BÀI HÀM SỐ LŨY THỪA A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM Khái niệm hàm lũy thừa y = xα ,α ∈ ¡ Hàm số lũy thừa hàm số có dạng Chú ý: Tập xác định hàm số lũy thừa phụ thuộc vào giá trị - Với - Với - Với α α α α nguyên dương tập xác định R nguyên âm 0, tập xác định không nguyên tập xác định ¡ \ { 0} ( 0; +∞ ) 1 n x = xn Theo định nghĩa, đẳng thức với hàm số lũy thừa y = n x( nẻ Ơ * ) y= x y= x Bài tập xác định xảy x > Do đó, hàm số y = xn không đồng hàm số bậc 3, xác định với xỴ ¡ ; hàm số x>0 2.Đạo hàm hàm số lũy thừa ( xa ) ' = a.xa- vớix > 0; ( ua ) ' = a.ua- 1.u',vớiu > ( x) = n n ' xn- u' n un- ( u) = n n n ' , vớ i x > nế u n chẵ n, vớ i x ¹ nế u n lẻ , vớ i u > nế u n chẵ n, vớ i u ¹ nế u n lẻ 3.Khảo sát hàm số lũy thừa Tập xác định hàm số lũy thừa hợp tổng quát ta khảo sát hàm số y = xα y = xα chứa khoảng ( 0; +∞ ) với α ∈¡ Trong trường khoảng α ∈ ¥* α = 2n + 1, n ∈ ¥ α = n, n ∈ ¥ * Tập xác định: D=¡ Tập xác định: Sự biến thiên: y = x n ⇒ y′ = 2n.x 2n −1 D=¡ Sự biến thiên: y = x n +1 ⇒ y′ = ( 2n + 1) x n ⇒ y ′ ≥ ∀x ∈ D Trang y′ = ⇒ x = ⇒ Hàm số đồng biến Bảng biến thiên Bảng biến thiên Hàm số đồng biến ( 0; +∞ ) Hàm số nghịch biến Đồ thị: ( −∞;0 ) D Đồ thị: α Â \Ơ = 2k + 1, k ¢ \¥ α = 2k , k ∈ ¢ \¥ Tập xác định: D = ¡ \ { 0} Sự biến thiên: Sự biến thiên: y = x n ⇒ y ′ = 2n.x n −1 y = x k +1 ⇒ y′ = ( 2k + 1) x k ⇒ y′ < ∀x ∈ D ⇒ Giới hạn: Hàm số nghịch biến Giới hạn: lim y = ⇒ y = x →±∞ Tập xác định: D = ¡ \ { 0} TCN D lim y = ⇒ y = x →±∞ TCN Trang lim+ y = +∞ x →0 ⇒x=0 y = +∞ xlim − →0 lim+ y = +∞ x →0 ⇒ x=0 y = −∞ xlim − →0 TCĐ Bảng biến thiên TCĐ Bảng biến thiên Hàm số đồng biến ( −∞;0 ) Hàm số nghịch biến Đồ thị: ( 0; +∞ ) Đồ thị: α ∉¢ ( 0; +∞ ) Trong giới hạn chương trình ta khảo sát α 0 Tập khảo sát: D = ( 0; +∞ ) Tập khảo sát: hàm số đồng biến x →0 x →+∞ ( 0; +∞ ) y ′ = α xα −1 < ⇒ hàm số nghịch biến ( 0; +∞ ) Giới hạn: lim+ xα = 0; lim xα = +∞ Giới hạn: D = ( 0; +∞ ) Sự biến thiên: Sự biến thiên: y′ = α xα −1 > ⇒ Trang ⇒ Hàm số khơng có tiệm cận Bảng biến thiên lim xα = +∞ ⇒ x → 0+ TCĐ: lim xα = ⇒ x →+∞ TCN: x=0 y=0 Bảng biến thiên Đồ thị hàm số qua điểm A ( 1;1) Trang HÀM SỐ LŨY THỪA B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng Tìm tập xác định hàm số lũy thừa Phương pháp giải y = f ( x) , α Ta tìm điều kiện xác định hàm số • Nếu • Nếu α α • Nếu dựa vào số mũ số ngun dương khơng có điều kiện xác định số nguyên âm điều kiện xác định α số khơng ngun điều kiện xác định α sau: f ( x) f ( x) ≠ f ( x) > Bài tập m Bài tập Tìm giá trị thực tham số để hàm số m m≠0 A giá trị B y = ( x2 + m ) ¡ có tập xác định m>0 m≥0 C D Hướng dẫn giải Trang Chọn C Để hàm số y = ( x2 + m ) Bài tập Tìm tập xác định A C D D = [ −2; 2] có tập xác định ¡ x +1 + x + x −1 y = − x2 + hàm số B D = ( −∞ ; − ) ∪ ( 2; + ∞ ) x2 + m > ⇔ m > D D = [ −2; 2] \ { 1} D = ( −2; ) \ { 1} Hướng dẫn giải Chọn B Hàm số xác định Vậy tập xác định hàm số Bài tập Tìm tập xác định A C D −2 ≤ x ≤ 4 − x ≥ ⇔ x ≠ x ≠ D = [ −2;2] \ { 1} y = ( x − 2) hàm số D = ( −∞ ; − 3) ∪ ( 3; + ∞ ) ( + x −9 B D = ( 3; + ∞ ) D ) + x − x − D = ( 2; + ∞ ) D = ¡ \ { −3,3, 2} Hướng dẫn giải Chọn C Hàm số xác định Vậy tập xác định hàm số Bài tập Tìm tập xác định A D x > x − > ⇔ x < −3 ⇔ x > x − > x > D = ( 3; + ∞ ) ( y = x2 − 5x + hàm số D = ( −∞ ;1) ∪ ( 4; + ∞ ) \ { 0} ) B −3 − x + x + + x −3 + x − x + D = ( −∞ ;1) ∪ ( 4; + ∞ ) Trang C D = ( 1;4 ) D D = [ 1; 4] Hướng dẫn giải Chọn A Hàm số xác định Vậy tập xác định hàm số x < x − x + > ⇔ x > x ≠ x ≠ D = ( −∞ ;1) ∪ ( 4; + ∞ ) \ { 0} Bài tập 5: Có giá trị nguyên ¡ ? tập xác định A 4036 B 2018 m∈ ( −2018;2018) C 2017 ( ) y = x2 − 2x − m+ để hàm số có D Vơ số Hướng dẫn giải Chọn C Vì số mũ số nguyên nên hàm số xác định với ∀x∈ ¡ ⇔ x2 − 2x − m+ 1> 0,∀x∈ ¡ ∆ ′ 0) a > 0( luô ⇔ 1− ( −m+ 1) > ⇔ m> Mà m∈ ( −2018;2018) ⇒ m∈ { 1,2,3, ,2017} m∈ ¢ Vậy có 2017 giá trị ngun tham số m thỏa mãn yêu cầu Dạng 2: Đồ thị hàm số lũy thừa Trang y = xa , y = xb Bài tập Cho hàm số lũy thừa ( 0;+¥ ) có đồ thị hình vẽ Mệnh đề sau đúng? A B C D < b < a < a < < b • đồng biến nằm đường thẳng nên ( 1;+¥ ) y = xb y= x < b < • đồng biến nằm đường thẳng nên Vậy < b < 1< a y = xa , y = xb , Bài tập Cho hàm số lũy thừa ( 0;+¥ ) y = xg có đồ thị hình vẽ Mệnh đề sau đúng? g < a < b A B C b < g < a a < g < b g < b < a D Hướng dẫn giải Chọn D Từ hình vẽ ta thấy hàm số ( 0;+¥ ) y = xg g < • nghịch biến nên • câu ta có < b < 1< a Vậy g < < b g >1 • Với x >1 x1 < xg < xb < xa ắắ đ1< g < b < a Vậy với x > 0, ta có a > b > g > y = x = x1 Nhận xét Ở so sánh với đường Bài tập Cho hàm số y = ( x - 1) - Khẳng định sau đúng? A Đồ thị hàm số khơng có đường tiệm cận đứng B Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng C Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng D Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x = - x = x = Hướng dẫn giải Chọn D - y = x Bài tập Cho hàm số i) Hàm số xác định với Cho khẳng định sau: x ( 1;1) ii) Đồ thị hàm số qua điểm iii) Hàm số nghịch biến ¡ Trang iv) Đồ thị hàm số có đường tiệm cận Trong khẳng định có khẳng định đúng? A B C D Hướng dẫn giải Chọn B Ta có khẳng định ii) iv) i) sai hàm số cho xác định x > ( 0;+¥ ) iii) sai hàm số nghịch biến Trang 10 ... Mà m∈ ( ? ?20 18 ;20 18) ⇒ m∈ { 1 ,2, 3, ,20 17} m∈ ¢ Vậy có 20 17 giá trị ngun tham số m thỏa mãn yêu cầu Dạng 2: Đồ thị hàm số lũy thừa Trang y = xa , y = xb Bài tập Cho hàm số lũy thừa ( 0;+¥... Chọn C Để hàm số y = ( x2 + m ) Bài tập Tìm tập xác định A C D D = [ ? ?2; 2] có tập xác định ¡ x +1 + x + x −1 y = − x2 + hàm số B D = ( −∞ ; − ) ∪ ( 2; + ∞ ) x2 + m > ⇔ m > D D = [ ? ?2; 2] {... = ( ? ?2; ) { 1} Hướng dẫn giải Chọn B Hàm số xác định Vậy tập xác định hàm số Bài tập Tìm tập xác định A C D ? ?2 ≤ x ≤ 4 − x ≥ ⇔ x ≠ x ≠ D = [ ? ?2; 2] { 1} y = ( x − 2) hàm số D