Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG DAKLAK NĂM HỌC 2017-2018 Câu 1: (4 điểm) P 1) Rút gọn biểu thức Câu 2: 2) Giải phương trình (4 điểm) 1) Cho phương trình x x 3 x 4 x 2017 P x 3 x 2018 Tìm x cho x x 20 x 2m 3 x m 0 , với m tham số Tìm tất giá trị x x m để phương trình có hai nghiệm , khác , (chúng trùng nhau) biểu 1 x x2 đạt giá trị nhỏ thức P : y ax Tìm điều kiện a để P có A x0 ; y0 với hoành 2) Cho parabol độ dương thỏa mãn điều kiện Câu 3: x02 y0 x0 y0 (4 điểm) x; y thỏa mãn: x y x y 18 1) Tìm tất cặp số nguyên dương a; b nguyên dương thỏa mãn hai điều kiện: 2) Tìm tất cặp số a) a, b khác ước số chung lớn a, b b) Số Câu 4: N ab ab 1 2ab 1 có 16 ước số nguyên dương (4 điểm) Cho ABC nhọn Đường trịn đường kính BC cắt cạnh AB AC lân lượt D E ( D B, E C ) BE cắt CD H Kéo dài AH cắt BC F 1) Chứng minh tứ giác ADHE BDHF tứ giác nội tiếp 2) Các đoạn thẳng BH DF cắt M , CH EF cắt N Biết tứ giác HMFN tứ giác nội tiếp Tính số đo BAC Câu 5: ( điểm) 2 Với x, y hai số thực thỏa mãn y y y 11 x lớn giá trị nhỏ biểu thức T x y 2018 Câu 6: x x Tìm giá trị (2 điểm) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Cho tam giác ABC Một điểm M nằm tam giác nhìn đoạn thẳng BC góc 150 Chứng minh MA 2MB.MC HẾT Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG DAKLAK - NĂM HỌC 2017-2018 Câu 1: (4 điểm) P 1) Rút gọn biểu thức 2) Giải phương trình x x 3 x 4 x 2017 P x 3 x 2018 Tìm x cho x x 20 Lời giải 1) Ta có: x 32 x 4 x 4 P x 3 x x x 1 x 1 Mặt khác 2) Ta có: x x 2 P 2017 2018 x 32 x 2 x 3 x 2 x 1 x 1 x 3 2 x 2 x 2 x 1 x 2 x 2 x 1 x 2017 x 2018 x 2016 x 20162 x x 20 x x x x 20 x x x x 20 x x x x 20 x x 16 20 x2 2x 4 x x 6 36 x x Ta thấy phương trình x x vô nghiệm x 1 11 2 x 1 11 Mặt khác, x x 6 x x 10 0 Vậy phương trình có nghiệm x 1 11 x 1 11 Câu 2: (4 điểm) 1) Cho phương trình x 2m 3 x m 0 , với m tham số Tìm tất giá trị x x m để phương trình có hai nghiệm , khác , (chúng trùng nhau) biểu 1 x thức x2 đạt giá trị nhỏ Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com P : y ax Tìm điều kiện 2) Cho parabol độ dương thỏa mãn điều kiện x02 a để P có A x0 ; y0 với hoành y0 x0 y0 Lời giải x 2m 3 x m 0 1)Phương trình có hai nghiệm khác m 1 2m 3 m 0 m 3 m 1 0 m 3 m 0 m 0 m 0 2 x1 x2 2m 3 Mặt khác, theo hệ thức Vi-ét, ta có x1 x2 m 1 x1 x2 2m 3 12m 18 2m 2m 12m 18 x x2 x1 x2 m2 3m 3m Lại có 2 m 3 3m Dấu sảy m 3 2) Ta có x02 y0 x0 x02 x0 x02 x0 y0 y0 y y0 y0 x2 1 y x y 0 x y0 x0 y0 Vậy nên x02 y0 x02 y0 a x02 3 x0 1 a a a Câu 3: (4 điểm) x; y thỏa mãn: x y x y 18 1) Tìm tất cặp số nguyên dương a; b nguyên dương thỏa mãn hai điều kiện: 2) Tìm tất cặp số a) a, b khác ước số chung lớn a, b b) Số N ab ab 1 2ab 1 có 16 ước số nguyên dương Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 2 x x y y 1 21 1.Ta có x y x y 18 2 x y 1 21 x y 1 x y 3 21 Do sảy trường hợp sau: x y 1 x 9 +) x y 21 y 9 x y 3 +) x y 7 Ta có: x 2 y 2 N ab ab 1 2ab 1 chia hết cho số: 1; a ; b ab 1 2ab 1 b ab ; ; ; a ab 1 2ab 1 ab ab 2ab 1 2ab ab ab 1 N ab 1 2ab 1 ; ; ; ; ; ; ; b ab 1 a 2ab 1 a ab 1 b 2ab 1 ; ; ; có 16 ước dương Nên để N có 16 ước dương a; b; ab 1; 2ab số nguyên tố Do a, b ab Nếu a; b lẻ ab chia hết hợp số (vô lý) Do khơng tính tổng qt, giả sử a chẵn b lẻ a 2 Ta có b khơng chia hết cho 2ab 4b ab 2b chia hết cho hợp số (vô lý) b 3 Vậy a 2; b 3 Câu 4: (4 điểm) Cho ABC nhọn Đường tròn đường kính BC cắt cạnh AB AC lân lượt D E ( D B, E C ) BE cắt CD H Kéo dài AH cắt BC F 1) Chứng minh tứ giác ADHE BDHF tứ giác nội tiếp 2) Các đoạn thẳng BH DF cắt M , CH EF cắt N Biết tứ giác HMFN tứ giác nội tiếp Tính số đo BAC Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 1) Chứng minh tứ giác ADHE BDHF tứ giác nội tiếp (Đơn giản) 2) Ta có: BAC DHE MFN BHC 180o (tứ giác ADHE; HMFN nội tiếp) Mà DHE BHC (đối đỉnh) suy BAC MFN F1 F2 Lại có B ;F C ;B C F 1 1 (tứ giác BDHF , CEHF , BCED nội tiếp) F1 F2 B1 B2 Do Câu 5: 2 90o BAC BAC 2 B 3BAC 180o BAC 60o ( điểm) 2 Với x, y hai số thực thỏa mãn y y y 11 x lớn giá trị nhỏ biểu thức T x y 2018 x x Tìm giá trị Lời giải Điều kiện x 3 2 Khi y y y 11 x y 1 y 1 x2 x4 x6 x2 a 2a b3 2b, a y 1; b x Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com a b3 a b 0 a b a ab b 0 a ab b a b b Do Suy x 0 y x a b 0 y x y x x 4 x x 4 3 x 0 x 3 y x Đẳng thức xảy Vậy giá trị lớn T 2022 x 3; y Ta lại có x y 1 x x 1 x x x x 18 9 x x x 0 2 x 0 (Đúng) Suy T x y 2018 1 2018 2019 Đẳng thức xảy khi Suy y x 0 x 3 2 1 2 Vậy GTNN T 2019 Câu 6: 2 (thỏa mãn) x 3 2 ;y 2 (2 điểm) Cho tam giác ABC Một điểm M nằm tam giác nhìn đoạn thẳng BC o góc 150 Chứng minh MA 2MB.MC Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chưa điểm M , lấy điểm E cho AME đều; Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chưa điểm M , lấy điểm F cho CMF -Ta có MAE BAC 600 MAB BAE MAB CAM BAE CAM BAE CAM (cgc ) Suy BE CM ; ABE ACM -Tương tự MCF ACB 60 MCB BCF MCB ACM BCF ACM -Ta có BE CM ; CM CF BE CF ; ABE ACM ; ACM BCF ABE BCF Suy BAE CBF c g c AE BF Mà AE AM BF AM o o o -Mặt khác BMF BMC CMF 150 60 90 ( CMF đều, nên MF MC ) 2 2 2 -Xét BMF : BMF 90 BF MB MF MA MB MC 2MB.MC ( CMF MF MC ) HẾT Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC