Đường tròn tâm O nội tiếp tam giác tiếp xúc với hai cạnh AB, BC lần lượt tại E, F.. Tia AO cắt EF tại K.[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐĂK LĂK KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH NĂM HỌC 2013 – 2014 MÔN THI: TOÁN – THCS ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 28/3/2014 Bài 1: (4 điểm) a) Chứng minh là số nguyên b) Cho số n nguyên dương tùy ý Xét ba số tự nhiên a 111 (có 2n chữ số 1), b 111 (có n + chữ số 1) và c 66 (có n chữ số 6) Chứng minh a b c là số chính phương Bài 2: (4 điểm) a) Cho x, y là hai số thực thỏa mãn x y x y Chứng minh x y b) Giải phương trình x x2 x 1 15 Bài : (4 điểm) x y z xy yz zx a) Giải hệ phương trình 2013 2013 2013 2014 x y z 3 b) Tìm tất các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn phương trình x3 y x2 3x Bài 4: (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ hàm số f x x x x x x Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông A có AB = cm, AC = cm Đường tròn tâm O nội tiếp tam giác tiếp xúc với hai cạnh AB, BC E, F Tia AO cắt EF K Chứng minh tứ giác KFCO nội tiếp và tính diện tích tam giác OKC 150 Bài 6: (2 điểm) Cho tam giác ABC Trên cạnh BC lấy điểm M cho BAM Đường thẳng qua điểm C và song song với đường thẳng AB cắt đường thẳng AM 1 điểm N Chứng minh 2 AM AN AB GGV V:: N Ngguuyyễễnn D Dưươơnngg H Hảảii –– T TH HC CSS P Phhaann C Chhuu T Trriinnhh –– B Buuôônn M Maa T Thhuuộộtt trang (2) BÀI GIẢI Bài 1: (4 điểm) 15 a) Đặt m m 18 3m m m 2 15 m m (Vì m với m) 2 3 10 n 10 n 1 10n 102 n 16 10 n 64 10 n b) Ta có a b c 6 8 9 9 mà 10 n với n nguyên dương, nên 10n N Do đó a b c là số chính phương Bài 2: (4 điểm) 2 a) Ta có x 1 y 1 x y x y x y x y x y x y Dấu ‘=’ xảy x y b) ĐK : x 1 Ta có x x 1 2 x2 x2 x x2 x2 15 x 15 15 x 1 x 1 x 1 x 1 t 3 x2 t 2t 15 t t t x 1 t 5 x2 21 x 3x x (TMĐK) x 1 x2 5 +) t 5 (TMĐK) 5 x 5x x x 1 21 5 Vậy phương trình có bốn nghiệm x1,2 , x3,4 2 +) t Bài : (4 điểm) a) Ta có x y z xy yz zx x y z xy yz zx 2 x y z xy yz zx x y y z z x x y z Từ đó ta có x 2013 y 2013 z 2013 32014 x y z Vậy hệ phương trình có nghiệm x, y, z 3; 3; 3 b) Ta có x3 y x2 3x y x3 x 3x Mà x3 3x x x3 x 3x x3 3x 3x 3 x 1 y x 1 x y x yx Do đó (vì x, y Z ) y x 1 +) y x x3 x x 3x x 1 x 1 x y 1 (Vì x Z nên x ) x y 1 +) y x x 13 x3 x 3x x GGV V:: N Ngguuyyễễnn D Dưươơnngg H Hảảii –– T TH HC CSS P Phhaann C Chhuu T Trriinnhh –– B Buuôônn M Maa T Thhuuộộtt trang (3) Vậy các cặp số nguyên (x; y) cần tìm là: 1; 1 , 0; 1 Bài 4: (2 điểm) Áp dụng bất đẳng thức A B A B Đẳng thức xảy AB , ta có: x x x x , dấu ‘=’ xảy x x x x x , dấu ‘=’ xảy x x x x x , dấu ‘=’ xảy x x x x x , dấu ‘=’ xảy x x , dấu ‘=’ xảy x f x 15 , dấu ‘=’ xảy x Vậy Min f(x) = 15 x Bài 5: (4 điểm) Vì O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, nên ta có: BAC ; OCA OAC Do đó AOC 1800 1 BCA OCA 180 BAC BCA 1800 180 ABC 900 ABC OAC 2 Vì BE, BF là tiếp tuyến (O) nên tam giác BEF cân B 180 ABC 900 ABC CFE 1800 BFE 900 ABC Do đó BFE 2 Nên AOC CFE Vậy tứ giác KFCO là tứ giác nội tiếp BC AB AC 82 62 10 cm Vì (O) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC, nên ta có: AE = AD, BE = BF, CD = CF (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Do đó AB AC BC ( AE BE ) ( AD CD) ( BF CF ) AD AB AC BC 10 cm 2 450 nên vuông cân D OA AD 2 cm AOD, ADO 900 , OAD 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)) AKC OFC AKC , AKC 900 ( AD AC cm KAC 450 nên AKC vuông cân K AK CK 2 Do đó OK AK OA 2 cm 1 900 S OKC , OKC OK CK cm2 OKC 2 GGV V:: N Ngguuyyễễnn D Dưươơnngg H Hảảii –– T TH HC CSS P Phhaann C Chhuu T Trriinnhh –– B Buuôônn M Maa T Thhuuộộtt trang (4) Bài 6: (2 điểm) Kẻ AH BC, AK CN AB , BAH BAC 600 300 (đường cao tam giác cạnh AB) 2 15 , BCN ABC 600 Do CN // AB ANK BAM BCN 1800 600 600 60 nên ACK 1800 ACB Ta có AH AKC AHC (cạnh huyền, góc nhọn) AK AH AB BAH BAM 300 150 150 AHM , AHM 900 , MAH 0 AH cos MAH cos15 cos15 cos 15 a Nên cos MAH AM AM AH AM AB AB AB AKN , AKN 90 , ANK 15 sin150 2sin150 AK sin ANK 4sin 150 nên sin ANK b AN AN AK AN AB AB AB 2 1 4cos 150 4sin 150 cos 15 sin 15 Từ (a) và (b) ta có 2 2 AM AN AB AB AB AB GGV V:: N Ngguuyyễễnn D Dưươơnngg H Hảảii –– T TH HC CSS P Phhaann C Chhuu T Trriinnhh –– B Buuôônn M Maa T Thhuuộộtt trang (5)