Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 65 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
65
Dung lượng
3,98 MB
Nội dung
BÀI ỨNG DỤNG HÌNH HỌC TÍCH PHÂN A KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN NẮM I DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG y = f ( x) [ a; b] Định lý 1: Cho hàm số liên tục, không âm Khi diện tích S hình thang y = f ( x) x = a, x = b cong giới hạn đồ thị hàm số , trục hoành đường thẳng là: b S = ∫ f ( x)dx a Bài toán liên quan [ a; b ] y = f ( x) Bài tốn 1: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số liên tục đoạn , trục b x=a x=b hoành hai đường thẳng , xác định: S = ∫ f ( x) dx a Bài tốn 2: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x) y = g ( x) , liên tục đoạn b [ a; b] hai đường thẳng x=a x=b , xác định: S = ∫ f ( x ) − g ( x) dx a Trang c2 b [a; b] Chú ý: Nếu đoạn ∫ f ( x) , hàm số b f ( x) dx = a ∫ f ( x)dx a khơng đổi dấu thì: x = g ( y) Bài tốn 3: Diện tích hình phẳng giới hạn đường x = h( y ) , hai đường d y=c y=d thẳng , xác định: S = ∫ g ( y ) − h( y ) dy c Trang (C1 ) : f1 ( x) (C2 ) : f ( x) Bài tốn 4: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị , là: S= x2 ∫ f ( x) − g ( x) dx f ( x) = g ( x ), ( x1 < x2 ) x1 , x2 x1 Trong đó: tương ứng nghiệm phương trình II THỂ TÍCH CỦA KHỐI TRỊN XOAY Thể tích vật thể B Gọi phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox điểm a b; S ( x) x diện tích thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm , ( a ≤ x ≤ b) S ( x) [a; b ] Giả sử hàm số liên tục đoạn Thể tích khối trịn xoay Bài tốn 1: Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường y = f ( x) x=a x=b , trục hoành hai đường thẳng , quanh trục Ox: Bài tốn 2: Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường x = g ( y) y=c y=d , trục hoành hai đường thẳng , quanh trục Oy: Bài tốn 3: Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường Trang b y = f ( x) y = g ( x ) x=a x=b , hai đường thẳng , quanh trục Ox: V = π ∫ f ( x) − g ( x) dx a B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Tính diện tích giới hạn đồ thị Phương pháp: a/ Phương pháp 1: b S = ∫ | f ( x) | dx a f ( x ) x ∈ [ a; b] * Xét dấu biểu thức ; , phá dấu trị tuyệt đối tính tích phân b/ Phương pháp 2: f ( x) = * Giải phương trình f ( x) * Áp dụng tính chất liên tục hàm số α ) Bài tập 6: Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong thẳng x=a k= A ka , trục hồnh đường Tính giá trị tham số k k= B k= C 12 k= D Hướng dẫn giải Trang Chọn B a a 32 4 S = ∫ ax dx = a .x = a = ka ⇒ k = 3 0 Có y = e x , y = 0, x = Bài tập 7: Cho hình cong giới hạn đường < k < ln x = ln x=k Đường thẳng với chia thành hai phần có S1 = 2S2 diện tích S1 S2 hình vẽ bên Tìm k để A B k = ln k = ln k = ln C D k = ln Hướng dẫn giải Chọn D 2 S1 = 2S2 ⇒ S1 = S = 3 ln ∫ e dx = x ln ∫ e dx = e x ln =2 x Do k S1 = ∫ e x dx = ek − = ⇔ ek = ⇔ k = ln Do đó: Dạng 2: Tính diện tích giới hạn hai đồ thị Phương pháp: b S = ∫ | f ( x) − g ( x ) | dx a Công thức tính Tính dạng Một số tập mẫu Bài tập 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị y= 1 π π ;y= ;x = ; x = 2 cos x sin x Lời giải S=∫ π /3 π /6 1 − dx cos x sin x Ta có: Trang y= Trong trường hợp chọn cách xét dấu biểu thức y= vẽ đồ thị hàm số 1 π π − ; x∈ ; 6 3 cos x sin x 1 π π − ; x∈ ; 6 3 cos2 x sin x khó khăn Vì ta chọn cách sau: π π π π 1 x∈ ; x ∈ − ; ⇔ cos x − sin x = cos x sin x = + Xét phương trình: ; π π x∈ ; ⇔ x = π 6 3 ⇔ cos x = ; S= ∫ π /4 π /3 1 − dx + | − ÷dx ÷ 2 ∫ 4/ cos x sin x cos x sin x Từ suy ra: ⇒ S =| (tan x + cot x) | 4 π /4 π | + | (tan x + cot x) |= − 2÷ ÷ π /6 π y= Bài tập : Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số ; x +1 y= x2 Lời giải Xét phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị trên: x ⇔ x + x − = ⇔ x = ⇔ x = −1 = x =1 x2 + S =∫ −1 x2 − dx x2 + Vì hình phẳng cho có diện tích là: ( −1;1) Do S=∫ −1 phương trình x2 − dx = x2 + I1 = Tính dx −1 x + ∫ x2 = x2 + vô nghiệm nên ta có: x2 ∫ x + − ÷dx = −1 1 1 x2 ∫ x + dx − −∫1 dx −1 Trang π π t ∈ − ; ÷ ⇒ dx = dt 2 x = tan t cos t +/ Đặt ; +/ Đổi cận: π x = −1 ⇒ t = − π / π x = 1⇒ t = cos t dt = π / dt = π ⇒ I = ∫ ∫−π /4 −π /4 + tan t x2 I = ∫−1 dx = Thay vào ta được: π π − = − S= 3 y = x2 − x + Bài tập 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị y=3 Hướng dẫn giải Xét phương trình hoành độ giao điểm hai đồ thị trên: x2 − 4x + = x = ⇔ ⇔ x − 4x + = x = x − x + = −3 Khi đó: ∫‖x S= ⇒S= ⇒S = 0 (x (x 2 ( ) − x + − dx + ∫ ) ) − x + | −3 | dx =|04 x − x + | −3 dx | 3 ( (x ) − x + − dx + ∫ ) ( (x ) − x + − dx ) − x dx + ∫ − x + x − dx + ∫ x − x dx | 3 x3 x3 x3 4 ⇒ S = S = − x2 ÷ + − + x2 − x ÷ + − x2 ÷ = 0 1 3 y = sin | x | y = | x | π Bài tập 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị: ; - Hướng dẫn giải sin | x |=| x | −π Xét phương trình hồnh độ: Đặt | x| =t Khi trở thành: sin t = t − π ⇔ sin t − t + π = Trang 10 Hướng dẫn giải: Chọn C O ( 0;0 ) Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ với gốc I ( 25; ) đỉnh chân cầu, A ( 50;0 ) , điểm Gọi Parabol có phương trình: ⇒ y2 = ax + bx − ( P1 ) : y1 = ax + bx + c = ax + bx ( O ∈ ( P1 ) ) 20 ax = ax + bx − 100 I , A ∈ ( P1 ) ⇒ ( P1 ) : y1 = − Ta có phương trình parabol 2 2 x + x ⇒ y2 = − x + x− 625 25 625 25 S = S1 Khi diện tích nhịp cầu S1 với ( 0; 25) y1 ; y2 phần giới hạn khoảng 15 0,2 2 S = 2 ∫ − x + x ÷dx + ∫ dx ÷ ≈ 0,9m 625 25 ÷ 0,2 0 V = S 0, ≈ 1,98m3 ⇒ Vì bề dày nhịp cầu khơng đổi nên coi thể tích tích diện tích bề dày lượng bê tông cần cho nhịp cầu Vậy mười nhịp cầu hai bên cần ≈ 2m ≈ 40m3 số bê tông Trang 51 Chọn Chọn C Bài tập 3: Trong Cơng viên Tốn học có mảnh đất mang hình dáng khác Mỗi mảnh trồng lồi hoa tạo thành đường cong đẹp tốn học Ở có mảnh đất mang tên Bernoulli, tạo thành từ đường Lemmiscate có phương 16 y = x ( 25 − x ) Oxy trình hệ tọa độ hình vẽ bên y x Oxy S Tính diện tích mảnh đất Bernoulli biết đơn vị hệ tọa độ tương ứng với chiều dài mét S= A S= C 125 m2 ) ( 250 S= B (m ) S= D 125 (m ) 125 (m ) Hướng dẫn giải Chọn D Vì tính đối xứng trụ nên diện tích mảnh đất tương ứng với lần diện tích mảnh đất thuộc Oxy góc phần tư thứ hệ trục tọa độ Từ giả thuyết toán, ta có y= Góc phần tư thứ y = ± x − x2 x 25 − x ; x ∈ [ 0;5] S( I ) = 125 125 x 25 − x dx = ⇒S = (m ) ∫ 40 12 Nên Bài tập 4: Một Bác thợ gốm làm lọ có dạng khối trịn xoay tạo thành quay hình y = x +1 Ox phẳng giới hạn đường trục quay quanh trục 2dm 4dm có đường kính , thể tích lọ là: Ox biết đáy lọ miệng lọ Trang 52 8π dm A C 14 π dm B D 15 π dm3 15 dm Lời giải Chọn B r1 = y1 = ⇒ x1 = r2 = y2 = ⇒ x2 = x2 15 V = π ∫ y dx = π ∫ ( x + 1) dx = π + x ÷ 30 = π 0 3 Suy ra: Bài tập 5: Để kéo căng lị xo có độ dài tự nhiên từ 15cm 18cm A ) sinh kéo lị xo có độ dài từ đến A = 1, 56 ( J ) A C đến 15cm cần lực 40N Tính cơng ( A = (J ) A = 2,5 ( J ) 10cm B D A = (J ) Lời giải Chọn A x f ( x ) = k x M O x x Trang 53 Theo Định luật Hooke, lực cần dùng để giữ lò xo giãn thêm x f ( x ) = kx mét từ độ dài tự nhiên k ( N /m ) độ cứng lò xo Khi lò xo kéo giãn từ độ dài cm = 0.05 m đến 15cm , lượng kéo giãn f ( 0.05 ) = 40 Điều có nghĩa f ( x ) = 800 x Vậy , đó: 40 0, 05k = 40 ⇔ k = = 800 ( N /m ) 0, 05 công cần để kéo dãn lò xo từ 15cm đến 0,08 A= 10cm , với ∫ 800 dx = 400 x 0,05 0,08 0,05 y= Góc phần tư thứ 18cm là: 2 = 400 ( 0, 08 ) − ( 0, 05 ) = 1, 56 ( J ) x 25 − x ; x ∈ [ 0;5] S( I ) 125 125 = ∫ x 25 − x dx = ⇒S = (m ) 40 12 Nên Bài tập trắc nghiệm: Câu 1: Trong chương trình nơng thơn mới, xã X có xây cầu bê tơng hình vẽ Tính thể tích khối bê tông để đổ đủ cầu 0, 5m 2m 5m 0, 5m A 19m3 0, 5m 19m B 21m3 C 18m3 D 40m3 Hướng dẫn giải Chọn D Oxy Chọn hệ trục hình vẽ Trang 54 y x O Ta có ( P1 ) : y = ax 19 A ; ÷, B ( 0; ) +c Gọi Parabol qua hai điểm Nên ta có hệ phương trình sau: ( P2 ) : y = ax Gọi 2 19 0 = a ÷ + a = − ⇔ x +2 361 ⇒ ( P1 ) : y = − 2 361 2 = b b = 5 C ( 10;0 ) , D 0; ÷ 2 +c Parabol qua hai điểm a = − 40 0 = a ( 10 ) + ⇔ ⇒ ( P2 ) : y = − x + 40 5 = b b = Nên ta có hệ phương trình sau: Ta tích bê tơng là: 19 10 5 V = 5.2 ∫ − x + ÷dx − ∫ − x + ÷dx = 40m3 0 2 361 40 ( S1 ) ( S2 ) Câu 2: Cho hai mặt cầu , có bán kính ( S2 ) ngược lại Tính thể tích phần chung A V = π R3 V= B π R3 V R ( S1 ) thỏa mãn tính chất: tâm ( S1 ) thuộc (S2 ) hai khối cầu tạo 5π R 12 V= 2π R V= C D Hướng dẫn giải Chọn C Trang 55 y (C ) : x + y = R O R x R Oxy Gắn hệ trục hình vẽ S ( O, R ) Khối cầu ( C ) : x2 + y = R2 chứa đường trịn lớn Dựa vào hình vẽ, thể tích cần tính R V = 2π ∫ R Câu 3: ( R x3 5π R R − x dx = 2π R x − ÷ = R 12 2 ) Một thùng rượu có bán kính đáy 30cm, thiết diện vng góc với trục cách hai đáy có bán kính 40cm, chiều cao thùng rượu 1m Biết mặt phẳng chứa trục cắt mặt xung quanh thùng rượu đường parabol, hỏi thể tích thùng rượu bao nhiêu? 425, A lit B 425162 212581 lit C Hướng dẫn giải 212, lit D lit Chọn A Trang 56 ( P ) : y = ax + bx + c A ( 0,5; 0, 3) S ( 0; 0, ) Gọi parabol qua điểm có đỉnh Khi đó, thể tích thùng rượu thể tích khối trịn xoay cho hình phẳng giới hạn ( P) x = ±0,5 , trục hoành hai đường thẳng ( P ) : y = − x + 0, Dễ dàng tìm Thể tích thùng rượu là: 0,5 quay quanh trục Ox 0,5 203π V = π ∫ − x + 0, ÷ dx = 2π ∫ − x + 0, ÷ dx = ≈ 425,5 (l) 5 1500 −0,5 Câu 4: Bác Năm làm cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh 2,25 mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất mét Giá thuê mét vuông 1500000 đồng Vậy số tiền bác Năm phải trả là: A 33750000 đồng B 12750000 đồng C 6750000 đồng D 3750000 đồng Hướng dẫn giải Chọn C ( P) ( P) O(0; 0) Gắn parabol hệ trục tọa độ cho qua P : y = ax + bx +c ( ) Gọi phương trình parbol là: ( P) O(0; 0) A(3; 0) B (1,5; 2, 25) Theo đề ra, qua ba điểm , , ( P ) : y = − x + 3x Từ đó, suy S = ∫ − x + x dx = Diện tích phần Bác Năm xây dựng: 1500000 = 6750000 Vậy số tiền bác Năm phải trả là: Câu 5: Ơng An có mảnh vườn hình Elip có độ dài trục lớn 10m Ông muốn trồng hoa dải đất rộng 8m 16m độ dài trục bé nhận trục bé elip làm trục Trang 57 đối xứng Biết kinh phí để trồng hoa tiền để trồng hoa dải đất đó? 100.000 1m đồng/ Hỏi ơng An cần 8m 7.862.000 A đồng đồng B 7.653.000 đồng C 7.128.000 đồng D 7.826.000 Hướng dẫn giải Chọn B Giả sử elip có phương trình Từ giả thiết ta có x2 y2 + =1 a2 b2 2a = 16 ⇒ a = 2b = 10 ⇒ b = 5 y=− 64 − y ( E1 ) x y + =1⇒ 64 25 y = 64 − y ( E ) Vậy phương trình elip ( E1 ); ( E2 ); x = −4; x = Khi diện tích dải vườn giới hạn đường diện 5 S = 2∫ 64 − x dx = ∫ 64 − x dx 20 −4 tích dải vườn Tính tích phân phép đổi biến Khi số tiền Câu 6: x = 8sin t , ta π 3 S = 80 + ÷ 6 π 3 T = 80 + ÷.100000 = 7652891,82 ; 7.653.000 6 Người ta dựng lều vải có dạng hình “chóp lục giác cong đều” hình vẽ bên 3m SO = 6m Đáy hình lục giác cạnh Chiều cao Các cạnh bên c1 , c2 , c3 , c4 , c5 , c6 sợi dây nằm đường parabol có trục đối xứng song song với SO Trang 58 Giả sử giao tuyến với mặt phẳng vng góc với SO lục giác qua 1m trung điểm SO lục giác có cạnh Tính thể tích phần khơng gian nằm bên lều S c6 c1 c5 1m c2 c4 c3 O 3m A 135 3 (m ) B 96 3 (m ) C 135 3 (m ) D 135 3 (m ) Hướng dẫn giải Chọn D Đặt hệ tọa độ hình vẽ, ta có parabol cần tìm qua điểm có tọa độ y= A(0;6), B(1;3), C (3;0) nên có phương trình Theo hình vẽ ta có cạnh thiết diện Nếu ta đặt t = OM BM = x − x+6 2 BM − 2t + Khi diện tích thiết diện lục giác: Trang 59 BM 3 1 S (t ) = = , − 2t + ÷ 2 4÷ t ∈ [ 0;6 ] với Vậy thể tích túp lều theo đề là: Câu 7: 37 1 135 V = ∫ S (t )dt = ∫ dt = − 2t + ÷ 2 4÷ 0 6 Một vật có kích thước hình dáng hình vẽ Đáy hình trịn giới hạn 2 đường tròn x + y = 16 , cắt vật mặt phẳng vng góc với trục Ox ta thiết diện tam giác Thể tích vật thể là: V= A V= 32 256 V= B V= D 256 32 C Hướng dẫn giải Chọn B x + y = 16 ⇔ y = 16 − x ⇔ y = ± 16 − x Giải phương trình S ( x) = Diện tích thiết diện π 16 − x sin = ( 16 − x ) 3 4 −4 −4 V = ∫ S ( x)dx = ∫ ( 16 − x ) dx = Thể tích cần tìm 256 3 Trang 60 Dạng 9: Các toán chất đặt sắc tích phân [ −2;6] y = f ( x) Bài tập 1: Cho hàm số có đồ thị hình vẽ bên Biết miền A, B, x=2 ∫ f ( x + ) + 1 dx có diện tích 32; 2; Tích phân A 45 −2 B 41 C 37 D 41 Hướng dẫn giải Chọn D ∫ f ( x + ) + 1 dx = Ta có −2 ∫ f ( x + ) dx + −2 I1 = Xét ∫ f ( x + ) dx −2 Trang 61 t = x + ⇒ dt = 2dx ⇒ dx = Đặt Đổi cận: dt x = −2 ⇒ t = − x = ⇒ t = ; Suy I1 = ∫ f ( t ) dt −2 y = f ( x) x1 x2 Gọi ; hoành độ giao điểm đồ thị hàm số với trực hoành ( −2 < x1 < x2 < ) Ta có x x2 1 I1 = ∫ f ( t ) df + ∫ f ( t ) df + ∫ f ( t ) df −2 x1 x2 33 = ( 32 − + 3) = 2 ∫ f ( x + ) + 1 dx = I Vậy +4= −2 ÷ = ( S A − S B + SC ) ÷ 33 41 +4= 2 y = f ( x) Bài tập 2: Cho hàm số g ( x ) = f ( x ) − ( x + 1) y = f ′( x) có đồ thị hàm số hình bên Đặt Mệnh đề đúng? g ( 3) > g ( −3) > g ( 1) g ( −3) > g ( 3) > g ( 1) A B g ( 1) > g ( −3) > g ( 3) C g ( 1) > g ( 3) > g ( −3) D Trang 62 Hướng dẫn giải Chọn D g ′ ( x ) = f ′ ( x ) − ( x + 1) Ta có g′ ( x ) = ⇔ f ′ ( x ) = x + f ′( x) Đây phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số y = x +1 đường thẳng d: x = g′ ( x) = ⇔ f ′ ( x ) = x +1 ⇔ x = ±3 Dựa vào đồ thị ta thấy: Bảng biến thiên: −∞ x –3 g′( x) – + +∞ g ( x) +∞ – + +∞ g ( 1) g ( −3 ) g ( −3) < g ( 1) Suy g ( 3) g ( 3) < g ( 1) f ′( x) S1 S2 Gọi , diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số , đường thẳng [ −3;1] y = x +1 d: đoạn [ −3;1] +) Trên đoạn [ 1;3] ta có: S1 = f ′( x) ≥ x +1 ta có ta có g ′ ( x ) dx = 1 f ′ ( x ) − ( x + 1) dx −∫3 nên S2 = ∫ f ′( x) ≤ x +1 +) Trên đoạn ∫ −3 [ 1;3] nên g ′ ( x ) dx = ∫ ( x + 1) f ′ ( x ) dx 21 S1 > S Dựa vào đồ thị ta thấy g ( x) −3 > −g ( x) nên ta có: ⇔ g ( 1) − g ( −3 ) > − g ( ) + g ( 1) ⇔ g ( 3) > g ( −3 ) Trang 63 g ( 1) > g ( 3) > g ( −3) Vậy Lưu ý: f ′( x) - Hoành độ giao điểm đồ thị hàm số y = x +1 đường thẳng d: nghiệm g′( x) = phương trình g ( 1) - Lập bảng biến thịên ta thấy g ( ±3 ) lớn g ( 3) Ta cần so sánh g ( −3) - So sánh diện tích dựa vào đồ thị (H) ( C) ( P) Ví dụ 4: Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm đa thức bậc ba parabol trục đối xứng vng góc với trục hồnh Phần tơ đậm hình vẽ có diện tích A 37 12 B 12 C 11 12 D 12 có Hướng dẫn giải Chọn A Vì đồ thị hàm bậc ba đồ thị hàm bậc hai cắt trục tung điểm có tung độ y=2 y=0 y = ax3 + bx + cx + y = mx + nx m≠0 nên ta xét hai hàm số , (với a, ) ( C) y = f ( x ) = ax + bx + cx + Suy : ( P) ( C) Phương trình hồnh độ giao điểm y = g ( x ) = mx + nx : ( P) là: ax3 + bx + cx + = mx + nx ⇔ ( ax + bx + cx + ) − ( mx + nx ) = Trang 64 P ( x ) = ( ax + bx + cx + ) − ( mx + nx ) Đặt ( C) Theo giả thiết, ( P) cắt điểm có hồnh độ x = −1 x = x = , , P ( x ) = a ( x + 1) ( x − 1) ( x − ) nên P ( ) = 2a Ta có P ( 0) = f ( 0) − g ( 0) = ⇒ a = Mặt khác, ta có S= Vậy diện tích phần tơ đậm 37 ∫ ( x + 1) ( x − 1) ( x − ) dx = 12 −1 Trang 65 ... đường kính đáy Tính thể tích lượng nước cốc Lời giải Phân tích: Thể tích nước có hình dạng “cái nêm”; có phương pháp tính thể tích + Cách – Chứng minh công thức PP tích phân: Xét thiết diện cắt... khối trịn xoay tích là: A V = 3? ? B V = 3? ? C V = 3? ? D V = 3? ? Hướng dẫn giải Chọn A 2 x2 = x + y = ⇔ ⇒x=± y = y = Xét hệ phương trình: Do đối xứng qua Oy nên: Trang 33 V = 2π ∫ (... Sviên phân h = ∫ − x dx × ≈ 3, 07 V = V1 − V2 = 5π − 2∫ − x dx × ≈ 12, 637 ( m3 ) Suy thể tích khối trụ cịn lại cos + Cách 2: Tính góc tâm α OH α π 2α = = ⇒ = ⇒α = R 2 3 Trang 19 Sviên phân =