Tóm tắt lý thuyết và bài tập trắc nghiệm khối đa diện và thể tích khối đa diện
CHỦ ĐỀ KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN A KIẾN THỨC CƠ BẢN a HÌNH HỌC PHẲNG Các hệ thức lượng tam giác vuông: Cho tam giác ABC vuông A , AH đường cao, AM đường trung tuyến Ta có: A B BC AB AC AH BC AB.AC AB BH BC , AC CH CB 1 , AH HB.HC 2 AH AB AC 2AM BC B H C M Các tỉ số lượng giác góc nhọn tam giác vuông: Cạnh huyền Cạnh đối α Cạnh kề Chọn Chọn góc góc nhọn nhọn α cạ n cạnhh đđốốii đđii sinα α= = sin ;; cạnnhh hhuyề uyềnn hhoọcïc cạ cạnnhh kkềề kkhô hônngg cạ cosα α= = cos ;; cạnnhh hhuyề uyềnn hhưư cạ cạnnhh đđốốii đđoà oànn cạ tanα α= = tan ;; cạnnhh kkềề kkeếtát cạ cạnnhh kkềề kkếếtt cạ cot α α= = cot ;; cạnnhh đđốốii đđoà oànn cạ Các hệ thức lượng tam giác thường: a Định lý cosin: A b2 c2 a a b c 2bc cos A cos A 2bc a c2 b2 b a c 2ac cos B cos B 2ac a b2 c2 2 c a b 2ab cosC cosC 2ab b c B a C 2 b Định lý sin: Trang 1/35 A c a b c 2R sin A sin B sin C (R bán kính đường trịn ngoại tiếp ∆ABC) b R a B C c Cơng thức tính diện tích tam giác: A c 1 S ABC a.ha b.hb c.hc 2 1 S ABC ab sin C bc sin A ac sin B 2 abc S ABC , S ABC p.r 4R p= p ( p − a )( p − b )( p − c ) b B C a p - nửa chu vi r - bán kính đường trịn nội tiếp d Cơng thức tính độ dài đường trung tuyến: A K N B AB AC BC 2 BA BC AC BN AM C M CA2 CB AB CK 4 Định lý Thales: A M B AM AN MN k AB AC BC AM k2 AB MN / /BC N C S AMN S ABC (Tỉ diện tích tỉ bình phương đồng dạng) Trang 2/35 Diện tích đa giác: B a Diện tích tam giác vuông: S ABC Diện tích tam giác vng bằng ½ tích cạnh góc vng C A b Diện tích tam giác đều: Diện tích tam giác đều: S Chiều cao tam giác đều: h B (cạnh).2 (cạnh) c Diện tích hình vuông và hình chữ nhật: A C B A Diện tích hình vuông bằng cạnh bình phương Đường chéo hình vuông bằng cạnh nhân Diện tích hình chữ nhật bằng dài nhân rộng a h a O D C A d Diện tích hình thang: SHình Thang (đáy lớn + đáy bé) x chiều cao a2 S ABC a h S HV a AC BD a D S B AD BC AH C H e Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc: Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc A bằng ½ tích hai đường chéo Hình thoi có hai đường chéo vuông góc tại trung điểm của mỗi đường AB.AC B C S H Thoi AC BD D b CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HÌNH HỌC Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng : d () d d d () (Định lý 1, trang 61, SKG HH11) d () () d () d ( ) (Hệ 1, trang 66, SKG HH11) Trang 3/35 d d ' () d ' d () (Tính chất 3b, trang 101, SKG HH11) d () Chứng minh hai mặt phẳng song song: () a, a ( ) () b, b ( ) () ( ) (Định lý 1, trang 64, SKG HH11) a b O () (Q ) () ( ) (Hệ 2, trang 66, SKG HH11) ( ) (Q ) () ( ) () d () ( ) (Tính chất 2b, trang 101, SKG HH11) ( ) d Chứng minh hai đường thẳng song song: Áp dụng một các định lí sau Hai mặt phẳng (), có điểm chung S và lần lượt chứa đường thẳng song song a, b thì giao tuyến chúng qua điểm S song song với a,B S () () a, b () Sx ( a b) (Hệ trang 57, SKG HH11) a b Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng () Nếu mặt phẳng ( ) chứa a cắt () theo giao tuyến b b song song với a a (), a b a (Định lý 2, trang 61, SKG HH11) () b Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng song song với đường thẳng đó () ( ) (P ) ( ) =d ,d d (Định lý 3, trang 67, SKG HH11) (P ) () d Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với d d d () d d (Tính chất 1b, trang 101, SKG HH11) d () Sử dụng phương pháp hình học phẳng: Đường trung bình, định lí Talét đảo, … Chứng minh đường thẳngvng góc với mặt phẳng: Định lý (Trang 99 SGK HH11) Nếu đường thẳng vng góc với hai đường thẳng cắt nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng d a () d b () d a b {O } Tính chất 1a (Trang 101 SGK HH11) Cho hai đường thẳng song song Mặt phẳng vng Trang 4/35 góc với đường thẳng vng góc với đường thẳng d d d d () Tính chất 2a (Trang 101 SGK HH11) Cho hai mặt phẳng song song Đường thẳng vng góc với mặt phẳng vng góc với mặt phẳng d d Định lý (Trang 109 SGK HH11) Nếu hai mặt phẳng cắt cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vng góc với mặt phẳng thứ ba P P d P d Định lý (Trang 108 SGK HH11) Nếu hai mặt phẳng vng góc đường thẳng nào nằm mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến vuông góc với mặt phẳng kiA P a P d P d , d a Chứng minh hai đường thẳng vng góc: Cách 1: Dùng định nghĩa: a b a , b 900 Hay a b a b a b a b cos a , b Cách 2: Nếu đường thẳng vng góc với hai đường thẳng song song phải vng góc với đường b//c a b a c Cách 3: Nếu đường thẳng vng góc với mặt phẳng vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng a a b b Cách 4: (Sử dụng Định lý Ba đường vuông góc) Cho đường thẳng b nằm mặt phẳng P a đường thẳng không thuộc P đồng thời không vuông góc với P Gọi a’ hình chiếu vng góc a P Khi b vng góc với a b vng góc với a’ a ' hch (P ) b a b a ' b P Cách khác: Sử dụng hình học phẳng (nếu được) Chứng minh mp mp : Cách 1: Theo định nghĩa: , 900 Chứng tỏ góc giữa hai mặt phẳng bằng 90 Cách 2: Theo định lý (Trang 108 SGK HH11): c HÌNH CHÓP ĐỀU Trang 5/35 Định nghĩa: Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu có đáy là một đa giác đều và có chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy Nhận xét: S Hình chóp đều có các mặt bên là những tam giác cân bằng Các mặt bên tạo với đáy các góc bằng Các cạnh bên của hình chóp đều tạo với mặt đáy các góc bằng Hai hình chóp đều thường gặp: A a Hình chóp tam giác đều: Cho hình chóp tam giác đều S ABC Khi đó: O B Đáy ABC là tam giác đều Các mặt bên là các tam giác cân tại S Chiều cao: SO SBO SCO Góc giữa cạnh bên và mặt đáy: SAO Góc giữa mặt bên và mặt đáy: SHO AB AH , OH AH , AH 3 Lưu ý: Hình chóp tam giác đều khác với tứ diện đều Tứ diện đều có các mặt là các tam giác đều Tứ diện đều là hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng cạnh đáy b Hình chóp tứ giác đều: Cho hình chóp tam giác đều S ABCD Tính chất: AO Đáy ABCD là hình vuông Các mặt bên là các tam giác cân tại S Chiều cao: SO SBO SCO SDO Góc giữa cạnh bên và mặt đáy: SAO Góc giữa mặt bên và mặt đáy: SHO S A I D O C B d THỂ TÍCH KHỚI ĐA DIỆN S Thể tích khới chóp: V B.h B : Diện tích mặt đáy h : Chiều cao của khối chóp C D A O B C Trang 6/35 A C’ Lưu ý: Lăng trụ đứng có chiều cao cũng là cạnh bên Tỉ số thể tích: VS AB C VS ABC C’ B’ c a a a b a S SA SB SC SA SB SC B’ A’ Hình chóp cụt ABC A′B′C ′ C’ h B B BB Với B, B , h là diện tích hai đáy và chiều cao V A’ B’ Thể tích hình hộp chữ nhật: V a.b.c C B A’ Thể tích khối lập phương: V a A B Thể tích khối lăng trụ: V B.h B : Diện tích mặt đáy h : Chiều cao của khối chóp C A B C B BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác Nếu tăng độ dài cạnh đáy lên lần độ dài đường cao khơng đổi thể tích S ABC tăng lên lần? A B C D Câu Có khối đa diện đều? B C D A Câu Cho khối đa diện { p; q} , số p Câu A Số cạnh mặt C Số cạnh đa diện Cho khối đa diện { p; q} , số q Câu A Số đỉnh đa diện C Số cạnh đa diện Tính thể tích khối tứ diện cạnh a Câu a3 a3 a3 B C a D ⋅ ⋅ ⋅ 12 Cho S ABCD hình chóp Tính thể tích khối chóp S ABCD biết AB = a , SA = a Câu a3 a3 a3 C D Cho hình chóp S ABC có SA ⊥ ( ABC ) , đáy ABC tam giác Tính thể tích khối chóp B Số mặt đa diện D Số đỉnh đa diện B Số mặt đa diện D Số mặt đỉnh A A a B S ABC biết AB = a , SA = a Trang 7/35 Câu a3 a3 a3 A B C a D 12 Cho hình chóp S ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) , đáy ABCD hình chữ nhật Tính thể tích S ABCD biết AB = a , AD = 2a , SA = 3a a3 ⋅ Thể tích khối tam diện vng O ABC vng O có OA = a, OB = OC = 2a A a Câu B 6a B 2a D a3 2a a3 B ⋅ C D 2a ⋅ ⋅ Câu 10 Cho hình chóp S ABC có SA vng góc mặt đáy, tam giác ABC vuông A, SA = 2cm , A = AB 4= cm, AC 3cm Tính thể tích khối chóp 12 24 24 B C D 24cm3 cm cm cm Câu 11 Cho hình chóp S ABCD đáy hình chữ nhật, SA vng góc đáy,= AB a= , AD 2a Góc A SB đáy 450 Thể tích khối chóp a3 A ⋅ 2a B ⋅ a3 C ⋅ a3 D ⋅ Câu 12 Hình chóp S ABCD đáy hình vng, SA vng góc với đáy, SA = a 3, AC = a Khi thể tích khới chóp S ABCD là a3 a3 a3 a3 B C D A ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 3 Câu 13 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông B Biết ∆SAB tam giác thuộc mặt phẳng vng góc với mặt phẳng ( ABC ) Tính thể tích khối chóp S ABC biết AB = a , AC = a a3 a3 a3 a3 B C D ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 12 4 Câu 14 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi Mặt bên ( SAB ) tam giác vuông cân A S thuộc mặt phẳng vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) Tính thể tích khối chóp S ABCD biết BD = a , AC = a a3 a3 a3 C D ⋅ ⋅ ⋅ 12 Câu 15 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng A Hình chiếu S lên mặt phẳng A a ( ABC ) trung điểm B H BC Tính thể tích khối chóp S ABC biết AB = a , AC = a , SB = a a3 a3 a3 a3 B C D ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 6 Câu 16 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Hình chiếu S lên mặt phẳng 3a ( ABCD ) trung điểm H AD Tính thể tích khối chóp S ABCD biết SB = A A a3 ⋅ B a C a3 ⋅ D 3a ⋅ Trang 8/35 Câu 17 Hình chóp S ABCD đáy hình vng cạnh a, SD = trung điểm H AB Thể tích khối chóp a3 A ⋅ a3 B ⋅ C a a 13 Hình chiếu S lên ( ABCD ) 12 a3 D ⋅ 1200 Hình chiếu vng góc Câu 18 Hình chóp S ABCD đáy hình thoi, AB = 2a , góc BAD a S lên ( ABCD ) I giao điểm đường chéo, biết SI = Khi thể tích khới chóp S ABCD là a3 ⋅ V Câu 19 Cho hình chóp S ABC , gọi M , N trung điểm SA, SB Tính tỉ số S ABC VS MNC A a3 ⋅ B a3 ⋅ C a3 ⋅ D 1 C D ⋅ ⋅ Câu 20 Cho khối chop O ABC Trên ba cạnh OA, OB, OC lấy ba điểm A’, B′, C ′ cho A B VO A ' B 'C ' VO ABC = 2OA′ OA = , 4OB′ OB = , 3OC ′ OC Tính tỉ số 1 1 B C D 12 16 24 32 Câu 21 Cho hình chóp S.ABC Gọi (α ) mặt phẳng qua A song song với BC (α ) cắt SB , SC A SM biết (α ) chia khối chóp thành phần tích SB 1 1 B C D A 2 2 Câu 22 Thể tích khối lăng trụ tam giác có tất cạnh a là: M , N Tính tỉ số a3 a3 a3 a3 A B C D ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ' A A= ' B A ' D Tính thể tích Câu 23 Cho lăng trụ ABCD A ' B ' C ' D ' có ABCD hình chữ nhật, A= khối lăng trụ ABCD A ' B ' C ' D ' biết AB = a , AD = a , AA ' = 2a A 3a B a C a 3 D 3a 3 Câu 24 Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có ABC tam giác vng A Hình chiếu A ' lên ( ABC ) trung điểm BC Tính thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' biết AB = a , AC = a , AA ' = 2a 3a a3 B C a 3 D 3a 3 ⋅ ⋅ 2 Câu 25 Cho lăng trụ ABCD A ' B ' C ' D ' có ABCD hình thoi Hình chiếu A ' lên ( ABCD ) A trọng tâm tam giác ABD Tính thể tích khối lăng trụ ABCA ' B ' C ' biết AB = a , ABC = 1200 , AA ' = a A a B a3 ⋅ Câu 26 Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' Tính tỉ số C a3 ⋅ D a3 ⋅ VABB 'C ' VABCA ' B 'C ' Trang 9/35 1 B ⋅ C ⋅ D ⋅ 3 Câu 27 Cho khối lăng trụ tam giác ABC A’B’C’ có tất cạnh a Thể tích khối tứ diện A’BB’C’ A a3 a3 a3 a3 B C D ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 12 12 Câu 28 Lăng trụ tam giác ABC A′B′C ′ có đáy tam giác cạnh a , góc cạnh bên mặt đáy 300 Hình chiếu A′ lên ( ABC ) trung điểm I của BC Thể tích khối lăng trụ A a3 a3 a3 a3 A B C D ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 12 Câu 29 Lăng trụ đứng ABC A’B’C’ có đáy ABC tam giác vng = A, BC 2= a, AB a Mặt bên ( BB’C’C ) hình vng Khi thể tích lăng trụ a3 A B a C 2a 3 D a 3 Câu 30 Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' Gọi M , N trung điểm CC ' BB ' Tính tỉ số VABCMN VABC A ' B 'C ' 1 B C D 3 Câu 31 Cho khối lăng trụ ABC A′B′C ′ Tỉ số thể tích khối chóp A′ ABC khối lăng trụ 1 1 B C D A ′ ′ ′ ′ ′ Câu 32 Cho khối lập phương ABCD A B C D Tỉ số thể tích khối A ABD khối lập phương là: 1 1 A B C D Câu 33 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có chiều cao h , góc hai mặt phẳng ( SAB) A ( ABCD) α Tính thể tích khối chóp S ABCD theo h α 3h3 4h3 8h3 3h3 A B C D tan α tan α tan α tan α Câu 34 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a , cạnh SB vng góc với đáy mặt phẳng ( SAD ) tạo với đáy góc 60° Tính thể tích khối chóp S ABCD 3a 3 3a 3 8a 3 4a 3 B V = C V = D V = 3 Câu 35 Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông B , BC = a , mặt A V = phẳng ( A ' BC ) tạo với đáy góc 30° tam giác A ' BC có diện tích a Tính thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' 3a 3 3a 3 a3 3a 3 B C D 8 Câu 36 Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu vng A góc A ' ( ABC ) trung điểm AB Mặt phẳng ( AA ' C ' C ) tạo với đáy góc 45° Tính thể tích V khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' A V = 3a 16 B V = 3a C V = 3a D V = 3a Trang 10/35 Gọi H trung điểm BC A' ⇒ A ' H ⊥ ( ABC ) B' ABC tam giác vuông A C' AB + AC 2= 2a ⇒ BC= BC = a ∆A ' AH vuông H ⇒ AH = ⇒ A' H = S ∆ABC = A B H C AA ' − AH = a a2 AB AC = 2 3a Câu 25 Cho lăng trụ ABCD A ' B ' C ' D ' có ABCD hình thoi Hình chiếu A ' lên ( ABCD ) = VABCA ' B 'C ' A= ' H S ABC trọng tâm tam giác ABD Tính thể tích khối lăng trụ ABCA ' B ' C ' biết AB = a , ABC = 1200 , AA ' = a A a B a3 ⋅ a3 ⋅ Hướng dẫn giải: C D a3 ⋅ A' Gọi H trọng tâm tam giác ABD ⇒ A ' H ⊥ ( ABCD ) B' C' D' =1800 − Ta có: BAD ABC =600 = 600 Tam giác ABD cân có BAD nên tam giác ABD A a ABD tam giác cạnh a ⇒ AH = ∆A ' AH vuông H ⇒ A ' H = AA '2 − AH = B H D C a a2 a2 a3 ; VABCDA S= S ABD = 2= = A= ' H S ABC ABCD ' B 'C ' D ' 2 V Câu 26 Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' Tính tỉ số ABB 'C ' VABCA ' B 'C ' A ⋅ B ⋅ ⋅ Hướng dẫn giải: Ta có: BB ' C ' C hình bình hành 1 ⇒ S BB 'C ' = S BB 'C 'C ⇒ VA.BB 'C ' = VA.BB 'C 'C 2 Ta có: VA A ' B 'C ' = VABCA ' B 'C ' ⇒ VA.BB 'C 'C = VABCA ' B 'C ' − VA A ' B 'C ' = VABCA ' B 'C ' C D A' C' B' A C B Trang 20/35 ⇒ VABB= 'C ' V 1 ' VABCA ' B 'C ' ⇒ ABB 'C= VABCA ' B 'C ' 3 Câu 27 Cho khối lăng trụ tam giác ABC A’B’C’ có tất cạnh a Thể tích khối tứ diện A’BB’C’ a3 A ⋅ 12 a3 B ⋅ a3 C ⋅ Hướng dẫn giải: a3 D ⋅ 12 A' = =′ a h BB a2 S = A′B′C ′ ⇒ VA′BB= ′C ′ C' B' A a3 BB′.S A′B= ′C ′ 12 C B Câu 28 Lăng trụ tam giác ABC A′B′C ′ có đáy tam giác cạnh a , góc cạnh bên mặt đáy 300 Hình chiếu A′ lên ( ABC ) trung điểm I của BC Thể tích khối lăng trụ A a3 ⋅ B a3 ⋅ a3 ⋅ 12 Hướng dẫn giải: C D a3 ⋅ B' A' a 3 a ⋅ = A′I = AI tan ( 30 ) = a2 S = ABC C' A a3 ⇒ VABC A’ B’C ’ = A′I S ABC = I C B Câu 29 Lăng trụ đứng ABC A’B’C’ có đáy ABC tam giác vng = A, BC 2= a, AB a Mặt bên ( BB’C’C ) A a3 hình vng Khi thể tích lăng trụ B a = =′ 2a h BB 2 AC = BC − AB = a a2 AB AC = 2 ⇒ VABC A’ B’C ’ = BB′.S ABC = a 3 ⇒ S ABC = C 2a 3 Hướng dẫn giải: D a 3 A' C' B' A C B Câu 30 Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' Gọi M , N trung điểm CC ' BB ' Tính tỉ số VABCMN VABC A ' B 'C ' Trang 21/35 A B Hướng dẫn giải: C Ta có: BB ' C ' C hình bình hành ⇒ S BCMN = S BB 'C 'C ⇒ VA.BCMN = VA BB 'C 'C Ta có: VA A ' B 'C ' = VABCA ' B 'C ' ⇒ VA.BB 'C 'C = VABCA ' B 'C ' − VA A ' B 'C ' = VABCA ' B 'C ' V 1 ⇒ VA.BCMN= VABCA ' B 'C ' ⇒ A.BCMN = VABCA ' B 'C ' D A' B' C' M N A B C Câu 31 Cho khối lăng trụ ABC A′B′C ′ Tỉ số thể tích khối chóp A′ ABC khối lăng trụ 1 1 A B C D Hướng dẫn giải: C' A' B' 1 = AA′.S ABC VABC A′B′C ′ 3 VA′ABC ⇒ = VABC A′B′C ′ = VA′ABC A C B Câu 32 Cho khối lập phương ABCD A′B′C ′D′ Tỉ số thể tích khối A′ ABD khối lập phương là: 1 1 A B C D Hướng dẫn giải: A' D' VA’ ABD = AA′.S ABD C ' B' 1 = = AA′ AB AD AA′.S ABCD D A = VABCD A’ B’C ’ D’ C B VA’ ABD ⇒ = VABCD A’ B’C ’ D’ VẬN DỤNG THẤP Câu 33 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có chiều cao h , góc hai mặt phẳng ( SAB) ( ABCD) α Tính thể tích khối chóp S ABCD theo h α A 3h3 tan α B 4h tan α Gọi O tâm mặt đáy 8h3 tan α Hướng dẫn giải: C D 3h3 tan α Trang 22/35 SO ⊥ mp ( ABCD ) Từ đó, SO đường S cao hình chóp.Gọi M trung điểm đoạn CD Ta có: CD ⊥ SM ⊂ ( SCD) = α CD ⊥ OM ⊂ ( ABCD) ⇒ SMO CD ( SCD) ∩ ( ABCD) = h A α O B C V = SABCD.SO; B = SABCD = AB ; Tìm AB: AB = 2OM SO h h = Tam giác SOM vuông tại O, ta có: tan α = ⇒ OM = OM OM tan α D M 2h 4h Suy ra: B = SABCD = SO = h ⇒ AB = tan α tan α 4h 4h h = tan α tan α Câu 34 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a , cạnh SB vng góc với đáy mặt phẳng ( SAD ) tạo với đáy góc 60° Tính thể tích khối chóp S ABCD Vậy VS.ABCD = 3a 3 Hướng dẫn giải: A V = B V = 3a 3 C V = 8a 3 D V = 4a 3 S AD ⊥ AB Ta có: AD ⊥ SB ⇒ AD ⊥ (SAB) ⇒ AD ⊥ SA = ⇒ SAB 600 A SABCD = 4a2 Xét tam giác SAB vng B, ta có: α = = SB AB tan 60 2a B D 2a C 8a 3 Vậy V = 4a 2a = 3 Câu 35 Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vng B , BC = a , mặt phẳng ( A ' BC ) tạo với đáy góc 30° tam giác A ' BC có diện tích a Tính thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' a3 Hướng dẫn giải: A B 3a 3 C 3a 3 D 3a 3 Trang 23/35 V= Bh = SABC.A’B’C’.AA’ BC ⊥ AB Do ⇒ BC ⊥ A′B BC ⊥ AA′ BC ⊥ AB ⊂ ( ABC ) Và BC ⊥ A ' B ⊂ ( A′BC ) BC ( ABC ) ∩ ( A ' BC ) = ( ) ( A’ C’ B’ ) ⇒ ( ABC ), ( A ' BC ) = AB, A ' B = ABA ' Ta có: A C 30o a ′ S ∆A′BC = A B.BC B 2.S ∆A′BC 2.a ⇒ A′= B = = 2a BC a = AB A′B.cos= ABA′ 2a 3.cos = 300 3= a; AA′ A′B.sin= ABA′ 2a 3.sin = 300 a VABC A ' B= B= h S ABC AA =′ 'C ' 1 3a 3 AB BC AA′ = = 3a.a.a 2 Câu 36 Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc A ' ( ABC ) trung điểm AB Mặt phẳng ( AA ' C ' C ) tạo với đáy góc 45° Tính thể tích V khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' A V = 3a 16 B V = 3a 3a Hướng dẫn giải: C V = 3a A’ Gọi H, M, I lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, AC, AM VABC A ' B 'C ' = S ∆ABC A ' H a2 S ∆ABC = Ta có IH là đường trung bình tam giác AMB , MB là trung tuyến tam giác ABC IH // MB Do đó: ⇒ IH ⊥ AC MB ⊥ AC D V = B’ C’ H A I B a M C AC ⊥ A ' H ⇒ AC ⊥ ( A ' HI ) ⇒ AC ⊥ A ' I AC ⊥ IH AC ⊥ IH ⊂ ( ABC ) Mà: AC ⊥ A ' I ⊂ ( ACC ' A ') ⇒ A ' IH góc gữa hai mặt phẳng ( AA ' C ' C ) ( ABC ) ∩ ( ACC ' A ') = AC A ' IH = 45° ( ABCD ) ⇒ Trong tam giác A ' HI vuông tại H, ta có: tan= 45° A' H ⇒ A= ' H IH tan 45o HI a a 3a a Vậy V = = = IH = MB = 4 16 Trang 24/35 Câu 37 Cho hình chóp S ABC , góc mặt bên mặt phẳng đáy ( ABC ) 600 , khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC bằng A a3 12 B a3 18 3a Thể tích của khới chóp S ABC theo a a3 16 Hướng dẫn giải: C D a3 24 Gọi M là trung điểm của BC Trong mp(SAM), Kẻ MH ⊥ SA, ( H ∈ SA) BC ⊥ AM Ta có: ⇒ BC ⊥ ( SAM ) ⇒ BC ⊥ MH BC ⊥ SO Do MH đường vng góc chung SA BC 3a = 600 Suy MH = Ta có: SM ⊥ BC ⇒ ( ( SBC ) , ( ABC ) ) = SMA x ⇒ AM = x, OA = 2x Đặt OM = S = ⇒ SO OM tan = 600 x SA = ( x 3) + ( x )= x Trong SAM ta có: SA.MH = SO AM a 3a ⇔ x = x 3.3x ⇔ = x Khi đó: AM =3 x =3 = VS ABC H C A O a a = ⇒ AB =a 2 N B 1 a a a = S ∆ABC SO = 3 24 Câu 38 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O , AC = 3a , BD = 2a , hai mặt phẳng ( SAC ) ( SBD ) vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) Biết khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng ( SAB ) a3 A 16 a Tính thể tích của khới chóp S ABCD theo a a3 B 18 a3 C Hướng dẫn giải a3 D 12 Ta có tam giác ABO vng O S AO = a , BO = a Do AO ABO = =3 = tan 600 ⇒ 600 BO Suy ∆ABD Ta có: I A D 2a C O B Trang 25/35 ( SAC ) ⊥ ( ABCD ) ⇒ SO ⊥ ( ABCD ( SBD ) ⊥ ( ABCD ) SO ( SAC ) ∩ ( SBD ) = Trong tam giác ABD , gọi H trung điểm AB, K trung điểm BH, suy DH ⊥ AB DH = a ; OK / / DH và= OK Suy OK ⊥ AB ⇒ AB ⊥ ( SOK ) a = DH 2 Gọi I hình chiếu O lên SK, ta có: OI ⊥ SK ; AB ⊥ OI ⇒ OI ⊥ ( SAB ) ⇒ OI = d O; ( SAB ) 1 a Tam giác SOK vuông O, OI đường cao: = + ⇒ SO = 2 OI OK SO 1 1 a3 S ∆ABCD SO .4 = OA.OB.SO VS ABCD = S ∆ABO SO = = 3 3 Câu 39 Cho hình chóp tứ giác S ABCD , O giao điểm AC BD Biết mặt bên hình chóp tam giác khoảng từ O đến mặt bên a Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a A 2a 3 B 4a 3 Gọi M là trung điểm của CD , ∆SOM kẻ đường cao OH C 6a 3 Hướng dẫn giải: D 8a 3 S ⇒ OH ⊥ ( SCD ) ⇒ OH = a Đặt CM = x Khi OM = x , A SM = x , SO = SM − x= x Ta có: SM OH = SO.OM a ⇔ x = a x 2.x ⇒= x ⇒ CD = a 6, = SO a = S ABCD SO Câu 40 Cho hình chóp tứ giác = VS ABCD a A B O C H D x M 1 = CD SO = 6a a 2a 3 3 S ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) ABCD hình thang vng A B biết AB = 2a = AD 3= BC 3a Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a biết góc ( SCD ) ( ABCD ) A 6a 600 B 6a C 3a Hướng dẫn giải: D 3a Trang 26/35 S Dựng AM ⊥ CD M = 600 Ta có: SMA S ABCD = AD + BC AB 4a = ( AD − BC ) CD = + AB = 2a A S ABC = AB.BC a = S ACD = S ABCD − S ABC = 3a S ACD = D M B C S ACD AM CD ⇒ AM = = a 2 CD a= Ta có: SA AM VS ABCD = SA.S ABCD 6a = = tan SMA Câu 41 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) , ABCD hình thang vng A B biết AB = 2a = AD 3= BC 3a Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a , biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SCD) A 6a a B 6a C 3a Hướng dẫn giải: D 3a S Dựng AM ⊥ CD M Dựng AH ⊥ SM H a AD + BC = S ABCD = AB 4a 2 Ta có: AH = = S ABC S ACD A ( AD − BC ) + AB = 2a 2 CD = H D M = AB.BC a 2 = S ABCD − S ABC = 3a B S ACD = S ACD AM CD ⇒ AM = = a 2 CD Ta có: 1 = + ⇒ AS= 2 AH AM AS AH AM AM − AH = C a = SA.S ABCD 6a 3 Câu 42 Cho lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có BB ' = a , góc giữa đường thẳng BB ' và ( ABC ) bằng = VS ABCD = 60° Hình chiếu vuông góc của điểm B ' lên 60° , tam giác ABC vuông tại C và góc BAC ( ABC ) trùng với trọng tâm của A 13a 108 B ∆ABC Thể tích của khối tứ diện A ' ABC theo a 7a3 106 15a 108 Hướng dẫn giải: C D 9a 208 Trang 27/35 B' Gọi M , N là trung điểm của AB, AC C' G là trọng tâm của ∆ABC ', ( ABC ) == B ' BG 600 B ' G ⊥ ( ABC ) ⇒ BB ) ( A' 1 S ∆ABC B ' G AC.BC.B ' G = Xét ∆B ' BG vuông tại G , có B ' BG = 600 VA ' ABC = B a ⇒ B ' G = (nửa tam giác đều) 60° C M G 60° N A = 600 Đặt AB = x Trong ∆ABC vuông tại C có BAC AB = x, BC = x ⇒ tam giác ABC là nữa tam giác đều ⇒ AC = 3a Do G là trọng tâm ∆ABC ⇒ BN = BG = Trong ∆BNC vuông tại C : BN = NC + BC 3a = AC 13 9a x 9a 3a ⇔ = + 3x ⇔ x = ⇒x= ⇒ 16 52 13 BC = 3a 13 3a 3a a 9a = 13 13 208 Câu 43 Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' , biết đáy ABC tam giác cạnh a Khoảng cách từ a tâm O tam giác ABC đến mặt phẳng ( A ' BC ) Tính thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' Vậy, VA ' ABC = A 3a B 3a 28 3a Hướng dẫn giải: C D 3a 16 A' Gọi M là trung điểm của BC , C' ta có ( A ' AM ) ⊥ ( A ' BC ) theo giao tuyến A'M Trong ( A ' AM ) kẻ OH ⊥ A ' M ( H ∈ A ' M ) B' ⇒ OH ⊥ ( A ' BC ) Suy ra: d ( O, ( A ' BC= = ) ) OH a a2 S ∆ABC = Xét hai tam giác vuông A ' AM OHM có chung nên chúng đồng dạng góc M A C H O M B Trang 28/35 a OH OM Suy ra: = ⇒ = A' A A'M A' A a ⇒ = A' A A ' A2 + AM a 3 A ' A2 + a a a 3a ⇒ A ' A = Thể tích: V = S = A ' A = ABC A ' B ' C ' ∆ABC 4 16 VẬN DỤNG CAO Câu 44 Cho hình chóp tam giác S ABC có M trung điểm SB , N điểm cạnh SC cho NS = NC Kí hiệu V1 , V2 thể tích khối chóp A.BMNC S AMN Tính tỉ số V1 V2 A V1 = V2 B V1 = V2 C V1 = V2 D V1 =3 V2 Hướng dẫn giải S VS AMN SM SN = ⋅ = ⋅ = ; VS ABC SB SC 3 Suy ra, N M VS AMN + VA.BMNC = VS ABC VA.BMNC = VS AMN C A B Câu 45 Cho hình chóp tam giác S ABC có M trung điểm SB , N điểm cạnh SC cho NS = NC , P điểm cạnh SA cho PA = PS Kí hiệu V1 , V2 thể tích khối tứ diện BMNP SABC Tính tỉ số A V1 = V2 B V1 = V2 V1 V2 C V1 = V2 D V1 = V2 Hướng dẫn giải Trang 29/35 S ⋅ d ( N , ( SAB)) ⋅ S BMP VN BMP = ; VC SAB ⋅ d (C, ( SAB)) ⋅ S SAB d ( N , ( SAB)) NS = = , d (C, ( SAB)) CS P N M 1 S BPS= ⋅ S SAB 2 VN BMP 1 = ⋅ = Suy ra, VC SAB S BPM= C A B Câu 46 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy 2a , góc hai mặt phẳng ( SAB) ( ABCD) 45° , M , N P trung điểm cạnh SA, SB AB Tính thể tích V khối tứ diện DMNP a3 A V = B V = a3 C V = Hướng dẫn giải a3 12 D V = S SMN SM SN = ⋅ = S SAB SA SB Ta có: a3 S S BNP S AMP Tương tự, , = = S SAB S SAB S MNP = (có thể khẳng định S SAB Suy M N S MNP = nhờ hai tam giác MNP BAS S SAB hai tam giác đồng dạng với tỉ số k = Do VD.MNP = (1) VD.SAB V= V= D SAB S DAB ) A P B D 45° O C VS ABCD (2) 1 4a a 1 4a (3) Từ (1), (2) (3): = VDMNP = SO.S ABCD = OP.tan 45°.S ABCD = 3 Câu 47 Cho lăng trụ ABC A′B′C ′ có đáy ABC tam giác vng cân B , AC = 2a ; cạnh bên VS ABCD = AA′ = 2a Hình chiếu vng góc A′ mặt phẳng ( ABC ) trung điểm cạnh AC Tính thể tích V khối lăng trụ ABC A′B′C ′ A V = a B V = a3 C V = a Hướng dẫn giải D V = 2a Trang 30/35 B' A' Vì ABC tam giác vng cân B nên trung tuyến BH đường cao nó, HB = HA = HC = AC = a A′H= A′A2 − AH 2= VABC A′B′C ′ = A′H ⋅ S ABC C' a 2a − a 2= a = A′H ⋅ BH ⋅ AC = a B A a a H a C Câu 48 Cho tứ diện ABCD có cạnh AB, AC AD đơi vng góc với Gọi G1 , G2 , G3 G4 trọng tâm mặt ABC , ABD, ACD BCD Biết AB = 6a, AC = 9a , AD = 12a Tính theo a thể tích khối tứ diện G1G2G3G4 A 4a B a C 108a Hướng dẫn giải Trong trường hợp tổng quát, ta chứng minh VG1G2G3G4 D 36a D = VABCD 27 Thật vậy, ta có (G2G3G4 ) (CBA) G2G3G4 ) CBA (tỉ số đồng dạng G3 G2 SG G G4 1 k= k = ) Từ đó: = SCBA G4 A C G1 M d (G1 , (G2G3G4 )) = d (G4 , ( ABC )) 1 B = d ( D, ( ABC )) (do G4 M DM ) 3 VG G G G d (G1 , (G2G3G4 )) SG2G3G4 1 Suy = ⋅ = ⋅ = VABCD d ( D, ( ABC )) SCBA 27 1 4a ⇒ VG1G2G3G4 = VABCD =⋅ AB AC AD = 27 27 Câu 49 Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 11m , BC = AD = 20m , BD = AC = 21m Tính thể tích khối tứ diện ABCD A 360m3 B 720m3 C 770m3 Hướng dẫn giải D 340m3 Trang 31/35 Dựng tam giác MNP cho C, A B, D trung điểm cạnh MN, MP, NP Do BD đường trung bình tam z giác MNP nên BD = MN hay x 11 21 20 AC = MN y Tam giác AMN vuông A (do B có trung tuyến nửa M 20 21 cạnh tương ứng), hay 11 C Tương tự, AM ⊥ AN AP ⊥ AN N AM ⊥ AP 1 1 Ta có S MBC = S MNP , S NCD = S MNP , S BPD = S MNP Suy S BCD = S MNP 4 4 Từ đó, VABCD = VAMNP P D x2 + y = 4.202 AM AN AP Đặt Ta có y + z = = x = ,y = ,z 4.212 , m m m x2 + z = 4.112 x = 160 1 suy y =1440 ⇒ xyz =1440 ⇒ VABCD = VAMNP =360m3 z = 324 (AM, AN, AP đơi vng góc nên VAMNP = AM AN AP ) (a + b − c )(a − b + c )(−a + b + c ) 12 Câu 50 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy vng; mặt bên ( SAB) tam giác nằm = V mặt phẳng vng góc với đáy Biết khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SCD) 7a Tính thể tích V khối chóp S ABCD A V = a B V = a C V = Hướng dẫn giải Gọi H trung điểm AB, suy SH chiều cao khối chóp cho Kí hiệu x độ dài cạnh đáy a D V = 3a 3 x VS ABCD = x Kẻ HK ⊥ CD ( K ∈ CD) ; Ta có SH = Kẻ HL ⊥ SK (L ∈ SK ) Suy HL ⊥ ( SCD) Trang 32/35 d ( A, ( SCD)) = d ( H , ( SCD)) = HL = HS ⋅ HK S 21 x = HS + HK 2 L A D H K X B C 21 7a 3 3 = x ⇒= x a Suy VS= = x (a= 3)3 a ABCD 7 6 Câu 51 Cho tứ diện S ABC , M N điểm thuộc cạnh SA SB cho MA = SM , SN = NB , (α ) mặt phẳng qua MN song song với SC Kí hiệu ( H1 ) ( H ) Theo gt, khối đa diện có chia khối tứ diện S ABC mặt phẳng (α ) , đó, ( H1 ) chứa điểm S , ( H ) chứa điểm A ; V1 V2 thể tích ( H1 ) ( H ) Tính tỉ số D Hướng dẫn giải Kí hiệu V thể tích khối tứ diện SABC Gọi P , Q giao điểm (α ) với đường thẳng BC , AC A B V1 V2 C Ta có NP //MQ //SC Khi chia khối ( H1 ) mặt phẳng (QNC ) , ta hai khối chóp N SMQC N QPC V d ( N , ( SAC )) S SMQC Ta = có: N SMQC ; ⋅ VB ASC d (B, ( SAC )) S SAC S d ( N , ( SAC )) NS ; = = d (B, ( SAC )) BS S AMQ S ASC M S AM = ⇒ SMQC = = S ASC AS Suy VN SMQC VB ASC = 10 ⋅ = 27 VN QP C d ( N , (QP C )) SQPC = ⋅ VS ABC d (S, (A BC )) S ABC N A C Q B P NB CQ CP 1 2 =⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ = SB CA CB 3 27 V V1 VN SMQC VN QP C 10 V1 = + = + = ⇒ = ⇒ 5V1 =4V2 ⇒ = V VB ASC VS ABC 27 27 V1 + V2 V2 Câu 52 Cho hình chóp S ABC có chân đường cao nằm tam giác ABC ; mặt phẳng ( SAB) , ( SAC ) ( SBC ) tạo với mặt phẳng ( ABC ) góc Biết AB = 25 , BC = 17 , AC = 26 ; đường thẳng SB tạo với mặt đáy góc 45° Tính thể tích V khối chóp S ABC Trang 33/35 A V = 408 B V = 680 C V = 578 Hướng dẫn giải Gọi J chân đường cao hình chóp S.ABC; H, K L hình chiếu J cạnh AB, BC CA Suy ra, , SLJ SKJ góc tạo SHJ D V = 600 S mặt phẳng ( ABC ) với mặt phẳng (S AB) , ( SBC ) ( SAC ) Theo giả thiết, ta , suy tam giác có SHJ = SLJ = SKJ vuông SJH , SJL SJK Từ đó, JH = JL = JK Mà J nằm tam giác ABC nên J tâm đường trịn nội tiếp tam giác ABC Áp dụng cơng thức Hê-rơng, ta tính diện tích S tam giác ABC S = 204 Kí hiệu p nửa chu vi tam giác ABC, r bán kính đường trịn nội tiếp ABC Ta có S 204 = r = = Đặt p 34 y CL = CK , = x BH = BL ,= y=9 K z=17 A J z=17 C y=9 H L x=8 x=8 B z A = = AK z AH K y y J z L H 17 x + y = Ta có hệ phương trình x + z = 25 y + z = 26 C x x B Giải ( x; y; z ) = (8;9;17) JH + BH = 62 + 82 = 10 = ( SB Ta có SBJ , ( ABC ))= 45° , suy SJB tam giác vuông cân J SJ = JB = 10 JB = Thể tích V khối chóp S.ABC V = = SJ S ABC 680 Trang 34/35 ... C D A Câu Cho khối đa diện { p; q} , số p Câu A Số cạnh mặt C Số cạnh đa diện Cho khối đa diện { p; q} , số q Câu A Số đỉnh đa diện C Số cạnh đa diện Tính thể tích khối tứ diện cạnh a Câu... giải: Có khối đa diện là: tứ diện đều, hình lập phương, khối mặt đều, khối 12 mặt đều, khối 20 mặt Câu Cho khối đa diện { p; q} , số p Câu A Số cạnh mặt C Số cạnh đa diện Cho khối đa diện { p;... , số q Câu A Số đỉnh đa diện C Số cạnh đa diện Tính thể tích khối tứ diện cạnh a A a3 ⋅ 12 B a3 ⋅ Gọi tứ diện ABCD cạnh a B Số mặt đa diện D Số đỉnh đa diện B Số mặt đa diện D Số mặt đỉnh C