PHƯƠNG PHÁP GIẢI BT THỂ TÍCH KHỐI đa DIỆN

[CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH – LTĐH 2017] LỚP HỌC TRÍ VIỆT CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP GIẢI BT THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN A THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN I/ Các công thức thể tích khối đa diện: THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ: V= B.h B : dieän tích ñaùy h với  h : chieàu cao B a) Thể tích khối hộp chữ nhật: V = a.b.c với a,b,c ba kích thước b) Thể tích khối lập phương: V = a3 với a độ dài cạnh THỂ TÍCH KHỐI CHÓP: a c b a a a Bh  B : dieän tích ñaùy với   h : chieàu cao V= h B S TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN: Cho khối tứ diện SABC A’, B’, C’ điểm tùy ý thuộc SA, SB, SC ta có: VSABC VSA ' B ' C ' = SA SB SC SA ' SB' SC ' C' A' A B' C B THỂ TÍCH KHỐI CHÓP CỤT: V= ( h B + B'+ BB' ) B, B' : dieän tích hai ñaùy với   h : chieàu cao THIENDV A' B' C' A B C [CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH – LTĐH 2017] LỚP HỌC TRÍ VIỆT PHẦN I: THỂ TÍCH KHỐI CHÓP  Nhắc lại cách xác định góc Góc đường thẳng d mặt phẳng (P): a Tìm hình chiếu d/ d lên mặt phẳng (P) b Khi góc d (P) góc d d/ Góc hai mặt phẳng (P) (Q) : c Xác định giao tuyến d (P) (Q) d Tìm (P) đường thẳng a ⊥ (d) , mặt phẳng (Q) đường thẳng b ⊥ (d) e Khi góc (P) (Q) góc hai đường thẳng a b Dạng : TỶ SỐ THỂ TÍCH - Việc tính thể tích khối chóp thường học sinh giải bị nhiều sai sót, Tuy nhiên đề thi lại yêu cầu học sinh tính thể tích khối chóp “nhỏ” khối chóp cho Khi học sinh thực cách sau: + Cách 1: o Xác định đa giác đáy o Xác định đường cao ( phải chứng minh đường cao vuông gới với mặt phẳng đáy) o Tính thể tích khối chóp theo công thức + Cách o Xác định đa giác đáy o Tình tỷ số độ dài đường cao (nếu đa giác đáy) diện tích đáy (nếu đường cao) khối chóp “nhỏ” khối chóp cho kết luận thể tích khối cần tìm k lần S thể tích khối cho + Cách 3: Dùng tỷ số thể tích M K n Hai khối chóp S.MNK S.ABC có chung đỉnh S góc đỉnh S VS MNK SM SN SK N A = Ta có : VS ABC SA SB SC B 1) Dạng 1: Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy Ví dụ 1: Cho hình chóp SABC có SB = SC = BC = CA = a Hai mặt (ABC) (ASC) vuông góc với (SBC) Tính thể tích hình chóp A a_ C B / / \ S Lời giải: Ta có (ABC) ⊥ (SBC) ⇒ AC ⊥ (SBC)   (ASC) ⊥ (SBC) Do V = SSBC AC = a2 a3 a= 12 Ví dụ 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vuông cân B với AC = a biết SA vuông góc với đáy ABC SB hợp với đáy góc 60o 1) Chứng minh mặt bên tam giác vuông 2)Tính thể tích hình chóp THIENDV C [CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH – LTĐH 2017] S C a A LỚP HỌC TRÍ VIỆT Lời giải: 1) SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ AB &SA ⊥ AC mà BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ SB ( đl ⊥ ) Vậy mặt bên chóp tam giác vuông 2) Ta có SA ⊥ (ABC) ⇒ AB hình chiếu SB (ABC) Vậy góc[SB,(ABC)] = ¼ SAB = 60o VABC vuông cân nên BA = BC = 60o SABC = a2 BA.BC = a a 1 a2 a a3 Vậy V = SABC SA = = 3 24 B VSAB ⇒ SA = AB.t an60o = Ví dụ 3: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác cạnh a biết SA vuông góc với đáy ABC (SBC) hợp với đáy (ABC) góc 60o.Tính thể tích hình chóp Lời giải: Mlà trung điểm BC,vì tam giác ABC nên AM ⊥ BC ⇒ SA ⊥ BC (đl3 ⊥ ) Vậy góc[(SBC);(ABC)] = ¼ SMA = 60o S Ta có V = C A M B 3a 1 a Vậy V = B.h = SABC SA = 3 VSAM ⇒ SA = AM tan 60o = 60 o a 1 B.h = SABC SA 3 Ví dụ 4: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông có cạnh a SA vuông góc đáy ABCD mặt bên (SCD) hợp với đáy góc 60o 1) Tính thể tích hình chóp SABCD 2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) Lời giải: 1)Ta có SA ⊥ (ABC) CD ⊥ AD ⇒ CD ⊥ SD ( đl ⊥ ).(1) ¼ Vậy góc[(SCD),(ABCD)] = SDA = 60o VSAD vuông nên SA = AD.tan60o = a 1 a3 Vậy V = SABCD SA = a2 a = 3 2) Ta dựng AH ⊥ SD ,vì CD ⊥ (SAD) (do (1) ) nên CD ⊥ AH ⇒ AH ⊥ (SCD) Vậy AH khoảng cách từ A đến (SCD) VSAD ⇒ THIENDV 1 1 = + = 2+ 2= 2 2 AH SA AD 3a a 3a [CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH – LTĐH 2017] S LỚP HỌC TRÍ VIỆT Vậy AH = H 60 o A a B a D C 2) Dạng : Khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông có cạnh a Mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với đáyABCD, 1) Chứng minh chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB 2) Tính thể tích khối chóp SABCD Lời giải: 1) Gọi H trung điểm AB VSAB ⇒ SH ⊥ AB mà (SAB) ⊥ (ABCD) ⇒ SH ⊥ (ABCD) Vậy H chân đường cao khối chóp S D A B 2) Ta có tam giác SAB nên SA = suy V = H a C a3 SABCD SH = a Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có ABC tam giác ,BCD tam giác vuông cân D (ABC) ⊥ (BCD) AD hợp với (BCD) góc 60o Tính thể tích tứ diện ABCD Lời giải: A Gọi H trung điểm BC Ta có tam giác ABC nên AH ⊥ (BCD) , mà (ABC) ⊥ (BCD) ⇒ AH ⊥ (BCD) Ta có AH ⊥ HD ⇒ AH = AD.tan60o = a a B H C a 3 VBCD ⇒ BC = 2HD = 2a suy 1 a3 V = SBCD AH = BC.HD.AH = 3 & HD = AD.cot60o = 60 o D Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, có BC = a Mặt bên SAC vuông góc với đáy, mặt bên lại tạo với mặt đáy góc 450 a) Chứng minh chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AC THIENDV [CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH – LTĐH 2017] b) LỚP HỌC TRÍ VIỆT Tính thể tích khối chóp SABC Lời giải: S a) Kẽ SH ⊥ BC mp(SAC) ⊥ mp(ABC) nên SH ⊥ mp(ABC) Gọi I, J hình chiếu H AB BC ⇒ SI ⊥ AB, ¼ = 45o SJ ⊥ BC, theo giả thiết ¼ SIH = SJH Ta có: ∆SHI = ∆SHJ ⇒ HI = HJ nên BH đường H phân giác VABC suy H trung điểm AC A 45 C I J a a3 ⇒ b) HI = HJ = SH = VSABC= S ABC SH = 12 B 3) Dạng : Khối chóp Ví dụ 1: Cho chóp tam giác SABC cạnh đáy a cạnh bên 2a Chứng minh chân đường cao kẻ từ S hình chóp tâm tam giác ABC.Tính thể tích chóp SABC Lời giải: Dựng SO ⊥ (ABC) Ta có SA = SB = SC suy OA = OB = OC Vậy O tâm tam giác ABC Ta có tam giác ABC nên S 2a AO = C A a O 2a a AH = = 3 VSAO ⇒ SO2 = SA − OA = H ⇒ SO = B 11a2 a 11 a3 11 Vậy V = SABC SO = 12 Ví dụ 2:Cho khối chóp tứ giác SABCD có tất cạnh có độ dài a 1) Chứng minh SABCD chóp tứ giác 2) Tính thể tích khối chóp SABCD S C D O A THIENDV a B Lời giải: Dựng SO ⊥ (ABCD) Ta có SA = SB = SC = SD nên OA = OB = OC = OD ⇒ ABCD hình thoi có đường tròn gnoại tiếp nên ABCD hình vuông Ta có SA2 + SB2 = AB2 +BC2 = AC2 nên a 2 ⇒ V = S ABCD SO = a a = a 3 VASC vuông S ⇒ OS = Vậy V = a3 [CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH – LTĐH 2017] LỚP HỌC TRÍ VIỆT Ví dụ 3: Cho khối tứ diện ABCD cạnh a, M trung điểm DC a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD b)Tính khoảng cách từ M đến mp(ABC).Suy thể tích hình chóp MABC Lời giải: a) Gọi O tâm ∆ABC ⇒ DO ⊥ ( ABC ) D V = S ABC DO a2 a , OC = CI = S ABC = 3 M A C H O I a B ∆DOC vuông có : DO = DC − OC = a a a3 ⇒V = = 12 b) Kẻ MH// DO, khoảng cách từ M đến mp(ABC) MH MH = ⇒ VMABC a DO = 1 a a a3 = S ABC MH = = 3 24 Vậy V = 4) Dạng : a a3 24 Khối chóp & phương pháp tỷ số thể tích Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân B, AC = a ,SA vuông góc với đáy ABC , SA = a 1) Tính thể tích khối chóp S.ABC 2) Gọi G trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng ( α ) qua AG song song với BC cắt SC, SB M, N Tính thể tích khối chóp S.AMN Lời giải: a)Ta có: VS ABC = S ABC SA SA = a + ∆ABC cân có : AC = a ⇒ AB = a ⇒ S ABC = 1 a3 a Vậy: VSABC = a a = b) Gọi I trung điểm BC THIENDV [CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH – LTĐH 2017] LỚP HỌC TRÍ VIỆT SG = SI α // BC ⇒ MN// BC ⇒ SM = SN = SG = SB SC SI S G trọng tâm,ta có : N ⇒ C G A VSAMN SM SN = = VSABC SB SC Vậy: VSAMN = M I 2a VSABC = 27 B Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông cân A AB = a Trên đường thẳng qua C vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D cho CD = a Mặt phẳng qua C vuông góc với BD, cắt BD F cắt AD E a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD b) Chứng minh CE ⊥ ( ABD ) c) Tính thể tích khối tứ diện CDEF Lời giải: D a)Tính F VABCD : VABCD = SABC CD = a 3 AB ⊥ AC , AB ⊥ CD ⇒ AB ⊥ ( ACD ) b)Tacó: ⇒ AB ⊥ EC a Ta có: E B C a A c) Tính DB ⊥ EC ⇒ EC ⊥ ( ABD) VDCEF :Ta có: VDCEF DE DF = (*) VDABC DA DB Mà DE.DA = DC , chia cho DA2 DE DC a2 = = = DA DA2 2a 2 DF DC a2 Tương tự: = = = DB DB DC + CB ⇒ Từ(*) ⇒ VDCEF = Vậy VDCEF = VABCD = a VDABC 6 36 Ví dụ 3: Cho khối chóp tứ giác SABCD Một mặt phẳng (α ) qua A, B trung điểm M SC Tính tỉ số thể tích hai phần khối chóp bị phân chia mặt phẳng THIENDV [CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH – LTĐH 2017] S N M D A O B C LỚP HỌC TRÍ VIỆT Lời giải: Kẻ MN // CD (N ∈ SD) hình thang ABMN thiết diện khối chóp cắt mặt phẳng (ABM) VSAND SN 1 = = ⇒ VSANB = VSADB = VSABCD + VSADB SD 2 VSBMN SM SN 1 1 = = = ⇒ VSBMN = VSBCD = VSABCD VSBCD SC SD 2 4 Mà VSABMN = VSANB + VSBMN = VSABCD Suy VABMN.ABCD = VSABCD VSABMN = Do : V ABMN ABCD Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc 60ο Gọi M trung điểm SC Mặt phẳng qua AM song song với BD, cắt SB E cắt SD F a) Hảy xác định mp(AEMF) b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD c) Tính thể tích khối chóp S.AEMF Lời giải: a) Gọi I = SO ∩ AM Ta có (AEMF) //BD ⇒ EF // BD S b) M + VSOA có : SO = AO.tan 60ο = E B I C F Vậy : VS ABCD a a3 = c) Phân chia chóp tứ giác ta có O A VS ABCD = S ABCD SO với S ABCD = a D VS AEMF = VSAMF + VSAME =2VSAMF VS ABCD = 2VSACD = VSABC Xét khối chóp S.AMF S.ACD Ta có : ⇒ SM = SC ∆SAC có trọng tâm I, EF // BD nên: ⇒ VSAMF SM SF SI SF = = = = ⇒ VSACD SC SD SO SD 1 a3 ⇒ VSAMF = VSACD = VSACD = 36 ⇒ VS AEMF = THIENDV a3 a3 = 36 18 [CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH – LTĐH 2017] LỚP HỌC TRÍ VIỆT Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA vuông góc đáy, SA = a Gọi B’, D’ hình chiếu A lên SB, SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC C’ a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD b) Chứng minh SC ⊥ ( AB ' D ') c) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ Lời giải: a) Ta có: S VS ABCD a3 = S ABCD SA = 3 b) Ta có BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ AB ' & SB ⊥ AB ' Suy ra: AB ' ⊥ ( SBC ) nên AB' ⊥ SC Tương tự AD' ⊥ SC Vậy SC ⊥ (AB'D') B' C' D' I B O C VS A B 'C ' D ' VSAB 'C ' SB ' SC ' = (*) VSABC SB SC SC ' = ∆SAC vuông cân nên SC 2 SB ' SA 2a 2a 2 Ta có: = = = = SB SB SA2 + AB 3a VSAB ' C ' = Từ (*) ⇒ VSABC +Tính A D c) Tính VS AB 'C ' : Ta có: a a3 ⇒ VSAB 'C ' = = 3 + VS A B 'C ' D ' = 2VS A B 'C ' 2a = 5) Dạng : Ôn tập khối chóp lăng trụ Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vuông cạnh 2a, SA vuông góc đáy Góc SC đáy 60ο M trung điểm SB 1) Tính thể tích khối chóp S.ABCD 2) Tính thể tích khối chóp MBCD Lời giải: a)Ta có V = S ABCD SA 2 + S ABCD = (2a) = 4a + ∆SAC có : SA = AC tan C = 2a 8a ⇒ V = 4a 2a = 3 b) Kẻ MH / / SA ⇒ MH ⊥ ( DBC ) THIENDV [CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH – LTĐH 2017] LỚP HỌC TRÍ VIỆT S Ta có: MH = 1 SA , S BCD = S ABCD 2 2a ⇒ VMBCD = V = H A B 60o D C 2a Ví dụ 2: Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a Các mặt bên SAB, SBC, SCA tạo với đáy góc 60o Tính thể tích khối chóp Lời giải: Hạ SH ⊥ ( ABC ) , kẽ HE ⊥ AB, HF ⊥ BC, HJ ⊥ AC suy SE ⊥ AB, SF ⊥ BC, SJ ⊥ AC Ta có ¼ ¼ = SJH ¼ = 60O ⇒ SEH = SFH S ∆SAH = ∆SFH = ∆SJH nên HE =HF = HJ = r ( r bán kính đường tròn ngọai tiếp ∆ABC ) p ( p − a )( p − b)( p − c) a+b+c = 9a Nên SABC = 9.4.3.2 a với p = S 6a Mặt khác SABC = p.r ⇒ r = = p Ta có SABC = J A C 60 H E F B Tam giác vuông SHE: 6a 3=2 a 3 Vậy VSABC = 6 a 2 a = a SH = r.tan 600 = Ví dụ 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a , AD = a, AA’ = a, O giao điểm AC BD a) Tính thể tích khối hộp chữ nhật, khối chóp OA’B’C’D’ b) Tính thể tích khối OBB’C’ c) Tính độ dài đường cao đỉnh C’ tứ diện OBB’C’ Lời giải: a) Gọi thể tích khối hộp chữ nhật V Ta có : V = AB AD.AA ' = a 3.a = a 3 ∆ABD có : DB = AB + AD = 2a * Khối OA’B’C’D’ có đáy đường cao giống a3 khối hộp nên: ⇒ VOA ' B 'C ' D ' = V = 3 THIENDV 10 [CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH – LTĐH 2017] A B O D LỚP HỌC TRÍ VIỆT b) M trung điểm BC ⇒ OM ⊥ ( BB ' C ') 1 a a a3 ⇒ VO BB 'C ' = S BB 'C ' OM = = 3 2 12 M C c) Gọi C’H đường cao đỉnh C’ tứ B' A' diện OBB’C’ Ta có : C ' H = 3VOBB 'C ' SOBB ' ∆ABD có : DB = AB + AD = 2a C' D' ⇒ SOBB ' = a ⇒ C ' H = 2a Ví dụ 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’có cạnh a Tính thể tích khối tứ diện ACB’D’ B A D Lời giải: Hình lập phương chia thành: khối ACB’D’ bốn khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD, AB’A’D’ +Các khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD, AB’A’D’ có diện tích đáy chiều cao nên có thể tích Khối CB’D’C’ có C 1 V1 = a a = a 3 +Khối lập phương tích: A' B' V2 = a ⇒ VACB ' D ' = a − a = a C' D' a Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ đứng tam giác có cạnh a a) Tính thể tích khối tứ diện A’B’ BC b) E trung điểm cạnh AC, mp(A’B’E) cắt BC F Tính th ể tích khối CA’B’FE Lời giải: a) Khối A’B’ BC:Gọi I trung điểm AB, VA ' B ' BC 1 a a a3 = S A ' B ' B CI = = 3 2 12 b)Khối CA’B’FE: phân hai khối CEFA’ CFA’B’ +Khối A’CEFcó đáy CEF, đường cao A’A nên THIENDV 11 [CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH – LTĐH 2017] E A I B F C LỚP HỌC TRÍ VIỆT VA 'CEF = SCEF A ' A SCEF a2 a3 ⇒ VA 'CEF = = S ABC = 48 16 +Gọi J trung điểm B’C’ Ta có khối A’B’CF có đáy CFB’, đường cao JA’ nên B' A' J C' VA ' B 'CF 1 a2 = SCFB' A ' J SCFB' = SCBB ' = ⇒ VA ' B ' CF a a a3 = = 24 + Vậy : VCA'B'FE = THIENDV a3 16 12 [CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH – LTĐH 2017] LỚP HỌC TRÍ VIỆT PHẦN THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ 1) Dạng 1: Khối lăng trụ đứng có chiều cao hay cạnh đáy Ví dụ 1: Đáy lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ tam giác ABC vuông cân A có cạnh BC = a biết A'B = 3a Tính thể tích khối lăng trụ Lời giải: Ta có C' A' VABC vuông cân A nên AB = AC = a ABC A'B'C' lăng trụ đứng ⇒ AA' ⊥ AB B' 3a VAA'B ⇒ AA'2 = A'B2 − AB2 = 8a2 ⇒ AA' = 2a Vậy V = B.h = SABC AA' = a3 a C A a B Ví dụ 2: Cho lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D' có cạnh bên 4a đường chéo 5a Tính thể tích khối lăng trụ Lời giải: C' D' ABCD A'B'C'D' lăng trụ đứng nên BD2 = BD'2 - DD'2 = 9a2 ⇒ BD = 3a A' ABCD hình vuông ⇒ AB = B' 4a 5a C D 9a2 Suy B = SABCD = 3a Vậy V = B.h = SABCD.AA' = 9a3 A B Ví dụ 3: Đáy lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ tam giác cạnh a = biết diện tích tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụ Lời giải: Gọi I trung điểm BC Ta có V ABC nên AB AI = = & AI ⊥ BC C' A' B' A C I B ⇒ A 'I ⊥ BC(dl3 ⊥) 2S SA'BC = BC.A 'I ⇒ A 'I = A'BC = BC AA ' ⊥ (ABC) ⇒ AA ' ⊥ AI VA 'AI ⇒ AA ' = A 'I − AI = Vậy : VABC.A’B’C’ = SABC AA'= Ví dụ 4: Một bìa hình vuông có cạnh 44 cm, người ta cắt bỏ góc bìa hình vuông cạnh 12 cm gấp lại thành hộp chữ nhật nắp Tính thể tích hộp THIENDV 13 [CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH – LTĐH 2017] C' D' A' D' D' D A' A B' D C A A' B LỚP HỌC TRÍ VIỆT Giải Theo đề bài, ta có C' AA' = BB' = CC' = DD' = 12 cm nên C C' ABCD hình vuông có AB = 44 cm - 24 cm = 20 cm chiều cao hộp h = 12 cm Vậy thể tích hộp B B' V = SABCD.h = 4800cm3 B' Ví dụ 5: Cho hình hộp đứng có đáy hình thoi cạnh a có góc nhọn 600 Đường chéo lớn đáy đường chéo nhỏ lăng trụ Tính thể tích hình hộp Lời giải: Ta có tam giác ABD nên : BD = a C' a2 SABCD = 2SABD = D' B' A' C D A B 60 a =a VDD'B ⇒ DD' = BD'2 − BD = a a3 Vậy V = SABCD.DD' = Theo đề BD' = AC = 2)Dạng 2: Lăng trụ đứng có góc đường thẳng mặt phẳng Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông cân B với BA = BC = a, biết A'B hợp với đáy ABC góc 600 Tính thể tích lăng trụ C' A' B' C A 60o Lời giải: Ta có A 'A ⊥ (ABC) ⇒ A 'A ⊥ AB& AB hình chiếu A'B đáy ABC Vậy góc[A 'B,(ABC)] = ¼ ABA ' = 60o VABA ' ⇒ AA ' = AB.tan 600 = a a2 SABC = BA.BC = 2 a3 Vậy V = SABC.AA' = B Ví dụ 2: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông A với AC = ¼ = 60 o biết BC' hợp với (AA'C'C) góc 300 Tính AC' thể tích lăng trụ a , ACB THIENDV 14 [CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH – LTĐH 2017] A' Lời giải: C' LỚP HỌC TRÍ VIỆT VABC ⇒ AB = AC.tan 60o = a Ta có: AB ⊥ AC;AB ⊥ AA' ⇒ AB ⊥ (AA'C'C) B' nên AC' hình chiếu BC' (AA'C'C) Vậy góc[BC';(AA"C"C)] = ¼ BC'A = 30o o 30 VAC'B ⇒ AC' = AB = 3a t an30o V =B.h = SABC.AA' A VAA'C' ⇒ AA' = AC'2 − A'C'2 = 2a 2 VABC nửa tam giác nên SABC = a 3 Vậy V = a C a o 60 B Ví dụ 3: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình vuông cạnh a đường chéo BD' lăng trụ hợp với đáy ABCD góc 30 Tính thể tích tổng diên tích mặt bên lăng trụ Giải: Ta có ABCD A'B'C'D' lăng trụ đứng nên ta có: DD' ⊥ (ABCD) ⇒ DD' ⊥ BD BD hình chiếu BD' ABCD Vậy góc [BD';(ABCD)] = ¼ DBD' = 300 B' C' A' D' o 30 C D VBDD' ⇒ DD' = BD.tan 300 = B A Vậy V = SABCD.DD' = a a a S = 4S 4a ADD'A' = 3 o Ví dụ 4: Cho hình hộp đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình thoi cạnh a ¼ BAD = 60 biết AB' hợp với đáy (ABCD) góc 30o Tính thể tích hình hộp Giải C' B' VABD cạnh a ⇒ SABD = A' D' o 30 A C B 60 o a D a2 a2 VABB' vuông tạiB ⇒ BB' = ABt an30o = a 3a3 Vậy V = B.h = SABCD BB' = ⇒ SABCD = 2SABD = 3) Dạng 3: Lăng trụ đứng có góc mặt phẳng THIENDV 15 [CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH – LTĐH 2017] LỚP HỌC TRÍ VIỆT Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông cân B với BA = BC = a ,biết (A'BC) hợp với đáy (ABC) góc 600 Tính thể tích lăng trụ Lời giải: A' C' Ta có A 'A ⊥ (ABC)& BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ A 'B Vậy góc[(A 'BC),(ABC)] = ¼ ABA ' = 60o B' A VABA ' ⇒ AA ' = AB.tan 600 = a a2 SABC = BA.BC = 2 a3 Vậy V = SABC.AA' = C 60o B Ví dụ 2: Đáy lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ tam giác Mặt (A’BC) tạo với đáy góc 300 diện tích tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụ Giải: VABC ⇒ AI ⊥ BC mà AA' ⊥ (ABC) C' A' nên A'I ⊥ BC (đl ⊥ ) ¼'IA = 30o Vậy góc[(A'BC);)ABC)] = A 2x = x Ta có 2 AI x ∆A' AI : A' I = AI : cos 30 = = = 2x 3 Giả sử BI = x ⇒ AI = B' 30o A A’A = AI.tan 300 = C x 3 =x 3 ⇒x=2 Vậy VABC.A’B’C’ = CI.AI.A’A = x3 B xI Mà SA’BC = BI.A’I = x.2x = Do VABC.A’B’C’ = Ví dụ 3: Cho lăng trụ tứ giác ABCD A'B'C'D' có cạnh đáy a mặt phẳng (BDC') hợp với đáy (ABCD) góc 60o.Tính thể tích khối hộp chữ nhật D' C' A' B' C 60 D O B a A Gọi O tâm ABCD Ta có ABCD hình vuông nên OC ⊥ BD CC' ⊥ (ABCD) nên OC' ⊥ BD (đl ¼ góc[(BDC');(ABCD)] = COC' = 60o Ta có V = B.h = SABCD.CC' ABCD hình vuông nên SABCD = a2 ⊥ ) Vậy VOCC' vuông nên CC' = OC.tan60o = a a Vậy V = Ví dụ 4: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AA' = 2a ; mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy (ABCD) góc 60o A'C hợp với đáy (ABCD) góc 30o Tính thể tích khối hộp chữ nhật THIENDV 16 [CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH – LTĐH 2017] D' A' C' B' 2a o 60 D A o 30 B 4) Dạng 4: C LỚP HỌC TRÍ VIỆT Ta có AA' ⊥ (ABCD) ⇒ AC hình chiếu A'C (ABCD) Vậy góc[A'C,(ABCD)] = ¼ A 'CA = 30o BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ A'B (đl ⊥ ) Vậy góc[(A'BC),(ABCD)] = ¼ A 'BA = 60o VA 'AC ⇒ AC = AA'.cot30o = 2a 2a VA 'AB ⇒ AB = AA'.cot60o = 4a VABC ⇒ BC = AC2 − AB2 = 3 16a Vậy V = AB.BC.AA' = Khối lăng trụ xiên Ví dụ 1: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a , biết cạnh bên a hợp với đáy ABC góc 60o Tính thể tích lăng trụ A' C' B' C A a B o 60 H Lời giải: Ta có C'H ⊥ (ABC) ⇒ CH hình chiếu CC' (ABC) Vậy góc[CC',(ABC)] = ¼ C'CH = 60o VCHC' ⇒ C'H = CC'.sin 600 = SABC = = 3a a Vậy V = S C'H = 3a 3 ABC Ví dụ 2: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu A' xuống (ABC) tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AA' hợp với đáy ABC góc 60 1) Chứng minh BB'C'C hình chữ nhật 2) Tính thể tích lăng trụ THIENDV 17 [CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH – LTĐH 2017] A' Lời giải: 1) Ta có A 'O ⊥ (ABC) ⇒ OA hình chiếu AA' (ABC) ¼ ' = 60o Vậy góc[AA ',(ABC)] = OAA Ta có BB'CC' hình bình hành ( mặt bên lăng trụ) AO ⊥ BC trung điểm H BC nên BC ⊥ A 'H (đl ⊥ ) ⇒ BC ⊥ (AA 'H) ⇒ BC ⊥ AA ' mà AA'//BB' nên BC ⊥ BB' Vậy BB'CC' hình chữ nhật C' B' A 60 o 2a a AH = = 3 o VAOA ' ⇒ A 'O = AO t an60 = a a3 Vậy V = SABC.A'O = 2) VABC nên AO = C O a LỚP HỌC TRÍ VIỆT H B Ví dụ 3: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình chữ nhật với AB = AD = Hai mặt bên (ABB’A’) (ADD’A’) tạo với đáy góc 450 600 Tính thể tích khối hộp biết cạnh bên D' C' A' Lời giải: Kẻ A’H ⊥ ( ABCD ) ,HM ⊥ AB, HN ⊥ AD ⇒ A' M ⊥ AB, A' N ⊥ AD (đl ⊥ ) ¼ ⇒¼ A'MH = 45o ,A'NH = 60o Đặt A’H = x Khi B' A’N = x : sin 600 = D C N A H M AN = 2x 3 − 4x AA' − A' N = = HM 2 Mà HM = x.cot 450 = x B − 4x ⇒x= Nghĩa x = Vậy VABCD.A’B’C’D’ = AB.AD.x = THIENDV =3 18 [...]... ABCD.A’B’C’D’có cạnh bằng a Tính thể tích khối tứ diện ACB’D’ B A D Lời giải: Hình lập phương được chia thành: khối ACB’D’ và bốn khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD, AB’A’D’ +Các khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD, AB’A’D’ có diện tích đáy và chiều cao bằng nhau nên có cùng thể tích Khối CB’D’C’ có C 1 1 1 V1 = a 2 a = a 3 3 2 6 +Khối lập phương có thể tích: A' B' 1 6 V2 = a 3 ⇒ VACB ' D ' = a 3 − 4 a 3 = 1 3 a 3 C' D'... giác có các cạnh bằng a a) Tính thể tích khối tứ diện A’B’ BC b) E là trung điểm cạnh AC, mp(A’B’E) cắt BC tại F Tính th ể tích khối CA’B’FE Lời giải: a) Khối A’B’ BC:Gọi I là trung điểm AB, VA ' B ' BC 1 1 a 2 a 3 a3 3 = S A ' B ' B CI = = 3 3 2 2 12 b )Khối CA’B’FE: phân ra hai khối CEFA’ và CFA’B’ +Khối A’CEFcó đáy là CEF, đường cao A’A nên THIENDV 11 [CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH – LTĐH 2017] E A I B F C LỚP... góc 600 Tính thể tích lăng trụ Lời giải: A' C' Ta có A 'A ⊥ (ABC)& BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ A 'B Vậy góc[(A 'BC),(ABC)] = ¼ ABA ' = 60o B' A VABA ' ⇒ AA ' = AB.tan 600 = a 3 1 a2 SABC = BA.BC = 2 2 a3 3 Vậy V = SABC.AA' = 2 C 60o B Ví dụ 2: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều Mặt (A’BC) tạo với đáy một góc 300 và diện tích tam giác A’BC bằng 8 Tính thể tích khối lăng trụ Giải: VABC đều... cạnh BC = a 2 và biết A'B = 3a Tính thể tích khối lăng trụ Lời giải: Ta có C' A' VABC vuông cân tại A nên AB = AC = a ABC A'B'C' là lăng trụ đứng ⇒ AA' ⊥ AB B' 3a VAA'B ⇒ AA'2 = A'B2 − AB2 = 8a2 ⇒ AA' = 2a 2 Vậy V = B.h = SABC AA' = a3 2 a 2 C A a B Ví dụ 2: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D' có cạnh bên bằng 4a và đường chéo 5a Tính thể tích khối lăng trụ này Lời giải: C' D' ABCD A'B'C'D' là lăng... ĐỀ THỂ TÍCH – LTĐH 2017] A B O D LỚP HỌC TRÍ VIỆT b) M là trung điểm BC ⇒ OM ⊥ ( BB ' C ') 1 1 a 2 a 3 a3 3 ⇒ VO BB 'C ' = S BB 'C ' OM = = 3 3 2 2 12 M C c) Gọi C’H là đường cao đỉnh C’ của tứ B' A' diện OBB’C’ Ta có : C ' H = 3VOBB 'C ' SOBB ' ∆ABD có : DB = AB 2 + AD 2 = 2a C' D' ⇒ SOBB ' = 1 2 a ⇒ C ' H = 2a 3 2 Ví dụ 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’có cạnh bằng a Tính thể tích khối tứ diện. .. cạnh 12 cm rồi gấp lại thành một cái hộp chữ nhật không có nắp Tính thể tích cái hộp này THIENDV 13 [CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH – LTĐH 2017] C' D' A' D' D' D A' A B' D C A A' B LỚP HỌC TRÍ VIỆT Giải Theo đề bài, ta có C' AA' = BB' = CC' = DD' = 12 cm nên C C' ABCD là hình vuông có AB = 44 cm - 24 cm = 20 cm và chiều cao hộp h = 12 cm Vậy thể tích hộp là B B' V = SABCD.h = 4800cm3 B' Ví dụ 5: Cho hình hộp đứng... VA 'CEF = = S ABC = 48 4 16 +Gọi J là trung điểm B’C’ Ta có khối A’B’CF có đáy là CFB’, đường cao JA’ nên B' A' J C' VA ' B 'CF 1 1 a2 = SCFB' A ' J SCFB' = SCBB ' = 3 2 4 ⇒ VA ' B ' CF 1 a 2 a 3 a3 3 = = 3 4 2 24 + Vậy : VCA'B'FE = THIENDV a3 3 16 12 [CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH – LTĐH 2017] LỚP HỌC TRÍ VIỆT PHẦN 2 THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ 1) Dạng 1: Khối lăng trụ đứng có chiều cao hay cạnh đáy Ví dụ 1: Đáy của... thoi cạnh a và ¼ BAD = 60 biết AB' hợp với đáy (ABCD) một góc 30o Tính thể tích của hình hộp Giải C' B' VABD đều cạnh a ⇒ SABD = A' D' o 30 A C B 60 o a D a2 3 4 a2 3 2 VABB' vuông tạiB ⇒ BB' = ABt an30o = a 3 3a3 Vậy V = B.h = SABCD BB' = 2 ⇒ SABCD = 2SABD = 3) Dạng 3: Lăng trụ đứng có góc giữa 2 mặt phẳng THIENDV 15 [CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH – LTĐH 2017] LỚP HỌC TRÍ VIỆT Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng tam giác... ⇒ AB = B' 4a 5a C D 9a2 Suy ra B = SABCD = 4 3a 2 Vậy V = B.h = SABCD.AA' = 9a3 A B Ví dụ 3: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều cạnh a = 4 và biết diện tích tam giác A’BC bằng 8 Tính thể tích khối lăng trụ Lời giải: Gọi I là trung điểm BC Ta có V ABC đều nên AB 3 AI = = 2 3 & AI ⊥ BC 2 C' A' B' A C I B ⇒ A 'I ⊥ BC(dl3 ⊥) 2S 1 SA'BC = BC.A 'I ⇒ A 'I = A'BC = 4 2 BC AA ' ⊥ (ABC)... Tính thể tích lăng trụ C' A' B' C A 60o Lời giải: Ta có A 'A ⊥ (ABC) ⇒ A 'A ⊥ AB& AB là hình chiếu của A'B trên đáy ABC Vậy góc[A 'B,(ABC)] = ¼ ABA ' = 60o VABA ' ⇒ AA ' = AB.tan 600 = a 3 1 a2 SABC = BA.BC = 2 2 a3 3 Vậy V = SABC.AA' = 2 B Ví dụ 2: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AC = ¼ = 60 o biết BC' hợp với (AA'C'C) một góc 300 Tính AC' và thể tích