Tuyển tập BT thể tích khối đa diện - Ôn thi ĐH

Tính khoảng cách từ tâm O của đáy đến mặt bên SCD và tính thể tích khối chóp S.ABCD.. Một mặt phẳng P chứa BC và vuông góc với AA', cắt hình lăng trụ ABC.A'B'C' theo một thiết diện có di

Bài 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA = a 2 Gọi M, N

và P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB và CD Chứng minh rằng đường thẳng MN vuông góc với đường thẳng SP Tính theo a thể tích của khối tứ diện AMNP

Giải:

Gọi I là trung điểm AB

Ta có MN // AB // CD và SP  CD  MN  SP

SIP cân tại S, SI2 = 2 a2 7a2

2a

   SI = SP = a 7

2

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD,

ta có SO2=SI2–OI2 =

2

 

   

 

SO = a 6

2 , H là hình chiếu vuông góc của P xuống mặt phẳng SAB

Ta có S(SIP) = 1SO.IP 1PH.SI

2 2  PH = SO.IP

SI = a 6a 2 a 6

2 a 7  7

V =

3 ( AMN )

Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), tam

giác ABC vuông tại C ; M,N là hình chiếu của A trên SB, SC Biết MN cắt

BC tại T Chứng minh rằng tam giác AMN vuông và AT

tiếp xúc với mặt cầu đường kính AB

Giải:

Theo định lý ba đường vuông góc

BC  (SAC) SAC)  AN  BC và AN  SC

AN  (SAC) SBC)  AN  MN

Ta có: SA 2 = SM.SB = SN.SC Vây MSN  C

 TM là đường cao của tam giác STB

 BN là đường cao của tam giác STB

Theo định lý ba đường vuông góc, ta có AB  ST

AB  (SAC) SAT) hay AB AT (SAC) đpcm)

Bài 3: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều Mặt phẳng

A'BC tạo với đáy một góc 30 0 và tam giác A'BC có diện tích bằng 8 Tính thể tích khối lăng trụ

ĐS: V = 8 3

Bài 4: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D' có chiều cao bằng h Góc

giữa hai đường chéo của hai mặt bên kề nhau kẻ từ một đỉnh bằng

(0 90 )

a < a < Tính thể tích của khối lăng trụ đó

ĐS:

2h sin

2 V

cos

a

=

a

Bài 5: Cho khối hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng

a, A 'AB · = BAD A 'AD 60 · = · = 0 Hãy tính thể tích của khối hộp

ĐS: V a 23

2

=

Bài 6: Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh

a và đỉnh A' cách đều các đỉnh A, B,C Cạnh bên AA' tạo với đáy góc 60 0 Tính thể tích của khối lăng trụ

ĐS : V a 33

8

=

Bài 7: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a Đường

chéo BC' của mặt bên (BCC'B') tạo với mặt bên (ABB'A') một góc 30 0 Tính thể tích của khối lăng trụ

ĐS: V a 63

4

=

Bài 8: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a Gọi G là

trọng tâm tam giác SAC và khoảng cách từ G đến mặt bên (SCD) bằng a 3

6 Tính khoảng cách từ tâm O của đáy đến mặt bên (SCD) và tính thể tích khối chóp S.ABCD

ĐS: d a 3,V a 33

Bài 9: Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA = a, đáy là tam giác vuông cân có AB = BC = a Gọi B' là trung điểm của SB, C' là chân đường cao hạ

từ A của tam giác SAC Tính thể tích khối chóp S.ABC Chứng minh rằng

SC vuông góc với mặt phẳng (AB'C') Tính thể tích khối chóp S.AB'C'

ĐS: V a3

36

=

Bài 10: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a,

cạnh bên hợp với đáy một góc là 450 Gọi P là trung điểm BC, chân đường vuông góc hạ từ A’ xuống (ABC) là H sao cho 1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

gọi K là trung điểm AA’,   là mặt phẳng chứa HK và song song với BC cắt BB’ và CC’ tại M, N Tính tỉ số thể tích

' ' '

ABCKMN

A B C KMN

V

ĐS:

' ' '

3

1

ABCKMN

A B C KMN

V

V





Bài 11: Đáy của hình chóp SABC là tam giác cân ABC có AB = AC = a và

µ µ

B = C = a Các cạnh bên cùng nghiêng với đáy một góc b Tính thể tích của khối chóp SABC

ĐS: V a cos tan3

6

=

Bài 12: Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA = 2a, tam giác ABC vuông

ở C có AB = 2a, CAB · = 30 0 Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A trên

SC và SB Tính thể tích khối chóp H.ABC

ĐS: V a 33

7

=

Bài 13: Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a, hình

chiếu vuông góc của A' lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm O của tam giác ABC Một mặt phẳng (P) chứa BC và vuông góc với AA', cắt hình lăng trụ ABC.A'B'C' theo một thiết diện có diện tích bằng a 32

8 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C'

ĐS: V a 33

12

=

Bài 14: Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại đỉnh B,

BA = BC = 2a , hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng đáy (ABC)

là trung điểm E của AB và SE = 2a Gọi I,J lần lượt là trung điểm cuae EC,

SC M là điểm di động trên tia đối của tia BA sao cho  (  90 0 )







H là hình chiếu vuông góc của S trên MC Tính thể tích của khối tứ diện EHIJ theo a ;  và tìm  để thể tích đó lớn nhất

Giải:

Ta có SE  (ABC)  SE  CM mà SH  CM nên CM  (SEH)  CM  EH

2 2

2 2

AB

AC     ,EH EC sin  a 2 sin  ,



 2 cos cos

EC

Diện tích tam giác EHC ,   sin 2 

2 cos sin

2

a HC EH

Ị là đường trung bình của tam giác CSE nên IJ // SE  IJ  (ABC) và IJ SE a

2 1

HI là trung tuyến của tam giác HEC nên diện tích tam giác HEC sin 2 

4 2

S

SHEC  EHC 

12

1 2 sin 4 3

1

3

đvtt a

a a S

IJ

Bài 15: Cho hình chóp SABC mà mỗi mặt bên là một tam giác vuông SA=SB=SC

= a Gọi M,N,E lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,AC,BC D là điểm đối xứng của S qua E , I là giao điểm của đường thẳng AD với mặt phẳng (SMN) Chứng minh rằng AD  SI và tính theo a thể tích của khối tứ diện MBSI

Giải:

Trong (SAC) ABC) AE  MN = J  SJ = (SAC) SMN)  (SAC) ASD))

Trong (SAC) ASD)) SJ  AD) = I  I = AD)  (SAC) SMN)

Ba tam giác SAB,SAC,SBC là các tam giác vuông

cân bằng nhau  SA,SB,SC đôi một vuông góc và

 ABC là tam giác đều cạnh a 2

BSCD) là hình vuông cạnh a

( )











Lại có SM  AD) nên SM  (SAC) ABD))  SM  AD) (SAC) 1)

( )











Mà MN// BC  MN  AD) (SAC) 2)

Từ (SAC) 1) và (SAC) 2) AD)  (SAC) SMN)  AD)  SI (SAC) đpcm)

Trong (SAC) SBD)) kẻ IH // BD) (SAC) H  AB)

 IH  (SAC) SAB)

3 3

 IH = a/3

S SMB = 1/2 S SAB = 2

4

3 SMB 3 3 4 36

Bài 16: Cho hình chóp cụt tam giác đều ngoại tiếp một hình cầu bán kính r

cho trước Tính thể tích hình chóp cụt biết rằng cạnh đáy lớn gấp đôi cạnh

đáy nhỏ

HD:

Gọi H, H’ là tâm của các tam giác đều ABC,

A’B’C’ Gọi I, I’ là trung điểm của AB, A’B’ Ta có:

 '  ' '  ' ' '











Suy ra hình cầu nội tiếp hình chóp cụt này tiếp xúc với hai đáy tại H, H’ và

tiếp xúc với mặt bên (SAC) ABB’A’) tại điểm KII'.

Gọi x là cạnh đáy nhỏ, theo giả thiết 2x là cạnh đáy lớn Ta có:

Tam giác IOI’ vuông ở O nên: 2 3 3 2 2 2

J

D E

N

M

B

A

Thể tích hình chóp cụt tính bởi:  ' '

3

h

Trong đó: 4x2 3 2 2 2 3 3r2 3

x

Từ đó, ta có: 2r 2 3r2 3 2 3r2 3 21r 33

Bài 17: Cho một hình trụ tròn xoay và hình vuông ABCD cạnh a có hai đỉnh

liên tiếp A, B nằm trên đường tròn đáy thứ nhất của hình trụ, hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ hai của hình trụ Mặt phẳng (ABCD) tạo với đáy hình trụ góc 450 Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ

giải:

Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB và CD) Khi đó

OM AB và O N' CD

Giả sử I là giao điểm của MN và OO’.Đặt R = OA và h = OO’.

Khi đó:

OM

I

 vuông cân tại O nên:

.

Ta có:

2

2 2

xq

Bài 18: Cho hình nón có đỉnh S, đáy là đường tròn tâm O, SA và SB là hai

đường sinh, biết SO = 3, khoảng cách từ O đến mặt phẳng SAB bằng 1, diện tích tam giác SAB bằng 18 Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình nón đã cho

giải:

Gọi E là trung điểm của AB, ta có: OEAB SE, AB , suy ra SOE AB

D)ựng OH SE OH SAB, vậy OH là khoảng cách

từ O đến (SAC) SAB), theo giả thiết thì OH = 1.

Tam giác SOE vuông tại O, OH là đường cao, ta có:

2

1

H

M D

C B

A S

9

SE OE SO     SE

2

9 2

2 2

SAB SAB

S

S AB SE AB

SE

 

2

2

2 2 2 1 2 4 2 9 32 9 265

OA AE OE  AB OE     

 

Thể tích hình nón đã cho: 1 2 1 265 265

V  OA SO   

D)iện tích xung quanh của hình nón đã cho:

Bài 19: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,

BAD = 60 , SA vuông góc với mặt phẳng ABCD, SA = a Gọi C' là trung

điểm của SC Mặt phẳng (P) đi qua AC' và song song với BD, cắt các cạnh

SB, SD của hình chóp lần lượt tại B', D' Tính thể tích của khối chóp

S.AB'C'D'

ĐS: V a 3b2 2 a2

6

-=

Bài 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với

AB = a; AD = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng

đáy một góc 60 0 Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho AM a 3

3

= Mặt phẳng

( BCM ) cắt các cạnh SD tại điểm N Tính thể tích khối chóp S.BCNM

ĐS: V 10a 33

27

=

Bài 21: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = h

vuông góc mặt phẳng (ABCD), M là điểm thay đổi trên CD Kẻ SH vuông

góc BM Xác định vị trí M để thể tích tứ diện S.ABH đạt giá trị lớn nhất

Tính giá trị lớn nhát đó

Giải:

.SH  BM và SA  BM suy ra AH  BM

V SABH = SA AH BH h AH.BH

6

.

6

1

V SABH lớn nhất khi AH.BH lớn nhất Ta có: AH + BH  2 AH BH

BH AH BH



BH AH



 , vậy AH.BH lớn nhất khi AH.BH =

2

2

a

khi AH = BH khi H

là tâm của hình vuông , khi M D) Khi đó V SABH =

12

2h a

.

.Bài 22: Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1  2a 5

và BAC  120 o Gọi M là trung điểm của cạnh CC1 Chứng minh MBMA1

và tính khoảng cách d từ điểm A tới mặt phẳng (A1BM)

Giải:

+ Ta có 2  2  2  2

BC 2  AB 2  AC 2  2AB.AC.cos120 0  7a 2

BM 2  BC 2  CM 2  12a 2

2  2  2  2  2  2

 MB vuông góc với MA1

+ Hình chóp MABA 1 và CABA 1 có chung đáy là tam giác ABA 1 và đường

cao bằng nhau nên thể tích bằng nhau.

MABA1 CABA1 1 1 ABC 1

d(a,(MBA ))

Bài 23: Cho hình chóp SABC có góc SBC, ABC 60 o, ABC và SBC là các tam giác đều cạnh a Tính theo a khoảng cách từ đỉnh B đến mp(SAC)

Giải:

Gọi M là trung điểm của BC thì SM  BC,

AM  BC  SMA   SBC , ABC   60 o

Suy ra SMA đều có cạnh bằng a23

SMA SM AM sin 60

2

1

16

3 a 3 2

3 4

a 3 2





Ta có SABC SBAM SAM

1

3

16

3 a 16

3 a a 3







Gọi N là trung điểm của đoạn SA Ta có CN  SA  CN a 13

4

 (SAC) vì

SCN vuông tại N)



2 SCA

16

39 a 3

1 SAC , B d S 3

1 16

3 a

d B,SAC a 3

a 39 13

Bài 24 : Cho góc tam diện Sxyz biết  0  0  0

120 , 60 , 90

xSy ySz zSx ,lấy A,B,C lần lượt thuộc Sx,Sy,Sz sao cho SA=SB=SC=a

1.Tính thể tích V của khối chóp SABC

S

B M N

60

2.Xác định tâm O và bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp SABC.

Bài 25 : Cho hình chĩp SABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh

2a.mp(SAD) vuơng gĩc với đáy,tam giác SAD vuơng tại S,gĩc SAD bằng

600.Gọi I là trung điểm của cạnh SC.Tính thể tích khối chĩp IBCD và cosin của gĩc tạo bởi hai đường thẳng AC,DI

Bài 26 : Cho hình chĩp SABCD đáy ABCD là hình thang vuơng tại A,B,

cho AD=2a,AB=BC=a.SA vuơng gĩc với đáy và SA=a 3.Tính gĩc và khoảng cách giữa AB,SC

Bài 27 : Cho hình chĩp SABC cĩ đáy là tam giác cân tại đỉnh A,cạnh

AB=AC=a.Mặt bên (SBC) vuơng gĩc với mặt đáy,các cạnh bên

SA=SB=a,SC=x.Hãy tính thể tích khối chĩp SABC theo a,x

Bài 28 : Cho hình chĩp SABC cĩ gĩc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC)

bằng 600,ABC và SBC là các tam giác đều cạnh a.Tính theo a khoảng cách

từ B đến (SAC)

Bài 29 : Cho hình vuơng ABCD cạnh a nằm trong mp(P),trên hai tia Bm,Dn

cùng vuơng gĩc và cùng phía đối với (P) lần lượt lấy các diểm M,N sao cho BM=x,DN=y.Tính thể tích khối tứ diện MNAC theo a,x,y

Bài 30 : Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, SA =

h vuơng gĩc mặt phẳng (ABCD), M là điểm thay đổi trên CD Kẻ SH vuơng gĩc BM Xác định vị trí M để thể tích tứ diện S.ABH đạt giá trị lớn nhất Tính giá trị lớn nhát đĩ

Bài 31 : Cho hình chĩp tứ giác đều S.ABCD, O là giao điểm của AC và BD.

Biết mặt bên của hình chĩp là tam giác đều và khỏang cách từ O đến mặt bên là d Tính thể tích khối chĩp đã cho

Bài 32 : Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại B, cạnh

điểm trên cạnh SC sao cho 2SN = 3NC Tính thể tích khối chĩp A.BMNC theo a.

Bài 33 : Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Chứng minh rằng BD’  mp(ACB’) Tính thể tích khối tứ diện D’.AB’C theo a.

Bài 34 : Cho tứ diện ABCD và các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh

BC, BD, AC sao cho BC = 4BM, AC = 3AP, BD = 2BN Mặt phẳng

(MNP) cắt AD tại Q Tính tỉ số AQAD và tỉ số thể tích hai phần của khối tứ diện ABCD được phân chia bởi mặt phẳng (MNP)

ĐS:

Bài 35 : Cho một hình trụ trịn xoay và hình vuơng ABCD cạnh a cĩ hai

đỉnh liên tiếp A, B nằm trên đường trịn đáy thứ nhất của hình trụ, hai đỉnh cịn lại nằm trên đường trịn đáy thứ hai của hình trụ Mặt phẳng (ABCD) tạo với đáy hình trụ gĩc 450 Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ

Giải:

Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB

và CD) Khi đĩ OM AB và O N' CD Giả sử I là giao điểm của MN và OO’.

Đặt R = OA và h = OO’ Khi đĩ:

OM

I

 vuơng cân tại O nên:

.

Ta cĩ:

2

và 2 Rh=2 a 3. 2 3 2.

2 2

xq

Bài 36: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, SA = h

vuơng gĩc mặt phẳng (ABCD), M là điểm thay đổi trên CD Kẻ SH vuơng gĩc BM Xác định vị trí M để thể tích tứ diện S.ABH đạt giá trị lớn nhất Tính giá trị lớn nhất đĩ

Bài 37: Cho hình chĩp tứ giác S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình thang vuơng

tai A và D Biết AD = AB = a, CD = 2a, cạnh bên SD vuơng gĩc với mặt phẳng đáy và SD = a Tính thể tứ diện ASBC theo a

HD:

13

7 V

V 5

3 AD

AQ

CDNMPQ

ABMNQP



 ;

Ta có S ABC = S ABCD – S ADC = 1 2

2a

V ASBC = 1

3SABC.SA =

3 1

6a

Bài 38: Cho tứ diện OABC có OA 4,OB 5,OC 6 và AOB BOC COA     60 0

Tính thể tích tứ diện OABC.

Giải:

Lấy B’ trên OB; C’ trên OC sao cho OA OB ' OC' 4 

Lấy M là trung điểm của B’C’  OAM  OB C' ' 

Kẻ AH OM  AH OB C' '



.sin

OBC

3

Bài 39: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại đỉnh

B, AB = a, SA = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy Mặt phẳng qua A vuông góc với SC cắt SB, SC lần lượt tại H, K Tính theo a thể tích khối tứ diện SAHK

Giải:

Vì SA  (ABC) nên SA  BC Mà AB  BC, do đó BC  (SAB) Suy ra

AH 

BC Mặt khác AH  SC nên AH  (SBC) Suy ra AH  SB và AH  HK

V SAHK dt ( AHK ).SK AH HK.SK (*).

Trong tam giác SAB vuông tại A có

1 1 1 SA2 AB2 4a2 .a2 2a 5

AH 2 SA2 AB2 SA2

 AB 2 4a2  a2 5 Trong tam giác SAC vuông tại A

có SC  SA2  AC 2

 4a2  2a2  a 6, SK 

SA

 4a  2a 6

SC a 6 3

Suy ra AK 2  SA2  SK 2  4a 2  24a  12a

Trong tam giác AHK vuông tại H có

2 2

HK  AK 2  AH 2

 4a 

2a 30 .

Thay vào (*) ta được V  1 2a 5 2a 30 2a 6  8 a3 (đvtt)

SAHK 6 5 15 3 45

Bài 40: Cho tứ diện ABCD có các mặt ABC và ABD là các tam giác đều

cạnh a, các mặt ACD và BCD vuông góc với nhau Hãy tính theo a thể tích khối tứ diện ABCD và tính số đo của góc giữa hai đường thẳng AD, BC

Giải:

Gọi M là trung điểm của CD, khi đó AM  CD, BM  CD Từ giả

thiet suy ra AMB  9O Ma AM = BM nén AMB vuông can tai M

Do đó

BM  a 2  CD)  2CM  2 BC 2  BM 2  a 2

2

V ABCD)  CD).S ABM  CD) AM BM  ( AM S BCD)

)

Gọi N, P,Q lần lượt là trung điểm của AB, AC, BD

Ta có  AD), BC    NP, NQ 

AMB vuông can tai M  MN  AB  a  NP  PM suy ra MNP la

2 2

tam giác đều Do đó MQN  6O   NP, NQ    AD), BC   6O

Bài 41: Tính thể tích khối chóp S.ABC, biết rằng ABC là tam giác đều cạnh

a, mặt bên (SAB) vuông góc với đáy, hai mặt bên còn lại cùng tạo với đáy một góc 

Giải:

Dựng SH AB 

 Ta có:

SH (ABC)

 Dựng HN BC, HP AC  

 SHN = SHP SHN = SHP SHN = SHP  HN = HP.

 SHN = SHP AHP vuông cân => HP HA.sin60o a 3.

4

 SHN = SHP SHP vuông cân =>SH HP.tg a 3tg

4