Một số bài toán về tỷ số thể tích I. Công thức cần nhớ: 1. Thể tích khối chóp: V= 1 3 B.h B: Diện tích đa giác đáy. h: Độ dài đờng cao. 2. Thể tích khối lăng trụ: V=B.h B: Diện tích đa giác đáy. h: Độ dài đờng cao. 3. Tỷ số thể tích: Cho khối chóp S.ABC. A'SA, B'SB, C'SC . . ' ' ' . . '. '. ' S ABC S A B C V SA SB SC V SA SB SC = * MSC, ta có: . . . . . . S ABM S ABC V SA SB SM SM V SA SB SC SC = = II. Bài tập: Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật có AB=a; AD=b. Cạnh SA=2a của hình chóp vuông góc với đáy. M là một điểm nằm trên cạnh SA với AM=x (0x2a). 1. Mặt phẳng (MBC) cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì? Tính diện tích thiết diện ấy. Tìm x để thiết diện ấy có diện tích lớn nhất. 2. Tìm x để mặt phẳng (MBC) chia khối chóp trên ra hai phần có thể tích bằng nhau. Hd: 1. Thiết diện là hình thang vuông MNCB, vuông tại B và M. 1 ( ) 2 MNCB S MN CB MB= + * BM 2 =BA 2 +AM 2 BM= 2 2 a x+ * SMN đồng dạng SAD, 1 A B C D A ' B' C' D' H ' C B A S A' B' C' A C B S M S A M N D C B ⇒ . (2 ). 2 SM AD a x b MN SA a − = = VËy 2 2 2 2 1 2 . (4 ) 2 2 4 MNCB ab bx b S b a x a x a x a a − = + + = − + 2. XÐt hµm sè 2 2 ( ) (4 ) 4 b f x a x a x a = − + (0≤x≤2a) 2 2 2 2 2 4 '( ) 4 b x ax a f x a a x − + − = + f'(x)=0 ⇔ 1 (1 ) 2 1 (1 ) 2 x a x a = + = − Ta cã: f(0)=ab. f(2a)= 5 1,118 2 ab ab≈ f( 1 (1 ) 2 a + )= 2 1 1 1 .(3 ) 1 (1 ) 1,134 4 2 2 ab ab− + + ≈ f( 1 (1 ) 2 a − )= 2 1 1 1 .(3 ) 1 (1 ) 0,96 4 2 2 ab ab+ + − ≈ ⇒ [ ] 2 0;2 1 1 1 ( ) . .(3 ) 1 (1 ) 4 2 2 a Max f x ab= − + + khi 1 (1 ) 2 x a= + KÕt luËn: VËy víi 1 (1 ) 2 x a= + th× diÖn tÝch cña thiÕt diÖn lín nhÊt. 3. Gäi V lµ thÓ tÝch khèi chãp S.ABCD ⇒ 2 . 1 2 . . 3 3 S ABCD ABCD a b V SA V S = = = Gäi V1 lµ thÓ tÝch khèi S.MNCB V1=V (SMBC) +V (SMNC) Ta cã . . 2 . . 2 SMBC SABC V SM SB SC SM a x V SA SB SC SA a − = = = V SABC = 2 1 1 . ( ) .2 3 6 2 V SA dt ABC a b= = ⇒ 2 2 2 (2 ) . . 2 2 2 3 6 SMBC a x V a x a b a x ab V a a − − − = = = * Ta cã: 2 2 2 . . (2 ) . . . 4 SMNC SACD V SM SN SC SM SN MN a x V SA SC SD SA SD AD a − = = = = ÷ ⇒ V SACD = 2 2 3 V a b = ⇒ V SMNC = 2 2 2 2 (2 ) (2 ) . . 4 3 12 a x a b a x b a − − = V 1 = V SMNCB = 2 (2 ) (2 ) 6 12 a x ab a x b− − + Ycbt ⇔ V 1 = 2 2 3 V a b = ⇔ 2 2 (2 ) (2 ) 6 12 3 a x ab a x b a b− − + = ⇔ x 2 -6ax+4a 2 =0 2 (3 5) 2 ( ) (3 5) ( / ) x a a loai x a t m = + > = Kết luận: Vậy x= (3 5)x a= thì (MBC) chia khối chóp thành 2 phần tơng đơng. Bài 2: Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A 1 B 1 C 1 . Các mặt phẳng (ABC 1 ) và (A 1 B 1 C) chia lăng trụ thành 4 phần. Tính tỷ số thể tích của 4 phần đó. Hd: Gọi V 1 = 1 .C MNC V ; V 1 = 1 1 1 .C MNB A V V 3 = .C MNBA V ; V 4 = 1 1 MNABB A V Gọi V là thể tích của lăng trụ. 1 1 1 . 1 2C A B C V V V= + Mặt khác: 1 1 1 1 1 . 1 1 1 . . 1 . . 4 C A B C V CM CN CC V CA CB CC = = 1 2 1 1 . ; . 4 3 12 3 12 4 V V V V V V V= = = = 1 1 1 1 1 1 3 2 3 4 1 2 3 4 5 12 C ABC CMNC CA B C CMNC V V V V V V V V V V V V V V = = = = = = Vậy V 1 : V 2 : V 3 : V 4 = 1:3:3:5 Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, tâm O. Đờng cao của hình chóp là SA=a. M là một điểm di động trên SB, đặt BM=x 2 (0<x<a). () là mặt phẳng qua OM và vuông góc với (ABCD). 1. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (). Tính diện tích thiết diện theo a và x. 2. Xác định x để thiết diện trên là hình thang vuông. Trong trờng hợp đó tính tỷ số thể tích của hai phần của S.ABCD chia bởi thiết diện. Hd: 1. Ta có SA(ABCD) () (ABCD) SA // () 3 A B C M N A' B' C' S A D C B M K N O H ()(SAB)=MN // SA ()(SAC)=OK // SA ()(SABCD)=NH qua O ()(SCD)=KH Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác MNHK. Ta có MN// OK // SA MN (ABCD); OK (ABCD) S td =S ht MKON + S KOH = 1 1 ( ). . . 2 2 MN KO ON OK OH+ + MN=BN=x; KO=SA/2; NH= 2 2 2 2 2 2 (2 ) 2 a IN IH x a a x ax+ = + = + Std= 2 2 1 ( ). 2 2 a a x x ax+ + 2. Để thiết diện là hình thang vuông MK// MO// BC N là trung điểm AB x=a/2. V= 3 1 . . ( ) 3 3 a SA dt ABCD = V1=V SOECH +V KOE.MNB 3 3 . 1 1 . . ( ) 3 3 2 24 S OECH a a V OK dt OECH = = = ữ 2 3 . 1 . ( ) . 2 2 2 16 KOE MNB a a a V ON dt MNB = = = ữ 3 3 3 3 1 2 1 5 11 24 16 48 48 a a a a V V V V= + = = = Vậy 2 1 11 5 V V = Bài 4: Cho khối chóp S.ABCD, trong đó ABCD là hình thang có các cạnh đáy AB, CD sao cho CD=4.AB, một mặt phẳng qua CD cắt SA, SB tại các điểm tơng ứng M, N. Hãy xác định vị trí điểm M trên SA sao cho thiết diện MNCD chia khối chóp đã cho thành hai phần tơng đơng (có thể tích bằng nhau). Hd: Đặt (0 1) SM x x SA = < < Gọi thể tích của hình chóp S.ABCD là V 4 S A D C B M K N O H E S A D C B N M 2 . . . . . . (1) . . . . (2) . . S MNC S ABC S MCD S ACD V SM SN SC x V SA SB SC V SM SC SD x V SA SC SD = = = = Ta có CD=4AB S ADC =4.S ABC S ADC = 3 4 ABCD S . . . 3 3 . ; 4 4 4 S ADC S ABCD S ABC V V V V V= = = Ta có 2 3 . ; . 4 4 SMNC SNCD V V V x V x= = V 1 =V SMNC +V SNCD = 2 ( 3 ) 4 V x x+ 2 2 1 3 17 ( / ) 3 1 2 3 2 0 4 2 3 17 ( ) 2 x t m V x x x x V x loai + = + = = + = = KL: Vậy 3 17 2 x + = Bài 5: Trong mặt phẳng (P) cho đờng tròn (C) đờng kính AB=2R.S là điểm nằm trên đờng thẳng vuông góc với mp(P) tại A. Đặt SA=h. Mặt phẳng (Q) qua A và vuông góc với SB tại K, C là điểm trên (C), SC cắt mp(Q) tại H. Đặt ã 0 2 BAC = < < ữ 1. Tính thể tích của tứ diện SAHK theo R, h và . 2. Chứng minh rằng thể tích đó đạt giá trị lớn nhất tại giá trị 0 của sao cho 0 > 4 . Tính 0 . Hd: 1. * Ta chứng minh đợc AH SC. * 4 2 2 2 2 . . . . . SAHK SACB V SH SH SH SC SK SB SA V SC SB SC SB SB SC = = = * V ABC = 2 2 1 1 .sin 2 ( ). .cos .sin . 3 6 3 R h dt ABC SA AB SA = = * 2 5 2 2 2 2 2 .sin 2 3( 4 )( 4 cos ) SAHK R h V h R h R = + + 2. Đặt P= 2 2 2 2 sin 2 ( 2 2 cos )h R R + + MaxP= 2 2 2 1 4 .h R h+ Dấu bằng xảy ra 5 B C H K S 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos 2 sin 2 2 1 cos ( 2 2 cos 2 ) sin 2 2 sin 2 2 cos 2 0 2 R P h R R R R h R α α α α α α α = − + + = − = − < + ⇒ 2α tï ⇒α> 4 π KL: VËy α 0 = 4 π 6 . góc với đáy. M là một điểm nằm trên cạnh SA với AM=x (0x2a). 1. Mặt phẳng (MBC) cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì? Tính diện tích thiết diện ấy. Tìm x để thiết diện ấy có diện tích lớn. 2 2 (2 ) (2 ) . . 4 3 12 a x a b a x b a − − = V 1 = V SMNCB = 2 (2 ) (2 ) 6 12 a x ab a x b− − + Ycbt ⇔ V 1 = 2 2 3 V a b = ⇔ 2 2 (2 ) (2 ) 6 12 3 a x ab a x b a b− − + = ⇔ x 2 -6ax+4a 2 =0 2 (3. với (ABCD). 1. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (). Tính diện tích thiết diện theo a và x. 2. Xác định x để thiết diện trên là hình thang vuông. Trong trờng hợp đó tính tỷ số