Tuyển tập BT thể tích khối đa diện - Ôn thi ĐH

http://violet.vn/toan_cap3 Bài tập HHKG - Ôn thi ĐH Bài 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA = a 2 . Gọi M, N và P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB và CD. Chứng minh rằng đường thẳng MN vuông góc với đường thẳng SP. Tính theo a thể tích của khối tứ diện AMNP. Giải: Gọi I là trung điểm AB. Ta có MN // AB // CD và SP ⊥ CD ⇒ MN ⊥ SP ∆SIP cân tại S, SI 2 = 2 2 2 a 7a 2a 4 4 − = ⇒ SI = SP = a 7 2 Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, ta có SO 2 =SI 2 –OI 2 = 2 2 2 7a a 6a 4 2 4   − =  ÷   ⇒SO = a 6 2 , H là hình chiếu vuông góc của P xuống mặt phẳng SAB Ta có S (SIP) = 1 1 SO.IP PH.SI 2 2 = ⇒ PH = SO.IP SI = a 6 2 a 6 a 2 a 7 7 = V = 3 (AMN) 1 1 1 a 1 a 7 a 6 a 6 S .PH . . 3 3 2 2 2 2 48 7   = =  ÷   (đvtt) Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), tam giác ABC vuông tại C ; M,N là hình chiếu của A trên SB, SC. Biết MN cắt BC tại T. Chứng minh rằng tam giác AMN vuông và AT tiếp xúc với mặt cầu đường kính AB. Giải: Theo định lý ba đường vuông góc BC ⊥ (SAC) ⇒ AN ⊥ BC và AN ⊥ SC ⇒ AN ⊥ (SBC) ⇒ AN ⊥ MN Ta có: SA 2 = SM.SB = SN.SC Vây ∆ MSN ∼ ∆ C ⇒ TM là đường cao của tam giác STB ⇒ BN là đường cao của tam giác STB Theo định lý ba đường vuông góc, ta có AB ⊥ ST ⇒ AB ⊥ (SAT) hay AB ⊥ AT (đpcm) Bài 3: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều. Mặt phẳng A'BC tạo với đáy một góc 0 30 và tam giác A'BC có diện tích bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ. ĐS: V 8 3= Bài 4: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D' có chiều cao bằng h. Góc giữa hai đường chéo của hai mặt bên kề nhau kẻ từ một đỉnh bằng 0 0 (0 90 )< <a a . Tính thể tích của khối lăng trụ đó. 1 http://violet.vn/toan_cap3 Bài tập HHKG - Ôn thi ĐH ĐS: 3 2 2h . sin 2 V cos a = a Bài 5: Cho khối hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng a, · · · 0 A ' AB BAD A ' AD 60= = = . Hãy tính thể tích của khối hộp. ĐS: 3 a 2 V 2 = Bài 6: Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và đỉnh A' cách đều các đỉnh A, B,C. Cạnh bên AA' tạo với đáy góc 0 60 . Tính thể tích của khối lăng trụ. ĐS : 3 a 3 V 8 = Bài 7: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a. Đường chéo BC' của mặt bên (BCC'B') tạo với mặt bên (ABB'A') một góc 0 30 . Tính thể tích của khối lăng trụ. ĐS: 3 a 6 V 4 = Bài 8: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi G là trọng tâm tam giác SAC và khoảng cách từ G đến mặt bên (SCD) bằng a 3 6 . Tính khoảng cách từ tâm O của đáy đến mặt bên (SCD) và tính thể tích khối chóp S.ABCD. ĐS: 3 a 3 a 3 d , V 4 6 = = Bài 9: Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA a= , đáy là tam giác vuông cân có AB BC a= = . Gọi B' là trung điểm của SB, C' là chân đường cao hạ từ A của tam giác SAC. Tính thể tích khối chóp S.ABC. Chứng minh rằng SC vuông góc với mặt phẳng (AB'C'). Tính thể tích khối chóp S.AB'C'. ĐS: 3 a V 36 = Bài 10: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên hợp với đáy một góc là 45 0 . Gọi P là trung điểm BC, chân đường vuông góc hạ từ A’ xuống (ABC) là H sao cho 1 2 AP AH= uuur uuur . gọi K là trung điểm AA’, ( ) α là mặt phẳng chứa HK và song song với BC cắt BB’ và CC’ tại M, N. Tính tỉ số thể tích ' ' ' ABCKMN A B C KMN V V . ĐS: 3 3 2 3 ' ' ' 3 1 8 8 3 2 8 8 ABCKMN A B C KMN a a V a a V − ⇒ = = + 2 http://violet.vn/toan_cap3 Bài tập HHKG - Ôn thi ĐH Bài 11: Đáy của hình chóp SABC là tam giác cân ABC có AB AC a= = và µ µ B C= = a . Các cạnh bên cùng nghiêng với đáy một góc b . Tính thể tích của khối chóp SABC ĐS: 3 a cos t an V 6 a b = Bài 12: Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA 2a= , tam giác ABC vuông ở C có AB 2a= , · 0 CAB 30= . Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A trên SC và SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC. ĐS: 3 a 3 V 7 = Bài 13: Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của A' lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm O của tam giác ABC. Một mặt phẳng (P) chứa BC và vuông góc với AA', cắt hình lăng trụ ABC.A'B'C' theo một thiết diện có diện tích bằng 2 a 3 8 . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C'. ĐS: 3 a 3 V 12 = Bài 14: Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại đỉnh B, BA = BC = 2a , hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng đáy (ABC) là trung điểm E của AB và SE = 2a . Gọi I,J lần lượt là trung điểm cuae EC, SC . M là điểm di động trên tia đối của tia BA sao cho )90( 0 <= ∧ αα ECM và H là hình chiếu vuông góc của S trên MC . Tính thể tích của khối tứ diện EHIJ theo a ; α và tìm α để thể tích đó lớn nhất . Giải: Ta có SE ⊥ (ABC) ⇒ SE ⊥ CM mà SH ⊥ CM nên CM ⊥ (SEH) ⇒ CM ⊥ EH 222 22 aECaBCABAC =⇔=+= , αα sin.2sin. aECEH == , αα cos.2cos. aECCH == Diện tích tam giác EHC , ααα 2sin. 2 cos.sin 2 1 2 2 a aHCEHS EHC === ∆ Ị là đường trung bình của tam giác CSE nên IJ // SE ⇒ IJ ⊥ (ABC) và aSEIJ == 2 1 HI là trung tuyến của tam giác HEC nên diện tích tam giác HEC . α 2sin 42 1 2 a SS EHCHEC == ∆∆ Thể tích khối tứ diện EHIJ )(2sin. 12 1 2sin 4 3 1 . 3 1 3 2 đvtta a aSIJV HECEHI H αα === ∆ Bài 15: Cho hình chóp SABC mà mỗi mặt bên là một tam giác vuông SA=SB=SC = a . Gọi M,N,E lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,AC,BC . D là điểm đối xứng của S qua E , I là giao điểm của đường thẳng AD với mặt phẳng (SMN) . Chứng minh rằng AD ⊥ SI và tính theo a thể tích của khối tứ diện MBSI . Giải: 3 http://violet.vn/toan_cap3 Bài tập HHKG - Ôn thi ĐH Trong (ABC) AE ∩ MN = J ⇒ SJ = (SMN) ∩ (ASD) Trong (ASD) SJ ∩ AD = I ⇒ I = AD ∩ (SMN) Ba tam giác SAB,SAC,SBC là các tam giác vuông cân bằng nhau ⇒ SA,SB,SC đôi một vuông góc và ∆ ABC là tam giác đều cạnh 2a BSCD là hình vuông cạnh a ( ) BD SB BD SAB BD SM BD SA ⊥  ⇒ ⊥ ⇒ ⊥  ⊥  Lại có SM ⊥ AD nên SM ⊥ (ABD) ⇒ SM ⊥ AD (1) ( ) BC SD BC SAD BC AD BC SA ⊥  ⇒ ⊥ ⇒ ⊥  ⊥  Mà MN// BC ⇒ MN ⊥ AD (2) Từ (1) và (2) ⇒ AD ⊥ (SMN) ⇒ AD ⊥ SI (đpcm) Trong (SBD) kẻ IH // BD (H ∈ AB) ⇒ IH ⊥ (SAB) 2 2 2 2 2 2 . 1 3 3 IH AI AI AD SA a BD AD AD SA SD a = = = = = + ⇒ IH = a/3 S SMB = 1/2 . S SAB = 2 4 a , V MBSI = 2 3 1 1 . . . 3 3 3 4 36 SMB a a a IH S = = Bài 16: Cho hình chóp cụt tam giác đều ngoại tiếp một hình cầu bán kính r cho trước. Tính thể tích hình chóp cụt biết rằng cạnh đáy lớn gấp đôi cạnh đáy nhỏ. HD: Gọi H, H’ là tâm của các tam giác đều ABC, A’B’C’. Gọi I, I’ là trung điểm của AB, A’B’. Ta có: ( ) ( ) ( ) ' ' ' ' ' ' AB IC AB CHH ABB A CII C AB HH ⊥  ⇒ ⊥ ⇒ ⊥  ⊥  Suy ra hình cầu nội tiếp hình chóp cụt này tiếp xúc với hai đáy tại H, H’ và tiếp xúc với mặt bên (ABB’A’) tại điểm 'K II∈ . Gọi x là cạnh đáy nhỏ, theo giả thiết 2x là cạnh đáy lớn. Ta có: 1 3 1 3 ' ' ' ' ' ; 3 6 3 3 x x I K I H I C IK IH IC = = = = = = Tam giác IOI’ vuông ở O nên: 2 2 2 2 3 3 ' . . 6r 6 3 x x I K IK OK r x = ⇒ = ⇒ = 4 J H I D E N M S C B A http://violet.vn/toan_cap3 Bài tập HHKG - Ôn thi ĐH Thể tích hình chóp cụt tính bởi: ( ) ' . ' 3 h V B B B B= + + Trong đó: 2 2 2 2 2 4x 3 3 3r 3 3 6r 3; ' ; 2r 4 4 2 x B x B h= = = = = = Từ đó, ta có: 2 2 3 2 2 2r 3r 3 3r 3 21r . 3 6r 3 6r 3. 3 2 2 3 V    ÷ = + + =  ÷   Bài 17: Cho một hình trụ tròn xoay và hình vuông ABCD cạnh a có hai đỉnh liên tiếp A, B nằm trên đường tròn đáy thứ nhất của hình trụ, hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ hai của hình trụ. Mặt phẳng (ABCD) tạo với đáy hình trụ góc 45 0 . Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ. giải: Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB và CD. Khi đó OM AB ⊥ và ' DO N C ⊥ . Giả sử I là giao điểm của MN và OO’.Đặt R = OA và h = OO’. Khi đó: OMI ∆ vuông cân tại O nên: 2 2 2 . 2 2 2 2 2 h a OM OI IM h a= = ⇒ = ⇒ = Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3a 2 4 4 8 8 a a a a R OA AM MO     = = + = + = + =  ÷  ÷  ÷     2 3 2 3a 2 3 2 R . . , 8 2 16 a a V h π π π ⇒ = = = và 2 a 3 2 3 2 Rh=2 . . . 2 2 2 2 xq a a S π π π = = Bài 18: Cho hình nón có đỉnh S, đáy là đường tròn tâm O, SA và SB là hai đường sinh, biết SO = 3, khoảng cách từ O đến mặt phẳng SAB bằng 1, diện tích tam giác SAB bằng 18. Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình nón đã cho. giải: Gọi E là trung điểm của AB, ta có: ,OE AB SE AB⊥ ⊥ , suy ra ( ) SOE AB⊥ . Dựng ( ) OH SE OH SAB⊥ ⇒ ⊥ , vậy OH là khoảng cách từ O đến (SAB), theo giả thiết thì OH = 1. Tam giác SOE vuông tại O, OH là đường cao, ta có: 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 8 9 3 1 9 9 8 2 2 = + ⇒ = − = − = ⇒ = ⇒ =OE OE OH SO OE OE OH SO 5 h H M D C B A S http://violet.vn/toan_cap3 Bài tập HHKG - Ôn thi ĐH 2 2 2 9 81 9 9 8 8 2 2 SE OE SO SE= + = + = ⇒ = 2 1 36 . 8 2 9 2 2 2 SAB SAB S S AB SE AB SE = ⇔ = = = , ( ) 2 2 2 2 2 2 1 9 9 265 4 2 32 2 8 8 8 OA AE OE AB OE   = + = + = + = + =  ÷   Thể tích hình nón đã cho: 2 1 1 265 265 . . .3 3 3 8 8 V OA SO π π π = = = Diện tích xung quanh của hình nón đã cho: 2 2 2 265 337 337 265 337 89305 9 , . . . 8 8 8 8 8 8 π π π = + = + = ⇒ = = = = xq SA SO OA SA S OA SA Bài 19: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, · 0 BAD 60= , SA vuông góc với mặt phẳng ABCD, SA a= . Gọi C ' là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) đi qua AC ' và song song với BD, cắt các cạnh SB, SD của hình chóp lần lượt tại B ' , D ' . Tính thể tích của khối chóp S.AB ' C ' D ' . ĐS: 2 2 2 a 3b a V 6 - = Bài 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a; AD 2a= = , cạnh SA vuông góc với đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 0 60 . Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho a 3 AM 3 = . Mặt phẳng ( ) BCM cắt các cạnh SD tại điểm N. Tính thể tích khối chóp S.BCNM. ĐS: 3 10a 3 V 27 = Bài 21: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = h vuông góc mặt phẳng (ABCD), M là điểm thay đổi trên CD. Kẻ SH vuông góc BM. Xác định vị trí M để thể tích tứ diện S.ABH đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị lớn nhát đó. Giải: .SH ⊥ BM và SA ⊥ BM suy ra AH ⊥ BM V SABH = BHAH h BHAHSA . 6 6 1 = . V SABH lớn nhất khi AH.BH lớn nhất. Ta có: AH + BH BHAH.2 ≥ BHAHBHAH .2 22 ≥+⇒ BHAHa .2 2 ≥⇒ , vậy AH.BH lớn nhất khi AH.BH = 2 2 a khi AH = BH khi H là tâm của hình vuông , khi M D ≡ . Khi đó V SABH = 12 2 ha . .Bài 22: Cho lăng trụ đứng ABCA 1 B 1 C 1 có AB = a, AC = 2a, AA 1 2a 5= và o 120BAC = ∧ . Gọi M là trung điểm của cạnh CC 1 . Chứng minh MB⊥MA 1 và tính khoảng cách d từ điểm A tới mặt phẳng (A 1 BM). Giải: 6 http://violet.vn/toan_cap3 Bài tập HHKG - Ôn thi ĐH + Ta có = + = 2 2 2 2 1 1 1 1 A M A C C M 9a = + − = 2 2 2 0 2 BC AB AC 2AB.AC.cos120 7a = + = 2 2 2 2 BM BC CM 12a = + = = + 2 2 2 2 2 2 1 1 1 A B A A AB 21a A M MB ⇒ MB vuông góc với 1 MA + Hình chóp MABA 1 và CABA 1 có chung đáy là tam giác ABA 1 và đường cao bằng nhau nên thể tích bằng nhau. ⇒ = = = = 3 MABA CABA 1 ABC 1 1 1 1 V V V AA .S a 15 3 3 ⇒ = = = 1 MBA 1 1 3V 6V a 5 d(a,(MBA )) S MB.MA 3 Bài 23: Cho hình chóp SABC có góc ( ) o 60ABC,SBC = ∧ , ABC và SBC là các tam giác đều cạnh a. Tính theo a khoảng cách từ đỉnh B đến mp(SAC). Giải: Gọi M là trung điểm của BC. thì SM ⊥ BC, AM ⊥ BC ⇒ ( ) o 60ABC ,SBCSMA == ∧ Suy ra ∆ SMA đều có cạnh bằng 2 3a Do đó o SMA 60sin.AM.SM. 2 1 S = 16 3a3 2 3 . 4 a3 . 2 1 22 == Ta có SABC SBAM SAM 1 V 2V 2. .BM.S 3 = = 16 3a 16 3a .a. 3 1 32 = 3 = Gọi N là trung điểm của đoạn SA. Ta có CN ⊥ SA ⇒ a 13 CN 4 = (vì ∆ SCN vuông tại N) ⇒ 2 SCA 1 1 a 3 a 13 a 39 S .AS.CN . . 2 2 2 4 16 = = = Ta có ( ) ( ) SAC ,Bd. 16 39a . 3 1 SAC ,Bd.S. 3 1 16 3a V 2 SCA 3 SABC === ⇒ ( ) 3 2 3 3a d B,SAC a 3 a 39 13 = = Bài 24 : Cho góc tam diện Sxyz biết » » » 0 0 0 120 , 60 , 90xSy ySz zSx= = = ,lấy A,B,C lần lượt thuộc Sx,Sy,Sz sao cho SA=SB=SC=a. 1.Tính thể tích V của khối chóp SABC. 7 S A C B M N 60° http://violet.vn/toan_cap3 Bài tập HHKG - Ơn thi ĐH 2.Xác định tâm O và bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC. Bài 25 : Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh 2a.mp(SAD) vng góc với đáy,tam giác SAD vng tại S,góc SAD bằng 60 0 .Gọi I là trung điểm của cạnh SC.Tính thể tích khối chóp IBCD và cosin của góc tạo bởi hai đường thẳng AC,DI. Bài 26 : Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình thang vng tại A,B, cho AD=2a,AB=BC=a.SA vng góc với đáy và SA= 3a .Tính góc và khoảng cách giữa AB,SC. Bài 27 : Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác cân tại đỉnh A,cạnh AB=AC=a.Mặt bên (SBC) vng góc với mặt đáy,các cạnh bên SA=SB=a,SC=x.Hãy tính thể tích khối chóp SABC theo a,x. Bài 28 : Cho hình chóp SABC có góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60 0 ,ABC và SBC là các tam giác đều cạnh a.Tính theo a khoảng cách từ B đến (SAC). Bài 29 : Cho hình vng ABCD cạnh a nằm trong mp(P),trên hai tia Bm,Dn cùng vng góc và cùng phía đối với (P) lần lượt lấy các diểm M,N sao cho BM=x,DN=y.Tính thể tích khối tứ diện MNAC theo a,x,y. Bài 30 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, SA = h vng góc mặt phẳng (ABCD), M là điểm thay đổi trên CD. Kẻ SH vng góc BM. Xác định vị trí M để thể tích tứ diện S.ABH đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị lớn nhát đó. Bài 31 : Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, O là giao điểm của AC và BD. Biết mặt bên của hình chóp là tam giác đều và khỏang cách từ O đến mặt bên là d. Tính thể tích khối chóp đã cho. Bài 32 : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng tại B, cạnh SA⊥(ABC), · ACB = 60 0 , BC=a, SA = a 3 . Gọi M là trung điểm cạnh SB, là 1 điểm trên cạnh SC sao cho 2SN = 3NC. Tính thể tích khối chóp A.BMNC theo a. Bài 33 : Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Chứng minh rằng BD’ ⊥ mp(ACB’). Tính thể tích khối tứ diện D’.AB’C theo a. Bài 34 : Cho tứ diện ABCD và các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh BC, BD, AC sao cho BC = 4BM, AC = 3AP, BD = 2BN. Mặt phẳng 8 http://violet.vn/toan_cap3 Bài tập HHKG - Ơn thi ĐH (MNP) cắt AD tại Q. Tính tỉ số AQ AD và tỉ số thể tích hai phần của khối tứ diện ABCD được phân chia bởi mặt phẳng (MNP). ĐS: Bài 35 : Cho một hình trụ tròn xoay và hình vng ABCD cạnh a có hai đỉnh liên tiếp A, B nằm trên đường tròn đáy thứ nhất của hình trụ, hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ hai của hình trụ. Mặt phẳng (ABCD) tạo với đáy hình trụ góc 45 0 . Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ. Giải: Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB và CD. Khi đó OM AB⊥ và ' DO N C⊥ . Giả sử I là giao điểm của MN và OO’. Đặt R = OA và h = OO’. Khi đó: OMI∆ vng cân tại O nên: 2 2 2 . 2 2 2 2 2 h a OM OI IM h a= = ⇒ = ⇒ = Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3a 2 4 4 8 8 a a a a R OA AM MO     = = + = + = + =  ÷  ÷  ÷     2 3 2 3a 2 3 2 R . . , 8 2 16 a a V h π π π ⇒ = = = và 2 a 3 2 3 2 Rh=2 . . . 2 2 2 2 xq a a S π π π = = Bài 36: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, SA = h vng góc mặt phẳng (ABCD), M là điểm thay đổi trên CD. Kẻ SH vng góc BM. Xác định vị trí M để thể tích tứ diện S.ABH đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó. Bài 37: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vng tai A và D. Biết AD = AB = a, CD = 2a, cạnh bên SD vng góc với mặt phẳng đáy và SD = a. Tính thể tứ diện ASBC theo a. HD: Ta có S ABC = S ABCD – S ADC = 2 1 2 a 9 13 7 V V 5 3 AD AQ CDNMPQ ABMNQP == ; http://violet.vn/toan_cap3 Bài tập HHKG - Ôn thi ĐH V ASBC = 1 3 S ABC .SA = 3 1 6 a Bài 38: Cho tứ diện OABC có 4, 5, 6OA OB OC= = = và · · · 0 60 .AOB BOC COA= = = Tính thể tích tứ diện OABC. Giải: Lấy B’ trên OB; C’ trên OC sao cho ' ' 4OA OB OC= = = Lấy M là trung điểm của B’C’ ( ) ( ) ' ' .OAM OB C⇒ ⊥ Kẻ ( ) ' 'AH OM AH OB C⊥ ⇒ ⊥ Ta có 2 3 4 6 2 3 3 3 AM OM MH AH= = ⇒ = ⇒ = · 1 15 3 . .sin 2 2 OBC S OB OC BOC= = Vậy 1 . 10 2 3 OABC OBC V AH S= = Bài 39: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại đỉnh B, AB = a, SA = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Mặt phẳng qua A vuông góc với SC cắt SB, SC lần lượt tại H, K. Tính theo a thể tích khối tứ diện SAHK. Giải: Vì SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ BC. Mà AB ⊥ BC, do đó BC ⊥ (SAB). Suy ra AH ⊥ BC. Mặt khác AH ⊥ SC nên AH ⊥ (SBC). Suy ra AH ⊥ SB và AH ⊥ HK. V SAHK =1/3dt ( AHK ).SK =1/3AH .HK.SK (*). Trong tam giác SAB vuông tại A có 1 1 1 SA 2 . AB 2 4a 2 .a 2 2a 5 = + ⇒ AH = = = . AH 2 SA 2 AB 2 SA 2 + AB 2 4a 2 + a 2 5 Trong tam giác SAC vuông tại A 2 2 có SC = SA 2 + AC 2 = 4a 2 + 2a 2 = a 6, SK = SA = 4a = 2a 6 . SC a 6 3 2 2 Suy ra AK 2 = SA 2 − SK 2 = 4a 2 − 24a = 12a . 9 9 Trong tam giác AHK vuông tại H có 2 2 HK = AK 2 − AH 2 = 12a − 4a = 2a 30 . 9 5 15 10 [...]...http://violet.vn/toan_cap3 Bài tập HHKG - Ôn thi ĐH 1 2a 5 2a 30 2a 6 8 3 Thay vào (*) ta được VAHK = = a (đvtt) S 6 5 15 3 45 Bài 40: Cho tứ diện ABCD có các mặt ABC và ABD là các tam giác đều cạnh a, các mặt ACD và BCD vuông góc với nhau Hãy tính theo a thể tích khối tứ diện ABCD và tính số đo của góc giữa hai đường thẳng AD, BC Giải: Gọi M là trung điểm của CD, khi đó AM ⊥ CD, BM ⊥ CD Từ giả thiet suy ra AMB... bên (SAB) vuông góc với đáy, hai mặt bên còn lại cùng tạo với đáy một góc α Giải: Dựng SH ⊥ AB ° Ta có: ° (SAB) ⊥ (ABC), (SAB) ∩ (ABC) = AB, SH ⊂ (SAB) ⇒ SH ⊥ (ABC) Dựng HN ⊥ BC, HP ⊥ AC · · ⇒ SN ⊥ BC, SP ⊥ AC ⇒ SPH = SNH = α ° ° AHP vuông cân => HP = HA.sin 60 o = ° ° SHN = SHP ⇒ HN = HP SHP vuông cân => SH = HP.tgα = 1 3 a 3 4 a 3 tgα 4 1 a 3 a2 3 a3 tgα = tgα 3 4 4 16 Thể tích khối chóp S.ABC... Ma AM = BM nén ΑAMB vuông can tai M Do đó a 2 BM = ⇒ CD = 2CM = 2 BC 2 − BM 2 = a 2 2 1 1 a3 2 1 VABCD = CD.S ABM = CD AM BM = (= AM SBCD ) 3 6 12 3 Gọi N, P,Q lần lượt là trung điểm của AB, AC, BD Ta có AD, BC = NP, NQ ( ) ( ) AB a ΑAMB vuông can tai M ⇒ MN = = = NP = PM suy ra ΑMNP la 2 2 tam giác đều Do đó M QN = 6O ⇒ NP, NQ = AD, BC = 6O ( ) ( ) Bài 41: Tính thể tích khối chóp S.ABC, biết... ° ° SHN = SHP ⇒ HN = HP SHP vuông cân => SH = HP.tgα = 1 3 a 3 4 a 3 tgα 4 1 a 3 a2 3 a3 tgα = tgα 3 4 4 16 Thể tích khối chóp S.ABC : V = SH.SABC = 11 http://violet.vn/toan_cap3 Bài tập HHKG - Ôn thi ĐH 12 . tính theo a thể tích của khối tứ diện MBSI . Giải: 3 http://violet.vn/toan_cap3 Bài tập HHKG - Ôn thi ĐH Trong (ABC). chứa BC và vuông góc với AA', cắt hình lăng trụ ABC.A'B'C' theo một thi t diện có diện tích bằng 2 a 3 8 . Tính thể tích khối lăng trụ