Chương II: Bài 2: Mặt nón, Mặt trụ lớp 12

HÌNH HỌC 12 – Chương – Bài 1: MẶT NĨN & MẶT TRỤ HÌNH HỌC LỚP 12 – CHƯƠNG – BÀI 1: KHÁI NIỆM VỀ MẶT TRÒN XOAY – MẶT NĨN – I SỰ TẠO THÀNH MẶT TRỊN XOAY ( P ) chứa đường thẳng ∆ đường C – Trong không gian cho mặt phẳng ( P) o quanh ∆ góc 360 điểm M C vạch đường tròn có tâm O thuộc ∆ nằm mặt phẳng vng góc với ∆ Như Khi quay mặt phẳng ( P ) quanh đường thẳng ∆ C tạo nên quay mặt phẳng hình gọi mặt tròn xoay – Trong đó: đường C gọi đường sinh mặt nón; đường thẳng ∆ gọi trục mặt tròn xoay II MẶT NĨN TRỊN XOAY A Lý thuyết Định nghĩa mặt nón tròn xoay ( P ) cho hai đường thẳng d ∆ cắt điểm O – Trong mặt phẳng o o ( P ) xung tạo thành góc α (với < α < 90 ) Khi quay mặt phẳng quanh ∆ đường thẳng d sinh mặt tròn xoay gọi mặt nón tròn xoay đỉnh O – Gọi tắt mặt nón tròn xoay – Trong đó: Đường thẳng ∆ gọi trục; đường thẳng d gọi đường sinh; góc 2α gọi góc đỉnh Hình nón tròn xoay khối nón tròn xoay a) Hình nón tròn xoay – Cho ∆IOM vng I Khi quay tam giác xung quanh cạnh vng góc OI đường gấp khúc IOM tạo thành hình gọi hình nón tròn xoay, gọi tắt hình nón – Trong + Hình tròn tâm I sinh điểm thuộc cạnh IM IM quay quanh trục OI gọi mặt đáy nón + Điểm O gọi đỉnh hình nón + Độ dài đoạn OI gọi chiều cao hình nón + Độ dài đoạn OM gọi độ dài đường sinh hình nón + Phần mặt tròn xoay sinh điểm cạnh OM quay quanh OI gọi mặt xung quanh hình nón b) Khối nón tròn xoay – Phần khơng gian giới hạn hình nón tròn xoay kể hình gọi khối nón tròn xoay hay gọi tắt khối nón – Trong + Điểm thuộc khối nón khơng thuộc hình nón gọi điểm khối nón + Ta gọi đỉnh, mặt đáy, đường sinh hình nón theo thứ tự đỉnh, mặt đáy, đường sinh khối nón tương ứng Diện tích xung quanh diện tích tồn phần khối nón tròn xoay a) Diện tích xung quanh hình nón -1- Biên soạn: GV Đặng Công Vinh Bửu Vũ Dự – Diện tích xung quanh hình nón tròn xoay giới hạn diện tích xung quanh hình chóp nội tiếp hình nón số cạnh tăng lên vô hạn S = π rl – Công thức: xq Trong đó: r bán kính đáy; l độ dài đường sinh b) Diện tích tồn phần hình nón – Diện tích tồn phần hình nón tròn xoay tổng diện tích mặt đáy với diện tích xung quanh hình nón tròn xoay S = S đáy + S xq = π r + π rl – Công thức: c) Diện tích hình quạt – Nếu cắt mặt xung quanh hình nón theo đường sinh trải mặt phẳng ta được: + Một hình quạt có bán hính độ dài đường sinh hình nón + Một cung tròn có độ dài chu vi đường tròn đáy hình nón S = S xq = π rl – Công thức: qua&t Thể tích khối nón tròn xoay – Thể tích khối nón tròn xoay giới hạn thể tích khối chóp nội tiếp khối nón số cạnh tăng lên vơ hạn V = S đáy h – Công thức: Trong đó: h chiều cao khối nón V = π r 2h – Nếu đáy hình tròn có bán kính r Hình nón cụt – Hình nón cụt phần nón giới hạn mặt đáy thiết diện song song với đáy – Công thức S = π ( R + r) l + Diện tích xung quanh xq S = S đáy + S xq = π ( r + R ) + π ( R + r ) l + Diện tích tồn phần V = π h ( R + r + Rr ) + Thể tích khối nón cụt R , r h = IJ Trong đó: bán kính hai đáy; độ cao hình chóp cụt -2- HÌNH HỌC 12 – Chương – Bài 1: MẶT NÓN & MẶT TRỤ B CÁC DẠNG TỐN VỀ MẶT NĨN ( r , l , h ) hình nón Tính diện tích xung quanh, diện tích DẠNG Xác định yếu tố tồn phần hình nón Tính thể tích khối nón Phần Bài tập tự luận ( r , l , h ) hình nón Tính diện tích xung quanh, diện tích DẠNG Xác định yếu tố tồn phần hình nón Tính thể tích khối nón VÍ DỤ TỰ LUẬN CĨ HƯỚNG DẪN GIẢI Bài Cho hình nón có bán kính đáy r = 3cm đường sinh l = 5cm a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình nón b) Tính thể tích khối nón tương ứng Lời giải S = π rl = 15π cm a) Diện tích xung quanh: xq S = π rl + π r = 24π cm Diện tích tồn phần: 2 b) Chiều cao h = l − r = V = π r h = 12π cm3 Thể tích khối nón: Bài Cho tam giác SOA vng O có OA = 3cm, SA = 5cm , quay tam giác SOA xung quanh cạnh SO hình nón a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình nón b) Tính thể tích khối nón tương ứng Lời giải Quay tam giác SOA xung quanh cạnh SO hình nón hình bên S xq = π rl = 15π cm a) Diện tích xung quanh: S = π rl + π r = 24π cm Diện tích toàn phần: 2 b) Chiều cao h = SO = SA − OA = V = π r h = 12π cm3 Thể tích khối nón: Bài Cho tam giác SAB cạnh a , O trung điểm AB , quay tam giác SAB xung quanh cạnh SO hình nón a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình nón b) Tính thể tích khối nón tương ứng Lời giải Quay tam giác SAB xung quanh cạnh SO hình nón hình vẽ Ta có π a2 S xq = π rl = a) Diện tích xung quanh: Diện tích tồn phần: b) Chiều cao Stp = π rl + π r = h = SO = 3π a a -3- r= AB a = 2 Biên soạn: GV Đặng Công Vinh Bửu Vũ Dự π a3 V = π r 2h = 24 Thể tích khối nón: Bài Cho hình nón có bán kính đáy r = 3cm đường cao h = 4cm a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình nón b) Tính thể tích khối nón tương ứng Lời giải 2 Ta có l = h + r = 5cm S = π rl = 15π cm a) Diện tích xung quanh: xq S = π rl + π r = 24π cm Diện tích tồn phần: V = π r h = 12π cm3 b) Thể tích khối nón: Bài Cắt hình nón mặt phẳng qua trục thiết diện tam giác vng cạnh góc vng a a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình nón b) Tính thể tích khối nón tương ứng Lời giải Thiết diện qua trục hình nón tam giác SAB vuông cân S , l = SA = a Ta có r= a) Diện tích xung quanh: AB a = 2 S xq = π rl = π a2 2 Stp = π rl + π r = Diện tích tồn phần: b) Chiều cao h = SO = π a2 ( ) +1 a 2 π a3 V = π r 2h = 12 Thể tích khối nón: Bài Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy a , cạnh bên a a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình nón có đỉnh S đáy đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD b) Tính thể tích khối nón tương ứng Lời giải AC a r= = 2 , đường sinh l = SA = a Bán kính π a2 S xq = π rl = a) Diện tích xung quanh: Stp = π rl + π r = Diện tích tồn phần: b) Chiều cao h = SO = SA2 − AO = π a2 ( ) +1 a 10 -4- HÌNH HỌC 12 – Chương – Bài 1: MẶT NÓN & MẶT TRỤ π a3 10 V = π r 2h = 12 Thể tích khối nón: S ABCD Bài Cho hình chóp tứ giác có cạnh đáy a Góc mặt bên mặt đáy 60° Một hình nón có đỉnh S đường tròn đáy nội tiếp tứ giác ABCD a) Tính diện tích xung quanh hình nón b) Khi thể tích khối nón tương ứng Lời giải O , H trung điểm đoạn AC Gọi · o · · BC ⊥ SO ⇒ BC ⊥ SH ⇒ ( ( SBC ) , ( ABC ) ) = SHO ⇒ SHO = 60 Ta có a a OH · OH = AB = ⇒ SO = OH tan SHO = , SH = =a 2 cos 600 a r = OH = ; đường sinh Hình nón nội tiếp S ABCD có: Bán kính l = SH = a ; đường cao h = SO = BC BC ⊥ OH a π a2 S xq = π rl = a) Diện tích xung quanh 2  a  a a 3π Vn = π r h = π  ÷ = 3 2 24 b) Thể tích hình nón Bài Hình lập phương ABCD A′B′C ′D′ có cạnh a , hình nón tròn xoay có đỉnh tâm hình vng ABCD có đáy đường tròn ngoại tiếp hình vng A′B′C ′D′ a) Tính diện tích xung quanh hình nón b) Tính thể tích khối nón tương ứng Lời giải AC a r= = 2 h = a Ta có: ⇒ l = a2 + r = a + a 3a a = ⇒l = 2 a) Diện tích xung quanh: a a a 2π S xq = π rl = π = 2 b) Thể tích hình nón 2 a 2 a 3π V = π r h = π  ÷ a = 3  ÷  Bài Cho hình nón có đỉnh điểm S , đáy hình tròn tâm O bán kính r góc đỉnh 120° Trên đường tròn đáy hình nón, lấy điểm A cố định điểm M di động Tính giá trị lớn diện tích tam giác SAM ? Lời giải -5- Biên soạn: GV Đặng Công Vinh Bửu Vũ Dự · · Vì góc đỉnh ASA′ = 120° ⇒ ASO = 60° r SO = OA.cot ·ASO = Gọi H trung điểm AM đặt x = OH Suy Ta có: SH = SO + OH = r2 + x2 2 2 , AM = AH = OA − OH = r − x S= r2 SH AM = + x2 r − x2 ≤ r 2 3 Diện tích tam giác ∆SAM r2 r2 r 2 2 2 + x = r − x ⇔ x = ⇔x= ⇒ Smax = r 3 đạt Bài 10 Cho nửa đường tròn đường kính AB = R điểm C thay đổi nửa đường tròn đó, đặt · α = CAB gọi H hình chiếu vng góc C lên AB Tìm α cho thể tích vật thể tròn xoay tạo thành quay tam giác ACH quanh trục AB đạt giá trị lớn Lời giải  AC = AB cos α = R.cos α  CH = AC.sin α = R.cos α sin α  AH = AC.cos α = R.cos α Ta có  Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành quay tam giác ACH quanh trục AB V = AH π CH = R cos α sin α 3 Đặt t = cos α ( < t < 1) 8  t + t + − 2t  ⇒ V = R 3t ( − t ) = R t.t ( − 2t ) ≤ R  ÷ 6   α = arctan t= Vậy V lớn Chú ý: dùng phương pháp hàm số để tìm GTNN hàm -6- f ( t ) = t ( 1− t ) HÌNH HỌC 12 – Chương – Bài 1: MẶT NĨN & MẶT TRỤ VÍ DỤ TRẮC NGHIỆM CĨ HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: Trong không gian, cho tam giác ABC vuông A , AC = a BC = 2a Tính diện tích xung quanh hình nón, nhận quay tam giác ABC xung quanh trục AB A 2π a C 4π a B π a D 2π a Lời giải Chọn A S = π rl = 2π a Diện tích xung quanh: xq Câu 2: Một hình nón có thiết diện qua trục tam giác cạnh a Diện tích tồn phần hình nón 3π a π a2 3π a A π a B C D Lời giải Chọn B Câu 3: a 3π a l = a, R = Stp = π rl + π r = Diện tích tồn phần Ta có: Cho hình nón có độ dài đường sinh đường kính đáy Diện tích đáy hình nón π Chiều cao hình nón A C B D Lời giải Chọn A Theo đề bài, ta có BC = AC = R S đáy = π R = π ⇒ R = Mà Do BC = Tam giác MBC vuông M nên chiều cao hình nón Câu 4: BM = BC − MC = − = ( N ) có độ dài đường sinh diện tích xung quanh 15π Tính diện Cho hình nón ( N) tích tồn phần hình nón A 33π B 24π Câu 5: C 12π D 30π Lời giải Chọn B S = π rl ⇒ 15π = π r ⇒ r = Ta có xq S = π rl + π r = 24π Diện tích tồn phần: Cho hình nón có bán kính đáy 4a , chiều cao 3a Diện tích tồn phần hình nón bằng: A 36π a Lời giải Chọn A 2 C 56π a B 72π a 2 Đường sinh l = r + h = 5a Stp = π rl + π r = π 4a.5a + π 16a = 36π a -7- D 32π a Biên soạn: GV Đặng Công Vinh Bửu Vũ Dự Câu 6: Trong không gian cho tam giác ABC vuông cân A , AB = AC = 2a Gọi H trung điểm cạnh BC Quay tam giác ABC xung quanh trục AH , ta hình nón Tính bán kính đáy hình nón đó? a A a C B a D a Lời giải Chọn D Câu 7: Ta có BC = AB = 2a ⇒ r = a o ( cm ) Một hình nón bán kính đáy , góc đỉnh 120 Tính diện tích xung quanh hình nón 25π ( cm2 ) A 100π ( cm2 ) B 50π cm ) ( C 50π cm ) ( D Lời giải Chọn C Độ dài đường sinh l= Diện tích xung quanh: Câu 8: 10 = sin 60 S xq = π rl = π 10 50π = Cho khối nón có bán kính đường tròn đáy 10 diện tích xung quanh 120π Chiều cao h khối nón là: A 11 B 11 C 11 Lời giải Chọn C S = π rl ⇒ 120π = π 10.l ⇒ l = 12 Ta có xq 2 Suy h = l − r = 11 Câu 9: Trong không gian, cho tam giác vuông OIM vuông I , góc · IOM = 30o cạnh IM = a Khi quay tam giác OIM quanh cạnh góc vng OI đường gấp khúc OIM tạo thành hình nón tròn xoay Thể tích khối nón tròn xoay tạo nên hình nón -8- D 11 HÌNH HỌC 12 – Chương – Bài 1: MẶT NÓN & MẶT TRỤ A π a a3 B 3 π a3 C π a3 D Lời giải Chọn C ⇒ OI = · Ta có ∆IOM ⊥ I có IOM = 30 IM a = =a tan 30 3 π a3 V = π r 2h = 3 Vậy thể tích khối nón: Câu 10: Trong khơng gian, cho tam giác vng ABC B có AB = , · BAC = 60o Quay tam giác xung quanh trục AB ta hình nón Tính thể tích khối nón A π B 2π C 3π D 4π Lời giải Chọn A 1 V = π R h = π 3.1 = π 3 Ta có CB = AB tan 60 = Vậy Câu 11: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A′B′C ′D ′ có đáy hình vng cạnh a cạnh bên 2a S Diện tích xung quanh xq hình nón có đỉnh tâm O hình vng A′B′C ′D′ đáy hình tròn nội tiếp hình vng ABCD là: A S xq = π a 17 B S xq = π a Lời giải C S xq = π a 17 D S xq = π a 17 Chọn A - Phương pháp: Diện tích xung quanh hình nón l độ dài đường sinh) S xq = π rl ( r bán kính đáy, 2 Mối quan hệ đại lượng l , r , h l = h + r - Cách giải: Dựa vào giả thiết ta có bán kính đáy hình nón bán kính đường tròn nội tiếp hình vng nên r= a ( ABCD ) nên h = 2a Chiều cao hình nón khoảng cách từ O đến mặt phẳng a a 17 l = h + r = 4a + = Độ dài đường sinh hình nón Diện tích xung quanh hình nón 2 S xq = π rl = π -9- a a 17 π a 17 = 2 Biên soạn: GV Đặng Công Vinh Bửu Vũ Dự Câu 12: (VÕ NGUYÊN GIÁP) Có cốc có dạng hình vẽ, biết chiều cao cốc 8cm , bán kính đáy cốc 3cm , bán kính miệng cốc 6cm Tính thể tích V cốc A 72π ( cm3 ) B 48π ( cm ) C Hướng dẫn giải 48 ( cm3 ) D 36π ( cm3 ) Chọn C Áp dụng cơng thức tính thể tích hình cụt πh 2 8π V= R + r + R.r ) = + 32 + 18 ) = 168π ( cm3 ) ( ( 3 Câu 13: Giá trị lớn thể tích khối nón nội tiếp khối cầu có bán kính R 4 π R3 π R3 B C Hướng dẫn giải: πR A 32 π R3 D 81 R O x R r Chọn D Rõ ràng hai khối nón bán kính đáy nội tiếp khối cầu khối nón có chiều cao lớn thể tích lớn hơn, nên ta xét khối nón có chiều cao lớn hai khối nón ( C ) bán kính r Gọi Giả sử khối nón có đáy hình tròn x với ≤ x < R khoảng cách tâm khối cầu đến đáy khối nón Khi chiều cao lớn khối nón nội tiếp khối ( C ) h = R + x Khi bán kính cầu với đáy hình tròn 2 đáy nón r = R − x Vậy thể tích khối nón 1 V = π r 2h = π ( R + x ) ( R − x2 ) 3 1 = π ( R + x ) ( R + x ) ( R − x ) = π ( R + x ) ( R + x ) ( 2R − 2x ) ( R + x + R + x + 2R − x ) 32π R V≤ π = 27 81 Áp dụng BĐT Cơ-si ta có Câu 14: Gọi r h bán kính đáy chiều cao hình nón Kí hiệu V1 , V2 V1 thể tích hình nón thể tích khối cầu nội tiếp hình nón Giá trị bé tỉ số V2 -10- HÌNH HỌC 12 – Chương – Bài 1: MẶT NÓN & MẶT TRỤ π (h − x) R ⇒ S ( x) = π r = 2h + Cách 2: Tính trực tiếp tốn PP tích phân ; thể tích h 10 9π V = ∫ S ( x)dx = (10 − x)2 dx = 60π (cm3 ) ∫ 200 0 Ví dụ (Tính thể tích phần khối trụ – KHỐI TRỤ TRUNG BÌNH) Cắt khối trụ mặt phẳng ta khối (H) hình vẽ bên Biết thiết diện hình elip có độ dài trục lớn 10, khoảng cách từ điểm thuộc thiết diện gần mặt đáy điểm thuộc thiết diện xa mặt đáy 14 (hình vẽ) Tính thể tích (H) Hướng dẫn giải  AB =   AE = 10  2 • Tính số đo:  DE = 14 − = ⇒ AD = AE − DE = ; AD R= =4 suy bán kính khối trụ ♦ Cách 1: Thể tích khối (H) thể tích “khối trụ trung  AB + CE  V( H ) = π R  ÷ = π 11 = 176π ( đvtt )   bình”: ♦ Cách 2: Áp dụng cơng thức tính thể tích “cái nêm”: Lấy mặt phẳng ( P ) vng góc với đường sinh hình trụ qua điểm A (điểm thuộc thiết diện gần mặt đáy nhất), chia khối ( H ) thành hai khối: + Khối 1: khối trụ chiều cao h = , bán kính r = nên thể tích V1 = π r h = 128π + Khối 2: phân nửa khối trụ có chiều cao DE = 1 V2 = π r AD = π 42.6 = 48π 2 bán kính r = nên thể tích V = V1 + V2 = 128π + 48π = 176π ( đvtt ) + Vậy ( H ) Ví dụ (Tính thể tích phần khối trụ – THỂ TÍCH CÁI NÚT CHAI) Một nút chai thủy tinh khối tròn xoay (H), mặt phẳng chứa trục (H) cắt (H) theo thiết diện hình vẽ bên Tính thể tích (H) (đơn vị cm ) Hướng dẫn giải -33- Biên soạn: GV Đặng Công Vinh Bửu Vũ Dự ♦ Phân tích: Khối (H) gồm khối trụ bên khối nón cụt bên Tính thể tích khối trụ (+) thể tích khối nón (–) khối nón giao 3 V1 = π r h = π  ÷ = 9π 2 + Thể tích khối trụ 1 16π V2 = π rnón h = π 22.4 = 3 + Thể tích khối nón 1 2π V0 = π rgiao hgiao = π 12.2 = 3 Thể tích khối nón phần giao + Vậy thể tích khối (H) 16π 2π 41π ( đvtt ) V = V1 + V2 − V0 = 9π + − = 3 Ví dụ (Tính thể tích phần giao hai khối phần tư trụ) Gọi (H) phần giao hai khối hình trụ có bán kính a , hai trục hình trụ vng góc với Xem hình vẽ bên Tính thể tích (H) Hướng dẫn giải Chọn trục toạ độ hình vẽ Phần giao (H) vật thể có đáy phần tư hình tròn tâm O bán hính a , thiết diện tạo mặt phẳng vng góc trục Ox hình 2 vng có cạnh AB = a − x nên có 2 diện tích S ( x ) = a − x Thể tích vật thể (H) a a 2a ( đvtt ) V = ∫ S ( x ) d x = ∫ ( a − x ) dx = 0 VÍ DỤ TRẮC NGHIỆM CĨ HƯỚNG DẪN GIẢI X Y Câu 21: Cho hai hình vng có cạnh xếp chồng lên cho đỉnh X hình vng tâm hình vng lại (như hình vẽ) Tính thể tích V vật thể tròn xoay quay mơ hình xung quanh trục XY -34- HÌNH HỌC 12 – Chương – Bài 1: MẶT NÓN & MẶT TRỤ A V= V= ( ) 125 + π ( ) B 125 + π 24 C Hướng dẫn giải: Chọn C D ( ) 125 + 2 π V= 12 V= ( ) 125 + π * Cách 1: Tổng thể tích của: khối trụ + khối nón cụt + khối nón r= tích + Phần 1: khối trụ có h = , 125π 5 V1 = π ×  ÷ × = 2 + Phần 2: khối nón cụt tích có cơng thức V = h Sđay1 + S đay + S đay1.S đay ta ( ) ( ) ×   ( ) 2    5 ÷ 125 2 + ì = ữ ữ +   ÷ ÷ 2 2 24      + Phần 3: khối nón có chiều cao bán kính đáy có V3 = π × −1   125π V2 = ì ì ữ ữ × = 12   thể tích + KL: Vậy thể tích khối tròn xoay 125π 125π V = V1 + V2 + V3 = + 12 + ( ) 125 2 − π = ( ) 125 + π 24 24 * Cách 2: Phân tích hình phẳng tròn xoay tạo vật thể: + Thể tích hình trụ tạo thành từ hình vng ABCD 125π Vtru = π R h = + Thể tích khối tròn xoay tạo thành từ hình vng XEYF 125π V2 nón = π R h = + Thể tích khối tròn xoay tạo thành từ tam giác XDC 125π Vnón giao = π R h = 24 5+4 V = Vtru + V2 nón − Vnón giao = 125π 24 + KL: Thể tích cần tìm -35- Biên soạn: GV Đặng Cơng Vinh Bửu Vũ Dự Câu 22: Một bóng bàn lý hình trụ có chiều cao Người ta đặt bóng lên chén thấy phần ngồi bóng có chiều cao chiều cao Gọi V1 , V2 thể tích bóng ly, 9V = 8V2 3V = 2V2 A B 16V1 = 9V2 27V1 = 8V2 C D Hướng dẫn giải: Chọn A r r Gọi bán kính bóng, bán kính ly, h chiều cao ly h r OO′ = = h = 2r1 ⇒ r1 = 2h Theo giả thiết ta có 2 h h r22 =  ÷ −  ÷ = h2     16 Ta có 4 h V1 = π r1 = π  ÷ = π h 3 2 Thể tích bóng V2 = B.h = π r22 h = π h3 16 thể tích ly V1 = V Vậy Câu 23: Người ta sản xuất thùng hình trụ kín, tích 5000m Vật liệu để làm hai đáy có giá 250 000 / m , vật liệu làm phần lại có giá 400 000 / m Để chi phí thấp nhất, chiều cao h bán kính đáy thùng chứa  25  4 25  ,10 ÷ 10 ,3   ÷ ÷  π π π 2π ÷     A B 25    25  ,10 4π ÷ 10 4π , ÷ 3 2π   C  D  2π Hướng dẫn giải: Chọn A 5000 V = π R h = 5000 ⇒ h = π R2 + Từ thể tích  2.109  Stp = 2π Rh.4.105 + 2π R 25.104 = 2π  + 25.10 R ÷  πR  + Tính  109 109  25.10 22 = 2π  + + 25.104.R ÷ ≥ 2π 3 π2 πR πR  (BĐT Cauchy số) 10 4.103 = 25.104.R ⇔ R = = 10 π π + Chi phí thấp π R 25 ⇒h= 2π -36- HÌNH HỌC 12 – Chương – Bài 1: MẶT NÓN & MẶT TRỤ Câu 24: Cho dụng cụ đựng chất lỏng tạo hình trụ hình nón lắp đặt hình bên Bán kính đáy hình nón bán kính đáy hình trụ Chiều cao hình trụ chiều cao hình nón h Trong bình, lượng chất lỏng có chiều cao 24 hình trụ Lật ngược dụng cụ theo phương vng góc với mặt đất Độ cao phần chất lỏng hình nón theo h h h h A B C 3h D Hướng dẫn giải: Chọn A h 24 + Thể tích chất lỏng trụ + Khi lật ngược chất lỏng tạo thành hình nón nhỏ phía r ′ h′ = nón lớn, có bán kính r ′ thoả r h r.h′ ⇒ r′ = h ; thể tích khối nón nhỏ 1 r h′2 V ′ = π r ′2 h′ = π h′ 3 h + Mà thể tích thể tích chất lỏng r h′3 h h3 ⇔ π = π r ⇔ h′3 = V =V′ h 24 h ⇔ h′ = V = π r Câu 25: Từ tâm tơn hình chữ nhật kích thước 50cm × 240cm, người ta làm thùng đựng nước hình trụ có chiều cao 50cm theo hai cách sau (xem hình minh họa đây):  Cách 1: Gò tơn ban đầu thành mặt xung quanh thùng  Cách 2: Cắt tôn ban đầu thành hai nhau, gò thành mặt xung quanh thùng V V Kí hiệu thể tích thùng gò theo cách tổng thể tích hai thùng gò -37- Biên soạn: GV Đặng Cơng Vinh Bửu Vũ Dự V1 theo cách Tính tỉ số V2 V1 = A V2 Hướng dẫn giải: Chọn V1 =1 B V2 V1 =2 C V2  25  ,10 4π ÷ 3  D  2π 120 ⇔ r1 = ⇔ π r = 240 π , nên thể tích + Cách 1: Khối trụ có chiều cao h = 50 , chu vi 240 1202 720 000 ( ) V1 = π r12 h = π 50 = cm π π 60 ⇔ r = ⇔ 2π r2 = 120 π , nên tổng thể + Cách 2: Mỗi khối trụ có chiều cao h = 50 , chu vi 120 60 360 000 ( ) V2 = 2.π r2 h = 2π 50 = cm π π tích V1 =2 V + Tỷ số -38- HÌNH HỌC 12 – Chương – Bài 1: MẶT NÓN & MẶT TRỤ C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM VỀ MẶT TRỤ CÓ ĐÁP ÁN (HOẶC HƯỚNG DẪN) I CẤP ĐỘ [NHẬN BIẾT] Câu 1: Một hình trụ có chu vi đường tròn đáy 4π a , chiều cao a Thể tích khối trụ πa 3 A 4π a B 2π a C 16π a D Câu 2: Một hình trụ có chiều cao 5m bán kính đường tròn đáy 3m Diện tích xung quanh hình trụ A Câu 3: 15π ( m ) B 30π ( m ) C 45π ( m ) D 48π ( m ) Hình trụ có bán kính đáy thể tích 24π Chiều cao hình trụ A B C D Câu 4: Gọi l , h, R độ dài đường sinh, chiều cao bán kính đáy hình trụ Công thức 2 2 2 A R = h B l = h + R C R = h + l D 444 Câu 5: Gọi l , h, R độ dài đường sinh, chiều cao bán kính đáy hình trụ (T) Diện tích S xung quanh xq hình trụ (T) S = π R2 S = 2π Rl S = π Rh S = π Rl A xq B xq C xq D xq Câu 6: Gọi l , h, R độ dài đường sinh, chiều cao bán kính đáy hình trụ (T) Diện tích S tồn phần hình trụ (T) S = π Rl + π R S = 2π Rl + 2π R S = π Rl + 2π R S = π Rh + π R A B C D Câu 7: Gọi l , h, R độ dài đường sinh, chiều cao bán kính đáy khối trụ (T) Thể tích V khối trụ (T) V = π R 2l V = π R 2h 3 A V = π R h B C V = 4π R D Câu 8: Cho hình trụ có bán kính đáy cm, đường cao 4cm Diện tích xung quanh 2 2 A 26π (cm ) B 20π (cm ) C 24π (cm ) D 22π (cm ) Câu 9: Cho hình trụ có bán kính đáy cm chiều cao cm Diện tích tồn phần 2 2 A 92π (cm ) B 94π (cm ) C 96π (cm ) D 90π (cm ) Câu 10: Hình trụ có bán kính đáy cm, chiều cao 10 cm Thể tích khối trụ 3 A 360π (cm ) B 320π (cm ) C 340π (cm ) D 300π (cm ) Câu 11: Thể tích V khối trụ có chiều cao a đường kính đáy a 1 V = π a3 V = π a3 V = π a3 V = π a3 3 A B C D -39- Biên soạn: GV Đặng Công Vinh Bửu Vũ Dự Câu 12: Cho hình trụ có chiều cao h có bán kính đáy r Khi diện tích xung quanh hình trụ A π rh B 2π rh C 3π rh D 4π rh Câu 13: Cho hình trụ có chiều cao h có bán kính đáy r Khi thể tích khối trụ 2 2 A 4π r h B 3π r h C 2π r h D π r h ( O; ) đường cao h = Thể tích khối trụ Câu 14: Một hình trụ có đường tròn đáy A 47π B 48π C 12π D 16π Câu 15: Cho hình trụ có bán kính đáy cm chiều cao cm Diện tích tồn phần hình trụ 2 2 A 96π (cm ) B 92π (cm ) C 40π (cm ) D 90π (cm ) Câu 16: Một hình trụ có bán kính đáy a đường cao hình trụ gấp đơi bán kính đáy Thể tích khối trụ 3 3 A 2π a B 3π a C 4π a D 5π a Câu 17: Trong khơng gian, cho hình chữ nhật ABCD có AD = a , AC = 2a Tính theo a độ dài đường sinh l hình trụ, nhận quay hình chữ nhật ABCD xung quanh trục AB C l = a (Áp dụng công thức Pitago vào tam giác ACD tính CD ) B l = a A l = a D l = a Câu 18: Cho hình lập phương ABCD A′B′C ′D′ có cạnh a Gọi S diện tích xung quanh hình trụ có hai đường tròn đáy ngoại tiếp hai hình vng ABCD A′B′C ′D′ Tính S π a2 2 B A π a (Bán kính R= C π a D π a AC a = 2 ) Câu 19: Cho hình trụ có hai đường tròn đáy đáy hình tròn A 2a ( O′ ) ( O ) , ( O′ ) a , tính thể tích khối trụ cho 3 B 3a C 4a Biết thể tích khối nón có đỉnh O D 6a (Chiều cao khối trụ chiều cao khối nón) Câu 20: Cho hình trụ có bán kính đường tròn đáy chiều cao 2cm Diện tích xung quanh hình trụ 8π cm2 2 π cm A B C 4π cm D 2π cm II CẤP ĐỘ [THƠNG HIỂU] Câu 21: Một hình trụ có chu vi đường tròn đáy c , chiều cao hình trụ gấp lần chu vi đáy, thể tích khối trụ c3 2c 2c A π B π C 4π c D π -40- HÌNH HỌC 12 – Chương – Bài 1: MẶT NĨN & MẶT TRỤ Câu 22: Một khối trụ tích 20 (đvtt) Nếu tăng bán kính lên lần thể tích khối ( ) ( ) ( ) ( ) A 80 đvtt B 40 đvtt C 60 đvtt D 100 đvtt Câu 23: Thiết diện qua trục hình trụ hình vng có cạnh 2a , diện tích xung quanh hình trụ 2 2 A 6π a B 8π a C 2π a D 4π a Câu 24: Cho hình trụ tích 24π Nếu tăng bán kính đường tròn đáy lên lần thể tích khối trụ A 192π B 32π C 96π D 48π Câu 25: Một hình trụ có đường kính đáy với chiều cao Nếu thể tích khối trụ 2π chiều cao hình trụ A Câu 26: Hình trụ B (T) 24 C D sinh quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AB Biết AC = 2a · S ( T ) ACB = 45 Diện tích tồn phần hình trụ S = 8π a S = 10π a S = 12π a A B C D Stp = 16π a 3R ( α ) song song với Câu 27: Cho hình trụ có bán kính đáy R chiều cao Mặt phằng R (α) trục hình trụ cách trục khoảng Diện tích thiết diện hình trụ với mp 3R A 2R2 3 B 3R 2 C 2R2 D Câu 28: Cho lăng trụ đứng ABC A′B′C ′ có cạnh bên AA′ = 2a Tam giác ABC vng A có BC = 2a Thề tích hình trụ ngoại tiếp khối lăng trụ 3 A 8π a B 6π a C 4π a D 2π a Câu 29: Cho lăng trụ ABC A′B′C ′ có cạnh đáy a , mặt bên hình vng Diện tích tồn phần hình trụ ngoại tiếp khối lăng trụ 3π a 2π a ( + 1) 2 A 2π a B C D 4π a Câu 30: Cho hình trụ có có bán kính R AB , CD hai dây cung song song với nằm hai đường tròn đáy có độ dài R Mặt phẳng ( ABCD ) không song song không chứa trục hình trụ Khi tứ giác ABCD hình A Hình chữ nhật B Hình bình hành C Hình vng D Hình thoi Câu 31: Cho hình lăng trụ tam giác có cạnh đáy a chiều cao h Khi thể tích khơi trụ nội tiếp lăng trụ -41- Biên soạn: GV Đặng Công Vinh Bửu Vũ Dự π B 4π A Câu 32: Thiết diện qua trục hình trụ S xq hình trụ A S xq = 2π a (T) (T) π C 2π D hình vng có cạnh a Diện tích xung quanh B S xq = π a S xq = π a 2 C D S xq = a Câu 33: Diện tích tồn phần hình trụ có diện tích xung quanh 4π có thiết diện qua trục hình vuông A 12π B 10π C 8π D 6π Câu 34: Cho lăng trụ lục giác ABCDEF có cạnh đáy a Các mặt bên hình chữ nhật có diện tíchbằng 2a Thề tích hình trụ ngoại tiếp khối lăng trụ 3 A 2π a B 4π a C 6π a D 8π a Câu 35: Cho hình trụ có có bán kính R AB , CD hai dây cung song song với nằm hai đường tròn đáy có độ dài R Mặt phẳng ( ABCD ) không song song khơng chứa trục hình trụ, góc ( ABCD ) mặt đáy 30° Thể tích khối chóp π R3 A π R3 C π R3 B π R3 D III CẤP ĐỘ [VẬN DỤNG] Câu 36: Cho hình trụ nội tiếp hình lập phương có cạnh x Tỷ số thể tích khối trụ khối lập phương π π A B π C 12 D (Bán kính hình trụ phân nửa cạnh hình vng) Câu 37: Một hình trụ có chiều cao cm nội tiếp hình cầu có bán kính 5cm Thể tích khối trụ ( 3) A 96π cm ( 3) C 192π cm ( 3) B 36π cm ( 3) D 48π cm Câu 38: Một hình nón có bán kính đáy R thiết diện qua trục tam giác Thể tích khối trụ nội tiếp hình nón bao nhiêu, biết thiết diện qua trục khối trụ hình vng A ( 4π R 3 − ) B ( 2π R3 − ) -42- HÌNH HỌC 12 – Chương – Bài 1: MẶT NÓN & MẶT TRỤ ( ) 3 πR 2− C D (Đặt r bán kính khối trụ; xét tỷ số hai tam giác đồng dạng) 2r R−r = R giải tìm r ; suy thể tích khối trụ) (R ( π R3 3 − ) Câu 39: Cho hình trụ tròn xoay có hai đáy hai hình tròn ( O, R ) ( O′, R ) Biết tồn dây cung AB đường tròn cho ∆O′AB ( ) mp O′AB hợp với mặt phẳng chứa đường tròn ( O ) góc 60° Thể tích khối trụ 3π R A 3π R 7 B 2π R π R3 7 C D (Đặt OO′ = h Từ góc 60° tính O′I OI theo h suy AI theo h, R ) (Từ ∆O′AB lập mối liên hệ O′I AI , giải h theo R ) ( H ) hình trụ tròn Câu 40: Cho hình lập phương ABCD A′B′C ′D′ Gọi xoay ngoại tiếp lập phương Khi tỉ số thể tích khối trụ với thể tích khối lập phương 3π 2π A B π C π D (Gọi a cạnh lập phương ⇒ thể tích khối lập phương V2 = a ) (Bán kính r hình tròn đáy khối trụ nửa đường chéo hình vng ⇒ thể tích khối trụ V1 = π r a = ) Câu 41: Một hình trụ có bán kính đáy r = 5a khoảng cách hai đáy 7a Cắt khối trụ mặt phẳng song song với trục cách trục 3a Diện tích thiết diện tạo nên A 56a C 21a B 35a D 70a (Áp dụng định lý Py-ta-go tính IA suy AB ) ( AA′ = BB′ chiều cao hình trụ) (Tính diện tích hình chữ nhật ABB′A′ ) Câu 42: Cho hình trụ có bán kính R chiều cao R.Một hình vng ABCD có hai cạnh AB CD dây cung hai đường tròn đáy Các cạnh AD ,BC đường sinh hình trụ.Tính độ dài cạnh hình vng ABCD -43- Biên soạn: GV Đặng Công Vinh Bửu Vũ Dự R 10 B A R 10 R 10 R 10 C D (Gọi C’ hình chiếu C mặt phẳng đáy chứa AB) (Chứng minh AB ⊥ BC ′ suy AC ′ đường kính) (Từ ∆ACC ′ tính AC từ tính cạnh hình vng) Câu 43: Cho hình lăng trụ tam giác ABC A′B′C ′ có độ dài cạnh đáy a chiều cao h Tính thể tích V khối trụ ngoại tiếp lăng trụ cho π a 2h π a 2h V= V= A B π a 2h V= D C V = 3π a h (Tam giác cạnh a có bán kính đường tròn ngoại tiếp 3a ) Câu 44: Tính thể tích vật thể tròn xoay quay mơ hình (như hình vẽ) quanh trục DF 10π a A 5π a C 10π a B EF = AF tan β = a.tan 30° = ( (Khi quay quanh trục D π a3 a 3 ) DF , tam giác AEF tạo hình nón tích 1 a 3 π a3 V1 = π EF AF = π  a = ÷ 3  ÷  ) (Khi quay quanh trục DF , hình vng ABCD tạo hình trụ tích V2 = π DC BC = π a a = π a ) -44- HÌNH HỌC 12 – Chương – Bài 1: MẶT NĨN & MẶT TRỤ Câu 45: Một hình tứ diện ABCD cạnh a Xét hình trụ có đáy đường tròn nội tiếp tam giác ABC có chiều cao chiều cao hình tứ diện Diện tích xung quanh hình trụ π a2 3 A π a2 2 B π a2 π a2 2 C D (Gọi O tâm tam giác ABC M trung điểm BC) (Chiều cao tứ diện h = DO = DA2 − AO = (Bán kính đường tròn nội tiếp đáy ABC: a ) R= AM a = ) IV CẤP ĐỘ [VẬN DỤNG CAO] Câu 46: Một đường ống cấp nước thành phố có đường kính 50 cm tốc độ dòng chảy nước ống 0,5 m / s Hỏi đường ống cấp nước, giả sử nước lúc đầy ống? 225π 221π π m m m 450 π m A B C D 32 ( 2) (Diện tích thiết diện ống (hình tròn) S = π ( 0, 25 ) m ) ( ) (Trong chiều dài khối nước có h = 0,5 × 3600 m ) (Khối nước đường ống cấp thể tích khối trụ có diện tích đáy thiết diện chiều cao chiều dài khối nước có ) Câu 47: Một xưởng sản xuất muốn tạo đồng hồ cát thủy tinh có dạng hình trụ, phần chứa cát hai nửa hình cầu rỗng ruột nhau, phần ngồi thuỷ tinh đặc Hình vẽ bên với kích thước cho thiết kế thiết diện qua trục đồng hồ (phần giới hạn hình trụ phần hai hình cầu chứa cát thuỷ tinh đặc) Khi đó, lượng thủy tinh làm đồng hồ cát gần với giá trị giá trị sau 3 A 602, cm B 1070,8 cm C 711, cm D 6021,3 cm (Tính thể tích khối trụ V1 = π ×13, × 6, ≈ 1806, ) (Đường kính khối cầu 13, − 2.1 = 11, suy bán kính R = 5, ) V2 = π R (Thể tích hai nửa khối cầu ) V −V (Lượng thuỷ tinh ) -45- Biên soạn: GV Đặng Công Vinh Bửu Vũ Dự A′ B′ O′ B O Gia đình An xây bể hình trụ tích 150 m Đáy bể làm bê tông Câu 48: A 2 giá 100 000 đ / m Phần thân làm tôn giá 90 000 đ / m , nắp nhôm giá 120 000 đ / m Hỏi chi phí sản suất để bể đạt mức thấp tỷ số chiều cao bể bán kính đáy bao nhiêu? 31 A 22 B 22 22 C 21 D 32 (Từ thể tích suy hệ thức chiều cao theo bán R h= 150 π R2 ) f ( R ) = 100000π R + 120000π R + 180000π Rh (Hệ thức chi phí sản suất ( ) (Khảo sát hàm số tìm GTNN f R R= ) 30 440π suy chiều cao h tương ứng) Câu 49: Một thùng chứa hình trụ kín, tích 5000m Vật liệu để làm hai đáy có giá 250 000 / m , vật liệu làm phần lại có giá 400 000 / m Để chi phí thấp nhất, chiều cao h bán kính đáy thùng chứa  25  ,10 4π ÷ 3  A  2π ( 25  10 4π , 2π B  V = π R h = 5000 ⇒ h =  ÷   25  10 , π 2π C   ÷ ÷   25 4 ,10 ÷  π÷ 2π  D  5000 π R2 )  2.109  Stp = 2π Rh.4.10 + 2π R 25.10 = 2π  + 25.10 R ÷  πR  (  109 109 25.10 22 2 = 2π  + + 25.10 R ÷ ≥ 2π πR πR π2   ( ) 109 4.103 4 = 25.10 R ⇔ R = = 10 π π ; tính chiều cao tương ứng) (Nhỏ π R Câu 50: Cho hình nón có đáy hình tròn tâm O , bán kính R có chiều cao h Hãy tính chiều cao hình trụ tích lớn nội tiếp hình nón cho -46- HÌNH HỌC 12 – Chương – Bài 1: MẶT NÓN & MẶT TRỤ h A h C h B 3h D r ( < h′ < h , < r < R ) (Đặt h′ , chiều cao bán kính hình trụ Thể tích khối trụ V = h′.π r ) h′ R − r hr = ⇒ h′ = h − R R ) (Lại có ∆NPB đồng dạng ∆SOB nên: h r r  + +R−r ÷ Cos i hr  4π h r r 4π h  2 4π hR 2 2 ′ V = h π r = π r  h − ÷ = ( R − r) ≤  ÷ = R R 2 R  27  ÷   ( ) A 26 D B 27 A C 28 B D 29 C A 30 A B 31 B A 32 B BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM VỀ MẶT TRỤ 10 11 12 13 14 15 16 17 18 C D A D B D B D A D D 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 C A D A A B B D A B B -47- 19 B 44 A 20 A 45 C 21 A 46 A 22 B 47 B 23 D 48 C 24 C 49 D 25 A 50 B ... ) + Nếu k = r tiếp xúc với mặt trụ theo đường sinh mp ( α ) + Nếu k > r khơng cắt mặt trụ -20- HÌNH HỌC 12 – Chương – Bài 1: MẶT NĨN & MẶT TRỤ B CÁC DẠNG TỐN VỀ MẶT TRỤ DẠNG Tính diện tích xung... 12 – Chương – Bài 1: MẶT NÓN & MẶT TRỤ – MẶT TRỤ – A-TÓM TẮT LÝ THUYẾT MẶT TRỤ TRÒN XOAY: Trong mp (P) cho hai đường thẳng ∆ l song song nhau, cách khoảng r Khi quay (P) xung quanh ∆ l sinh mặt. .. ) +1 a 10 -4- HÌNH HỌC 12 – Chương – Bài 1: MẶT NÓN & MẶT TRỤ π a3 10 V = π r 2h = 12 Thể tích khối nón: S ABCD Bài Cho hình chóp tứ giác có cạnh đáy a Góc mặt bên mặt đáy 60° Một hình nón