72 HSG 18 PHÚ yên THẦY TRA

Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2017-2018 Câu 1: 2 2 2 P  42 42 1 1 2 Tính giá trị  2017  x    2017  x   x  2018   x  2018 2  2017  x    2017  x   2018  x    x  2018  2 Câu 2: Giải phương trình Câu 3: Cho a, b, c  Chứng minh rằng: a) a a  a  2b a  b b) a b c    a  2b b  2c c  2a  13 37 Cho tam giác ABC vuông A Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A, dựng hai tia Bx, Cy vng góc với cạnh BC Trên tia Bx lấy điểm D cho BD  BA, tia Cy lấy điểm E cho CE  CA Gọi G giao điểm BE CD, K L giao điểm AD, AE với cạnh BC Câu 4: a) Chứng minh CA  CK ; BA  BL; b) Đường thẳng qua G song song với BC cắt AD, AE theo thứ tự I , J Gọi H hình chiếu vng góc G lên BC Chứng minh tam giác IHJ vuông cân Câu 5: Cho tam giác ABC vuông cân A Điểm M chuyển động cạnh BC (M khác B, C ) Gọi H , K hình chiếu vng góc M lên AB, AC Vẽ đường tròn  H ; HM   K ; KM  a) Chứng minh hai đường tròn H  K b) Gọi N giao điểm thứ hai hai đường tròn qua điểm cố định Câu 6: cắt nhau; H  K  Chứng minh MN ln Tìm số ngun tố p cho p  lập phương số tự nhiên ……………….HẾT…………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com ĐÁP ÁN ĐỀ HỌC SINH GIỎI TỈNH PHÚ YÊN 2017-2018 2 2 2 P  42 42 1 1 2 Câu Tính giá trị Lời giải P       2 3 2 3 2 2 3 3       6 6 3 3  2017  x    2017  x   x  2018   x  2018 2  2017  x    2017  x   2018  x    x  2018  Câu Giải phương trình  13 37 Lời giải a  ab  b 13  2 37 Đặt 2017  x  a x  2018  b Ta có phương trình a  ab  b 2 2  12a  25ab  12b   12a  16ab  9ab  12b    3a  4b   4a  3b   Xét 3a  4b    2017  x    x  2018    x  2021 Xét 4a  3b   4(2017  x)  3( x  2018)   x  2014 S   2014; 2021 Phương trình có tập nghiệm Câu Cho a, b, c  Chứng minh rằng: a) a a  a  2b a  b b) a b c   1 a  2b b  2c c  2a Lời giải a) Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có : a a a   a  2b a.(a  2b) a  b Dấu “=” xảy a  a  2b  b  vô lý Vậy b) Tương tự câu a ta có : a a  a  2b a  b a b c a b c a b c          a  2b b  2c c  2a a  b b  c c  a a  b  c a  b  c a  b  c Câu Cho tam giác ABC vuông A Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A, dựng hai tia Bx, Cy vng góc với cạnh BC Trên tia Bx lấy điểm D cho BD  BA, tia Cy Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com lấy điểm E cho CE  CA Gọi G giao điểm BE CD, K L giao điểm AD, AE với cạnh BC a) Chứng minh CA  CK ; BA  BL; b) Đường thẳng qua G song song với BC cắt AD, AE theo thứ tự I , J Gọi H hình chiếu vng góc G lên BC Chứng minh tam giác IHJ vng cân Lời giải a) · · Ta có BD  BA  ABD cân nên BAD  BDA · · · · · · · · Mà BAD  KAC  90  BDA  BKD  BDA  AKC  KAC  AKC  ACK cân nên CA  CL Tương tự ABL cân nên BA  BL b) Áp dụng định lý Ta let hệ ta có: CH GE CE CA CK CK  CH HK       BH GB BD BA BL BL  BH HL (Giả sử AB  AC ) HK CE GC IK HK IK      HI //DL Suy HL BD GD ID hay HL ID Ta lại có BD  BL nên tam giác BDL vuông cân · · · ·  BLD  45  JIH  BHI  BLD  45 · Chứng minh tương tự ta có IJH  45  IHJ vng cân H Câu Cho tam giác ABC vuông cân A Điểm M chuyển động cạnh BC (M khác B, C ) Gọi H , K hình chiếu vng góc M lên AB, AC Vẽ đường tròn  H ; HM   K ; KM   H   K  cắt nhau; a) Chứng minh hai đường trịn Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com b) Gọi N giao điểm thứ hai hai đường tròn qua điểm cố định H  K  Chứng minh MN Lời giải HM  KM  HK  HK  KM a) Ta có b) · · · · Ta có NHM  NCB ; NMK  NBC nên đường tròn H  K cắt Do AKMH chữ nhật nên ·NHM  NKM · · · ·  90  NCB  NBC  90  BNC  90 Vẽ hình vng ABEC ta có A, N , B, E , C thuộc đường trịn đường kính BC cố định · · · · · · Ta lại có NEB  NCB mà NCB  NMH , NEB  NHM , MH //EB nên ba điểm N , M , E thẳng hàng Vậy MN qua điểm E cố định Câu Tìm số nguyên tố p cho p  lập phương số tự nhiên Lời giải p   p   Xét (loại) Xét p  p số nguyên tố lẻ nên p  số tự nhiên chẵn p    2k  Đặt với k nguyên dương p   2k     2k  1  4k  2k  1 Khi Vì p số nguyên tố nên  2k   k    4k  2k   p  p  73 (thỏa mãn) TH1:   2k   k    k  2k   p  p  (loại) TH2:  Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com TH3:  2k   p  2k   p k     p 1  4k  2k   2k  k   Vậy p  73 thỏa mãn toán Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: (loại) TÀI LIỆU TỐN HỌC ... TỈNH PHÚ YÊN 2017-2 018 2 2 2 P  42 42 1 1 2 Câu Tính giá trị Lời giải P       2 3 2 3 2 2 3 3       6 6 3 3  2017  x    2017  x   x  2 018? ??   x  2 018? ??...  2 018? ?? 2  2017  x    2017  x   2 018  x    x  2 018  Câu Giải phương trình  13 37 Lời giải a  ab  b 13  2 37 Đặt 2017  x  a x  2 018  b Ta có phương trình a  ab  b 2 2 ... cố định Câu Tìm số nguyên tố p cho p  lập phương số tự nhiên Lời giải p   p   Xét (loại) Xét p  p số nguyên tố lẻ nên p  số tự nhiên chẵn p    2k  Đặt với k nguyên dương p   2k 