Website:tailieumontoan.com SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP CẤP THCS NĂM HỌC 2015 – 2016 Đề thức Mơn thi: TỐN - BẢNG A Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1: (3,0 điểm) 2 2 a) Chia 18 vật có khối lượng 2016 ; 2015 ; 2014 ; ; 1999 gam thành ba nhóm có khối lượng (khơng chia nhỏ vật đó) x b) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 171 y Câu 2: (6,0 điểm) a) Giải phương trình: x x x 1 x x b) Giải hệ phương trình: 2 4 x y x 2 x xy y 1 Câu 3: (3,0 điểm) Cho a, b, c thỏa mãn a b c Chứng minh rằng: a 1 b 1 c 1 3 b2 1 c 1 a 1 Câu 4: (6,0 điểm) Từ điểm M nằm ngồi đường trịn tâm O; R Vẽ hai tiếp tuyến MA , MB với đường tròn ( A , B tiếp điểm), cát tuyến MPQ không qua O ( P nằm M , Q ) Gọi H giao điểm OM AB a) Chứng minh: HPO HQO 1 b) Tìm điểm E thuộc cung lớn AB cho tổng EA EB có giá trị nhỏ Câu 5: (2,0 điểm) Tìm hình vng có kích thước nhỏ để hình vng xếp hình trịn có bán kính cho khơng có hai hình trịn chúng có điểm chung - HẾT - Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2015 – 2016 – NGHỆ AN Môn thi: TOÁN - BẢNG A Câu 1: (3,0 điểm) 2 2 a) Chia 18 vật có khối lượng 2016 ; 2015 ; 2014 ; ; 1999 gam thành ba nhóm có khối lượng (khơng chia nhỏ vật đó) x b) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 171 y Lời giải a) Nhận xét: n (n 5) 2n 10n 25 x 25 ( n 1) (n 4) 2n 10n 17 x 17 ( n 2) (n 3) 2n 10n 13 x 13 2 - Lần thứ nhất, chia vật có khối lượng 1999 , , 2004 thành ba phần: A 25 , A 17 , A 13 2 Lần thứ hai, chia vật có khối lượng 2005 , , 2010 thành ba phần: B 25 , B 17 , B 13 2 Lần thứ ba, chia vật có khối lượng 2011 , , 2016 thành ba phần: C 25 , C 17 , C 13 - Lúc ta chia thành nhóm sau: Nhóm thứ A 25 , B 17 , C 13 Nhóm thứ hai B 25 , C 17 , A 13 Nhóm thứ ba C 25 , A 17 , B 13 Khối lượng nhóm A B C 55 (gam) x b) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 171 y - Viết phương trình cho dạng: 9.(3 x –2 19) y ( x 2 ) Để y số nguyên x–2 điều kiện cần đủ 19 z số phương ( z số nguyên dương) 32 k 1 19 32k 1 1 18 4.B 18 - Nếu x – số lẻ x – 2k , chia hết cho không chia hết khơng thể số phương Do x – số chẵn k k x–2 z z 19 19 z - Ta có k z 10 z 10 z 1 k k k k k 2 z 19 3 9 Vì 19 số nguyên tố z z nên Vậy x = y = 30 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Câu 2: (6,0 điểm) a) Giải phương trình: x x x 1 x x b) Giải hệ phương trình: 2 4 x y x 2 x xy y 1 Lời giải a) Giải phương trình: x x x 1 x x (*) ĐKXĐ: R Vì x (*) 1 nên phương trình cho tương đương với phương trình sau: x x 1 x2 x x 1 x2 x 1 x2 2x 2 x 1 x x 2(2 x 1) ( x x 2)( x x 2) x 1 x2 2x x2 x x2 2x x 1 x2 x 1 x x 1 0 x x 2 x 1 x x 0 (1) x x 2 x (2) PT (1) có hai nghiệm PT (2) x1;2 x x 2 x x x 2 x 1 x 15 x x (2 x 1) x3 Vậy phương cho có ba nghiệm: x1;2 2; x3 15 4 x y x 2 x xy y 1 b) Giải hệ phương trình: x 1 y 2 x xy y Hệ phương trình Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: y 2 x 2 x xy y 1 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com y 2 x x xy y 1 - Xét hệ: y 2 x 2 x x x 1 x 1 1 y 2 x y 2 x x x 0 x 0 7 x x 0 x y y 1 y x 2 x xy y - Xét hệ: 7 y x 2 x x x 1 x 1 1 y x y x x 0 x 0 x x x x y y 1 - Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) là: 3 (0;1), ; , (0; 1), ( 1;1) 7 Câu 3: (3,0 điểm) a 1 b 1 c 1 3 a , b , c Cho thỏa mãn a b c 3 Chứng minh rằng: b c a Lời giải - Sử dụng bất đẳng thức Cô si,ta có: b a 1 b a 1 a 1 b ab a a a 2 b 1 b 1 2b (1) b 1 c bc c 1 a ca b c 2 (2) a - Tương tự: c (3) a 1 b 1 c 1 a b c ab bc ca 3 2 - Từ (1), (2) (3) suy ra: b c a 2 2 3(ab bc ca ) a b c 9 - Mặt khác a b c ab bc ca hay a 1 b 1 c 1 a b c ab bc ca 3 3 2 - Do đó: b c a = a 1 b 1 c 1 3 - Vậy b c a Dấu xảy a b c 1 Câu 4: (6,0 điểm) Từ điểm M nằm ngồi đường trịn tâm O; R Vẽ hai tiếp tuyến MA , MB với đường tròn ( A , B tiếp điểm), cát tuyến MPQ không qua O ( P nằm M , Q ) Gọi H giao điểm OM AB Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com a) Chứng minh: HPO HQO 1 b) Tìm điểm E thuộc cung lớn AB cho tổng EA EB có giá trị nhỏ Lời giải a) Chứng minh: HPO HQO A Q P O M H B Ta có: MPA ∽ MAQ( g g ) MA2 MP.MQ (1) MAO vuông A , có đường cao AH nên MA2 MH MO (2) MP MO Từ (1) (2) suy MP.MQ MH MO hay MH MQ (*) Ta xét: MPH MOQ có góc M chung kết hợp với (*): MQO MPH ∽ MOQ(c.g.c) MHP sdOH Do tứ giác PQOH tứ giác nội tiếp HPO HQO = (đpcm) 1 b) Tìm điểm E thuộc cung lớn AB cho tổng EA EB có giá trị nhỏ O' F E A B -Trên tia đối tia EA lấy điểm F cho EB EF hay EBF cân E , suy 1 AFB BFA BEA 2 nên F di chuyển cung chứa Đặt AEB góc dựng BC Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 1 1 -Ta có: EA EB EA EB Như EA EB nhỏ EA EB lớn hay EA EF lớn AF lớn (**) - Gọi O’ điểm cung lớn AB , suy O ' AB cân O’ O ' A O ' B (3) -Xét O ' EB O 'EF có EB EF , O’E chung FEO ' BEO ' (cùng bù với BAO ' O ' EB O ' EF (c.g c) O ' B O ' F (4) -Từ (3) (4) suy O’ tâm cung chứa góc dựng đoạn thẳng BC (cung cung lớn AB thuộc nửa mặt phẳng bờ AB ) - Do AF lớn đường kính (O’) E O ' (***) 1 -Từ (**) (***) suy E điểm cung lớn AB EA EB có giá trị nhỏ Câu 5: (2,0 điểm) Tìm hình vng có kích thước nhỏ để hình vng xếp hình trịn có bán kính cho khơng có hai hình trịn chúng có điểm chung Lời giải - Gọi O tâm hình vng ABCD cạnh a chứa hình trịn bán kính cho khơng có hai hình trịn chúng có điểm chung Suy tâm hình trịn nằm hình vng MNPQ tâm O cạnh a MN // AB Các đường trung bình hình vng MNPQ chia hình vng thành hình vng nhỏ - Theo ngun lí Dirichle tồn hình vng nhỏ chứa tâm hình trịn nói trên, chẳng hạn O1 O2 - Do hình trịn khơng có hai hình trịn có điểm chung nên O1O2 2 (1) a OO nên - Mặt khác nằm hình vng nhỏ có cạnh O1O2 a a 2 (2) (với đường chéo hình vng nhỏ) a 2 2 a 2 2 - Từ (1) (2) Do hình vng có cạnh lớn ( 2 ) thỏa mãn yêu cầu toán Vậy hình vng ABCD có cạnh ( 2 ) thỏa mãn yêu cầu toán Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 2+2 A B N M O P O1 O2 O1 Q D C a-2 O2 - HẾT - Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC