Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG KHÁNH HÒA NĂM HỌC 2017-2018 Bài 1: (4,0 điểm) Giải phương trình: Bài 2: (4,0 điểm) a) b) x x x 27 x x 3 Chứng minh rằng: 70 4901 70 4901 số nguyên Chứng minh rằng: Với số nguyên dương n, ta có: 1 1 3 n 1 n Bài 3: (2,0 điểm) 2 3 Cho hai số thực x y thỏa mãn x xy y Tìm giá trị lớn P x y xy Bài 4: (2,0 điểm) 3 Cho p số nguyên tố thỏa mãn p a b với a, b hai số nguyên dương phân biệt Chứng minh : Nếu lấy p chia cho loại bỏ phần dư nhận số bình phương số nguyên lẻ Bài 5: (6,0 điểm) O Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp Gọi E , F chân đường cao kẻ từ B, C tam giác ABC Đường tròn I qua E , F tiếp xúc với BC D DB BF BE DC CF CE Chứng minh rằng: Bài 6: (2,0 điểm) Trên bàn có n (n ¥ , n > 1) viên bi Có hai người lấy bi Mỗi người đến lượt lấy số bi tùy ý (ít viên bi) viên bi lại bàn, không vượt số viên bi mà người lấy trước vừa lấy, biết người lấy lấy không n viên bi Người lấy viên bi cuối xem người chiến thắng Tìm số n cho người lấy trước có chiến lược chiến thắng ……………….HẾT…………… Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:…………………………………………….….Số báo danh:………………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ THI HSG TỐN TỈNH KHÁNH HỊA NĂM HỌC 2017-2018 Bài 1: (4,0 điểm) Giải phương trình: x x x 27 x x Lời giải: x + x - x x x ĐK : x x x 27 x x 2 10 x x x 27 x x (1) Đặt t x x mà x t t t 20 (1) Phương trình t t 5 = t=5 t Khi ta có phương trình: x x x 1 + 3 x 2 x 1 x220 x2 x2 2 x 2 x 1 1 0 x2 2 x x > x 1 x22 Vậy phương trình có tập nghiệm S {2} Bài 2: (4,0 điểm) a) b) 3 Chứng minh rằng: 70 4901 70 4901 số nguyên Chứng minh rằng: Với số nguyên dương n , ta có: 1 1 3 n 1 n Lời giải: a) 3 Với x a b x = a b 3ab(a b) x a b 3abx 3 3 3 Áp dụng: Đặt a 70 4901, b = 70 4901, x 70 4901+ 70 4901 x3 70 70 3 702 4901x x3 140 x x3 x 140 ( x 5)( x x 28) x ( x x 28 0) x Vậy Liên hệ tài 039.373.2038 70 4901 70 4901 số ngun (đpcm) liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com b) Ta có n 1 n = n 1 Mà n n 1 3 n 1 n n 1 n 1 n n 3 n 1 3 n 1 n 1 n n n 1 n 3 n 1 n n 1 n 1 n n 1 n n n 1 Từ suy 1 1 1 ( n 1) n 2 3 n 1 1 n Nên 1 1 1 3 3 (n 1) n n 1 1 1 1 3 n 1 n Bài 3: (2,0 điểm) 2 3 Cho hai số thực x y thỏa mãn x xy y Tìm giá trị lớn P x y xy Lời giải: Áp dụng BĐT Côsi cho số không âm ta có: x y x y xy xy x y xy xy xy 3xy xy Ta có a b 2ab a b 4ab a b P x y xy xy x y xy xy Áp dụng BĐT P 1 ta có a b ab 1 2 x xy y P xy xy xy xy xy 2 1 1 : 3 Vậy P có giá trị lớn Dấu xảy xy 1 x y x y 3 x y Bài 4: (2,0 điểm) 3 Cho p số nguyên tố thỏa mãn p a b với a, b hai số nguyên dương phân biệt Chứng minh : Nếu lấy p chia cho loại bỏ phần dư nhận số bình phương số nguyên lẻ Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Lời giải: 3 2 Ta có p a b (a b)(a ab b ) số nguyên tố mà a, b số nguyên dương a b 1 3 2 a b p (b 1) b 3b 3b p 12b 12b 1( mod 3) A 4b 4b 2b 1 Nếu lấy p chia loại bỏ phần dư ta phương lẻ số Bài 5: (6,0 điểm) O Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp Gọi E , F chân đường cao kẻ từ B, C tam giác ABC Đường tròn I qua E , F tiếp xúc với BC D DB BF BE DC CF CE Chứng minh rằng: Lời giải: Gọi H AC (I), G AB ( I ) µ chung C · · CDH ∽ CED g g CED CDH Trước hết ta chứng minh CD CE CD CH CE 1 CH CD Chứng minh tương tự : Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word BDF ∽ BGD g g mơn tốn: BD BG BD BG.BF BF BD TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com · · · · µ · Ta có GBE HCF ( phụ với A ) BGE CHF ( bù với EHF ) BGE ∽ CHF g g BG BE CH CF 3 Từ 1 , 3 DB BG.BF BG BF BE BF BF BE DC CH CE CH CE CF CE CF CE ( đpcm) Bài 6: (2,0 điểm) Trên bàn có n (n ¥ , n > 1) viên bi Có hai người lấy bi Mỗi người đến lượt lấy số bi tùy ý (ít viên bi) viên bi lại bàn, không vượt số viên bi mà người lấy trước vừa lấy, biết người lấy lấy không n viên bi Người lấy viên bi cuối xem người chiến thắng Tìm số n cho người lấy trước có chiến lược chiến thắng Lời giải: + Ta thấy n lẻ người trước ln thắng, cách nước đầu tiên, người lấy viên bi, nước tiếp theo, người lấy viên bi + Xét trường hợp n chẵn Rõ ràng người lấy số lẻ viên bi thua, để lại cho người nước số lẻ viên bi, trở trường hợp Do đó, người chiến thắng phải lấy số chẵn viên bi Như vậy, viên bi gắn thành cặp người đến lượt lấy số cặp TH1: Nếu có cặp n 2 : người trước thua lấy viên n 2mod 4 : ta trở trường hợp n lẻ (vì TH2: Nếu số cặp lẻ lớn viên bi gắn thành cặp) người trước thắng n 0mod 4 : người muốn thắng ln phải lấy số TH3: Nếu số cặp chẵn chẵn cặp (nếu ngược lại trở TH2) Khi viên bi gắn thành nhóm viên Tương tự TH1 TH2 ta thấy số nhóm n 4 ; n số nhóm n 4mod 8 người trước thắng Nếu số nhóm chẵn n 0mod8 , ta lại gắn lẻ viên bi thành nhóm viên,… + Như người trước có chiến lược thắng n lũy n thừa k ……………….HẾT…………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC ...Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ THI HSG TOÁN TỈNH KHÁNH HÒA NĂM HỌC 2017-2 018 Bài 1: (4,0 điểm) Giải phương trình: x x x 27 x x Lời... (4,0 điểm) a) b) 3 Chứng minh rằng: 70 4901 70 4901 số nguyên Chứng minh rằng: Với số nguyên dương n , ta có: 1 1 3 n 1 n Lời giải: a) 3 Với x a b x = a b 3ab(a ... x y 3 x y Bài 4: (2,0 điểm) 3 Cho p số nguyên tố thỏa mãn p a b với a, b hai số nguyên dương phân biệt Chứng minh : Nếu lấy p chia cho loại bỏ phần dư nhận số bình phương số ngun lẻ Liên