62 HSG 18 HUNG YEN HOANG SANH

Website:tailieumontoan.com KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP NĂM HỌC 2017-2018 SỞ GD&ĐT HƯNG YÊN Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1 1   a) Cho a, b  thỏa mãn a b 2018 Chứng minh a  b  a  2018  b  2018 b) Cho a nghiệm dương phương trình x  x   a2 A a  a   a2 Tính giá trị biểu thức Bài a) Giải phương trình  1 1 x   x; y  b) Tìm cặp số nguyên Bài Bài 2 x  x  x  2018 thỏa mãn  y  y  11 y  y  x  y   2x   y 1    x  y   y  1   x a) Giải hệ phương trình  yz zx xy y z   4 y z x Chứng minh x b) Cho x, y , z  thỏa mãn  O; R  điểm A cố định với OA  R , đường kính BC quay quanh O cho tam giác ABC tam giác nhọn Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt Cho đường tròn  O đường thẳng OA điểm thứ hai I Các đường thẳng AB , AC cắt đường tròn điểm thứ hai D E Gọi K giao điểm DE AO a) Chứng minh AK AI  AE AC b) Tính độ dài đoạn AK theo R c) Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp ADE thuộc đường thẳng cố định Bài Từ 625 số tự nhiên liên tiếp 1, 2, 3, , 625 chọn 311 số cho khơng có hai số có tổng 625 Chứng minh 311 số chọn, có số phương  HẾT  HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT VÀ ĐÁP SỐ ĐỀ HSG HỨNG YÊN – NĂM HỌC 2017 - 2018 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Bài 1 1   a , b  a) Cho thỏa mãn a b 2018 Chứng minh a  b  a  2018  b  2018 b) Cho a nghiệm dương phương trình x  x   a2 A a4  a   a2 Tính giá trị biểu thức Lời giải a) Từ giả thiết 1 ab ab ab    2018   a  2018  b  2018  a   b a b 2018 ab ab ab  a b ab    ab ab a b ab (Vì a, b  ) b) Ta có a nghiệm dương phương trình x  3x   nên 6a  3a   a  6a   3a   a    a2   3 a2 A a a2 a Do  Bài a   2   a  2  a4  a   a2 a a 2a 4  a2  a2   a2   a2  a2  a) Giải phương trình  1 1 x   x; y  b) Tìm cặp số nguyên 2 x  x  a   3a   a  x  2018 thỏa mãn  y  y  11y  y Lời giải a) Giải phương trình  1 1 x   1 1 x  2 x  x  ĐK: x    x  x  x  x  x   x  x    x 1 1 x  x   3   x  1 1 x Xét phương trình Liên hệ tài 039.373.2038 liệu  x  1 1 x word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com   x  a  a  b  a  b  a  b       2 1 x  b  a  b  b  3b  3b   b  b  2b  3b  Đặt  a    x 1 b  x   0;1 Đối chiếu ĐKXĐ ta có:  x  2018 b)  y  y  11 y  y   x  2018     y  y  1 2   x  2018    y  y  1    y  y  x  2019   y  y  x  2017   2 Vì cặp x ; y nguyên nên:   x  2018; y   y  y  x  2019   x  2018    y  y  x  2017   y  y   x  2018; y  TH1:   y  y  x  2019  1  x  2018  x  2018; y     y  y  x  2017  1  y  y    x  2018; y  TH2:  Vậy phương trình có nghiệm Bài  x; y     2018;0  ,  2018;1 ,  2018;  ,  2018;3   x  y   2x 1  y 1   1   3x  y   y  1   x a) Giải hệ phương trình  yz zx xy y z   4 x , y , z  x y z x b) Cho thỏa mãn Chứng minh Lời giải a) ĐKXĐ: x, y   2 Từ  3x  y   y  1   x   x  y    x  y  1  x, y    x  y   Vì , đó: x  y 1   y  1 x Thay vào phương trình  1 ta được: 2x    2x  4x2  4x   2 ; 3    x   2  Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Đặt 2x 1   2x  t ,  2  t   t  8t  t  t    t  2t    t   t   (Vì t  )  x   ; y   2 t    x  1   x     x  ; y    2 (thỏa mãn điều kiện xác định) TH1: TH2: t  1   x  1   x   1  (vô lí)  Vậy phương trình có nghiệm:    ; ,  ;    2   2    x; y     b) Áp dụng bất đẳng thức CauChy ta có yz zx xy  yz zx   zy xy   zx xy              z  y  x x y z y  x z   y z   x   x  y   2( z  x)  xy  xz  x (2 y  z )  x Dấu xảy Bài xyz 4 x  O; R  điểm A cố định với OA  R , đường kính BC quay quanh O cho tam giác ABC tam giác nhọn Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt Cho đường tròn  O đường thẳng OA điểm thứ hai I Các đường thẳng AB , AC cắt đường tròn điểm thứ hai D E Gọi K giao điểm DE AO a) Chứng minh AK AI  AE AC b) Tính độ dài đoạn AK theo R c) Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp ADE thuộc đường thẳng cố định Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com · · · · · a) Ta có tứ giác BCED nội tiếp  ABC  DEC  180  AEK  ABC ( bù DEC ) · · · · Mặt khác ABC  AIC (hai góc nội tiếp chắn cung AC ); suy AEK  AIC (bắc cầu) · · · Xét AEK AIC có : AEK  AIC EAK chung nên AEK ∽ AIC (g.g)  AE AK   AE AC  AK AI AI AC · · · · b) Xét AOB COI có : AOB  COI (đối đỉnh) BAO  ICO (hai góc nội tiếp chắn cung BI ) nên AOB ∽ COI (g.g)  OA OB OB.OB R   OI    AI  R OC OI OA 2  O  , dễ dàng chứng minh ANE ∽ ACN (g.g) Kẻ tiếp tuyến AN với đường tròn  AE AC  AN  AO  ON  3R AE AC  AK AI  AK R  3R  AK  R Mà theo câu (a) : · · c) Gọi F giao điểm đường tròn ngoại tiếp ADE với OA , ta có AFD  AED mà ·AEK  ·ABC · · (câu a) nên AFD  ABC nên tứ giác BDFO nội tiếp đường tròn Dễ dàng chứng minh ADF ∽ AOB(g.g)  AD AB  AF AO ; ta chứng minh Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com R không đổi, mà A cố định nên F cố định suy AF cố định Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp ADE thuộc đường trung trực đoạn AF cố định AD AB  AN  AF AO  AN  AF  Bài Từ 625 số tự nhiên liên tiếp 1, 2, 3, , 625 chọn 311 số cho khơng có hai số có tổng 625 Chứng minh 311 số chọn, có số phương Lời giải Ta phân chia 625 số tự nhiên cho thành 311 nhóm sau: +) nhóm thứ gồm năm số phương  49; 225; 400;576;625 +) 310 nhóm cịn lại nhóm gồm hai số có tổng 625 (khơng chứa số nhóm 1) Nếu 311 số chọn khơng có số thuộc nhóm thứ , 311 số thuộc nhóm cịn lại Theo ngun tắc Dirichle phải có hai số thuộc nhóm Hai số có tổng 625 (vơ lí) Vậy chắn 311 số chọn phải có số thuộc nhóm thứ Số số phương HẾT Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC ... 2019   x  2 018    y  y  x  2017   y  y   x  2 018; y  TH1:   y  y  x  2019  1  x  2 018  x  2 018; y     y  y  x  2017  1  y  y    x  2 018; y  TH2:...  x  2 018? ?? b)  y  y  11 y  y   x  2 018     y  y  1 2   x  2 018    y  y  1    y  y  x  2019   y  y  x  2017   2 Vì cặp x ; y nguyên nên:   x  2 018; y ... a b 2 018 Chứng minh a  b  a  2 018  b  2 018 b) Cho a nghiệm dương phương trình x  x   a2 A a4  a   a2 Tính giá trị biểu thức Lời giải a) Từ giả thiết 1 ab ab ab    2 018  