Website:tailieumontoan.com SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP CẤP THCS NĂM HỌC 2015 – 2016 Đề thức Mơn thi: TỐN - BẢNG A Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1: (3,0 điểm) 20162 18 20152 20142 19992 a) Chia vật có khối lượng ; ; ; ; gam thành ba nhóm có khối lượng (khơng chia nhỏ vật đó) b) Tìm nghiệm ngun dương phương trình: Câu 2: (6,0 điểm) a) Giải phương trình: x + x + = ( x + 1) x + x + b) Giải hệ phương trình: Câu 3: a , b, c > thỏa mãn a +1 b +1 c +1 + + ≥3 b2 + c + a + a + b + c = Chứng minh rằng: (6,0 điểm) Từ điểm M nằm ngồi đường trịn tâm đường trịn ( M Q , A B , ) Gọi a) Chứng minh: b) Tìm điểm Câu 5: 2 4 x + = y − x 2 x + xy + y = (3,0 điểm) Cho Câu 4: 3x + 171 = y E ( O; R ) Vẽ hai tiếp tuyến MPQ tiếp điểm), cát tuyến H giao điểm OM AB không qua MA O , ( MB P với nằm · · HPO = HQO thuộc cung lớn AB cho tổng 1 + EA EB có giá trị nhỏ (2,0 điểm) Tìm hình vng có kích thước nhỏ để hình vng xếp hình trịn có bán kính chúng có điểm chung cho khơng có hai hình trịn - HẾT Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2015 – 2016 – NGHỆ AN Mơn thi: TỐN - BẢNG A Câu 1: (3,0 điểm) 20162 18 20152 20142 19992 a) Chia vật có khối lượng ; ; ; ; gam thành ba nhóm có khối lượng (khơng chia nhỏ vật đó) b) Tìm nghiệm ngun dương phương trình: 3x + 171 = y Lời giải a) Nhận xét: n + (n + 5)2 = 2n + 10n + 25 = x + 25 (n + 1) + ( n + 4) = 2n + 10n + 17 = x + 17 ( n + 2) + (n + 3) = 2n + 10n + 13 = x + 13 19992 - Lần thứ nhất, chia vật có khối lượng A + 17 A + 13 , , , , thành ba phần: A + 25 , Lần thứ hai, chia vật có khối lượng B + 17 B + 13 20042 20052 2010 , , thành ba phần: B + 25 , 20112 Lần thứ ba, chia vật có khối lượng , , 20162 thành ba phần: C + 25 C + 17 C + 13 , , - Lúc ta chia thành nhóm sau: Nhóm thứ Nhóm thứ hai Nhóm thứ ba A + 25 B + 17 C + 13 , B + 25 C + 17 C + 25 , , , , A + 13 A + 17 B + 13 , Khối lượng nhóm A + B + C + 55 (gam) + 171 = y x b) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: - Viết phương trình cho dạng: điều kiện cần đủ dương) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn 9.(3x –2 + 19) = y 3x –2 + 19 = z toán: ( x≥2 y ) Để số nguyên z số phương ( số nguyên TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com - Nếu 32 k +1 + 19 = ( 32 k +1 + 1) + 18 = 4.B + 18 x – = 2k + x–2 số lẻ , chia hết cho không chia hết số phương Do x–2 - Ta có Vì 19 số chẵn k k 3x –2 + 19 = z ⇔ ( z − ) ( z + ) = 19 z − 3k < z + 3k số nguyên tố nên z − 3k = z = 10 z = 10 ⇔ ⇔ k k z + = 19 k = 3 = Vậy x = y = 30 Câu 2: (6,0 điểm) a) Giải phương trình: x + x + = ( x + 1) x + x + b) Giải hệ phương trình: 4 x + = y − x 2 x + xy + y = Lời giải a) Giải phương trình: x + x + = ( x + 1) x + x + (*) ĐKXĐ: R x= Vì (*) ⇔ ⇔ −1 nên phương trình cho tương đương với phương trình sau: x2 + x + = x2 + 2x + 2x +1 x2 + x + − = x2 + 2x + − 2x + x + x + − 2(2 x + 1) ( x + x + + 2)( x + x + − 2) ⇔ = 2x +1 x2 + 2x + + ⇔ x2 + x −1 = 2x +1 x2 + x −1 x2 + 2x + + 1 ⇔ ( x + x − 1) − ÷= x + 2x + + 2x +1 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com x2 + 2x −1 = (1) ⇔ x + x + + = x + (2) x1;2 = −1 ± PT (1) có hai nghiệm PT (2) x2 + x + + = x + ⇔ x2 + x + = x −1 ⇔ x ≥ + 15 x + x + = (2 x − 1) ⇔ x3 = ⇔ x1;2 = −1 ± 2; x3 = Vậy phương cho có ba nghiệm: b) Giải hệ phương trình: Hệ phương trình - Xét hệ: 2 4 x + = y − x 2 x + xy + y = ( x + 1) = y y = ±2 x + ⇔ ⇔ 2 2 x + xy + y = x + xy + y = y = x + y = 2x +1 ⇔ 2 x + xy + y = x + x ( x + 1) + ( x + 1) = y = 2x +1 y = 2x +1 x=0 ⇔ ⇔ 7 x + x = x = − ⇔ - Xét hệ: + 15 x = y =1 x = − y = − y = −2 x − y = −2 x − ⇔ 2 x + xy + y = x − x ( x + 1) + ( x + 1) = y = −2 x − y = −2 x − ⇔ ⇔ x = ⇔ x = 3 x + x = x = −1 y = −1 x = −1 y =1 ( x; y ) - Vậy hệ phương trình cho có nghiệm là: 3 (0;1), − ; − ÷, (0; −1), (−1;1) 7 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Câu 3: (3,0 điểm) Cho a, b, c > thỏa mãn a +b+c = Chứng minh rằng: a +1 b +1 c +1 + + ≥3 b2 + c2 + a + Lời giải - Sử dụng bất đẳng thức Cơ si,ta có: b ( a + 1) b ( a + 1) a +1 b + ab = a +1− ≥ a +1− = a +1− b +1 b +1 2b b +1 c + bc ≥ b + 1− c +1 - Tương tự: - Từ (1), (2) (3) suy ra: - Mặt khác - Do đó: - Vậy Câu 4: (2) (1) c +1 a + ca ≥ c +1− a +1 (3) a +1 b +1 c +1 a + b + c ab + bc + ca + + ≥ + 3− b +1 c +1 a +1 2 a + b + c ≥ ab + bc + ca 3(ab + bc + ca ) ≤ ( a + b + c ) = hay a +1 b +1 c +1 a + b + c ab + bc + ca + + ≥ + 3− b +1 c +1 a +1 2 a +1 b +1 c +1 + + ≥3 b2 + c + a + Dấu xảy = + 3− = a = b = c =1 (6,0 điểm) Từ điểm M nằm đường tròn tâm đường tròn ( M Q , A B , ) Gọi a) Chứng minh: b) Tìm điểm E ( O; R ) Vẽ hai tiếp tuyến MPQ tiếp điểm), cát tuyến H giao điểm OM AB không qua MA O , ( MB P với nằm · · HPO = HQO thuộc cung lớn AB cho tổng 1 + EA EB có giá trị nhỏ Lời giải a) Chứng minh: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu · · HPO = HQO word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com ∆MPA ∽ ∆MAQ ( g g ) ⇒ MA2 = MP.MQ Ta có: ∆MAO vng Từ (1) (2) suy Ta xét: ∆MPH A , có đường cao MP.MQ = MH MO ∆MOQ có góc M AH hay nên E tứ giác nội tiếp thuộc cung lớn -Trên tia đối tia 1· · BFA = BEA góc α Liên hệ tài 039.373.2038 Đặt dựng liệu BC word EA AB lấy điểm ·AEB = α (2) (*) chung kết hợp với (*): PQOH b) Tìm điểm MA2 = MH MO MP MO = MH MQ · · = MQO ⇒ ∆MPH ∽ ∆MOQ (c.g c ) ⇒ MHP Do tứ giác (1) · · ⇒ HPO = HQO cho tổng F cho ·AFB = α = 1 + EA EB EB = EF ¼ sdOH (đpcm) có giá trị nhỏ hay ∆EBF cân E , suy nên F di chuyển cung chứa mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com -Ta có: hay 1 + ≥ EA EB EA + EB EA + EF - Gọi O’ lớn ⇔ AF ∆O ' EB ∆O 'EF -Từ (3) (4) suy (cung cung lớn AF có O’ AB AB ∆O ' AB , suy EB = EF O’E , chung cân O’ · · FEO ' = BEO ' tâm cung chứa góc α dựng đoạn thẳng thuộc nửa mặt phẳng bờ (O’) E (cùng bù với (4) lớn đường kính -Từ (**) (***) suy trị nhỏ Câu 5: lớn (3) · BAO ' ⇒ ∆O ' EB = ∆O ' EF (c.g c ) ⇒ O ' B = O ' F - Do EA + EB nhỏ lớn (**) điểm cung lớn ⇒ O' A = O'B -Xét Như 1 + EA EB E ≡ O' điểm cung lớn AB AB ) (***) 1 + EA EB BC có giá (2,0 điểm) Tìm hình vng có kích thước nhỏ để hình vng xếp hình trịn có bán kính chúng có điểm chung cho khơng có hai hình trịn Lời giải - Gọi O tâm hình vng ABCD cạnh a>2 chứa hình trịn bán kính cho khơng có hai hình trịn chúng có điểm chung MNPQ Suy tâm hình trịn nằm hình vng a−2 MN // AB vuông thành tâm word chia hình hình vng nhỏ tâm hình trịn nói trên, chẳng hạn liệu cạnh MNPQ Các đường trung bình hình vng - Theo ngun lí Dirichle tồn hình vng nhỏ chứa Liên hệ tài 039.373.2038 O mơn tốn: O1 O2 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com - Do hình trịn khơng có hai hình trịn có điểm chung nên O1O2 ≥ (1) - Mặt khác O1O2 ≤ O1O2 a−2 2 - Từ (1) (2) nằm hình vng nhỏ có cạnh a−2 2 (2) (với Vậy hình vng 2+2 ABCD nên đường chéo hình vng nhỏ) a−2 ≥ ⇔ a ≥ 2+2 ⇒ ( a−2 Do hình vng có cạnh lớn ) thỏa mãn u cầu tốn có cạnh ( 2+2 ) thỏa mãn u cầu toán - HẾT - Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC ...Website:tailieumontoan.com ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2015 – 2 016 – NGHỆ AN Mơn thi: TỐN - BẢNG A Câu 1: (3,0 điểm) 2 0162 18 20152 20142 19992 a) Chia vật... 13 20042 20052 2010 , , thành ba phần: B + 25 , 20112 Lần thứ ba, chia vật có khối lượng , , 2 0162 thành ba phần: C + 25 C + 17 C + 13 , , - Lúc ta chia thành nhóm sau: Nhóm thứ Nhóm thứ hai... 19 = z toán: ( x≥2 y ) Để số nguyên z số phương ( số ngun TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com - Nếu 32 k +1 + 19 = ( 32 k +1 + 1) + 18 = 4.B + 18 x – = 2k + x–2 số lẻ , chia hết cho không