TRƯỜNG THCS NGUYỄN TRÃI ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN Năm học 2018-2019 Câu (5 điểm) c = ab 1) Cho Chứng minh rằng: 2 a +c a a) 2 = b +c b 2 b −a b−a b) 2 = a +c a 213 , 70 2) Ba phân số có tổng tử chúng tỉ lệ với 5;1;2 chúng tỉ lệ với Tìm ba phân số 3;4;5 , mẫu Câu (6 điểm) Cho đa thức: f ( x ) = x17 − 2000 x16 + 2000 x15 − 2000 x14 + + 2000 x − x = 1999 Tính giá trị đa thức m n Chứng minh số tự nhiên số: A = ( 5m + n + 1) ( 3m − n + ) số chẵn Câu (2 điểm) Tìm số tự nhiên x đê phân số 7x − 2x − có giá trị lớn Câu (7 điểm) ABC Cho tam giác cân · · KBC = 100 , KCB = 300 µ = 500 A, B Gọi K điểm tam giác cho BA = BK a) Chứng minh · BAK b) Tính số đo · = 600 xAy Az Ax Cho có tia phân giác Từ điểm B kẻ BH vng góc với Ay Ay , Bt BK Az Bt H, kẻ vng góc với song song với cắt Az C Ay C CM Từ kẻ vng góc với M Chứng minh: AC K a) trung điểm ∆KMC b) tam giác BK = 2cm ∆AKM c) Cho Tính cạnh ĐÁP ÁN Câu 1 c = ab a) Từ a c a c a + c a + ab a ( a + b ) a ⇒ = ⇒ = 2= = = = c b c b c + b ab + b b ( a + b ) b a2 + c2 a b2 + c2 b = ⇒ 2= c2 + b2 b a +c a b) Theo câu a ta có: b + c2 b b2 + c b b2 − a b − a = ⇒ − = − ⇒ ⇒ = a2 + c2 a a + c2 a a + c2 a a, b, c a+b+c= 213 70 Gọi phân số phải tìm : , ta có: 12 15 a : b : c = : : = : 40 : 25 ⇒ a = ; b = ; c = 35 14 Và Câu f ( x ) = x17 − 1999 x16 − x16 + 1995 x15 + x15 − 1999 x14 − x14 + + 1999 x + x − f ( 1999 ) = 199917 − 199917 − 199916 + 199916 + 199915 − 199915 + + 1999 + 1999 − = 1999 − = 1998 ( 5m + n + 1) − ( 3m − n + ) = = 2m + 2n − Ta xét hiệu m, n ∈ ¥ 2m + 2n − 5m + n + Với số lẻ Do hai số 3m − n + A phải có số chẵn Suy tích chúng số chẵn Vậy số chẵn Câu x − ( x − 8) ( x − 3) + A= = = = + x − ( x − 3) ( x − 3) 2 ( x − 3) Đặt B= ( x − 3) A Đặt lớn B lớn A=6⇔ x=2 …… GTLN Câu ·ABK CK ∆IBC a) Vẽ tia phân giác cắt I , ta có: · · = 1200 ⇒ ⇒ ∆BIA = ∆CIA(c.c.c) ⇒ BIA = CIA ∆BIA = ∆BIK ( gcg ) ⇒ BA = BK b) Từ phần a ta tính · BAK = 700 , cân nên IB = IC 2) a) ( · · CAB = ·ACB = MAC ∆ABC ) cân B BK đường cao nên BK ⇒K AC đường trung tuyến trung điểm ⇒ BH = AK ∆ABH = ∆BAK b) (cạnh huyền –góc nhọn) mà 1 AK = AC ⇒ BH = AC 2 Ta có: BH = CM CK = BH = Mặt khác: (tính chất đoạn chắn) mà AC ⇒ CM = CK ⇒ ∆MKC · MCB = 900 tam giác cân (1) ·ACB = 30 ⇒ MCK · = 600 (2) ⇒ ∆MKC Từ (1) (2) tam giác · KAB = 300 ⇒ AB = BK = 2.2 = 4cm ∆ABK c) Vì vng K mà AK = AB − BK = 16 − = 12 ∆ABK Vì vng K nên theo Pytago ta có: KC = AC ⇒ KC = AC = 12 KC = AC ⇒ KC = AK = 12 Mà Mà AB = BC = 4; AH = BK = 2; HM = BC ( HBCM Theo phần b) ⇒ AM = AH + HM = hình chữ nhật) ... a a + c2 a a + c2 a a, b, c a+b+c= 213 70 Gọi phân số phải tìm : , ta có: 12 15 a : b : c = : : = : 40 : 25 ⇒ a = ; b = ; c = 35 14 Và Câu f ( x ) = x 17 − 1999 x16 − x16 + 1995 x15 + x15 − 1999... x 17 − 1999 x16 − x16 + 1995 x15 + x15 − 1999 x14 − x14 + + 1999 x + x − f ( 1999 ) = 1999 17 − 1999 17 − 199916 + 199916 + 199915 − 199915 + + 1999 + 1999 − = 1999 − = 1998 ( 5m + n + 1) − ( 3m... ⇒ ⇒ ∆BIA = ∆CIA(c.c.c) ⇒ BIA = CIA ∆BIA = ∆BIK ( gcg ) ⇒ BA = BK b) Từ phần a ta tính · BAK = 70 0 , cân nên IB = IC 2) a) ( · · CAB = ·ACB = MAC ∆ABC ) cân B BK đường cao nên BK ⇒K AC đường