TÓM tắt lý THUYẾT TOÁN cấp 3

TRUNG TÂM DẠY THÊM -o0o - 18A Song Hành, P.Trung Mỹ Tây, Q 12 : 088 880 51 52 Lớp học gần ngã ba đường Song Hành & Trung Mỹ Tây 13 TÓM TẮT LÝ THUYẾT TỐN CẤP  Cơng thức đạo hàm, nguyên hàm, cấp số,…  Các công thức phương trình, bất phương trình,…  Hình giải tích Oxy, phép biến hình  Hình khơng gian - Hình khơng gian Oxyz  Lượng giác – Số phức Họ Tên : ………………………………………………………………………………………………………………… Lớp : ………………………………………………………………………………………………………………… Năm học 2020 – 2021 (Lưu hành nội bộ) facebook : https://www.facebook.com/lopnhomminhtri/ GV: Vũ Văn Thiện _ Zalo : 0983 790 520 Trang BẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM BẢNG CÔNG THỨC ĐẠO HÀM STT ĐẠO HÀM CƠ BẢN ĐẠO HÀM MỞ RỘNG C  '   x  '  mx m u  '  mu m1 m m 1 u' 1  '   x x x ' x  sin x  '  cos x      cos x  '   sin x  cos u  '  u '.sin u u' 1  '   u u u' u ' u  sin u  '  u '.cos u  tan x  '   tan u  '  10   e  '  e  a  '  a ln a 11  ln x  '  12  log a x  '      cot x  u '  cot u x x x x u u u u  ln u  '  x ln a  u' u.ln a  au  '  a.u '  u  v  w '  u ' v ' w '  u.v  '  u '.v  u.v '  u  u 'v  v 'u    v v2  u  u 'v  v 'u    v v2 ' ad  bc  ax  b      cx  d   cx  d 2 a b a c b c x 2 x a' b' a' c' b' c'  n 1  ax  b    ax  b  dx  a n   C 1  ax  bdx  a ln ax  b  C dx 1   ax  b 2   a ax  b  C n  sin xdx   cos x  C  sin  ax  b dx   a cos  ax  b   C  cos2 xdx   cos2  ax  b dx       tan  ax  b   1dx    tan  ax  b   C a  sin  ax  b dx    cot  ax  b   1dx     cot  ax  b   C a ax b ax b  e dx  a e  C   tan x  dx  tan x  C  sin xdx  a ' x2  b ' x  c '   cot x  C e x  cos  ax  b dx  a sin  ax  b   C dx  e x  C a mxn ax mx  m a dx  C C  m.ln a ln a - - x  a dx  QUY TẮC NHÂN - HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP– NHỊ THỨC NEWTON '  ax  bx  c      a ' x2  b ' x  c '     ' dx  x2   x  C   cot x  dx BẢNG QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM '  xdx  ln x  C u' u  log a u  '  x n 1 C n 1  cos xdx  sin x  C  e  '  u '.e  a  '  u '.a ln a x n  x dx  NGUYÊN HÀM MỞ RỘNG u' cos u  u '(1  tan u ) u '  cot u  '  sin u cos x   tan x 1  cot x  '  sin x NGUYÊN HÀM CƠ BẢN  dx  x  C  - - Quy tắc nhân : Giả sử hành động phức tạp H phân tích thành hành động liên tiếp: H1, H2 , , Hn  H1 có n1 cách chọn  H2 có n cách chọn  ……………………………………… H n có n n cách chọn Vậy số cách chọn hành động H là: n  n1.n2 .nn Hoán vị: Năm học 2020 - 2021 LỚP HỌC MINH TRÍ - 18A Song Hành, P Trung Mỹ Tây, Q 12, TP.HCM Lớp học gần ngã ba đường Song Hành & Trung Mỹ Tây 13 ĐT : 088 880 51 52 facebook : https://www.facebook.com/lopnhomminhtri/ GV: Vũ Văn Thiện _ Zalo : 0983 790 520 Trang CẤP SỐ NHÂN Một hoán vị n phần tử có thứ tự gồm n phần tử lấy từ n phần tử ban đầu Số hoán vị n phần tử là: P  n   n !  1.2  n    n  1 n Chỉnh hợp: Định nghóa Một chỉnh hợp n chập k thứ tự gồm k phần tử lấy tử n phần tử cho n! Số chỉnh hợp n chaäp k : Ank   n  k ! Tính chất Số hạng thứ n : un  u1.q n1 Tính chất Nếu a, b, c số hạng liên tiếp CSN  b2  ac Tổng n số hạng :  qn Sn  u1  u2   un  u1 1 q Tính chất Tổng CSN lùi vô hạn :  q  1 : Sn  u1  u2   1u1q - - Tổ hợp: Một tổ hợp n chập k thứ tự gồm k phần tử có thứ tự gồm k phần tử (là tập gồm k phần tử) lấy tử n phần tử ban đầu Số tổ hợp n chập k : Cnk  n!  n  k  !k ! Tính chất Cnk : Cn1  Cnn1  n Cn0  Cnn  Cnk  Cnk 1  Cnk11 Cn0  Cn1  Cn2   Cnn  2n CÁC CÔNG THỨC CẦN NHỚ VỀ GIỚI HẠN HÀM SỐ Nhị thức newton: n  a  b  n  Cnk ank bk k 0 n  a  b n    1k Cnk ank bk k 0 - - CẤP SỐ CỘNG CSN dãy số mà kể từ số hạng thứ hai, số hạng số đứng trước nhân với số không đổi gọi công bội sin kx eax 1 lim x ax x  kx ln ax lim x ax - Bài 2: TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG CSC dãy số mà kể từ số hạng thứ hai, số hạng số Định nghĩa đứng trước cộng với số không đổi gọi công sai Tính chất Số hạng thứ n : un  u1   n  1 d   Nếu a, b, c số hạng liên tiếp Tính chất ac CSC  b   lim Lưu ý: Đường thẳng d qua điểm M  xo ; yo  có hệ số góc k có dạng: d : y  k  x  xo   yo  Hệ số góc tiếp tuyến M  xo ; yo    C  là: k  f '  xo  Cách giải: Phương trình tiếp tuyến M  xo ; yo    C  : y  f '  xo  x  xo   yo - - Tổng n số hạng : n  u1  un  Tính chất Sn  u1  u2   un  n  2u1   n  1 d  - - Năm học 2020 - 2021 LỚP HỌC MINH TRÍ - 18A Song Hành, P Trung Mỹ Tây, Q 12, TP.HCM Lớp học gần ngã ba đường Song Hành & Trung Mỹ Tây 13 ĐT : 088 880 51 52 GV: Vũ Văn Thiện _ Zalo : 0983790520 n PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU facebook : Trung Tâm Minh Trí Tìang  B   A  B   A  B   A  B  AB A  B   A  B Cho  a  1, N  : a x  N  x  loga N a loga  , loga a  b log a a   , a loga b  b c a logb c  c logb a Cho  a  1; N1 , N  a loga  N1.N   loga N1  loga N PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN  B  A  B    A  B   A   hay B  0 A  B    AB A  B  C (1) Điều kiện : A, B, C  1  A  B  b loga AB  C  AB  C  A  B -  O  - BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU  A  B A  B  B  A  B    A  B  A  B A  B    A  B Chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối : lập bảng xét dấu, chia trường hợp -  O  1 BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN  B     A   A     AB A  B   B     B   A  B      A  B   -  O  - CÁC CÔNG THỨC VỀ LŨY THỪA a  , a1  a ; 0 : vô nghĩa am a m a n  a mn , n  a mn , a n  n a a n a  an , m n m a an  Năm học 2020 – 2021 a na n n  , a b  n a.b b b -  O  - CÔNG THỨC LOGARIT A  B   C  M Cách giải: lập bảng xét dấu, chia trường hợp -  O  - n N1  log a N1  loga N N2 c loga N   .loga N d log  N  loga N a  e loga   loga N N Công thức đổi số:  a, b  1; c  0,   logb c a loga c  logb a b logb c  logb a.log a c c loga b  logb a Tính đơn điệu hàm số: y  a x y  log a x : + Là hàm đồng biến a  + Là hàm nghịch biến  a  -  O  - PHƯƠNG TRÌNH MŨ Dạng :  a   b0 f x a    b    f  x   loga b Đưa số : Biến đổi phương trình f x g x dạng: a    a   * + Nếu a số khác : *  f  x   g  x  + Nếu số a thay đổi :  a0  *    f  x   g  x   1  a        Lưu ý: giải (1) phải có điều kiện f(x) g(x) xác định Lấy logarit vế : Biến đổi phương trình dạng: a    b   (*) với  a, b  + Lấy logarit theo số c 0  c  1 vế ta : f x g x LỚP HỌC MINH TRÍ – 18A Song Hành, P Trung Mỹ Tây, Q.12, TP.HCM Lớp học gần ngã ba đường Song Hành & Trung Mỹ Tây 13 ĐT : 088 880 51 52 GV: Vũ Văn Thiện _ Zalo : 0983790520 f x g x logc a    logc b    f  x .logc a  g  x .logc b Đặt ẩn phụ: Đặt t  a x , t  với a thích hợp để đưa phương trình mũ phương trình đại số Đốn nghiệm chứng minh nghiệm nhất: + Ta tìm nghiệm đặc biệt dùng tính chất hàm số mũ để chứng minh nghiệm -  O  - BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ Trường hợp 1: a xác định : f x g x + Nếu a  a    a    f  x   g  x  + Nếu  a  thì: a    a    f  x  g x Trường hợp 2: a biểu thức chứa biến :  a0 f x g x a    a     a 1  f  x   g  x    -  O  f x g x PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT   a   Dạng bản: loga f  x   b   f  x     f  x   ab  Đưa số: biến đổi phương trình dạng:  f  x   0; g x    loga f  x   loga g  x     a 1  f  x  g x  Đặt ẩn phụ: đặt t  loga x Đưa phương trình ban đầu phương trình theo biến t Đốn nghiệm chứng minh nghiệm nhất: ta tìm nghiệm đặc biệt dùng tính chất hàm số logarit để chứng minh nghiệm -  O  BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT Trường hợp 1: a xác định + a  loga f  x   loga g  x   f  x  g x  + a  loga f  x   loga g  x    f  x  g x Trường hợp 2: a biểu thức chứa biến  Năm học 2020 – 2021 facebook : Trung Tâm Minh Trí Tìang   a 1   loga f  x   loga g  x    f  x   0, g  x     a 1  f  x   g  x   -  O  - HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI MỘT Định nghĩa: + Hệ hai phương trình chứa hai ẩn x, y gọi đối xứng loại loại thay đổi vai trị x y phương trình hệ khơng đổi Phương pháp giải: S  x  y + Đặt  S  P ta đưa hệ ban đầu  P  x.y hệ có ẩn S P + Tìm S, P; x, y nghiệm phương trình: X  SX  P  -  O  -   HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI HAI Định nghĩa: Hệ hai phương trình chứa hai ẩn x, y gọi hệ đối xứng loại hai thay đổi vai trị x y phương trình chuyển thành phương trình ngược lại Phương pháp giải: + Lấy 1  2 -  O  - HỆ ĐẲNG CẤP BẬC HAI Định nghĩa : hệ có dạng:  ax  bxy  cy  d  I  a ' x  b ' xy  c ' y  d '  Phương pháp: Cách 1: + Xét xem x  có phải nghiệm hệ hay không ? + x  : Đặt y  kx  Thế vào hệ, khử x ta phương trình bậc hai theo k  Giải tìm k, ứng với trường hợp k ta tìm  x; y  Cách 2:  Dùng phương pháp cộng đại số, khử y2 (hay x2 )  Tính y theo x, vào hai phương trình hệ ta phương trình trùng phương theo x  Giải tìm x, từ tìm y -  O  - LỚP HỌC MINH TRÍ – 18A Song Hành, P Trung Mỹ Tây, Q.12, TP.HCM Lớp học gần ngã ba đường Song Hành & Trung Mỹ Tây 13 ĐT : 088 880 51 52 GV: Vũ Văn Thiện _ Zalo : 0983790520    x1  x2    P    S  Có nghiệm x   P  -  O  - BẤT ĐẲNG THỨC Bất đẳng thức Cauchy: ab  ab  a, b   a1 , a2 , , an  a1  a2   an n  a1.a2 .an n Dấu ‘=’ xảy  a1  a2   an Bất đẳng thức BCS: a b Ta có:  Cho số: x y  Cho 2n soá SO SÁNH MỘT SỐ VỚI HAI NGHIỆM CỦA TAM THỨC BẬC HAI a2  b2  x  y2  ax  by  a1 , a2 , , an Ta coù: b1, b2 , , bn a1b1   an bn  a12   an2 b12   bn2  -  O  - HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT Định nghĩa:  a1x  b1y  c1 Là hệ có dạng :    a2 x  b2 y  c2 Cách giải: a b c b a D  1 ; D x  1 ; Dy  a2 b2 c2 b2 a2  c1 c2 Dx D Dy D  D  : lúc ta tìm giá trị tham số m Thế ma hệ ban đầu thấy hệ vô nghiệm vô số nghiệm -  O  - DẤU NGHIỆM SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Cho phương trình: ax  bx  c  a  0 x1   x2  P      x1  x2   p    S   Năm học 2020 – 2021  a0   x1    x2      x1    x2      a0          x1  x2   x1    x2        S         a0         x1  x2     x1    x2       S        -  O  - BẢNG XÉT DẤU CƠ BẢN D.x  Dx Hệ  trở thành:   D.y  Dy    x   D  : hệ có nghiệm nhất:     y   facebook : Trung Tâm Minh Trí Tìang Dấu nhị thức bậc y  ax  b , a  x b    a f  x  Trái dấu với a Cùng dấu với a Nhớ: “ phải cùng, trái trái” Dấu tam thức bậc hai y  f  x  ax2 bx c : TH1: Nếu   ta có bảng xét dấu: x  x1 x2 f  x Cùng dấu Trái dấu với a với a  Cùng dấu với a Nhớ: “ trái, ngồi cùng” TH2: Nếu   ta có bảng xét dấu: x  xo f  x  Cùng dấu với a Cùng dấu với a TH3: Nếu   ta có bảng xét dấu: x  Cùng dấu với a f  x  -  O  - LỚP HỌC MINH TRÍ – 18A Song Hành, P Trung Mỹ Tây, Q.12, TP.HCM Lớp học gần ngã ba đường Song Hành & Trung Mỹ Tây 13 ĐT : 088 880 51 52 GV: Vũ Văn Thiện _ Zalo : 0983790520 Tìang ĐIỀU KIỆN ĐỂ TAM THỨC KHÔNG ĐỔI DẤU TRÊN  : a  ax  bx  c  x       a  ax  bx  c  x       a  ax  bx  c  x       a  ax  bx  c  x       -  O  facebook : Trung Tâm Minh Trí A  B6  A  B2   3A B2 A  B2  -  O  CHÚC CÁC EM ĐẠT ĐIỂM CAO TRONG KỲ THI ĐẠI HỌC ĐỊNH LÝ VI_ÉT ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Định lý thuận: Nếu phương trình bậc hai ax  bx  c  có hai nghiệm x1 x2 tổng tích hai nghiệm : b  S  x1  x2   a   P  x x  c  a Định lý đảo: a  b  S Nếu ta biết tổng tích hai số  hai  a.b  P số a, b nghiệm phương trình : X  SX  P  -  O  - ĐỊNH LÝ VI_ÉT ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA Nếu phương trình : ax3  bx  cx  d  (a  0) coù ba nghiệm x1 , x2 x3 :  b  x1  x2  x3   a  c   x1x2  x2 x3  x3 x1  a  d   x1x2 x3   a  -  O  - HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ A  B2  A  B  2AB A  B4  A  B2   2A B2 A  B3   A  B  3AB A  B  Năm học 2020 – 2021 LỚP HỌC MINH TRÍ – 18A Song Hành, P Trung Mỹ Tây, Q.12, TP.HCM Lớp học gần ngã ba đường Song Hành & Trung Mỹ Tây 13 ĐT : 088 880 51 52 facebook : lớp nhóm minh trí GV: Vũ Văn Thiện _ Zalo : 0983 790 520 Trang TĨM TẮT LÝ THUYẾT HÌNH HỌC GIẢI TÍCH PHẲNG OXY Bài TỌA ĐỘ VECTƠ – ĐIỂM I TỌA ĐỘ VECTƠ :     u   x , y   u  xi  y j   i  1;0  , j   0;1 hai vectơ đơn vị hai trục Ox, Oy   Tính chất: Cho a   a1, a2  , b  b1 , b2     a1  b1 a/ a  b   với  a2  b2   b/ a  b  a1  b1 , a2  b2   c/ ka  ka1; ka2   d/ a  a12  a22  e/ Tích vơ hướng: a.b  a1b1  a2 b2    f/ a  b  a.b   a1b1  a2 b2    g/ a phương b  a1b2  a2 b1     a1b1  a2 b2 a.b h/ coí a, b     a.b a12  a22 b12  b22   II TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM :    M  x; y   OM  xe1  ye2 Tính chất: Cho A  x A ; y A  ; B  xB ; yB   a/ AB   x B  x A ; yB  y A   2 b/ AB  AB   xB  x A    yB  y A  x A  xB   x I  c/ I trung điểm AB    y  yB  yI  A  d/ G xG ;yG  trọng tâm ABC x A  x B  xC   xG     y  yB  yC  yG  A   -Bài PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT ĐƯỜNG THẲNG I Định nghĩa vectơ pháp tuyến đường thẳng:   + Vectơ n  gọi vectơ pháp tuyến   II Định nghĩa vectơ phương đường thẳng:   + Vectơ u  gọi vectơ phương đường  thẳng  giá u song song trùng với đường thẳng  Lưu ý : Vectơ pháp tuyến vectơ phương đường thẳng vng góc với III PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT : + Đường thẳng  qua điểm M  xo ; yo  có  vectơ pháp tuyến n   A; B  phương trình tổng qt  có dạng : A  x  xo   B  y  yo   Hay : Ax  By  C  (với A  B  ) Lưu ý: + Hai đường thẳng song song có chung vectơ pháp tuyến + Hai đường thẳng vng góc có vectơ pháp tuyến vng góc với IV PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ : + Cho  qua MO  xO ; yO  có VTCP  u   a; b  Phương trình tham số đường  x  xo  at thẳng  có dạng :  t    y  yo  bt VI PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC :  + Cho  qua MO  xO ; yO  có VTCP u   a; b   Nếu a  0, b  phương trình tắc  có dạng : x  x o y  yo  a b V PHƯƠNG TRÌNH ĐT CĨ HỆ SỐ GÓC: + Đường thẳng  qua A  xO ; yO  có hệ số góc k có dạng: y  k  x  xo   yo  + Đường thẳng  có VTCP a  a; b có hệ số góc k  b ,  a  0 a Lưu ý : Đường thẳng qua hai điểm A  x A ; y A  , B  x B ; yB  có hệ số góc k  yB  y A xB  x A  d : y  ax  b Cho   d ' : y  a ' x  b giá n vng góc với  Năm học 2020 - 2021 LỚP HỌC MINH TRÍ – 18A Song Hành, P Trung Mỹ Tây, Q.12, TP.HCM Lớp học gần ngã ba đường Song Hành & Trung Mỹ Tây 13 ĐT : 088 880 51 52 facebook : lớp nhóm minh trí GV: Vũ Văn Thiện _ Zalo : 0983 790 520 Trang TÓM TẮT LÝ THUYẾT HÌNH HỌC GIẢI TÍCH PHẲNG OXY a  a ' + Nếu d // d’    b  b ' + Nếu d  d '  a.a '  1 VI PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA ĐIỂM: + Đường thẳng qua A  x A ,y A  ,B  x B ,y B  có dạng: x  xA y  yA  x B  x A yB  y A VII.PHƯƠNG TRÌNH ĐOẠN CHẮN : + Đường thẳng  qua hai điểm A  a;  , B  0; b  hai trục Ox, Oy phương trình tổng qt  có dạng : Cho 1 : A1 x  B1 y  C1  ; 2 : A2 x  B2 y  C2  Tọa độ giao điểm 1 2 nghiệm hệ : 1 0o  1 , 2   90o 1, 2   0o  1 // 2 1  2   n1.n2 A1 A2  B1B2 coí 1 , 2      n1 n2 A12  B12 A22  B22  II KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN ĐT : + Khoảng cách từ điểm M  xo ; yo  đến C1 C ; Dy  C2 C2  D  x x   cắt 2 :  DD y  y   D  D  1 // 2  Nếu D  Dx  Dy  1  2  Chú ý : Nếu A2  0, B2  0, C2  A1 B   1 cắt 2 A2 B2 A1 B C  1 A2 B2 C2  1 // 2 A1 B C    1  2 A2 B2 C2  -Bài GÓC – KHOẢNG CÁCH I GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG : A1 A2 Axo  Byo  C A2  B II PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG PHÂN GIÁC : + Cho 1 : A1x  B1y  C1  2 : A1x  B1y  C1  + Nếu 1 cắt 2 phương trình đường phân giác góc hợp 1 2 : A1x  B1y  C1  Nếu D  vaø  x  Dy   d  M ,   Bài VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI HAI ĐƯỜNG THẲNG  Nếu D  +  1 : A1x  B1y  C1  có n   A1; B1   2 : A2 x  B2 y  C2  có n2   A2 ; B2   : Ax  By  C  : x y   a b   A1 x  B1 y  C1    A2 x  B2 y  C2  A B1 B Gọi D  ; Dx  A2 B2 B2 + A12  B12  A2 x  B2 y  C2 A22  B22  Lưu ý :   + Nếu n1.n2  phương trình đường phân giác góc tù tạo 1 2 là: A1x  B1y  C1 A12  B12  A2 x  B2 y  C2 A22  B22 Và phương trình đường phân giác góc nhọn tạo 1 2 : A1x  B1y  C1  A2 x  B2 y  C2 A12  B12 A22  B22   + Nếu n1.n2  phương trình đường phân giác góc tù tạo 1 2 : A1x  B1y  C1 A12  B12  A2 x  B2 y  C2 A22  B22 Và phương trình đường phân giác góc nhọn tạo 1 2 : A1x  B1y  C1 A12  B12  A2 x  B2 y  C2 A22  B22 Năm học 2020 - 2021 LỚP HỌC MINH TRÍ – 18A Song Hành, P Trung Mỹ Tây, Q.12, TP.HCM Lớp học gần ngã ba đường Song Hành & Trung Mỹ Tây 13 ĐT : 088 880 51 52 facebook : lớp nhóm minh trí GV: Vũ Văn Thiện _ Zalo : 0983 790 520 Trang TĨM TẮT LÝ THUYẾT HÌNH HỌC GIẢI TÍCH PHẲNG OXY  Lưu ý : - Bài ELIP + Cho  : Ax  By  C  M  x M ; yM  , N  x N ; yN  f  M   Ax M  ByM  C ; f  N   Ax N  ByN  C  Nếu f  M  f  N  dấu M N phía   Nếu f  M  f  N  trái dấu M N khác phía   -Bài ĐƯỜNG TRÒN ĐỊNH NGHĨA: Cho điểm phân biệt F1 F2 F1F2  2c  Tập hợp điểm M MF1  MF2  2a  a  c  gọi đường Elip cho PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC: x2 y2 Có dạng:   ( a  b  c ; a, b, c  ) a b Định nghĩa : + Phương trình đường trịn tâm I a; b bán kính 2 R có dạng  C  :  x  a    y  b   R + Lưu ý: phương trình đường trịn tâm O(0; 0) bán kính R có dạng : x  y  R 2 Định nghĩa : + Mỗi phương trục lớn A1   a;  , A2  a;0  TRỤC NHỎ: Oy; độ dài trục nhỏ B1B2  2b ; đỉnh trục nhỏ B1  0; b  , B2  0; b  trình x  y  2ax  2by  c  TRỤC LỚN : Ox; độ dài trục lớn A1 A2  2a ; đỉnh có với điều dạng HÌNH CHỮ NHẬT CƠ SỞ : x   a, y  b kiện TIÊU ĐIỂM: F1  c;0  , F2  c,  , a  b  c  phương trình đường trịn có tâm I(a; b) bán kính R  a  b  c  Nếu (C) tiếp xúc Ox  R  b  Nếu (C) tiếp xúc Oy  R  a  Nếu (C) tiếp xúc Ox Oy  R  a  b  Nếu d  I ,    R  (C) khơng có điểm  chung Nếu d  I ,    R  (C) có điểm chung Tiêu cự : F1F2  2c c a BÁN KÍNH QUA TIÊU ĐIỂM: Cho M  xM ; yM    E  TÂM SAI: e  c xM a  Nếu (C) tiếp xúc   R  d  I ,     c  Bán kính qua tiêu điểm F2 : MF2  a  xM Tiếp tuyến điểm đường trịn : a Cho đường trịn (C) có tâm I a; b , bán kính R a a ĐƯỜNG CHUẨN:  1  : x   ;    : x  e e M  x ; y0    C  Tiếp tuyến M   C  đường - thẳng qua M  x ; y0  có vectơ pháp tuyến   n  IM Vị trí tương đối đường thẳng đường tròn: Cho đường thẳng  đường trịn (C) có tâm I bán kính R  Nếu d  I ,    R  tiếp xúc (C)  Bán kính qua tiêu điểm F1 : MF1  a  Năm học 2020 - 2021 LỚP HỌC MINH TRÍ – 18A Song Hành, P Trung Mỹ Tây, Q.12, TP.HCM Lớp học gần ngã ba đường Song Hành & Trung Mỹ Tây 13 ĐT : 088 880 51 52 Lớp học gần ngã ba đường Song Hành & TMT 13 GV: Vũ Văn Thiện Trằg 15 TĨM TẮT LÝ THUYẾT HÌNH GIẢI TÍCH 12 – HỌC KỲ II CÁCH 2: Hai đường thẳng chéo vng góc với  Viết phương trình mp   chứa d1 vng góc với d2  Viết phương trình mp   chứa d2 vng góc với d1  Đường vng góc chung  giao tuyến     CÁCH 3: Tìm tọa độ điểm M  d1 ; N  d2 cho MN Tìm hình chiếu  đường thẳng d mặt phẳng   : CÁCH  Viết phương trình mặt phẳng   chứa d vng góc với    Gọi       Suy  hình chiếu d   đoạn vng góc chung d1 d2  M  d1  Tọa độ M theo tham số m phương trình d1  N  d2  Tọa độ N theo tham số n phương trình d2    MN u1   MN  d1        Tìm m,  MN  d2 MN u    n  Tìm tọa độ điểm M, N Tìm hình chiếu H điểm M mặt phẳng   :  Viết phương trình đường thẳng  qua M vng góc với    Tìm H      CÁCH TH1 : d //    Chọn điểm M  d  Tìm hình chiếu H M     đường thẳng qua H song song với d TH1 : d cắt    Tìm I  d    Chọn M  d M  I  Tìm hình chiếu H M     đường thẳng IH - Bài 11 CÁC DẠNG TỐN VỀ SỰ ĐỐI XỨNG Tìm hình chiếu H điểm M đường Tìm điểm M’ đối xứng với M qua   : thẳng  :  Tìm tọa độ hình chiếu H M   CÁCH  M’ đối xứng với M qua    H trung  Gọi H hình chiếu M  điểm đoạn thẳng MM’  Viết tọa độ H theo tham số t     Ta có : MH    MH u   t  tọa độ H CÁCH  Viết phương trình mặt phẳng   qua M vng góc với   Tìm H      Tìm điểm M’ đối xứng với M qua  :  Tìm tọa độ hình chiếu H M   M’ đối xứng với M qua   H trung điểm đoạn thẳng MM’ Năm học 2019 - 2020 LỚP HỌC MINH TRÍ – 18A Song Hành, P Trung Mỹ Tây, Q.12, TP.HCM facebook : https://www.facebook.com/lopnhomminhtri/ ĐT : 088 880 51 52 Lớp học gần ngã ba đường Song Hành & TMT 13 GV: Vũ Văn Thiện Trằg 16 TĨM TẮT LÝ THUYẾT HÌNH GIẢI TÍCH 12 – HỌC KỲ II  (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) Tìm đường thẳng d’ đối xứng với d qua   :  d  I , P   R TH1 : d //    Tìm D’ Tìm mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu S  I , R   Chọn điểm M  d  Tìm điểm M’ đối xứng với M qua    d ' đường thẳng qua M’ song song với d TH1 : d cắt    Tìm I  d    Chọn M  d M  I điểm M  xo ; yo ; zo   S     (P) qua M, VTPT nP   IM - Bài 12 CÁC DẠNG TỐN VỀ ĐƯỜNG THẲNG  Tìm điểm M’ đối xứng với M qua    d ' đường thẳng IM’ Tìm  Qïa M : vïéâèg géùc với d vàcắt d  Tìm điểm H hình chiếu M d   đường thẳng MH - Bài 12 CÁC DẠNG TỐN VỀ MẶT PHẲNG Tìm  Tìm P séèg séèg   : Ax  By  Cz  D  : cácâ điekm M  xo ; yo ; zo  méät đéạè bằèg k   P  : Ax  By  Cz  D '   d  M , P   k  Axo  Byo  Czo  D ' A2  B  C Qïa M : vïéâèg géùc với d1 vàcắt d2  Viết phương trình mặt phẳng   qua M vng góc với d1  Tìm A  d    k   đường thẳng MA  Tìm D’ Tìm mặt phẳng (P) cách   đoạn k:    : Ax  By  Cz  D  Suy  P  : Ax  By  Cz  D '   Chọn điểm M  xo ; yo ; zo     d   , P   d  M , P   k  Axo  Byo  Czo  D ' 2 A  B C Tìm  Qïa M : cắt d1 vàd2  Viết phương trình mp   chứa M d1  Tìm A  d2      đường thẳng AM k  Tìm D’ Tìm mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu S  I , R  song song với      : Ax  By  Cz  D  Suy  P  : Ax  By  Cz  D '  Tìm  Séèg séèg d : cắt d1 vàd2  Viết phương trình mặt phẳng   chứa d1 song song với d Năm học 2019 - 2020 LỚP HỌC MINH TRÍ – 18A Song Hành, P Trung Mỹ Tây, Q.12, TP.HCM facebook : https://www.facebook.com/lopnhomminhtri/ ĐT : 088 880 51 52 Lớp học gần ngã ba đường Song Hành & TMT 13 Traèg 17 GV: Vũ Văn Thiện TĨM TẮT LÝ THUYẾT HÌNH GIẢI TÍCH 12 – HỌC KỲ II  Tìm A  d2      đường thẳng qua A song song với d qïa A    Tìm  séèg séèg mp (P) : u   nP , ud     d Tìm   (P) : cắt d1 vàd2  Viết phương trình mặt phẳng   chứa d1 vng góc với mặt phẳng (P)  Tìm A  d2      đường thẳng qua A vuông góc với mặt phẳng (P) Tìm  câư ùa tréèg (P) : cắt d1 vàd2  Tìm A  d1   P   Tìm B  d2   P    đường thẳng AB - - Năm học 2019 - 2020 LỚP HỌC MINH TRÍ – 18A Song Hành, P Trung Mỹ Tây, Q.12, TP.HCM facebook : https://www.facebook.com/lopnhomminhtri/ ĐT : 088 880 51 52 Traná 11 àacebook : lớp nhóm minh trí GV: Vũ Văn Thiện TĨM TẮT LÝ THUYẾT HÌNH HỌC KHƠNG GIAN 11 & 12 TÌM GIAO TUYẾN HAI MẶT PHẲNG: + Muốn tìm giao tuyến hai mặt phẳng, ta tìm hai điểm chung hai mặt phẳng nối lại A    AB    B    TÌM GIAO ĐIỂM ĐT& MP: Cách : + Tìm mp   đường thẳng b cho b cắt a điểm A  A  a  A  a    + Kết luận :   A  b    Các xác định thiết diện: ta tìm đoạn giao tuyến   với mặt bên hay mặt đáy hình chóp đoạn giao tuyến khép kín ta hình thiết diện QUỸ TÍCH GIAO ĐIỂM HAI ĐT d1 &ø d2 : + Tìm hai mp cố định chứa d1 d2 + + Suy I nằm giao tuyến hai mp Giới hạn (nếu có) TÍNH CHẤT MP CHỨA ĐT SS : + Nếu hai mặt phẳng cắt chứa hai đường thẳng song song giao tuyến chúng song song với hai đường thẳng trùng với hai đường thẳng  a // b   a     x // a // b   b  ( )   x       Cách 2: + Chọn mặt phẳng phụ    chứa a + Tìm giao tuyến x         CHỨNG MINH ĐT SONG SONG MP: + Ta chứng minh đường thẳng song song với đường thẳng nằm mặt phẳng + Trong mp    tìm A  a  x + Kết luận A  a      a // b  a     a //    b    CHỨNG MINH ĐIỂM THẲNG HÀNG: TÍNH CHẤT ĐT SONG SONG MP : + Muốn chứng minh điểm thẳng hàng, ta + Nếu đường thẳng song song với mặt chứng minh chúng nằm giao tuyến phẳng song song với giao tuyến hai mặt phẳng phân biệt mặt phẳng mặt phẳng thứ hai chứa CHỨNG MINH ĐT ĐỒNG QUY:  a //   + Gọi M giao điểm hai đường thẳng bất   a     a // x kỳ  + Chứng minh điểm M thuộc đường thẳng  x       lại (ta đưa toán chứng minh điểm thẳng hàng, ta chứng minh điểm M 10 TÍNH CHẤT MP SONG SONG ĐT : điểm chung hai mặt phẳng mà giao tuyến + Nếu hai mặt phẳng cắt song đường thẳng thứ ba) song với đường thẳng giao tuyến THIẾT DIỆN: chúng song song với đường thẳng Định nghĩa : Thiết diện hình chóp bị cắt  a //   mặt phẳng   đa giác phẳng có  a //   x // a  cạnh giao tuyến   với mặt bên x    hay mặt đáy hình chóp 11.TÍNH CHẤT MP SONG SONG : Năm học 2020 – 2021 LỚP HỌC MINH TRÍ 18A Song Hành, P Trung Mỹ Tây, Q 12, Tp.HCM Lớp học gần ngã ba đường Song Hành & Trung Mỹ Tây 13 ĐT : 088 880 51 52 Traná 12 àacebook : lớp nhóm minh trí GV: Vũ Văn Thiện TĨM TẮT LÝ THUYẾT HÌNH HỌC KHƠNG GIAN 11 & 12 + Khi hai mặt phẳng song song, đường thẳng nằm mặt phẳng song song với mặt phẳng 12 CÁCH CHỨNG MINH MP SONG SONG : Cách : Ta chứng minh mặt phẳng chứa đường thẳng cắt song song với mặt phẳng Cách : Ta chứng minh mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song song song với đường thẳng cắt mặt phẳng 13 TÍNH CHẤT MP SONG SONG: + Khi hai mặt phẳng song song, mặt phẳng thứ cắt mặt phẳng thứ cắt mặt phẳng thứ hai hai giao tuyến song song với    //          a  a // b         b  -VECTÔ TRONG KHOÂNG GIAN QUY TẮC ĐIỂM: Cho điểm A, B, C bất kỳ, ta có :     AB  BC  AC (đối với phép cộng)     AC  AB  BC (đối với phép trừ) QUY TẮC HÌNH BÌNH HÀNH:  Cho hình bình hành ABCD ta có:    AC  AD  AB QUY TẮC TRUNG ĐIỂM:     I trung điểm AB  IA  IB   Với điểm O bất kỳ, ta có :    OI  OA  OB QUY TẮC TRỌNG TÂM:      G trọng tâm ABC  GA  GB  GC   Với điểm O bất kỳ, ta có :     OG  OA  OB  OC QUY TẮC HÌNH HỘP : Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ , ta có :     AB  AD  AA '  AC ' ĐIỀU KIỆN ĐỒNG PHẲNG CỦA VECTƠ:   Năm học 2020 – 2021 a Định nghĩa: Trong không gian ba vectơ gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng b Điều kiện để vectơ đồng phẳng : + Nếu 1:   + Trong không gian cho hai vec tơ a b  không phương với vectơ c Khi ba    vec tơ a, b, c đồng phẳng có    cặp số m, n cho c  ma  nb Ngoài cặp số m, n Lưu ý 2: + Trong không gian cho ba vectơ không đồng     phẳng a, b, c Khi với vectơ x ta tìm ba số m, n, p cho     x  ma  nb  pc Ngoại ba số m, n, p nhất,  -Chương III: QUAN HỆ VNG GĨC Bài : GĨC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG Góc hai đường thẳng cắt : + Cho hai đường thẳng a b cắt O chúng tạo thành bốn góc Số đo góc nhỏ bốn góc gọi góc tạo hai đường thẳng cho a b Góc hai đường thẳng chéo nhau: + Góc giưa hai đường thẳng a b góc tạo hai đường thẳng x’Ox, y’Oy kẻ từ điểm O song song với a b    -Bài : ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MP Tính chất đường thẳng vng góc với mp: + Nếu đường thẳng vng góc với mặt phẳng vng góc với đường thẳng mặt phẳng LỚP HỌC MINH TRÍ 18A Song Hành, P Trung Mỹ Tây, Q 12, Tp.HCM Lớp học gần ngã ba đường Song Hành & Trung Mỹ Tây 13 ĐT : 088 880 51 52 Traná 13 àacebook : lớp nhóm minh trí GV: Vũ Văn Thiện TĨM TẮT LÝ THUYẾT HÌNH HỌC KHƠNG GIAN 11 & 12    a       a    hai mặt phẳng vng góc với mặt phẳng thứ ba         x          x                Cách chứng minh đt vng góc mp: + Ta chứng minh đường thẳng vng góc CÁCH DỰNG ĐOẠN VNG GĨC KẺ TỪ với hai đường thẳng cắt nằm mặt ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG: phẳng + Chọn mặt phẳng phụ    chứa A vuông  -Bài : HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC CÁCH CHỨNG MINH MP VNG GĨC + Ta chứng minh mặt phẳng chứa đường thẳng vng góc với mặt phẳng góc với   + Tìm giao tuyến x        + Trong mặt phẳng (  ) kẻ đường thẳng AH  x + Kết luận AH    Hay d  A,     AH a           a     TÍNH CHẤT HAI MP VNG GĨC : CÁC LOẠI KHOẢNG CÁCH: + Nếu hai mặt phẳng vng góc với Khoảng cách từ đến đến đường thẳng : đường thẳng nằm mặt phẳng Là độ dài đoạn vng góc kẻ từ điểm đến vng góc với giao tuyến vng đường thẳng góc với mặt phẳng Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng : Là độ dài đoạn vng góc kẻ tử điểm đến       mặt phẳng x       a      a  x Khoảng cách từ  đường thẳng đến  a   mặt phẳng song song: Là khoảng cách từ + Nếu hai mặt phẳng     vng góc với điểm đường A điểm nằm   đường thẳng đến mặt phẳng thẳng qua A vng góc với   nằm Khoảng cách hai mp   song song: Là khoảng cách từ       điểm mặt phẳng   A    đến mặt phẳng  a      A a  a     TÍNH CHẤT MP VNG GĨC VỚI MP THỨ BA: + Nếu hai mặt phẳng cắt vng góc với mặt phẳng thứ ba giao tuyến Năm học 2020 – 2021 Khoảng cách hai đt chéo a & b: Cách : + Dựng đoạn vng góc chung MN a b + d  a, b   MN Cách : (Nếu hai đường thẳng vng góc) LỚP HỌC MINH TRÍ 18A Song Hành, P Trung Mỹ Tây, Q 12, Tp.HCM Lớp học gần ngã ba đường Song Hành & Trung Mỹ Tây 13 ĐT : 088 880 51 52 Traná 14 àacebook : lớp nhóm minh trí GV: Vũ Văn Thiện TĨM TẮT LÝ THUYẾT HÌNH HỌC KHƠNG GIAN 11 & 12 hình chiếu đường thẳng a lên mặt phẳng   + Dựng mặt phẳng   chứa b vng góc với a + Tìm A  a     + Kết luận:  a,    a , a '  + Dựng AB  b B Suy AB đoạn vng góc chung a b + Kết luận : d  a, b   MN  A  a     MH     AH hình chiếu đường thẳng a lên   Cách : (Nếu hai đường thẳng khơng vng góc) + Dựng mp phụ   chứa b   // a +  d  a, b   d  a,     d  M  a,     -6 Cách dựng đoạn vng góc chung hai đường thẳng chéo (Nếu hai đường thẳng khơng vng góc) + Chọn mặt phẳng phụ   chứa b song song với a + Chọn điểm M thuộc a, dựng MH    + Trong   từ H kẻ đường thẳng a’ song song với a cắt b B + Trong mp a, a ' , qua B kẻ đường thẳng song     a,    a , a '  MAH   II GĨC GIỮA HAI MẶT PHẲNG : Là góc tạo hai đường thẳng : + Cùng qua điểm giao tuyến + Cùng vng góc với giao tuyến + Cùng thuộc hai mặt phẳng   x          ax    bx     ,    a , b        a           b     -CÁC LOẠI HÌNH ĐẶC BIỆT song với MH cắt đường thẳng a A + Chứng minh AB  a, b HÌNH LĂNG TRỤ + Kết luận AB đoạn vng góc chung a Là hình đa diện có đáy đa giác nằm b hai mặt phẳng song song, cạnh bên song song với HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG : Là hình lăng trụ có cạnh bên vng góc với mặt đáy - HÌNH LĂNG TRỤ ĐỀU : Là hình lăng trụ đứng có đáy đa giác GĨC - I GÓC GIỮA ĐT & MP : + Là góc tạo đường thẳng hình chiếu HÌNH HỘP : đường thẳng lên mặt phẳng Là hình lăng trụ có đáy hình bình hành  Phương pháp: HÌNH HỘP ĐỨNG : + Tìm giao điểm Là hình hộp có cạnh bên vng góc với mặt A  a    đáy HÌNH HỘP CHỮ NHẬT : + Lấy M a Là hình hộp đứng có đáy hình chữ nhật Kẻ MH    HÌNH LẬP PHƯƠNG : + Suy đường Là hình hộp chữ nhật có cạnh bên thẳng a’ qua AH Năm học 2020 – 2021 LỚP HỌC MINH TRÍ 18A Song Hành, P Trung Mỹ Tây, Q 12, Tp.HCM Lớp học gần ngã ba đường Song Hành & Trung Mỹ Tây 13 ĐT : 088 880 51 52 Traná 15 àacebook : lớp nhóm minh trí GV: Vũ Văn Thiện TĨM TẮT LÝ THUYẾT HÌNH HỌC KHƠNG GIAN 11 & 12 KẾT LUẬN  -Hình lăng trụ  lăng trụ đứng  lăng trụ ĐỊNH LÝTỈ SỐ THỂ TÍCH Hình hộp  hộp đứng  hộp chữ nhật  lập phương - - Cho hình chóp S.ABC, SA, SB, SC lấy điểm A’, B’, C’ Ta có: VS A ' B 'C ' SA ' SB ' SC '  VS ABC SA SB SC HÌNH CHĨP ĐỀU : a Định nghĩa : Hình chóp  -hình chóp có đáy MẶT CẦU đa giác đều, cạnh bên ĐỊNH NGHĨA MẶT CẦU: Hình chiếu Tập hợp điểm khơng gian cách điểm O đỉnh lên mặt cố định khoảng R cho trước gọi mặt phẳng đáy trùng cầu tâm O bán kính R với tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác ĐỊNH NGHĨA KHỐI CẦU: đáy Tập hợp điểm nằm mặt cầu thuộc b Tính chất : Trong hình chóp : mặt cầu gọi khối cầu + Các mặt bên tam giác cân VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MẶT CẦU VÀ MP + Đoạn thẳng nối từ đỉnh đến trung điểm cạnh đáy trung đoạn hình chóp  -DIỆN TÍCH - THỂ TÍCH DIỆN TÍCH XUNG QUANH HÌNH CHĨP + Bằng tổng diện tích mặt bên Sxïná ëïanâ   Smặtbên DIỆN TÍCH TỒN PHẦN : + Bằng diện tích xung quanh + diện tích đáy Stoàn êâần  Sxïná ëïanâ  Sđáy THỂ TÍCH KHỐI CHĨP: Vcâóê a Nếu d O,     R   khơng cắt (S) b Nếu d O,     R     tiếp xúc (S), gọi mặt phẳng tiếp diện c Nếu d O,     R   cắt (S) theo giao tuyến đường trịn nằm   có tâm H hình chiếu O lên mặt phẳng  Sđáy h   Với h: chiều cao hình chóp THỂ TÍCH HÌNH LĂNG TRỤ : Vlăná trïï  S đáy h Với h: chiều cao hình lăng trụ THỂ TÍCH HÌNH HỘP CHỮ NHẬT: Vâộê câư õnâật  a.b.c Với a, b, c ba kích thước THỂ TÍCH HÌNH LẬP PHƯƠNG : Vlậê êâư ôná  a3 Với a : độ dài cạnh Năm học 2020 – 2021 Cho mặt cầu S  O, R  mặt phẳng   có bán kính r  R  d O,    TRỤC ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP ĐA GIÁC: a Định nghĩa : + Trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đường thẳng qua tâm đường trịn ngoại tiếp đa giác vng góc với mặt phẳng chứa đa giác b Tính chất: + Mọi điểm nằm trục đường tròn ngoại tiếp đa giác cách đỉnh đa giác Ngược lại, điểm cách đỉnh đa giác nằm trục đường trịn ngoại tiếp đa giác LỚP HỌC MINH TRÍ 18A Song Hành, P Trung Mỹ Tây, Q 12, Tp.HCM Lớp học gần ngã ba đường Song Hành & Trung Mỹ Tây 13 ĐT : 088 880 51 52 Traná 16 àacebook : lớp nhóm minh trí GV: Vũ Văn Thiện TĨM TẮT LÝ THUYẾT HÌNH HỌC KHƠNG GIAN 11 & 12 MẶT PHẲNG TRUNG TRỰC CỦA ĐOẠN THẲNG : a Định nghĩa: + Là mặt phẳng qua trung điểm đoạn thẳng vng góc với đoạn thẳng b Tính chất : + Mọi điểm nằm mặt phẳng trung trực đoạn thẳng cách hai đầu đoạn thẳng Ngược lại, điểm cách hai đầu đoạn thẳng thuộc mặt phẳng trung trực đoạn thẳng XÁC ĐỊNH TÂM VÀ BÁN KÍNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHĨP : * Cách : + Nếu đỉnh hình chóp nhìn đoạn AB góc vng ta6k mặt cầu trung điểm đoạn AB Bán kính R  + Hình trụ hình trịn xoay tạo cạnh hình chữ nhật quay quanh đường trung bình hình chữ nhật Định nghĩa khối trụ: Khối trụ hình trụ với phần bên Các loại giao tuyến mặt trụ với mp: Loại 1: + Nếu cắt mặt trụ tròn xoay mặt phẳng   khơng vng góc với trục cắt tất đường sinh ta giao tuyến 2R elip có trục nhỏ 2R trục lớn sin  (Với  góc   trục  ) AB Loại 2: * Cách : Một mặt phẳng   song song với trục  + Tìm trục  đường trịn ngoại tiếp đa mặt trụ tròn xoay cách  khoảng giác h : + Tìm giao điểm  cuûa trục  với mặt phẳng trung trực cạnh bên Suy  + Nếu h  R :   cắt mặt trụ theo hai đường sinh, tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp thiết diện hình chữ nhật Diện tích mặt cầu: Smặtcầï  4 R + Nếu h  R :   tiếp xúc với mặt trụ theo Thể tích khối cầu: Vkâốicầï  R đường sinh + Nếu h  R :   không cắt mặt trụ  -MẶT TRỤ – HÌNH TRỤ – KHỐI TRỤ + Nếu   qua trục thiết diện hình chữ nhật có hai kích thước chiều cao hình trụ 2R Thể tích khối trụ: Vtrïï  Sđáy h Diện tích xung quanh: S xïná ëïanâ trïï  2 R.h Định nghĩa mặt trụ: Mặt trụ hình trịn xoay sinh đường thẳng Diện tích tồn phần : Vtoàn êâần trïï  Sxïná ëïanâ trïï Sđáy trïï l quay quanh đường thẳng  song song với l  gọi trục, l gọi đường sinh mặt trụ Hình cầu nội tiếp hình trụ : Định nghĩa hình trụ: + Hình trụ hình giới hạn mặt trụ Nếu mặt cầu tiếp xúc với tất đường đường tròn nhau, giao tuyến mặt trụ sinh hình trụ tiếp xúc với hai đáy hình với hai mặt phẳng vng góc với trục  Bán trụ kính R hai đường tròn khoảng cách Mặt cầu ngoại tiếp hình trụ:  l Nếu mặt cầu chứa hai đường trịn đáy hình trụ Năm học 2020 – 2021 LỚP HỌC MINH TRÍ 18A Song Hành, P Trung Mỹ Tây, Q 12, Tp.HCM Lớp học gần ngã ba đường Song Hành & Trung Mỹ Tây 13 ĐT : 088 880 51 52 Traná 17 àacebook : lớp nhóm minh trí GV: Vũ Văn Thiện TĨM TẮT LÝ THUYẾT HÌNH HỌC KHƠNG GIAN 11 & 12 10 Tính chất hình trụ: Khi giải tốn hình trụ ta thường dùng phép chiếu vng góc xuống mặt đáy sử dụng tính chất hình học phẳng đường trịn  -MẶT NÓN – HÌNH NÓN – KHỐI NÓN  ĐỊNH NGHĨA MẶT NĨN: Mặt nón hình trịn xoay sinh đường thẳng l quay quanh đường thẳng  cắt l khơng vng góc với l ĐỊNH NGHĨA HÌNH NĨN: Hình nón hìn trịn xoay sinh ba cạnh tam giác cân quay quanh trục đối xứng tam giác ĐỊNH NGHĨA KHỐI NĨN: Là hình trịn xoay sinh mặt hình tam giác vng quay quanh đường thẳng chứa cạnh góc vng DIỆN TÍCH XUNG QUANH: Sxïná ëïanâ nón  Pđáy l với l : độ dài đường sinh Pđáy  2 R : chu vi đáy Chú ý: đường sinh hình nón đoạn thẳng nối từ đỉnh hình nón đến điểm đường trịn đáy hình nón DIỆN TÍCH TỒN PHẦN: Vtoàn êâần nón  Sxïná ëïanâ nón  Sđáy nón THẾ TÍCH KHỐI NĨN : Vnón  Sđáy h MẶT CẦU NỘI TIẾP HÌNH NĨN: Một hình cầu gọi nội tiếp hình nón tiếp xúc với tất đường sinh tiếp xúc với đáy hình nón MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH NĨN: Một mặt cầu gọi ngoại tiếp hình nón mặt cầu chứa đỉnh đường trịn đáy hình nón HÌNH TRỤ NỘI TIẾP HÌNH NĨN: Một hình trụ gọi nội tiếp hình nón đáy hình trụ thuộc mặt nón, đáy cịn lại đường trịn đồng tâm với đường trịn đáy hình nón Năm học 2020 – 2021 LỚP HỌC MINH TRÍ 18A Song Hành, P Trung Mỹ Tây, Q 12, Tp.HCM Lớp học gần ngã ba đường Song Hành & Trung Mỹ Tây 13 ĐT : 088 880 51 52 GV: Vũ Văn Thiện _ Zalo : 0983 790 520 facebook : Trung Tâm Minh Trí Trang 18 LÝ THUYẾT LƢỢNG GIÁC I HỆ THỨC LƢƠNG GIÁC CƠ BẢN: sin2 cos2 cot cos sin t an tan cot 1 tan2 sin2 cos2 II DẤU HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC : cot  sin   0; cos   tan  t 0; cot   y T’ M S O t’ T    0 B A quy tắc : bù trừ bỏ sin   sin   0; cos   tan   0; cot   sin(  )  sin ; cos(  )   cos  tan(  )   ta n ; cot(  )   cot  sin cos x C A  3  0  B’ 2 sin   0; cos   sin   0; cos   tan   0; cot   tan   0; cot   Lưu ý : Nhất cả, nhì sin, tam tan cot, tứ cos Lƣu ý : sin ;cos ; 1;1 ; tan ;cot hslg cos 0o 30o 45o 60o 90o     2 2 2 1 sin tan 3 ║ cot ║ 3 IV CUNG LIÊN KẾT: Hai cung sai k2 (  ,  + k2) sin(  k2 )  sin ; cos(  k2 )  cos  tan(  k2 )  tan ; cot(  k2 )  cot  quy tắc : sai Hai cung đối (  , –  ) sin()   sin ; cos()  cos  tan()   tan ; cot()   cot  quy tắc : đối trừ bỏ cos  –  )   sin(  )  cos ; cos(  )  sin  2   tan(  )  cot ; cot(  )  tan  2 quy tắc : phụ chéo   Hai cung (  , +  ) 2   sin(  )  cos ; cos(  )   sin  2   tan(  )   cot ; cot(  )   tan  2 quy tắc : nửa  sin cos chéo trừ Hai cung  (  ,  +  ) Hai cung phụ (  , sin(  )   sin ; cos(  )   cos  tan(  )  ta n ; cot(  )  cot  quy tắc :  tan, cot V CÁC CÔNG THỨC LƢỢNG GIÁC: Công thức cộng: sin(a  b)  sin a.cos b  sin b.cos a cos(a  b)  c os a.cos b sin a.sin b tan a  tan b cot a.cot b tan(a  b)  ;cot  a  b   tan a.tan b cot b  cot a  Hệ quả: III BẢNG GIÁ TRỊ LƢỢNG GIÁC CÁC GÓC ĐẶC BIỆT: goùc Hai cung bù (  ,  –  )    2.cos  x    2.cos  x     2.sin  x    4 sin x  cos x  2.sin x   sin x  cos x   Công thức nhân đôi: sin 2x  2.sin x.cos x cos 2x  cos x  sin x  2.cos x    2.sin x tan x tan 2x   tan x Công thức hạ bậc:  cos 2x  cos 2x  cos 2x sin x  ;cos x  ; tan x  2  cos 2x Công thức biểu diễn theo t  tan sin x  2t ;cos x  1 t2 1 t 1 t Công thức nhân ba: x ; tan x  2t 1 t2 sin 3x  3sin x  4sin x; cos 3x  cos x  3cos x tan 3x  tan x  tan x  tan x  Năm học 2020 – 2021 LỚP HỌC MINH TRÍ – 18A Song Hành, P Trung Mỹ Tây, Q.12, TP.HCM Lớp học gần ngã ba đường Song Hành & Trung Mỹ Tây 13 ĐT : 088 880 51 52 GV: Vũ Văn Thiện _ Zalo : 0983 790 520 Công thức biến tổng  tích: sin  u     sin  ab ab sin a  sin b  2sin   cos       Lƣu ý: Điều kiện có nghiệm : a  b2  c2 Phƣơng trình bậc hai ba : a b a b sin a  sin b  cos   sin       ab ab cos a  cos b  cos   cos       facebook : Trung Tâm Minh Trí Trang 19 a.sin u  b.sin u  c  0; a.cos u  b.cos u  c  a.tan u  b.tgu  c  0; ab ab cos a  cos b  2sin   sin       sin  a  b  sin  b  a  tan a  tan b  ; cot a  cot b  cos a.cos b sin a.sin b Công thức biến tích  tổng: cos  a  b   cos  a  b   2 sin a.sin b   cos  a  b   cos  a  b   sin a.cos b  sin  a  b   sin  a  b   VI PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC: Dạng bản:  u  v  k2 sin u sin v   k   u    v  k2 Đặt ẩn phụ: t = sinu (hoặc cosu; tanu; cotu tương ứng) Lưu ý: Điều kiện t đặt t = sinu (hoặc cosu) –1  t  Phƣơng trình đối xứng theo sinx, cosx: a(sin u  cos u)  b.sin u.cos u   cos u  u  v  k  tan u tan v    u   k  u  v  k cot u cot v    u  k Phƣơng trình lƣợng giác đặc biệt: sin u sin u sin u u k cos u u k2 u cos u u  a.sin u  b.sin u.cos u  c.cos2 u  d (1)  k2 k   k   k   k k   Trƣờng hợp 1: u cos u   sin u  1 k Kiểm tra (1) có không  Trƣờng hợp : cos u  a d tg2 u VII b.tgu Có dạng x   a b sin u  Đặt cos   (2) b a b a a b 2 c cos u  , sin   a  b2 n : số điểm -CHÚC CÁC EM HỌC GIỎI VÀ ĐẠT ĐIỂM CAO TRONG KỲ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC (2) b a  b2 sin u.cos   cos u.sin   k 2 , k, n  , n  n a.sin u  b.cos u  c (1) a c d CUNG LƢỢNG GIÁC: Chia hai vế phương trình cho a  b ta được: u k Chia hai vế phương trình cho cos2 u , ta được: k   k   t2  Phƣơng trình cổ điển: Dạng:  Đưa phương trình ban đầu phương trình bậc hai theo biến t Phƣơng trình đẳng cấp bậc hai sinx, cosx: k   k2 sinu.cosu =  k   k2 u cos u u  t  k   cos v  u =  v + k2   sin u   Đặt t = sinu  cosu =      cos u cos a.cos b  a.cot g u  b.cot gu  c  c a  b2  Năm học 2020 – 2021 LỚP HỌC MINH TRÍ – 18A Song Hành, P Trung Mỹ Tây, Q.12, TP.HCM Lớp học gần ngã ba đường Song Hành & Trung Mỹ Tây 13 ĐT : 088 880 51 52 Lớp học gần ngã đường Song Hành & Trung Mỹ Tây 13 Trang 25 GV: VũVăn Thiện _ zalo : 0983790520 TÓM TẮT LÝ THUYẾT SỐ PHỨC (Complex Numbers) g Nghịch đảo số phức z : z z   z z.z z CÁC VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ SỐ PHỨC Định nghĩa số phức : + Số phức biểu thức có dạng : z  a  bi  a, b    Với : a phần thực, b phần ảo i đơn vị ảo, i  1 Các trường hợp đặc biệt : a  a/  : z   bi  bi : gọi số ảo b  a  b/  : z  a  0i  a : gọi số thực b  a  c/  : z   0i  :vừa số thực, vừa số b  ảo Biểu diễn hình học số phức mặt phẳng tọa độ Oxy: + Mỗi số phức z  a  bi biểu diễn điểm   M  a; b  vectơ u  OM   a; b  mặt phẳng tọa độ Oxy + Mặt phẳng biểu diễn số phức gọi mặt phẳng phức với trục hoành trục thực, trục tung trục ảo + Độ dài (Mô đun) số phức z  a  bi : h Thương hai số phức : z ' z '.z z '.z   z z.z z f Độ dài (môđun) số phức : z  a  b Lưu ý : (độ dài tích hai số phức tích hai độ dài) 1  z z z' z'  z z (Độ dài thương số phức thương hai độ dài) Các phép toán số phức : Cho: z  a  bi; z '  a ' b ' i a  a ' a Hai số phức : z  z '   b  b ' b Cộng trừ hai số phức: z  z '   a  a '   b  b '  i z  z'  z z' (bất đẳng thức tam giác) - CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI z  z '   a  a '   b  b ' i c Số đối số phức z :  z   a  bi d Nhân hai số phức: z.z '   a  bi  a ' b ' i  I Căn bậc hai số phức : Định nghĩa :   a.a ' b.b '    ab ' ba '  i e Số phức liên hợp z : z  a  bi Lưu ý :  z  z '  z  z ' (liên hợp tổng tổng hai liên hợp) z.z '  z.z ' z z '  z z ' z  a2  b2  z.z  z + Cho số phức w, số phức z z thỏa z2  w gọi bậc hai số phức w Trường hợp w số thực : - Số có bậc hai - Số thực dương a có bậc hai a  a (liên hợp tích tích hai liên hợp) Năm học 2020 - 2021 LỚP HỌC MINH TRÍ facebook : https://www.facebook.com/lopnhomminhtri/ 18A Song Hành, P TRUNG MỸ TÂY, Q 12 TP.HCM ĐT : 088 880 51 52 Lớp học gần ngã đường Song Hành & Trung Mỹ Tây 13 Trang 26 GV: VũVăn Thiện _ zalo : 0983790520 TĨM TẮT LÝ THUYẾT SỐ PHỨC (Complex Numbers) - Số thực âm a có hai bậc hai i a i  a - Khơng nên dùng kí hiệu w đđể chi bậc hai w Trường hợp w  a  bi : + Gọi z  x  yi ( x, y   ) bậc hai w   x  yi   a  bi   x  y   xyi  a  bi  x2  y  a  2 xy  b + Giải hệ tìm x, y + Mọi nghiệm  x; y  hệ phương trình cho bậc hai z  x  yi w  a  bi II Phương trình bậc hai: Xét phương trình : Az  Bz  C  ( A, B, C số phức A  ) + Tìm   B  AC TH1:   :  có bậc hai   Phương trình có nghiệm phân biệt : B   B   z1  ; z2  2A 2A TH2:   : Phương trình có nghiệm kép : B z1  z2  2A III Phương trình bậc n n  : Mọi phương trình bậc n  n  1 ln có n nghiệm phức - Năm học 2020 - 2021 LỚP HỌC MINH TRÍ facebook : https://www.facebook.com/lopnhomminhtri/ 18A Song Hành, P TRUNG MỸ TÂY, Q 12 TP.HCM ĐT : 088 880 51 52 facebook: Trung Tâm Minh Trí https://www.facebook.com/lopnhomminhtri/ Lớp học gần ngã ba đường Song Hành & Trung Mỹ Tây 13 SƠ ĐỒ ĐƯỜNG ĐI TỚI LỚP HỌC ...  a1; a2 ; a3  ; b  b1; b2 ; b3    a  b   a1  b1  a2  b2   a3  b3   a  b  a1  b1; a2  b2 ; a3  b3   k a   ka1; ka2 ; ka3   a  a12  a22  a32  a.b  a1b1... gần ngã ba đường Song Hành & Trung Mỹ Tây 13 ĐT : 088 880 51 52 facebook : lớp nhóm minh trí GV: Vũ Văn Thiện _ Zalo : 09 83 790 520 Trang TÓM TẮT LÝ THUYẾT HÌNH HỌC GIẢI TÍCH PHẲNG OXY  Lưu ý... gần ngã ba đường Song Hành & Trung Mỹ Tây 13 ĐT : 088 880 51 52 facebook : lớp nhóm minh trí GV: Vũ Văn Thiện _ Zalo : 09 83 790 520 Trang 10 TÓM TẮT LÝ THUYẾT HÌNH HỌC GIẢI TÍCH PHẲNG OXY 1 a.ha