Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2009-2010 Câu (4,5 điểm): a) Cho hàm số f ( x) ( x 12 x 31) 2010 3 Tính f (a ) a 16 16 b) Tìm nghiệm nguyên phương trình: 5( x xy y ) 7( x y ) 2 Câu (4,5 điểm): a) Giải phương trình: x b) Giải hệ phương trình: x3 x x x 1 1 x y z 4 xy z Câu (3,0 điểm): Cho x; y; z số thực dương thoả mãn: xyz A Tìm giá trị lớn biểu thức: 1 x y y z z x3 Câu (5,5 điểm): Cho hai đường tròn O; R O '; R ' cắt hai điểm phân biệt A B Từ điểm C thay đổi tia đối tia AB Vẽ tiếp tuyến CD ; CE với đường tròn tâm O ( D ; E tiếp điểm E nằm đường tròn tâm O ' ) Hai đường thẳng AD AE cắt đường tròn tâm O ' M N ( M N khác với điểm A ) Đường thẳng DE cắt MN I Chứng minh rằng: a) MI BE BI AE b) Khi điểm C thay đổi đường thẳng DE ln qua điểm cố định Câu (2,5 điểm): Cho tam giác ABC vuông cân A , trung tuyến AD Điểm M di động đoạn AD Gọi N P hình chiếu điểm M AB AC Vẽ NH PD H Xác định vị trí điểm M để tam giác AHB có diện tích lớn - - - Hết - - Họ tên thí sinh: Số báo danh: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2009-2010 Câu (4,5 điểm): a) Cho hàm số f ( x) ( x 12 x 31) 2010 3 Tính f (a ) a 16 16 b) Tìm nghiệm nguyên phương trình: 5( x xy y ) 7( x y ) 2 Lời giải 3 a) a 16 16 3 3 a 32 (16 5)(16 5).( 16 16 ) a 32 3.(4).a a 32 12a a 12a 32 a 12a 31 2010 f (a ) 2 b) 5( x xy y ) 7( x y ) 7( x y )M5 x y 5t ( x y ) M5 (t Z ) (2) (1) trở thành x xy y 7t Đặt (1) (3) x 5t y thay vào (3) ta Từ (2) y 15ty 25t 7t 84t 75t (*) 2 Để (*) có nghiệm 84t 75t 0t 28 25 Vì t Z t t Thay vào (*) y1 x1 Với t y x2 1 y3 x3 Với t Câu (4,5 điểm): a) Giải phương trình: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word x x3 x x x mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com b) Giải hệ phương trình: 1 1 x y z 4 xy z Lời giải a) ĐK: x x Với x thỗ mãn phương trình Với x Ta có x x x ( x 1) ( x x 1) x x 1( x x) ( x x 1) x3 x x x x x x x x Dấu "=" xảy x x x 1 x 1 x x (Vô lý) Vậy phương trình cho có nghiệm x b) 1 1 x y z (1) (I ) (2) xy z Từ (1) ĐK x; y; z 1 2 2 2 4 x y z xy xz yz 1 1 2 2 2 2 x y z xy xz yz Thế vào (2) ta được: xy z 1 2 2 2 2 0 x y z xz yz 1 1 xz z y yz z x 2 1 1 1 x z y z 1 x z 1 y z Liên hệ tài 039.373.2038 liệu x y z word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 1 1 ( x; y; z ) ; ; (TM ) 2 2 Thay vào hệ (I) ta được: Câu (3,0 điểm): Cho x; y; z số thực dương thoả mãn: xyz A Tìm giá trị lớn biểu thức: 1 x y y z z x3 Lời giải Ta có (x y) x; y x xy y xy Mà x; y x y Ta có: x3 y x y x xy y x y x y xy x3 y x y xyz x y xy xyz x y xy x y z y z yz x y z Tương tự: z x zx x y z A 1 xy ( x y z ) yz ( x y z ) xz ( x y z ) A x yz xyz ( x y z ) A 1 xyz Vậy giá trị lớn A x y z Câu (5,5 điểm): Cho hai đường tròn O; R O '; R ' cắt hai điểm phân biệt A B Từ điểm C thay đổi tia đối tia AB Vẽ tiếp tuyến CD ; CE với đường tròn tâm O ( D ; E tiếp điểm E nằm đường tròn tâm O ' ) Hai đường thẳng AD AE cắt đường tròn tâm O ' M N ( M N khác với điểm A ) Đường thẳng DE cắt MN I Chứng minh rằng: a) MI BE BI AE b) Khi điểm C thay đổi đường thẳng DE ln qua điểm cố định Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com C M A D Q O E K O' H I B N a) Ta có: · · BDE BAE (cùng chắn cung BE đường tròn tâm O ) · · BAE BMN (cùng chắn cung BN đường tròn tâm O ' ) · BDE BMN · · · hay BDI BMN BDMI tứ giác nội tiếp · · MDI MBI (cùng chắn cung MI ) · · mà MDI ABE (cùng chắn cung AE đường tròn tâm O ) · ·ABE MBI · · mặt khác BMI BAE (chứng minh trên) DMBI #DABE (g.g) MI BI MI BE BI AE AE BE b) Gọi Q giao điểm CO DE OC ^DE Q OCD vng D có DQ đường cao OQ.OC OD R (1) Gọi K giao điểm hai đường thẳng OO ' DE ; H giao điểm AB OO ' OO '^AB H µ µ µ Xét KQO CHO có Q H 90 ; O chung KQO#CHO (g.g) KO OQ OC.OQ KO.OH (2) CO OH Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Từ (1) (2) KO.OH R OK R2 OH Vì OH cố định R không đổi OK không đổi K cố định Câu (2,5 điểm): Cho tam giác ABC vuông cân A , trung tuyến AD Điểm M di động đoạn AD Gọi N P hình chiếu điểm M AB AC Vẽ NH PD H Xác định vị trí điểm M để tam giác AHB có diện tích lớn Lời giải A H' N P O M B H D C E ABC vuông cân A AD phân giác góc A AD^BC D O; AB / Ta có ANMP hình vng (hình chữ nhật có AM phân giác) tứ giác ANMP nội tiếp đường trịn đường kính NP · mà NHP 90 H thuộc đường tròn đường kính NP ·AHN ·AMN 450 (1) Kẻ Bx^AB cắt đường thẳng PD E tứ giác BNHE nội tiếp đường trịn đường kính NE Mặt khác BED CDP (g.c.g) BE PC mà PC BN BN BE BNE vuông cân B · · · NEB 450 mà NHB NEB (cùng chắn cung BN ) · NHB 450 (2) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com H O; AB / · Từ (1) (2) suy AHB 90 gọi H ' hình chiếu H AB HH ' AB S AHB lớn HH ' lớn mà HH ' OD AB / (do H ; D thuộc đường trịn đường kính AB OD ^AB ) S AHB Dấu "=" xảy H D M D …………… HẾT…………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC ...Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2009-2 010 Câu (4,5 điểm): a) Cho hàm số f ( x) ( x 12 x 31) 2 010 3 Tính f (a ) a 16 16 b)... ABC vuông cân A AD phân giác góc A AD^BC D O; AB / Ta có ANMP hình vng (hình chữ nhật có AM phân giác) tứ giác ANMP nội tiếp đường trịn đường kính NP · mà NHP 90 H thuộc đường... hệ tài 039.373.2038 liệu word x x3 x x x mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com b) Giải hệ phương trình: 1 1 x y z 4 xy z Lời giải a) ĐK: x x Với