Chương I: Bài 3: Thể tích khối đa diện lớp 12

CHƯƠNG I – BÀI – THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN A – CÔNG THỨC CƠ BẢN I TAM GIÁC Tam giác thường: 1 abc  pr  ① S ABC  BC AH  AB AC.sin A  2 4R ② S ABM  S ACM  S ABC 2 ③ AG  AM ( G trọng tâm) p ( p  a)( p  b)( p  c ) A G AB  AC BC  2 ⑤ Định lí hàm số cosin: BC  AB  AC  AB AC.cos A a b c    2R ⑥ Định lí hàm số sin: sin A sin B sin C Tam giác ABC cạnh a : A ④ Độ dài trung tuyến: AM  ① S ABC ② AH   canh    a B H M C a canh � a  2 C B H A a ③ AG  AH  3 Tam giác ABC vuông a: 1 ① S ABC  AB AC  AH BC 2 B H 2 ② BC  AB  AC ③ BA2  BH BC ④ CA2  CH CB ⑤ HA2  HB.HC ⑤ HA2  HB.HC ⑥ AH BC  AB AC C 1 1 HB AB   ⑧ ⑨ AM  BC  2 2 AH AB AC HC AC AC AB AC AB ⑩ sin B  ⑪ cos B  ⑫ tan B  ⑬ cot B  BC BC AB AC Tam giác ABC vuông cân A ⑦ ① BC  AB  AC ② AB  AC  BC C A II TỨ GIÁC Hình bình hành: Diện tích: S ABCD  BC AH  AB AD.sin A Hình thoi: B H D C AA B  Diện tích: S ABCD  AC.BD  AB AD.sin A C � �  Đặc biệt: ABC  60�hoặc BAC  120�thì tam giác ABC , ACD B D Hình chữ nhật: S ABCD  AB AD Hình vng:  Diện tích: S ABCD  AB A D A D B C B C A  Đường chéo: AC  AB ( AD  BC ) AH III CÁC HÌNH TRONG KHƠNG GIAN Hình thang: S ABCD  Hình lăng trụ: ① Thể tích khối lăng trụ: ② Diện tích xung quanh: ③ Diện tích tồn phần: B D H C V = Sđáy.Chiều cao Sxq = Tổng diện tích mặt bên Stp = Sxq + S2đáy Hình chóp: Sđáy.Chiều cao ② Diện tích xung quanh: Sxq = Tổng diện tích mặt bên ③ Diện tích tồn phần: Stp = Sxq + Sđáy B – ĐƯỜNG CAO TRONG HÌNH CHĨP VÀ LĂNG TRỤ + Đường cao hình chóp : * Chóp có cạnh bên vng góc với đáy, đường cao cạnh bên * Chóp có hai mặt bên vng góc với đáy, đường cao giao tuyến hai mặt bên vng góc đáy * Chóp có mặt bên ( mặt phẳng có chứa đỉnh) vng góc với đáy, đường cao nằm mặt bên (hoặc mặt phẳng có chứa đỉnh) vng góc với đáy giao tuyến * Chóp đều, đường cao từ đỉnh đến tâm đa giác đáy * Chóp có hình chiếu vng góc đỉnh xuống mặt đáy thuộc cạnh mặt đáy, đường cao từ đỉnh tới hình chiếu D – CÁC DẠNG TỐN CẦN LƯU Ý Dạng Khối chóp có cạnh bên vng góc với đáy 1.1 Ví dụ minh họa Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a tâm O , SA vng góc với đáy Tính thể tích hình chóp S ABCD trường hợp sau : a SA  a b Góc SB mp  ABCD  450 ① Thể tích khối chóp: c tan DSC   V= e Cho d  A,  SBC    d Góc  SBC  mp  ABCD  300 10a 10 f Gọi M điểm thuộc cạnh SA cho g d  AD, SB   10a 10 i d  CD, SO   7a SM 10a  Biết d  M ,  SCD    SA 20 21a h d  AB, SC   S 21 Giải a SA  a D A B C 1 a3 ( đvtt) V  SA.S ABCD  a 7.a  3 b Góc SB mp  ABCD  450 �  45  SB,  ABCD    SBA tan 450  SA � SA  a AB 1 a3 ( đvtt) V  SA.S ABCD  a.a  3 c tan DSC   CD  AD � � CD   SAD  � CD  SD � CD  SA � tan  DSC   CD  � SD  6a ; SA  SD  AB  SD  6a   a  35a 1 a 35 ( đvtt) V  SA.S ABCD  a 35.a  3 e Cho d  A,  SBC    10a 10 �BC  AB � BC   SAB  �  SBC    SAB  ; � CB  SA � kẻ AK  SB � AK   SBC  � d  A,  SBC    AK 1 1 1  2 � 2  � SA  2 AK SA AB SA AK AB 10a a AK AB 10   3a AB  AK 2 a  a 10 1 V  SA.S ABCD  3a.a  a ( đvtt) 3 f Gọi M điểm thuộc cạnh SA cho SM 26a  Biết d  M ,  SCD    SA 78 �BC  AB � BC   SAB  �  SBC    SAB  ; � CB  SA � kẻ AK  SB � AK   SBC  � d  A,  SBC    AK d  M ,  SCD    10a 10a d  A,  SBC    � d  A,  SBC    20 10 1 1 1  2 � 2  � SA  2 AK SA AB SA AK AB 1 V  SA.S ABCD  3a.a  a ( đvtt) 3 10a a 10   3a AB  AK 2 a  a 10 AK AB g d  AD, SB   10a 10 �AB  AD � AD   SAB  , kẻ AH  SB � AD  SB Vậy d  AD, SB   AH � �AD  SA 10a a AH AB 10   a 2 AB  AH a  a 10 1 1 1  2 �   � SA  2 AH SA AB SA AH AB 1 6a ( đvtt) V  SA.S ABCD  a.a  3 h d  AB, SC   21a 21 �AB / / CD � 21a �AB � SCD  � AB / /  SCD  ; d  AB, SC   d  AB,  SCD    d  A,  SCD    21 � CD � SCD  � CD  AD � � CD   SAD  �  SCD    SAD  ; � CD  SA � kẻ AI  SD � AI   SCD  � d  A,  SBC    AI 1 1 1  2 � 2 2 � SA  2 AI SA AD SA AI AD 21a a AI AD 21   a 2 16 AD  AI a  a 21 1 5 V  SA.S ABCD  a.a  a ( đvtt) 3 15 7a Gọi M trung điểm O i d  CD, SO   � OM / /CD � OM � SOM  � CD / /  SOM  ; � � CD � SOM  � d  CD, SO   d  CD,  SOM    d  C ,  SOM    d  A,  SOM   OM / / CD � � OM   SAD  �  SOM    SAD  Do � CD   SAD  � Kẻ AH1  SM � AH1   SOM  � d  A,  SOM    AH1 1 1 1  2 �   � SA  2 AH1 SA AM SA AH1 AM 1 3 V  SA.S ABCD  a.a  a ( đvtt) 3 7a a   a AM  AH12 a  a AH1 AM Ví dụ Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông B ; cạnh AB  a ; BC  a , SA vng góc với đáy Tính thể tích hình chóp S ABC trường hợp sau : a SA  2a b Góc SC mp  ABC  450 c Góc SC mp  SAB  450 d Góc  SAC  mp  SBC  300 e Cho d  A,  SBC    10a 10 Giải a SA  2a 1 a a ( đvtt) V  SA.S ABCD  2a  3 b Góc SC mp  ABC  450 �  45  SC ,  ABC    SCA AC  AB  BC  2a ; tan 45  SA � SA  2a AB 1 a a3 ( đvtt) V  SA.S ABCD  2a  3 c Góc SC mp  SAB  450 �BC  AB � BC   SAB  ; SC hình chiếu SB lên mặt phẳng  SAB  � CB  SA � �  45  SC ,  SAB     SC , SB   BSC nên SB  BC  a SA  SB  AB  a 1 a a3 ( đvtt) V  SA.S ABCD  a  3 d Góc  SAC  mp  SBC  300 1.2 Bài tập tự luyện 1.3 Bài tập trắc nghiệm Câu 1: [2H1-3]Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , SA vng góc với mặt đáy, SB tạo với mặt phẳng  SAD  góc 30o Tính thể tích V khối chóp S ABCD 2a A V  B V  a3 C V  2a 3 Lời giải Chọn B D V  a3 �AB  AD � AB   SAD  nên SA hình chiếu SB lên mặt phẳng  SAD  � �AB  SA �  300 ; tan 300  BA � SA  a  SB,  SAD    BSA SA 1 a V  SA.S ABCD  a 3.a  3 Câu 2: [2H1-2] Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt đáy , SD tạo với mặt phẳng  SAB  góc 30 Tính thể tích V khối chóp A 6a 18 B 3a C 6a D 3a Lời giải Chọn D � = 300 + (� SD, ( SAB ) ) = DSA Xét tam giác vuông SAD : SA = DA a 3a = = tan 30 3 + S ABCD = a 1 3a a3 Thể tích V khối chóp VS ABCD = SA.S ABCD = a = 3 3 Câu 3: Cho hình chóp tam giác có đường cao 100cm cạnh đáy 20cm , 21cm , 29 cm Thể tích hình chóp A 6000cm3 Chọn C B 6213cm C 7000cm3 Hướng dẫn giải D 7000 cm Diện tích mặt đáy: Sđáy  p  p  a   p  b   p  c   210  cm  ( p nửa chu vi tam giác đáy) 1 Thể tích hình chóp: V  h.Sđáy  100.210  7000cm 3 Câu 4: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác SA vng góc với đáy Tính thể tích khối chóp biết AB  a , SA  2a a3 a3 a3 a3 A B C D Hướng dẫn giải Chọn A a2 Diện tích tam giác đáy (đvdt) 1 a2 a3 Thể tích hình chóp: V  h.Sđáy  2a (đvtt)  3 Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác SA vng góc với đáy Biết thể tích khối chóp a 3 AB  2a , tính theo a chiều cao khối chóp A a B a C 3a D 3a Hướng dẫn giải Chọn C AB  2a  Diện tích mặt đáy: Sđáy    a 4 3V 3.a 3   3a Chiều cao khối chóp: h  Sđáy a Câu 6: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng cân B SA vng góc với đáy Biết thể tích khối chóp 3a SA  3a , tính độ dài theo a AB A a B a C a D 2a Hướng dẫn giải Chọn A 3V 3.3a Diện tích mặt đáy: S ABC    3a h 3a Do ABC vuông cân B nên: AB AB hay 3a  S ABC  � AB  6a � AB  a 2 Câu 5: Câu 7: Cho hình chóp S ABC với SA  SB , SB  SC , SC  SA , SA  a , SB  b , SC  c Thể tích hình chóp A abc B 1 abc C abc Hướng dẫn giải D abc Chọn B Thể tích hình chóp: V  1 SA.SB.SC  abc 6 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a SA   ABC  SA  a Thể tích khối chóp S ABC Câu 8: A 3a B a C 3a Hướng dẫn giải D 3a Chọn B a2 (đvdt) a2 a3 Thể tích khối chóp: V  a (đvtt)  4 Diện tích mặt đáy Câu 9: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng B biết AB  a AC  2a SA   ABC  SA  a Thể tích khối chóp S ABC là: A 3a B a C 3a Hướng dẫn giải Chọn D Tam giác ABC vuông B nên: BC  D a AC  AB  a 1 a2 (đvdt) AB.BC  a.a  2 1 a2 a3 Thể tích khối chóp: V  SA.S ABC  a (đvtt)  3 2 Câu 10: Khối chóp có diện tích đáy 4m chiều cao 1,5m tích là: A m3 B 4,5m C 4m Diện tích mặt đáy: S ABC  D m3 Hướng dẫn giải Chọn D 1 Thể tích khối chóp: V  h.Sđáy  1,5.4   m  3 S ABC SA  SB Câu 11: Cho hình chóp với , SB  SC , SC  SA Biết độ dài SA , SB , SC 3, 5, Tính thể tích V khối chóp S ABC A V  10 B V  20 C V  15 D V  30 Hướng dẫn giải Chọn C 1 Vì SA   SBC  nên VS ABC  SA.S SBC  SA.SB.SC  15 Câu 12: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng cân C , cạnh SA vng góc với mặt đáy, biết AB  2a , SB  3a Gọi V thể tích khối chóp S ABC Tính tỉ số A B Hướng dẫn giải C 8V a3 D Chọn D Vì tam giác ABC vng cân C 2 Nên S ABC  AB  a SA  SB  AB  a a3 8V Nên V  SA.S ABC   3 a Câu 13: Cho khối chóp S ABC có SA   ABC  , tam giác ABC vuông B , AB  a , AC  a Tính thể tích khối chóp S ABC biết SB  a A a 15 B a3 a3 Hướng dẫn giải C D a3 Chọn C Vì tam giác ABC vng B Nên BC  AC  AB  a � S ABC a2  AB.BC  2 a3 Và SA  SB  AB  2a nên VS ABC  SA.S ABC  3 Câu 14: [2H1-2] Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a , SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA  a, thể tích khối chóp A 3a B 3a C Lời giải Chọn A Ta có S ABC  � a AB AC.sinBAC 3a 12 D 3a 3a Do VS ABC  SA.S ABC  Dạng Khối chóp có mặt bên vng góc với đáy 1.1 Ví dụ minh họa Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a tâm O , mặt phẳng  SAB  vng góc với đáy, tam giác  SAB  tam giác cân S Tính thể tích hình chóp S.ABCD trường hợp sau : 0 a SD, ABCD   30 b SA, ABCD   45   c  SC, SAB   45 e   SCD  , ABCD    30   d   SBC  , ABCD    45 2a f d  H , SCD    0   g d H , SAD   2a 17 4a i d C, SAD   17 4a k d  BC, SA  17 Giải : �  SAB    ABCD  �  SAB  � ABCD   AB � � SH   ABCD  � �SH  AB �SH � SAB  �      h d H , SBC   j d  AB, SC   2a 2a 17  a SD, ABCD   30 �  30  SD, ABCD    SD, HD  SDH S a �a � HD  HA2  AD  � � a  �2 � SH a a 15 � SH   HD 1 a 15 a (đvtt) V  SH S ABCD  a  3 18 b SA, ABCD   45 A tan300   B H D C  �  45 � SH  AH  a  SA, ABCD   SAH 1 a a3 (đvtt) V  SH S ABCD  a  3 c SC, SAB  45   �BC  AB � BC   SAB  ; SB hình chiếu SC lên mặt phẳng  SAB  � CB  SH � AB AB � BC '  a BC ' tan 300 a a a3 ( đvtt) VABC A ' B ' C '  AA '.S ABC   tan 300    e R CA' B , ABC  300    �AB  BC � BC   BB ' A ' A � BC  A ' B � �BC  BB ' � '  300  CA'B , ABC    AB, A'B  ABA   AA ' � AA '  AB tan 300  a AB a a a3 ( đvtt) VABC A ' B ' C '  AA '.S ABC   3a f d A, A' BC   10 �AB  BC � BC   BB ' A ' A  �  A ' BC    AA ' B ' B  � �BC  BB ' tan 300      Kẻ AH  A ' B � AH   A ' BC  nên d A, A'BC   AH  3a 10 1 1 1   �   2 2 AH A' A AB A' A AH AB 3a a AH AB 10 � A' A    3a AB  AH 2 a  a 10 a 3a ( đvtt) VABC A ' B ' C '  AA '.S ABC  3a  2 Ví dụ Cho hình lăng trụ đứng ABC A 'B 'C ' có đáyABC tam giác vng � = 600 Đường chéo BC ' mặt bên ( BC 'C 'C ) tạo với mặt phẳng A, AC = a, ACB mp( AA 'C 'C ) góc 300 Tính thể tích khối lăng trụ theo a Giải � AB ^ AC � AB ^ (ACC �� A ) Do AC �  Ta có: � hình chiếu � A � � AB ^ AA � A ) vng góc BC �lên (ACC �� � A ) BC Từ đó, góc BC � (ACC �� � A = 300 A  Trong tam giác vuông ABC : AB = AC tan600 = a ’  Trong tam giác vuông ABC ' : AC �= AB cot 300 = a 3 = 3a  Trong tam giác vuông ACC ' : CC ' = AC '2- AC = (3a)2 - a2 = 2a a 00 C B ’ 0o C ’ B ’ 1  Vậy, thể tích lăng trụ là: V = B h = AB AC CC ' = a 3.a.2a = a3 (đvdt) 2 1.2 Bài tập tự luyện Câu 80: ( �H - D.2008) Cho hình lăng trụ đứng ABC A 'B 'C ' có đáyABC tam giác vng, AB = BC = a , cạnh bên AA ' = a GọiM trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A 'B 'C ' khoảng cách hai đường thẳng AM , B 'C ĐS: V = a3 , d ( AM , B 'C ) = a Câu 81: Cho hình lăng trụ tam giác ABC A 'B 'C ' có cạnh đáy a Biết khoảng cách hai đường thẳng AB A 'C a 15 Tính thể tích khối lăng trụ ABC A 'B 'C ' 3a3 Câu 82: Cho hình lăng trụ tam giác ABC A 'B 'C ' có đáy ABC tam giác cạnh a Tính thể tích ĐS: V = khối lăng trụ khoảng cách đến mp( AB 'C ') từ A ' theo a, biết rằng: a � = 1200 , hình chiếu vng góc Câu 83: Cho hình lăng trụ ABC A 'B 'C ' có AB = AC = 4a, BAC AA ' = A 'B = A 'C = A ' lên mp( ABC ) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp D ABC Góc cạnh bên với đáy 300 Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A 'B 'C ' khoảng cách AA ' BC Câu 84: ( �H - A.2008) Cho hình lăng trụ ABC A 'B 'C ' có độ dài cạnh bên 2a , đáyABC tam giác vuông A, AB = a , AC = a hình chiếu vng góc đỉnh A ' mp( ABC ) trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối chóp A 'ABC tính cosin góc hai đường thẳng AA ' B 'C ' ĐS: V = a3 ,cosj = Câu 85: Cho hình lăng trụ đứng ABC A 'B 'C ' có đáyABC tam giác vuông B với BA = BC = a Biết A 'B hợp với đáyABC góc 600 Tính thể tích khối lăng trụ ĐS: V = a Câu 86: Cho hình lăng trụ đứng ABC A 'B 'C ' có đáyABC tam giác vuông A với � = 600 Biết BC ' hợp với mp( AA 'C 'C ) góc 300 Tính AC ' thể tích AC = a, ACB khối lăng trụ ABC A 'B 'C ' ĐS: V = a3 Câu 87: Cho lăng trụ tam giác ABC A 'B 'C ' có khoảng cách từ điểm A đến mp( A 'BC ) a đường thẳng AA ' hợp với mp( A 'BC ) góc 300 Thể tích khối lăng trụ ABC A 'B 'C ' 32a3 Câu 88: ( �H - D.2009) Cho hình lăng trụ đứng ABC A 'B 'C ' có đáyABC tam giác vng ĐS: V = B, AB = a, AA ' = 2a , A 'C = 3a Gọi M trung điểm đoạn thẳng A 'C ' vàI giao điểm AM A 'C Tính thể tích khối tứ diện IABC khoảng cách từ A đến mp( IBC ) theo a ĐS: V = 4a , d A, ( IBC ) = 2a ( ) Câu 89: Cho hình lăng trụ đứng ABC A 'B 'C ' có đáy ABC tam giác vuông cân B với BA = BC = a Biết mp( A 'BC ) hớp với mp( ABC ) góc 600 Tính thể tích khối lăng trụ ABC A 'B 'C ' ĐS: V = a Câu 90: Đáy lăng trụ đứng ABC A 'B 'C ' tam giác Mặt ( A 'BC ) tạo với đáy góc 300 diện tích tam giác A 'BC 8( cm) Tính thể tích khối lăng trụ ABC A 'B 'C ' ( ) ĐS: V = cm Câu 91: Cho hình lăng trụ đứng ABC A 'B 'C ' có đáyABC tam giác vuông cân B ; AC = 2a Biết mp( A 'BC ) hợp với mp( ABC ) góc 450 Tính thể tích khối lăng trụ ABC A 'B 'C ' ĐS: V = a3 Câu 92: Cho hình lăng trụ đứng ABC A 'B 'C ' có đáyABC tam giác vuông cân A với � = 1200 Biết mp( A 'BC ) hợp với mp( ABC ) góc 450 Tính AB = AC = a BAC thể tích khối lăng trụ ĐS: V = a Câu 93: Cho hình lăng trụ đứng ABC A 'B 'C ' có đáyABC tam giác vuông B BB ' = AB = h Biết mp( B 'AC ) hợp với mặt phẳng chứa đáy ABC góc 600 Tính thể tích khối lăng trụ ĐS: V = h Câu 94: Cho hình lăng trụ đứng ABC A 'B 'C ' có đáy ABC tam giác Biết cạnh bên AA ' = a Tính thể tich khối lăng trụ trường hợp sau: a/ mp( A 'BC ) hợp với đáy mặt phẳng chứa đáy ABC góc 600 b/ Đường thẳng A 'B hợp với mp( ABC ) góc 450 c/ Chiều cao kẻ từ A ' D A 'BC độ dài cạnh đáy lăng trụ ĐS: a/V = a3 3; b/V = a ; c/V = a3 1.3 Bài tập trắc nghiệm Câu 3: [2H1-1] Tính thể tích V khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' biết AB  a AB '  2a A V  3a B V  a3 C V  a3 D V  a3 12 Lời giải Chọn A A’ C’ B’ A C B Ta có: BB�  AB�  AB  4a  a  a Vậy VABC A ' B 'C '  S ABC BB�  Câu 4: a2 3a a  4 B C tam giác cạnh a  biết diện tích tam Đáy lăng trụ đứng tam giác ABC A��� � giác A BC Tính thể tích khối lăng trụ A B C D 16 Hướng dẫn giải BC cân A�� S A�BC  Ta có  A� A� M BC  � A� M 4 2 Tam giác A� , nên AA� AM vuông A�  A� M  AM   (2 3)  42  B C D , có đáy tứ giác cạnh a biết BD '  a Tính Cho lăng trụ đứng ABCD A���� thể tích khối lăng trụ Thể tích khối lăng trụ V  SABC AA�  Câu 3: A a3 B a 3 C 3a3 D 2a3 Hướng dẫn giải Chọn đáp án D Ta có: chiều cao lăng trụ DD�  BD�  BD  6a  2a  2a Thể tích khối lăng trụ: V  B.h  a 2a  2a Câu 4: Lăng trụ đứng tứ giác có đáy hình thoi với đường chéo 6cm 8cm biết chu vi đáy lần chiều cao lăng trụ.Tính thể tích khối lăng trụ A 480cm3 B 360cm3 C 240cm3 D 120cm3 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD Ta có cạnh hình thoi: AD  DO  AO  32  42  � AA�  AD  10 Theo giả thiết: AD  AA� 1 AC.DB AA�  6.8.10  240cm3 2 Cho lăng trụ đứng tứ giác có tất cạnh biết tổng diện tích mặt lăng trụ 96cm Tính thể tích khối lăng trụ Thể tích khối lăng trụ: V  B.h  Câu 5: A 60cm3 B 64cm3 C 32cm3 Hướng dẫn giải D 128cm3 Chọn đáp án B Gọi x độ dài cạnh lăng trụ Theo giả thiết mặt lăng trụ đứng hình vng, có diện tích x Ta có: x  96 � x  16 � x  Câu 6: Thể tích khối lăng trụ đã cho: V  x3  64cm B C có đáy ABC tam giác vuông cân B với Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A��� BA  BC  a , biết A�hợp với đáy ABC góc 60o Tính thể tích khối lăng trụ B A a3 B a3 C 2a3 D a3 Hướng dẫn giải Chọn đáp án A Hình chiếu vng góc A�lên mặt đáy AB B Nên góc tạo A�với mặt đáy góc A� B BA  60o o Ta có: tan 60  Câu 7: AA� � AA�  a AB 1 a3 Thể tích khối lăng trụ tam giác: V  B.h  AB.BC A� A  a a  2 Thể tích khối lăng trụ tam giác có cạnh đáy a cạnh bên 2a A a3 B a3 C a3 D a3 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D Thể tích khối lăng trụ đã cho: V  B.h  Câu 8: a2 a3 2a  Khi tăng độ dài tất cạnh khối hộp chữ nhật lên gấp đơi thể tích khối hộp tương ứng sẽ: A tăng lần B tăng lần C tăng lần D tăng lần Hướng dẫn giải Chọn đáp án B Gọi a , b , c ba kích thước khối hộp chữ nhật Khi tăng độ dài cạnh khối hộp lên gấp đôi, thể tích tương ứng V  2a.2b.2c  8abc Câu 9: Cho khối lăng trụ tam giác có tất cạnh a , thể tích A 3a B a3 a3 A C Hướng dẫn giải D B a C2 Chọn A � VABC A��� B C  S ABC AA A� A� A� 1� a 3�  � a .a � � 2� � � a3 (Đvtt)  Câu 10: Cho khối lăng trụ tam giác có tất cạnh a Khi thể tích khối lăng trụ bằng: A a3 B a3 Hướng dẫn giải Chọn A � VABC A��� B C  S ABC AA C A a3 12 D a 3 C B 1� a 3�  � a .a � � 2� � � A� A� a (Đvtt)  A� Câu 11: Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vng A , góc � ACB  600 , AC  a, AC '  3a Khi thể tích khối lăng trụ A a B a C a 3 D Hướng dẫn giải Chọn A Ta có AB  AC.tan 600  a AC '2  AC  CC '2 � 9a  a  CC '2 � CC '  2a Do thể tích khối lăng trụ 1 V  S ABC CC '  AB AC.CC '  a 3.a.2 2a  a 2 Câu 12: Cho hình lăng trụ đứng ABCD A ' B ' C ' D ' có đáy ABCD thoi cạnh a góc � A  600 Gọi O; O ' tâm hai a 3 hình đáy OO '  2a Xét mệnh đề (I): Diện tích mặt chéo BDD ' B ' 2a (II): Thể tích khối a3 trụ bằng: Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A (I) (II) sai B (I) sai, (II) C Cả (I) (II) D Cả (I) (II) sai Hướng dẫn giải Chọn A Ta có tam giác BAD đều, cạnh a nên diện tích hình thoi a2 S ABCD  Thể tích hình lăng trụ đứng V  S ABCD OO '  a 3 Diện tích mặt chéo BDD ' B ' S BDD ' B '  BD.OO '  a.2a  2a lăng �  120� Góc B C có đáy tam giác cân A , AB  AC  2a;CAB Câu 13: Cho lăng trụ đứng ABC A��� BC   ABC  45� Thể tích khối lăng trụ  A� A a3 B a 3 C 2a 3 D a3 Hướng dẫn giải Chọn D 1 Ta có diện tích đáy SVABC  AB AB.sin A  2a.2a  3a 2 BC  Gọi trung điểm suy góc  A� A� B� C�  ABC  � A� MA  45� A� MA hay � Trong tam giác ABC có AM  AC.cos 60� a �� Trong tam giác A� MA có AA�  AM tan A MA  a � Do thể tích lăng trụ VABC A��� B C  AA S VABC  a A B M C Câu 14: Thể tích khối lăng trụ tam giác có tất cạnh a A 2a B 2a 3a C D 3a A� Hướng dẫn giải B� Chọn D Ta có diện tích đáy SVABC  3a C� Do thể tích lăng trụ VABC A��� � B C  AA SVABC  3a a a A B a C BC   ABC  B C có góc hai mặt phẳng  A� Câu 15: Cho hình lăng trụ tam giác ABC A��� B C bằng 60�, cạnh AB  a Tính thể tích khối đa diện ABC A��� A 3 a B 3a C 3 a Lời giải Chọn D D 3 a Gọi M trung điểm BC Ta có tam giác A ' BC tam giác cân A ' , A ' M  BC , AM  BC Nên góc  A ' BC   ABC  góc � A ' MA  60� Tam giác A ' AM vuông A , nên AA '  AM tan 60� 3a a2 ; SABC  a3 3 Câu 16: Cho  H  khối lăng trụ đứng tam giác có tất cạnh a Thể tích  H  B C : VABC A��� Thể tích ABC A��� B C  AA '.S ABC  A a3 B a3 C a3 D a3 Hướng dẫn giải Chọn C a2 Diện tích đáy: S ABC  a2 a3 � VABC A���  S AA  a  BC ABC 4 Câu 17: Hình lăng trụ A Lăng trụ có đáy tam giác cạnh bên A B C B’ B Lăng trụ đứng có đáy đa giác C Lăng trụ có tất cạnh D Lăng trụ có đáy tam giác cạnh bên vng góc với đáy Hướng dẫn giải Chọn C B C có đáy ABC tam giác vng cân A , I trung điểm Câu 18: Hình lăng trụ đứng ABC A��� BC  tạo với mặt  ABC  góc 60� Thể tích khối lăng trụ BC ; mặt phẳng  A� ABC A��� B C A 2a 12 B 2a C 2a C Hướng dẫn giải D Một đáp án Chọn C ABC tam giác vuông cân A � AI chiều cao a ABC � AI  BC  2 1 a � S ABC  AI BC  a  a 2 2 AI  BC � ��  AA ' I   BC AA�  BC � BC  � ABC   BC �  A� � I   BC  AA� � BC     A� I ; AI   60� ��   ABC  ;  A� I  � ABC   AI �  AA� I  � A� BC   A� I�  AA� � AA�   ABC  � AA�  AI � A� AI vuông A : AA ' tan � A� IA = = � AI tan 60 AA ' a AA� 2a 3a 2a 2a  2 B C tam giác cạnh a  diện tích tam giác Câu 19: Đáy lăng trụ đứng tam giác ABC A��� A� BC Tính thể tích khối lăng trụ � VABC A��� B C  S ABC AA  A B C Hướng dẫn giải Chọn A ABC có AI  16 a a2   S ABC  4 BC Gọi I trung điểm BC Có: S A�BC  � AI  BC � I  � BC  A� �� BC   AIA� AA�  BC � 16 16 BC A ' I � A� I   BC  A� AI vuông A : AA�  A� I  AI  42    Thể tích khối lăng trụ: � VABC A��� B C  S ABC AA  3.2  B C có đáy ABC tam Câu 20: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A��� giác vuông A với AC  a , � ACB  60o biết BC �hợp với C C  AA�� A a góc 30o Tính thể tích lăng trụ B a D Đáp án C 2a C D Một đáp án khác Lời giải Chọn A AB  AC tan 60  a � S ABC o  có: AC � a2 Tam giác ABC  AB  3a � AA�  2a � V  a o tan 30 BC  tạo với đáy góc B C tam giác Mặt  A� Câu 21: Đáy lăng trụ đứng tam giác ABC A��� BC Tính thể tích khối lăng trụ 30o diện tích tam giác A� A 16 B C C D Đáp án Lời giải Chọn B Gọi M trung điểm BC Gọi cạnh x x AB  x � AM  � AA�  AM tan 30o  2 � A� M  x � S A�BC  A� M BC  � x  16 � x  V  3.2  Dạng Lăng trụ xiên 1.1 Ví dụ minh họa Câu 1: B C biết A� ABC tứ diện đều, khoảng cách đường [2H1-4] Cho hình lăng trụ ABC A��� a � � thẳng A C BC Thể tích khối lăng trụ A 2a B 2a C 2a D 2a Lời giải Chọn A C’ B’ E A’ C B G M A ABC tứ diện đều, suy chân đường vng góc hạ từ A’ xuống mặt phẳng Từ giả thiết A� (ABC) trọng tâm G tam giác ABC CM  Pmp  BC � E Lấy E đối xứng với A qua C, ta có mp  A� �BM  CM � BM   A� CM  Lại có : � � BM  A G � C BC �bằng khoảng cách hai mp Từ ta có khoảng cách đường thẳng A� CM   BC � E  Hay BM  a  A� ABC tứ diện nên A� Khi AB  2.BM  2a Do A� AB tam giác cạnh 2a �1 � � A� M  AA� sin 60  a � A 'G  A ' M  MG  3a  � CM � �3 � � 2 a2 2  3a   a 3 B C V  A 'G SABC  Vậy thể tích khối lăng trụ ABC A��� Câu 2: 2 a  2a   2a [2H1-4] Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có tam giác AB ' C ' vuông B ' với AB '  , B ' C '  Biết hình chiếu vng góc A lên đáy A ' B ' C ' trùng với trọng tâm tam giác A ' B ' C ' góc hai mặt phẳng  AB ' C '  với mặt phẳng đáy  A ' B ' C ' 600 Tính thể tích V khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' A V  B V  Chọn D C V  Lời giải D V  12 �B ' C '  AB ' � B ' C '  B ' G �   AB ' C '  ,  A ' B ' C '   � AB ' G  600 Vì � �B ' C '  AG AG  AB '.sin 600   ; B ' G  AB '.cos 60   2 S A ' B ' C '  3SGB 'C '  .GB '.B ' C '  ; VABC A ' B ' C '  AG.S A ' B ' C '  12 1.2 Bài tập tự luyện Ví dụ Cho lăng trụ xiên tam giác ABC.A'B 'C ' có đáy tam giác ABC vuông A, BC  2a, AC  a Hình chiếu đỉnh A' mặt phẳng  ABC  H , H trung điểm AB Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B 'C ' trường hợp sau : 0 a R A'C, ABC   60 b R A' B, ABC   30   c R  A' A, ABC    30 e R   AA'C 'C  , ABC    30   d R   A' BC  , ABC    45 0  f SABB' A'  3a2    i d A, A' BC    h d H , C 'CAA '  3a 6a  g d H , A' BC   3a 13 6a j d B ', ACC ' A'    Ví dụ Cho lăng trụ xiên tam giác ABC.A’B’C’ có đáy tam giác ABC R ACB  600, BC  a, AB  a Hình chiếu đỉnh A' mặt phẳng  ABC  G , G trọng tâm tam giác ABC a Cho  AA',(ABC)  60 , tính VABC A'B'C ' , VABCA' , VBCC 'B' A' , d B 'C ', A'C  ?     b Cho  CA',(ABC)  60 , tính VAGCA' , d G, A'BC  ,d C , A' BA ,  d B ', A' BC   ? c Cho  CA',(ABC)  30 , tính VABC A'B'C ' ?   CBA' ,(ABC)  30 , tính V e Cho   ABB'A' ,(ABC)  30 , tính V f Cho   ACC'A' ,(ABC)  30 , tính V 9a ? g d A, A' BC    , tính V 109 d Cho ABC A'B'C ' ? ABC A'B'C ' ? ABC A'B'C ' ? ABC A'B'C '   h d G, A' BC     i d C ', A' BC     j d C, A' BC   109 9a 109 3a 109 , tính VABC A'B'C ' ? , tính VABC A'B'C ' ? , tính VABC A'B'C ' ? a3 , tính VABC A'B'C ' ? a2 193  , tính VABC A'B'C ' ? k VA' ABG  m SA'BC 3a l VA' ABCG  a3 , tính VABC A'B'C ' ? 1.3 Bài tập trắc nghiệm ... a 3 6a �a h Vậy thể tích khối chóp cần tìm VSABC  SH S ABC �6 � � h� � � 3 � �  h  h 32 Khối đa diện còn lại tích nửa thể tích tứ diện ban đầu suy thể tích 1 3 3 khối tứ diện bị cắt V  h... BCD ( 8) = 24 = =2 1 Thể tích khối tứ diện ABCD VABCD = AH S BCD = = 3 3 Câu 2: Thể tích khối tứ diện cạnh a  2 .125 16 A B 18 C 12 Hướng dẫn giải Chọn B D Gọi khối tứ diện ABCD G tâm BCD... Vậy thể tích khối chóp cần tìm VSABC  a2 3a   a 3 1 a2 3 SH S ABC  a  a 3 Câu 73: Cho tứ diện có chiều cao h Ở ba góc tứ diện người ta cắt tứ diện có chiều cao x để khối đa diện còn lại tích