Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG DAKLAK NĂM HỌC 2017-2018 Câu 1: (4 điểm) Câu 2: x 3 x x 2017 P x3 x 2 2018 1) Rút gọn biểu thức Tìm x cho 2 x x x 20 2) Giải phương trình (4 điểm) P 1) Cho phương trình x 2m x m , với m tham số Tìm tất giá trị x x m để phương trình có hai nghiệm , khác , (chúng trùng nhau) biểu 1 thức x1 x2 đạt giá trị nhỏ P : y ax Tìm điều kiện a để P có A x0 ; y0 với hoành 2) Cho parabol độ dương thỏa mãn điều kiện Câu 3: x02 y0 x0 y0 (4 điểm) x; y thỏa mãn: x y x y 18 1) Tìm tất cặp số nguyên dương a; b nguyên dương thỏa mãn hai điều kiện: 2) Tìm tất cặp số a) a, b khác ước số chung lớn a, b b) Số Câu 4: N ab ab 1 2ab 1 có 16 ước số nguyên dương (4 điểm) Cho ABC nhọn Đường trịn đường kính BC cắt cạnh AB AC lân lượt D E ( D B, E C ) BE cắt CD H Kéo dài AH cắt BC F 1) Chứng minh tứ giác ADHE BDHF tứ giác nội tiếp 2) Các đoạn thẳng BH DF cắt M , CH EF cắt N Biết tứ · giác HMFN tứ giác nội tiếp Tính số đo BAC Câu 5: ( điểm) 2 Với x, y hai số thực thỏa mãn y y y 11 x x x Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức T x y 2018 Câu 6: (2 điểm) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Cho tam giác ABC Một điểm M nằm tam giác nhìn đoạn thẳng BC góc 150 Chứng minh MA MB.MC HẾT Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG DAKLAK - NĂM HỌC 2017-2018 Câu 1: (4 điểm) x 3 x x 2017 P x3 x 2 2018 1) Rút gọn biểu thức Tìm x cho 2 x x x 20 2) Giải phương trình P Lời giải 1) Ta có: x 3 x x P x3 x 2 x x 1 x 1 x 2 P 2017 2018 x 3 x 2 x3 x 2 x 1 x 2 x 2 x 1 x 2 x 1 x 1 x 3 x 2 x 2017 x 2018 x 2016 x 20162 Mặt khác 2) Ta có: x2 x x2 20 x x x x 20 x x x x 8 20 x x x x 20 x x 16 20 x2 2x 4 x2 x 36 x x 6 Ta thấy phương trình x x 6 vô nghiệm x 11 2 x 11 Mặt khác, x x x x 10 Vậy phương trình có nghiệm x 11 x 11 Câu 2: (4 điểm) 1) Cho phương trình x 2m x m , với m tham số Tìm tất giá trị x x m để phương trình có hai nghiệm , khác , (chúng trùng nhau) biểu 1 x x2 đạt giá trị nhỏ thức Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com P : y ax Tìm điều kiện 2) Cho parabol độ dương thỏa mãn điều kiện a để P có A x0 ; y0 với hoành x02 y0 x0 y0 Lời giải 1)Phương trình x 2m x m có hai nghiệm khác m 2m 3 m m 3 m 1 m m m m 2 x1 x2 2 2m 3 Mặt khác, theo hệ thức Vi-ét, ta có x1 x2 m 1 x1 x2 2 2m 12m 18 2m 2m2 12m 18 x x2 x1 x2 3m m2 3m Lại có 2 m 3 3m Dấu sảy m 2) Ta có x02 y0 x0 y0 x02 x0 y0 y0 x02 x0 y0 y x2 y x y 0 x y0 x0 y0 x02 Vậy nên y0 x02 y0 a x02 x0 a a a Câu 3: (4 điểm) x; y thỏa mãn: x y x y 18 1) Tìm tất cặp số nguyên dương a; b nguyên dương thỏa mãn hai điều kiện: 2) Tìm tất cặp số a) a, b khác ước số chung lớn a, b b) Số N ab ab 1 2ab 1 có 16 ước số nguyên dương Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 2 x x y y 1 21 x y x y 18 1.Ta có x y 1 21 x y 1 x y 3 21 2 Do sảy trường hợp sau: x y 1 x +) x y 21 y x y 1 x y +) x y Ta có: N ab ab 1 2ab 1 chia hết cho số: 1; a ; b ab 1 2ab 1 ; b ; ab ; a ab 1 2ab 1 ab ab 2ab 1 2ab ab ab 1 N ab 1 2ab 1 ; ; ; ; ; ; ; b ab 1 a 2ab 1 a ab 1 b 2ab 1 ; ; ; có 16 ước dương Nên để N có 16 ước dương a; b; ab 1; 2ab số nguyên tố Do a, b ab Nếu a; b lẻ ab chia hết hợp số (vơ lý) Do khơng tính tổng qt, giả sử a chẵn b lẻ a Ta có b khơng chia hết cho 2ab 4b ab 2b chia hết cho hợp số (vô lý) b Vậy a 2; b Câu 4: (4 điểm) Cho ABC nhọn Đường trịn đường kính BC cắt cạnh AB AC lân lượt D E ( D B, E C ) BE cắt CD H Kéo dài AH cắt BC F 1) Chứng minh tứ giác ADHE BDHF tứ giác nội tiếp 2) Các đoạn thẳng BH DF cắt M , CH EF cắt N Biết tứ · giác HMFN tứ giác nội tiếp Tính số đo BAC Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com 1) Chứng minh tứ giác ADHE BDHF tứ giác nội tiếp (Đơn giản) 2) Ta có: · · · · BAC DHE MFN BHC 180o (tứ giác ADHE; HMFN nội tiếp) · · µ µ · · Mà DHE BHC (đối đỉnh) suy BAC MFN F1 F2 Lại có µ B µ ;F µ C ;B C à à ả F 1 1 (tứ giác BDHF , CEHF , BCED nội tiếp) F1 F2 B1 B2 Do Câu 5: · µ 90o BAC · · · BAC 2B 3BAC 180o BAC 60o ( điểm) 2 Với x, y hai số thực thỏa mãn y y y 11 x x x Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức T x y 2018 Lời giải Điều kiện 3 x 2 Khi y y y 11 x x x y 1 y 1 x2 x2 a 2a b3 2b, a y 1; b x Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com a b a b a b a ab b a ab b a b b Do Suy a b y x2 y x2 x y x x2 x x2 3 x x y 1 x2 Đẳng thức xảy Vậy giá trị lớn T 2022 x 3; y 1 Ta lại có x y x x x x x x 18 x 2x2 2x 2x (Đúng) Suy T x y 2018 2018 2019 Đẳng thức xảy khi Suy y 2x x 3 2 1 2 Vậy GTNN T 2019 Câu 6: 2 (thỏa mãn) x 3 2 ;y 2 (2 điểm) Cho tam giác ABC Một điểm M nằm tam giác nhìn đoạn thẳng BC o góc 150 Chứng minh MA MB.MC Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chưa điểm M , lấy điểm E cho AME đều; Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chưa điểm M , lấy điểm F cho CMF -Ta có · · · · · · · · MAE BAC 600 MAB BAE MAB CAM BAE CAM BAE CAM (cgc ) · · Suy BE CM ; ABE ACM · · · · · · · · -Tương tự MCF ACB 60 MCB BCF MCB ACM BCF ACM · · · · · · -Ta có BE CM ; CM CF BE CF ; ABE ACM ; ACM BCF ABE BCF Suy BAE CBF c g c AE BF Mà AE AM BF AM o o o · · · -Mặt khác BMF BMC CMF 150 60 90 ( CMF đều, nên MF MC ) 2 2 2 · -Xét BMF : BMF 90 BF MB MF MA MB MC 2MB.MC ( CMF MF MC ) HẾT Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC ... TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG DAKLAK - NĂM HỌC 2017-2 018 Câu 1: (4 điểm) x 3 x x 2017 P x3 x 2 2 018 1) Rút gọn biểu thức Tìm x cho 2 x x x ... 1 Ta lại có x y x x x x x x 18 x 2x2 2x 2x (Đúng) Suy T x y 2 018 2 018 2019 Đẳng thức xảy khi Suy y 2x x 3 2 ... 3 Mặt khác, theo hệ thức Vi-ét, ta có x1 x2 m 1 x1 x2 2 2m 12m 18 2m 2m2 12m 18 x x2 x1 x2 3m m2 3m Lại có 2 m 3 3m Dấu sảy m 2) Ta có x02