SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH ĐẮK LẮK TRƯỜNG THPT PHẠM VĂN ĐỒNG KỲ THI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 10 3 LẦN THỨ IV NĂM 2019 ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MÔN TOÁN LỚP 10 NĂM HỌC 2018 2019 ĐỀ THI VÀ ĐÁP ÁN Câu 1 (4,0 điểm) Gi[.]
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH ĐẮK LẮK TRƯỜNG THPT PHẠM VĂN ĐỒNG KỲ THI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 10-3 LẦN THỨ IV NĂM 2019 ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MƠN:TỐN LỚP:10 NĂM HỌC 2018-2019 ĐỀ THI VÀ ĐÁP ÁN Câu 1: (4,0 điểm) Giải phương trình sau: Đáp án câu 1: Câu NỘI DUNG Điểm Xét phương trình: Điều kiện: (1) 0,5 Ta có: Đặt Phương trình cho trở thành 1,0 Với ta 1,0 Giải phương trình ta Với ta 1,0 Giải phương trình ta Vậy phương trình (1) có hai nghiệm 0,5 Câu 2: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC Trên cạnh BC, CA AB tam giác đó, lấy điểm Gọi S tương ứng diện tích tam giác ABC Chứng minh bất đẳng thức nào? Đáp án câu 2: Dấu đẳng thức xảy NỘI DUNG Câu Ta có cơng thức tính diện tích: Suy Tương Điểm (BĐT Cauchy) tự ta 1,0 có: Do đó: 1,0 (đpcm) Dấu xảy điểm BC, CA, AB A’, B’, C’ trung 1,0 Câu 3: (4,0 điểm) Cho số thực dương thỏa mãn Chứng minh Đáp án câu 3: NỘI DUNG Câu Ta có: Điểm 1,0 Hồn tồn tương tự ta có ; Cộng ba bất đẳng thức theo vế ta có: 0,5 1,0 Mặt khác , ta chứng minh : 0,5 0,5 Do Dầu xảy x = y = z = Câu ( điểm) Tìm tất số nguyên dương n cho Đáp án câu 4: NỘI DUNG Câu Giải sử có số ngun dương n cho phương Khi đó: Suy 0,5 số phương Điểm số 0,5 số phương Đặt 1,0 Ta có Vậy Với Khi n = ta có 0,5 Với ta có 1,0 Khi n = 52 Vậy n = 1, n = 52 thỏa mãn yêu cầu toán Câu ( điểm) Chứng minh từ 2019 số ngun dương ln chọn hai số mà tổng hiệu chúng chia hết cho 4034 Đáp án câu 5: NỘI DUNG Câu Khi chia số nguyên cho 4034 số dư phải thuộc tập hợp Điểm 0,5 Trong số ta chia thành nhóm sau: + Nhóm thứ gồm số chia cho 4034 có số dư + Nhóm thứ hai gồm số chia cho 4034 có số dư 4033 + Nhóm thứ ba gồm số chia cho 4034 có số dư 4032 1,0 …… + Nhóm thứ 2017 gồm số chia cho 4034 có số dư 2016 2018 + Nhóm thứ 2018 gồm số chia cho 4034 có số dư 2017 Như ta có 2019 số xếp vào 2018 nhóm Vậy theo ngun lí Dirichlet 2019 số phải có số chia cho 4034 mà số 1,0 dư thuộc nhóm Do số cần tìm hai số có số dư hiệu chúng chia hết cho 4034, cịn chúng có số dư khác 0,5 tổng chúng chia hết cho 4034 Câu (3 điểm) Tìm tất hàm số Đáp án câu 6: thỏa mãn: Câu Giả sử tồn hàm số NỘI DUNG Điểm thỏa mãn: Ta chứng minh f đơn ánh Thật Giả sử Khi 0,5 Vậy f đơn ánh Thay m = 2019, n = ta Thay m = 2019, n n + ta Suy Mặt khác thay m f(1) ta 1,0 Do f đơn ánh nên Do Suy 1,0 Với a = Với a = - Vậy 0,5