2 , (Hình 2) Trang 99 Tính tỉ số k  V1 V2 3 3 3 B k  C k  D k  Câu 7: Cắt miếng giấy hình vng hình xếp thành hình chóp tứ giác hình Biết cạnh hình vuông 20cm, OM  x  cm  A k  Tìm x để hình chóp tích lớn A x  6cm B x  8cm C x  7cm D x  9cm Câu : Từ bìa hình vng ABCD có cạnh dm, người ta cắt bỏ bốn tam giác cân AMB, BNC, CPD DQA Với phần lại, người ta gấp lên ghép lại để thành hình chóp tứ giác Hỏi cạnh đáy khối chóp để thể tích lớn nhất? 5 dm dm B dm C 2dm D 2 Câu : Một viên đá có hình dạng khối chóp tứ giác với tất cạnh a Người ta cắt khối đá mặt phẳng song song với đáy khối chóp để chia khối đá thành hai phần tích Tính diện tích thiết diện khối đá bị cắt mặt phẳng nói (Giả thiết tổng thể tích hai khối đá sau thể tích khối đá đầu) A a2 2a a2 a2 A B C D 4 Câu 10 : Người ta cần xây bể chứa nước sản xuất dạng khối hộp chữ nhật khơng nắp tích 200 m Đáy bể hình chữ nhật có chiều dài gấp đơi chiều rộng Chi phí để xây bể 300 nghìn đồng/m2? (chi phí tính theo diện tích xây dựng, bao gồm diện tích đáy diện tích xung quanh, khơng tính chiều dày đáy thành bể) Hãy xác định chi phí thấp để xây bể (làm tròn đến đơn vị triệu đồng) A 75 triệu đồng B 51 triệu đồng C 36 triệu đồng D 46 triệu đồng Câu 11 : Người ta cần lợp tơn cho mái nhà hình vẽ Biết mái trước, mái sau hình thang cân ABCD, ABEE; hai đầu hồi hai tam giác cân ADE, BCF A B Hình chiếu vng góc A mặt phẳng (CDEF) H Biết AB  16m, CD  FE  20m, AH  1,73m, ED  CF  6m Tính tổng diện tích S mái nhà (diện tích hai mái trước, sau hai đầu hồi) Trang 100 A S  141m2 B S  281m2 C S  261m2 D S  78m2 a Câu 12 : Cắt ba góc tam giác cạnh a đoạn x,  x  phần lại tam giác bên ngồi hình chữ nhật, gấp hình chữ nhật lại tạo thành khối lăng trụ tam giác hình vẽ Tìm độ dài x để thể tích khối lăng trụ lớn a a a a A B C D Câu 13 : Từ hình vng có cạnh người ta cắt bỏ tam giác vuông cân tạo thành hình tộ đậm hình vẽ Sau người ta gập thành hình hộp chữ nhật khơng nắp Thể tích lớn khối hộp A B 10 C D Câu 14 : Một hành lang hai nhà có hình dạng lăng trụ đứng hình vẽ Hai mặt bên ABB'A' ACCA hai kính hình chữ nhật dài 20(m) rộng 5(m) Gọi x(mét) độ dài cạnh BC Tìm x để khoảng không gian hành lang (kể hai kính) lớn nhất? A x  5(m) C x  17(m) D x  25(m) Câu 15 : Để thiết kế bể cá hình hộp chữ nhật khơng nắp có chiều cao 60cm, thể tích B x  2(m) Trang 101 96000cm3 Người thợ dùng loại kính để sử dụng làm mặt bên có giá thành 70 000 đồng/ m2 loại kính để làm mặt đáy có giá thành 100 000 đồng/m2 Tính chi phí thấp để hồn thành bể cá A 320 000 đồng B 32 000 đồng C 832 000 đồng D 68 800 đồng Câu 16 : Cho bìa hình chữ nhật có kích thước 60cm  40 cm Người ta cắt hình vng hình vẽ, hình vng cạnh x cm, gập bìa lại để hộp có nắp Tìm x để hộp nhận tích lớn 20 10 cm B x  4cm C x  5cm D x  cm 3 Câu 17 : Một hộp không nắp làm từ mảnh tơng theo hình vẽ Hộp có đáy hình A x  vng cạnh x cm, chiều cao thể tích 500 cm3 Tìm độ dài cạnh hình vng x cho hộp làm tốn bìa tơng A x  2cm B x  3cm C x  5cm D x  10cm Câu 18 : Một trang chữ sách giáo khoa cần diện tích 384 cm Lề 3cm, lề trái phải cm Kích thước tối ưu trang giấy A Dài 24 cm, rộng 16 cm C Dài 25 cm, rộng 15,36 cm B Dài 24 cm, rộng 17cm D Dài 25,6 cm, rộng15cm Câu 19 : Một trang trại chăn nuôi dự định xây dựng hầm biogas với thể tích 12m3 để chứa chất thải chăn ni tạo khí sinh học Dự kiến hầm chứa có dạng hình hộp chữ nhật có chiều sâu gấp rưỡi chiều rộng Hãy xác định kích thước đáy (dài, rộng) hầm biogas để thi cơng tiết kiệm ngun vật liệu (khơng tính đến bề dày thành bể) Ta có kích thước (dài, rộng - tính theo đơn vị m, làm trịn đến chữ số thập phân sau dấu phẩy) phù hợp yêu cầu Trang 102 A Dài 2,42 m rộng 1,82 m B Dài 2,74 m rộng 1,71 m C Dài 2,26 m rộng 1,88 m D Dài 2,19 m rộng 1,91 m Câu 20 :Một công ty sản xuất gỗ muốn thiết kế thùng đựng hàng bên dạng hình lăng trụ tứ giác khơng nắp tích 62,5 dm2 Để tiết kiệm vật liệu làm thùng, người ta cần thiết kế thùng cho có tổng s diện tích xung quanh diện tích mặt đáy nhỏ Khi tổng diện tích S C 50 5dm2 D 125dm2 Câu 21 : Khi xây dựng nhà, chủ nhà cần làm bể nước gạch có dạng hình hộp có đáy hình chữ A 106, 25dm2 B 75dm2 nhật chiều dài d (m) chiều rộng r(m) với d  2r Chiều cao bể nước h(m) thể tích bể 2m3 Hỏi chiều cao bể nước chi phí xây dựng thấp nhất? 3 2 B (m) C (m) D (m) (m) 2 3 Câu 22 : Bác An cần xây bể đựng nước mưa tích dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài gấp ba lần chiều rộng, đáy nắp đổ bê tông, cốt thép, xung quanh xây gạch xi măng Biết chi phí trung bình triệu đồng/m2 nắp để hở khoảng hình vng có diện tích diện tích nắp bể Chi phí thấp mà Bác An phải trả A 20 triệu đồng B 20,5 triệu đồng C 21 triệu đồng D.22 triệu đồng Câu 23 : Cho khối lập phương có cạnh 1m Biết chiều cao mực nước khối lập phương 0,6 m Hỏi đặt khối lập phương vị trí đứng cân cạnh hình vẽ chiều cao h mực nước tính từ mặt phẳng đạt bao nhiêu? A A h   25 m 50 B h   10 m 5 3 m m D h  5 Câu 24 : Một người xây nhà xưởng hình hộp chữ nhật có diện tích mặt sàn 1152m2 chiều cao cố định Người xây tường xung quanh bên để ngăn nhà xưởng thành ba phịng hình chữ nhật có kích thước (khơng kể trần nhà) Vậy cần phải xây phịng theo kích thước để tiết kiệm chi phí (bỏ qua độ dày tường) C h  A 16 m  24m B 8m  48m C 12m  32m D 24m  32m Trang 103 Câu 25 : Một kim tự tháp Ai Cập có hình dạng khối chóp tứ giác có độ dài cạnh bên số thực dương khơng đổi Gọi  góc cạnh bên kim tự tháp mặt đáy Khi thể tích kim tự tháp lớn nhất, tính sin  B sin   C sin   D sin   3 Câu 26 : Bên cạnh đường trước vào thành phố người ta xây tháp đèn lộng lẫy Ngọn A sin   tháp hình tứ giác S.ABCD cạnh bên SA  600 mét, ASB  150 Do có cố đường dây điện điểm Q (là trung điểm SA ) bị hỏng, người ta tạo đường từ A đến Q gồm bốn đoạn thẳng AM , MN , NP, PQ (hình vẽ) Để tiết kiệm kinh phí, kỹ sư nghiên cứu có chiều dài đường từ A đến ngắn Tính tỷ số k  AM  MN NP  PQ A k  B k  C k  D k  3 Câu 27 : Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh 1, M trung điểm cạnh AB Một kiến từ điểm M thẳng tới điểm N thuộc cạnh BC, từ điểm N thẳng tới điểm P thuộc cạnh CC ' từ điểm P thẳng tới điểm D ( điểm N,P thay đổi tùy theo hướng kiến) Quãng đường ngắn để kiến từ M đến D' A B  C D  2 2 1-D 2-C 3-D 4-A ĐÁP ÁN 5-B 6-C 11-A 12-D 13-A 14-C 15-C 16-A 17-D 21-D 22-C 23-B 24-A 25-B 26-D 27-A 7-B 8-C 9-D 10-B 18-B 19-C 20-B Trang 104 ... 22-C 23- A 24-B 25-C 26-B 27-B 28-A 29-C 30 -C 31 -A 32 -A 33 -A 34 -D 35 -C 36 -B 37 -B 38 -C 39 -C 40-C 41-D 42-B 43- C 44-A 45-D 46-D 47-A 48-B 49-A 50-C Dạng Thể tích khối lăng trụ Bài tốn Thể tích lăng... mặt phẳng (ABCD) 30 ° Thể tích khối chóp S.ABCD 4a a3 a3 2a 3 A B C D 13 Câu 33 : Khối chóp S.ABCD đáy ABCD hình bình hành Lấy điểm M cạnh CD Thể tích Khối chóp S.ABCD V Thể tích khối chóp S.ABM... cao h, góc đỉnh mặt bên 60° Thể tích khối chóp S.ABCD 3h3 h3 2h h3 B C D 3 Câu 26 : Cho khối chóp tứ giác S.ABCD có tất cạnh a Thể tích khối chóp S.ABCD A a3 a3 a3 a3 B C D 12 Câu 27 : Cho hình