71 hsg 18 phú thọ hoàng dương hoàng sanh

Website:tailieumontoan.com ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2017-2018 A PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm) Câu 1: Cho phương trình x  mx  0 Tập hợp giá trị tham số m để phương trình có nghiệm kép : 4;  4 4 16 A  B   C   D   Câu 2: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, góc tạo hai đường thẳng có phương trình y 5  x y 5  x : o A 70 x Câu 3: Câu 4: 10  Cho 2018 A  o B 30  62   3 x Giá trị biểu thức Câu 6: trục Câu 7: bằng: Câu 9: I , K lần  4x  2 2018 : B C D Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(2018;  1) B( 2018;1) Đường trung trực Cho biểu thức P  x  x   x A P  với C y 2018 x D y  2018 x x  x  , khẳng định ? B P  với x 1  x 1 C P  2 x  với x 1 D P  2 x  với Trong góc phần tư thứ hệ trục tọa độ Oxy cho điểm M , biết M cách tung, trục hoành đường thẳng y 2  x Hoành độ điểm M : A  B  C D M  2018; 2018  Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, khoảng cách từ đến đường thẳng y  x  A Câu 8: 2018 đoạn thẳng AB có phương trình : x x y  y 2018 2018 A B Câu 5: o D 45 o C 90 B C D 2  A  m;m - 10   Khi m thay đổi khẳng định Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm  ? A Điểm A thuộc đường thẳng cố định B Điểm A thuộc đường tròn cố định C Điểm A thuộc đoạn thẳng cố định D Điểm A thuộc đường thẳng y  x  10 Cho tam giác ABC có AB 3 cm, AC 4 cm BC 5 cm Kẻ đường cao AH , gọi lượt tâm đường tròn nội tiếp tam giác HAB tam giác HAC Độ dài đoạn thẳng KI : Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com A 1, cm C 1, 45 cm D cm o  O; cm  Câu 10: Cho AB dây cung đường tròn  AOB 150 Độ dài đoạn thẳng AB : B 2 cm B  cm C  cm D  cm I ; 3 O;6  Câu 11: Cho hai đường tròn   tiếp xúc với A Qua A vẽ hai tia vng góc với cắt hai đường trịn cho B C Diện tích lớn tam giác ABC bằng: A B 12 C 18 D 20 Câu 12: Cho hình thoi ABCD có cạnh Gọi x, y bán kính đường trịn ngoại tiếp 1  2 y : tam giác ABC tam giác ABD Giá trị biểu thức x A cm A B C  O; R  D Câu 13: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn đường kính AC dây cung BD R Gọi x, y, z, t khoảng cách từ điểm O tới AB, CD, BC , DA Giá trị biểu thức xy  zt : 2 2 R R 2 A 2 R B R C D O; cm  Câu 14: Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn ( I ; cm) nội tiếp đường tròn  Tổng khoảng cách từ điểm O tới cạnh tam giác ABC : A cm B 12 cm C 16 cm D 32 cm Câu 15: Nếu tam giác có độ dài đường cao 12,15, 20 bán kính đường trịn nội tiếp tam giác : A B C Câu 16: Trên khu đất rộng, người ta muốn rào mảnh đất nhỏ hình chữ nhật để trồng rau an toàn, vật liệu cho trước 60m lưới để rào Trên khu đất người ta tận dụng bờ rào AB có sẵn (tham khảo hình vẽ bên) để làm cạnh hàng rào Hỏi mảnh đất để trồng rau an tồn có diện tích lớn ? A 400 m2 B 450 m2 C 225 m2 B PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) Câu 17: (3,0 điểm) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: D D 550 m2 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com a) Cho a  b  c  b  c  a  2018 giá trị biểu thức với a, b, c đôi khác khác khơng Tính c2  a  b b) Tìm tất số nguyên dương a, b, c thỏa mãn a  b  c 91 b ca Câu 18: (3,5 điểm) x2  x  x  x  0 a) Giải phương trình b) Hai vị trí A B cách 615 m nằm phía bờ sơng Khoảng cách từ A, B đến bờ sông 118 m 487 m (tham khảo hình vẽ bên) Một người từ A đến bờ sông để lấy nước mang B Đoạn đường ngắn mà người mét (làm tròn đến đơn vị mét) Câu 19: (4,0 điểm) O O Cho đường trịn   điểm A nằm ngồi   Qua A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với  O  ( B, C tiếp điểm) Một cát tuyến thay đổi qua A cắt  O  D E ( AD  AE ) Tiếp tuyến  O  D cắt đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC điểm M N a) Gọi I trung điểm đoạn thẳng AD Chứng minh bốn điểm M , E , N , I T thuộc đường tròn   O T b) Chứng minh hai đường tròn     tiếp xúc c) Chứng minh đường thẳng IT qua điểm cố định Câu 20: (1,5 điểm) 3a  b 3b  c 3c  a    9  a  b  c    a  ab b  bc c  ca  Chứng minh với a, b, c độ dài ba cạnh tam giác ……………….HẾT…………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2017-2018 A PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8 điểm: Mỗi câu 0,5 điểm) Câu A C B C B, D A, B B Câu 10 11 12 13 14 15 D B C A C A A B PHẦN TỰ LUẬN (12 điểm) Câu 17: (3,0 điểm) a b  c  b  c  a  2018 a) Cho  với a, b, c đôi khác khác khơng Tính giá trị biểu thức c2  a  b  b) Tìm tất số nguyên dương a, b, c thỏa mãn a  b  c 91 b ca Lời giải a b a b a  b  c  b  c  a      bc  ab ab  ca c  b  a  c a) Ta có ab  bc  ca 0  bc  a  b  c    abc a  b  c  2018.(1) Suy ab  bc  ca 0  ab  c  a  b    abc c  a  b  (2) Từ (1) (2) ta c  a  b  2018 Đặt b qa; c q a  q  1 ta a   q  q  91 13.7 b) Trường hợp 1: Nếu q số tự nhiên ta : a 1 a 1   a 1; b 9; c 81  1  q  q 91 q 9 a 7 a 7   a 7; b 21; c 63   1  q  q 13 q 3 a 13 a 13   a 13; b 26; c 52  q 2 1  q  q 7 q x  x 3; y 2  y Trường hợp 2: Nếu q số hữu tỷ giả sử a   q  q  91  a  x  xy  y  91y  x  xy  y 19  Khi : ax a c        a ty  x  xy  y 91  x 6; y 5 y y Ta có : a 25; b 30; c 36  a; b; c  thỏa mãn  1;9;81 ,  81;9;1 ,  7; 21; 63 ,  63; 21;7  ; Vậy có số Câu 18: (3,5 điểm) a) Giải phương trình Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word x2  x  môn x  x  0 tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC A 16 B Website:tailieumontoan.com b) Hai vị trí A B cách 615 m nằm phía bờ sơng Khoảng cách từ A, B đến bờ sông 118 m 487 m (tham khảo hình vẽ bên) Một người từ A đến bờ sông để lấy nước mang B Đoạn đường ngắn mà người mét (làm tròn đến đơn vị mét) Lời giải x2  x  x  x  0   x  x    x  x   0 a)  x  x   1( L )   x  x  2  x  x  4  x  x  0  x      x   C , D hình chiếu A, B lên bờ sông Đặt CE  x   x  492  b) Gọi CD  6152   487  118 492 Ta có Quãng đường di chuyển người AE  EB  x  1182  Ta có với Thật  a  492  x   487 a, b, c, d a2  b2  c2  d   1  a  b2  c  d  a  a  c b d  2 (1)  b   c  d   a  c    b  d   b   c  d  ac  bd (2) Nếu ac  bd  (2) ln Nếu ac  bd 0 bình phương hai vế ta ad  bc  0  (2) trở thành Dấu đẳng thức sảy ad bc AE  EB   x  492  x    487  118   Áp dụng (1) 487 x 118  492  x   x 96m Dấu đẳng thức xảy 608089 779,8m Vậy quãng đường nhỏ 780 m Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Câu 19: (4,0 điểm) O O Cho đường tròn   điểm A nằm   Qua A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với  O  ( B, C tiếp điểm) Một cát tuyến thay đổi qua A cắt  O  D E ( AD  AE ) Tiếp tuyến  O  D cắt đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC điểm M N a) Gọi I trung điểm đoạn thẳng AD Chứng minh bốn điểm M , E , N , I T thuộc đường tròn   O T b) Chứng minh hai đường tròn     tiếp xúc c) Chứng minh đường thẳng IT qua điểm cố định Lời giải o   a) Ta có ABO  ACO 180 nên tứ giác ABON nội tiếp ABOC  Gọi J giao điểm AD với đường tròn  Suy DMA đồng dạng DNJ DM DN DA.DJ Suy : DA 2 DI ; DJ  DE Mà : DM DN DI DE  DMI đồng dạng DEN MINE nội tiếp hay có đpcm Vậy tứ giác MN  OA  O   T  tiếp xúc E b) Dễ thấy Nên Khi E MN không vuông góc OA Gọi K giao điểm MN với tiếp tuyến  O  Ta có O, J , K thẳng hàng Trong tam giác OEK : KJ KO KE (1) ( Định lý hình chiếu) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Trên đường trịn  ABOC  ta có KJ KO KN KM (2) KE KN KM nên KE tiếp xúc  T  Từ (1) (2) suy    Ta có OED ODE TIE c) IT / / OD Gọi W OA  IT Nên I trung điểm AD nên W trung điểm OA (đpcm) Vì MN  OA W  IT Khi Câu 20: (1,5 điểm) 3a  b 3b  c 3c  a    9  a  b  c    a  ab b  bc c  ca  Chứng minh với a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Lời giải Giả sử a  b  c t đặt a tx; b ty; c tz  x  y  z 1  t  3x  y  t  3y  z  t  3z  x    9 t  x  y  z  2  2  2  t  x  xy  t  y  yz  t  z  zx   Ta chứng minh 3x  y y  z 3z  x    9 x  xy y  yz z  zx 4x   x  y  y   y  z  4z   z  x  4    9       9 x x  y y y  z z  z  x 1 z x 1 x y 1 y z 5x  y  y     9 x  x2 y  y z  z  1 a  b  c  x, y , z   0;   2 Vì a, b, c ba cạnh tam giác nên Ta có:  1 5x  x   0;  18 x    x  1  x  1 0  2 x x 5y   1 18 y    y  1  y  1 0 y   0;  y y  2  1 5z  z   0;  18 z    z  1  z  1 0  2 z z 5x  y  y  5x  y  y    18  x  y  z      9 2 y y z z x  x2 y  y z  z Suy : x  x ……………….HẾT…………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC