58 HSG 18 DAK LAK HOANG SANH

Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG DAKLAK NĂM HỌC 2017-2018 Câu 1: (4 điểm) Câu 2: x 3 x  x  2017 P x3 x 2 2018 1) Rút gọn biểu thức Tìm x cho 2  x  x   x    20 2) Giải phương trình (4 điểm) P 1) Cho phương trình x   2m   x  m  , với m tham số Tìm tất giá trị x x m để phương trình có hai nghiệm , khác , (chúng trùng nhau) biểu 1  thức x1 x2 đạt giá trị nhỏ  P  : y  ax Tìm điều kiện a để  P  có A  x0 ; y0  với hoành 2) Cho parabol độ dương thỏa mãn điều kiện Câu 3: x02   y0   x0  y0  (4 điểm)  x; y  thỏa mãn: x  y  x  y  18 1) Tìm tất cặp số nguyên dương  a; b  nguyên dương thỏa mãn hai điều kiện: 2) Tìm tất cặp số a) a, b khác ước số chung lớn a, b b) Số Câu 4: N  ab  ab  1  2ab  1 có 16 ước số nguyên dương (4 điểm) Cho ABC nhọn Đường trịn đường kính BC cắt cạnh AB AC lân lượt D E ( D  B, E  C ) BE cắt CD H Kéo dài AH cắt BC F 1) Chứng minh tứ giác ADHE BDHF tứ giác nội tiếp 2) Các đoạn thẳng BH DF cắt M , CH EF cắt N Biết tứ · giác HMFN tứ giác nội tiếp Tính số đo BAC Câu 5: ( điểm) 2 Với x, y hai số thực thỏa mãn y  y  y   11  x  x  x Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức T  x  y  2018 Câu 6: (2 điểm) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Cho tam giác ABC Một điểm M nằm tam giác nhìn đoạn thẳng BC góc 150 Chứng minh MA  MB.MC HẾT Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG DAKLAK - NĂM HỌC 2017-2018 Câu 1: (4 điểm) x 3 x  x  2017 P x3 x 2 2018 1) Rút gọn biểu thức Tìm x cho 2  x  x   x    20 2) Giải phương trình P Lời giải 1) Ta có: x 3 x  x  P  x3 x 2   x  x 1  x 1 x 2 P    2017  2018  x 3  x 2   x3 x 2  x 1   x  2 x 2 x 1  x 2  x 1   x  1  x 3 x 2 x  2017  x  2018  x  2016  x  20162 Mặt khác 2) Ta có:  x2  x   x2    20  x  x    x    x    20   x  x   x  x  8  20     x  x     x  x     20  x  x   16  20   x2  2x  4  x2  x     36  x  x   6 Ta thấy phương trình x  x   6 vô nghiệm  x   11  2  x   11 Mặt khác, x  x    x  x  10  Vậy phương trình có nghiệm x   11 x   11 Câu 2: (4 điểm) 1) Cho phương trình x   2m   x  m  , với m tham số Tìm tất giá trị x x m để phương trình có hai nghiệm , khác , (chúng trùng nhau) biểu 1  x x2 đạt giá trị nhỏ thức Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com  P  : y  ax Tìm điều kiện 2) Cho parabol độ dương thỏa mãn điều kiện a để  P  có A  x0 ; y0  với hoành x02   y0   x0  y0  Lời giải 1)Phương trình x   2m   x  m  có hai nghiệm khác m    2m  3  m    m  3  m  1     m    m   m  m   2   x1  x2  2  2m  3  Mặt khác, theo hệ thức Vi-ét, ta có  x1 x2  m 1 x1  x2 2  2m   12m  18 2m  2m2  12m  18      x x2 x1 x2 3m m2 3m Lại có 2  m  3    3m Dấu sảy m  2) Ta có x02   y0   x0  y0   x02   x0  y0   y0   x02   x0  y0   y   x2   y   x  y  0    x   y0   x0  y0   x02   Vậy nên  y0   x02   y0     a  x02   x0   a    a   a  Câu 3: (4 điểm)  x; y  thỏa mãn: x  y  x  y  18 1) Tìm tất cặp số nguyên dương  a; b  nguyên dương thỏa mãn hai điều kiện: 2) Tìm tất cặp số a) a, b khác ước số chung lớn a, b b) Số N  ab  ab  1  2ab  1 có 16 ước số nguyên dương Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 2   x  x     y  y  1  21 x  y  x  y  18 1.Ta có   x     y  1  21   x  y  1  x  y  3  21 2 Do sảy trường hợp sau: x  y 1  x    +)  x  y   21  y  x  y 1  x    y  +)  x  y   Ta có: N  ab  ab  1  2ab  1 chia hết cho số: 1; a ; b  ab  1  2ab  1 ; b ; ab ; a  ab  1  2ab  1 ab  ab  2ab  1 2ab  ab  ab  1 N  ab  1  2ab  1 ; ; ; ; ; ; ; b  ab  1 a  2ab  1 a  ab  1 b  2ab  1 ; ; ; có 16 ước dương Nên để N có 16 ước dương a; b; ab  1; 2ab  số nguyên tố Do a, b   ab   Nếu a; b lẻ ab  chia hết hợp số (vơ lý) Do khơng tính tổng qt, giả sử a chẵn  b lẻ  a  Ta có b khơng chia hết cho 2ab   4b  ab   2b  chia hết cho hợp số (vô lý)  b  Vậy a  2; b  Câu 4: (4 điểm) Cho ABC nhọn Đường trịn đường kính BC cắt cạnh AB AC lân lượt D E ( D  B, E  C ) BE cắt CD H Kéo dài AH cắt BC F 1) Chứng minh tứ giác ADHE BDHF tứ giác nội tiếp 2) Các đoạn thẳng BH DF cắt M , CH EF cắt N Biết tứ · giác HMFN tứ giác nội tiếp Tính số đo BAC Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com 1) Chứng minh tứ giác ADHE BDHF tứ giác nội tiếp (Đơn giản) 2) Ta có: · · · · BAC  DHE  MFN  BHC  180o (tứ giác ADHE; HMFN nội tiếp) · · µ µ · · Mà DHE  BHC (đối đỉnh) suy BAC  MFN  F1  F2 Lại có µ B µ ;F µ C ;B C à à ả F 1 1 (tứ giác BDHF , CEHF , BCED nội tiếp)  F1  F2  B1  B2 Do Câu 5:   · µ  90o  BAC · · · BAC  2B  3BAC  180o  BAC  60o ( điểm) 2 Với x, y hai số thực thỏa mãn y  y  y   11  x  x  x Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức T  x  y  2018 Lời giải Điều kiện 3  x  2 Khi y  y  y   11  x  x  x   y  1   y  1    x2    x2   a  2a  b3  2b, a  y  1; b   x Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn:  TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com   a  b    a  b     a  b   a  ab  b      a  ab  b    a  b   b     Do Suy a  b   y    x2   y   x2     x  y  x   x2     x   x2  3  x    x   y  1  x2   Đẳng thức xảy Vậy giá trị lớn T 2022 x  3; y  1 Ta lại có x  y    x   x     x    x  x  x  18   x  2x2  2x      2x   (Đúng) Suy T  x  y  2018    2018  2019  Đẳng thức xảy khi Suy y 2x    x   3 2  1  2   Vậy GTNN T 2019  Câu 6: 2 (thỏa mãn) x 3 2 ;y 2 (2 điểm) Cho tam giác ABC Một điểm M nằm tam giác nhìn đoạn thẳng BC o góc 150 Chứng minh MA  MB.MC Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chưa điểm M , lấy điểm E cho AME đều; Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chưa điểm M , lấy điểm F cho CMF -Ta có · · · · · · · · MAE  BAC  600  MAB  BAE  MAB  CAM  BAE  CAM  BAE  CAM (cgc ) · · Suy BE  CM ; ABE  ACM · · · · · · · · -Tương tự MCF  ACB  60  MCB  BCF  MCB  ACM  BCF  ACM · · · · · · -Ta có BE  CM ; CM  CF  BE  CF ; ABE  ACM ; ACM  BCF  ABE  BCF Suy BAE  CBF  c  g  c   AE  BF Mà AE  AM  BF  AM o o o · · · -Mặt khác BMF  BMC  CMF  150  60  90 ( CMF đều, nên MF  MC ) 2 2 2 · -Xét BMF : BMF  90  BF  MB  MF  MA  MB  MC  2MB.MC ( CMF MF  MC ) HẾT Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC ... TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG DAKLAK - NĂM HỌC 2017-2 018 Câu 1: (4 điểm) x 3 x  x  2017 P x3 x 2 2 018 1) Rút gọn biểu thức Tìm x cho 2  x  x   x  ... 1 Ta lại có x  y    x   x     x    x  x  x  18   x  2x2  2x      2x   (Đúng) Suy T  x  y  2 018    2 018  2019  Đẳng thức xảy khi Suy y 2x    x   3 2 ...  3  Mặt khác, theo hệ thức Vi-ét, ta có  x1 x2  m 1 x1  x2 2  2m   12m  18 2m  2m2  12m  18      x x2 x1 x2 3m m2 3m Lại có 2  m  3    3m Dấu sảy m  2) Ta có x02