130 HSG 10 NGHE AN BIEN PHAM VAN

Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2009-2010 Câu (4,5 điểm): a) Cho hàm số f ( x)  ( x  12 x  31) 2010 3 Tính f (a ) a  16   16  b) Tìm nghiệm nguyên phương trình: 5( x  xy  y )  7( x  y ) 2 Câu (4,5 điểm): a) Giải phương trình: x  b) Giải hệ phương trình: x3  x  x  x 1 1 x  y  z      4  xy z Câu (3,0 điểm): Cho x; y; z số thực dương thoả mãn: xyz  A Tìm giá trị lớn biểu thức: 1   x  y  y  z  z  x3  Câu (5,5 điểm): Cho hai đường tròn  O; R   O '; R ' cắt hai điểm phân biệt A B Từ điểm C thay đổi tia đối tia AB Vẽ tiếp tuyến CD ; CE với đường tròn tâm O ( D ; E tiếp điểm E nằm đường tròn tâm O ' ) Hai đường thẳng AD AE cắt đường tròn tâm O ' M N ( M N khác với điểm A ) Đường thẳng DE cắt MN I Chứng minh rằng: a) MI BE  BI AE b) Khi điểm C thay đổi đường thẳng DE ln qua điểm cố định Câu (2,5 điểm): Cho tam giác ABC vuông cân A , trung tuyến AD Điểm M di động đoạn AD Gọi N P hình chiếu điểm M AB AC Vẽ NH  PD H Xác định vị trí điểm M để tam giác AHB có diện tích lớn - - - Hết - - Họ tên thí sinh: Số báo danh: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2009-2010 Câu (4,5 điểm): a) Cho hàm số f ( x)  ( x  12 x  31) 2010 3 Tính f (a ) a  16   16  b) Tìm nghiệm nguyên phương trình: 5( x  xy  y )  7( x  y ) 2 Lời giải 3 a) a  16   16  3 3  a  32  (16  5)(16  5).( 16   16  )  a  32  3.(4).a  a  32  12a  a  12a  32   a  12a  31  2010  f (a )   2 b) 5( x  xy  y )  7( x  y )  7( x  y )M5 x  y  5t  ( x  y ) M5 (t  Z ) (2) (1) trở thành x  xy  y  7t Đặt (1) (3) x  5t  y thay vào (3) ta Từ (2)  y  15ty  25t  7t    84t  75t (*) 2 Để (*) có nghiệm     84t  75t  0t  28 25 Vì t  Z  t  t  Thay vào (*)  y1   x1  Với t   y   x2  1   y3   x3  Với t  Câu (4,5 điểm): a) Giải phương trình: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word x  x3  x  x  x mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com b) Giải hệ phương trình: 1 1 x  y  z      4  xy z Lời giải a) ĐK: x  x  Với x  thỗ mãn phương trình Với x  Ta có x  x  x ( x  1)  ( x  x  1) x  x  1( x  x)  ( x  x  1)  x3  x  x  x  x  x  x    x  x  Dấu "=" xảy  x  x    x 1  x 1  x  x  (Vô lý) Vậy phương trình cho có nghiệm x  b) 1 1  x  y  z  (1)  (I )     (2)  xy z  Từ (1) ĐK x; y; z  1 2  2 2   4 x y z xy xz yz 1 1 2   2 2 2   x y z xy xz yz Thế vào (2) ta được: xy z 1 2  2 2 2  0 x y z xz yz 1  1            xz z   y yz z  x 2 1 1  1         x z  y z 1  x  z   1    y z Liên hệ tài 039.373.2038 liệu  x  y  z word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 1 1 ( x; y; z )   ; ;   (TM ) 2 2 Thay vào hệ (I) ta được: Câu (3,0 điểm): Cho x; y; z số thực dương thoả mãn: xyz  A Tìm giá trị lớn biểu thức: 1   x  y  y  z  z  x3  Lời giải Ta có (x  y)  x; y  x  xy  y  xy Mà x; y   x  y  Ta có: x3  y   x  y   x  xy  y   x  y   x  y  xy  x3  y   x  y  xyz   x  y  xy  xyz  x  y   xy  x  y  z   y  z   yz  x  y  z   Tương tự: z  x   zx  x  y  z    A 1   xy ( x  y  z ) yz ( x  y  z ) xz ( x  y  z )  A x yz xyz ( x  y  z )  A 1 xyz Vậy giá trị lớn A  x  y  z  Câu (5,5 điểm): Cho hai đường tròn  O; R   O '; R ' cắt hai điểm phân biệt A B Từ điểm C thay đổi tia đối tia AB Vẽ tiếp tuyến CD ; CE với đường tròn tâm O ( D ; E tiếp điểm E nằm đường tròn tâm O ' ) Hai đường thẳng AD AE cắt đường tròn tâm O ' M N ( M N khác với điểm A ) Đường thẳng DE cắt MN I Chứng minh rằng: a) MI BE  BI AE b) Khi điểm C thay đổi đường thẳng DE ln qua điểm cố định Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com C M A D Q O E K O' H I B N a) Ta có: · · BDE  BAE (cùng chắn cung BE đường tròn tâm O ) · · BAE  BMN (cùng chắn cung BN đường tròn tâm O ' ) · BDE  BMN ·  · · hay BDI  BMN  BDMI tứ giác nội tiếp · ·  MDI  MBI (cùng chắn cung MI ) · · mà MDI  ABE (cùng chắn cung AE đường tròn tâm O ) ·  ·ABE  MBI · · mặt khác BMI  BAE (chứng minh trên)  DMBI #DABE (g.g) MI BI   MI BE  BI AE AE BE b) Gọi Q giao điểm CO DE  OC ^DE Q  OCD vng D có DQ đường cao   OQ.OC  OD  R (1) Gọi K giao điểm hai đường thẳng OO ' DE ; H giao điểm AB OO '  OO '^AB H µ µ µ Xét KQO CHO có Q  H  90 ; O chung  KQO#CHO (g.g)  KO OQ   OC.OQ  KO.OH (2) CO OH Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Từ (1) (2)  KO.OH  R  OK  R2 OH Vì OH cố định R không đổi  OK không đổi  K cố định Câu (2,5 điểm): Cho tam giác ABC vuông cân A , trung tuyến AD Điểm M di động đoạn AD Gọi N P hình chiếu điểm M AB AC Vẽ NH  PD H Xác định vị trí điểm M để tam giác AHB có diện tích lớn Lời giải A H' N P O M B H D C E ABC vuông cân A  AD phân giác góc A AD^BC  D   O; AB /  Ta có ANMP hình vng (hình chữ nhật có AM phân giác)  tứ giác ANMP nội tiếp đường trịn đường kính NP · mà NHP  90  H thuộc đường tròn đường kính NP  ·AHN  ·AMN  450 (1) Kẻ Bx^AB cắt đường thẳng PD E  tứ giác BNHE nội tiếp đường trịn đường kính NE Mặt khác BED  CDP (g.c.g)  BE  PC mà PC  BN  BN  BE  BNE vuông cân B · · ·  NEB  450 mà NHB  NEB (cùng chắn cung BN ) ·  NHB  450 (2) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com  H  O; AB / ·   Từ (1) (2) suy AHB  90 gọi H ' hình chiếu H AB HH ' AB  S AHB lớn  HH ' lớn mà HH '  OD  AB / (do H ; D thuộc đường trịn đường kính AB OD ^AB )  S AHB  Dấu "=" xảy  H  D  M  D …………… HẾT…………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC ...Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2009-2 010 Câu (4,5 điểm): a) Cho hàm số f ( x)  ( x  12 x  31) 2 010 3 Tính f (a ) a  16   16  b)... ABC vuông cân A  AD phân giác góc A AD^BC  D   O; AB /  Ta có ANMP hình vng (hình chữ nhật có AM phân giác)  tứ giác ANMP nội tiếp đường trịn đường kính NP · mà NHP  90  H thuộc đường... hệ tài 039.373.2038 liệu word x  x3  x  x  x mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com b) Giải hệ phương trình: 1 1 x  y  z      4  xy z Lời giải a) ĐK: x  x  Với