Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG HUYỆN THẠCH HÀ NĂM 2018-2019 Câu (4,5 điểm) ( A = + 15 Tính giá trị biểu thức )( 10 − ) − 15 Tìm điều kiện xác định biểu thức sau: M= 2018 N= x2 − 2x − −2019 x − 2x + Câu (3,0 điểm) Cho số a, b, c khác 0, thỏa mãn a+b+c = Chứng minh đẳng thức: 1 1 1 + 2+ = + + a b c a b c Tính giá trị biểu thức: B = 1+ 1 1 1 + + + + + + + + 12 22 22 32 20182 20192 Câu (4,5 điểm) Cho đa thức f ( x) chia cho f ( x) x −1 , tìm dư phép chia dư Giải phương trình: f ( x) chia cho f ( x) x+ cho ( x − 1) ( x + ) Biết dư x - 3x + x + = x + y = 17 – xy Tìm nghiệm nguyên phương trình: a, b, c Câu (3,0 điểm) Cho độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: a) b) a b c + + ⇔ x − > x2 − x − > x +1 < x − < x > ⇔ x < −1 Điều kiện xác định N 2 x + ≥ ⇔ x > 2x + ≥ x − x + > x > ⇔ x < −1 ⇔ x2 > x + ⇔ x2 − x − > Từ (*) (**) ta x>3 (*) (**) điều kiện xác định M Câu (3,0 điểm) Cho số a, b, c khác 0, thỏa mãn a+b+c = Chứng minh đẳng thức: 1 1 1 + 2+ = + + a b c a b c Tính giá trị biểu thức: B = 1+ 1 1 1 + + + + + + + + 2 2 2018 20192 Lời giải Ta có: 1 1 1 1 + + ÷ = + + + 2 + + ÷ a b c a b c ab bc bc = 1 a b 1 2( a + b + c) c + + + 2 + + ÷= + + + a b c abc abc abc abc a b c = 1 + + a2 b2 c2 Vậy 1 1 1 + + = + + a b2 c2 a b c Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 1 1 1 1 + 2+ = + + = + − a b c a b c a b a +b Theo câu 1) Ta có (*) Áp dụng (*) ta có: 1+ 1 1 1 1 1 + = 2+ 2+ = + + = + − 2 1 (−2) 1 (−2) 1 1+ Tượng tự 1+ 1 1 + = + − 22 32 1+ ; (Vì 1 1 + = + − 32 42 1 + − >0 1 ) ;… 1 1 + = + − 2 2018 2019 2018 2019 B = 2019 − Suy ra: 4076360 = 2019 2019 Câu (4,5 điểm) Cho đa thức f ( x) chia cho f ( x) x −1 , tìm dư phép chia dư f ( x) Giải phương trình: chia cho f ( x) x+ cho ( x − 1) ( x + ) Biết dư x - 3x + x + = Tìm nghiệm nguyên phương trình: x + y = 17 – xy Lời giải Vì (x- 1)(x + 2) = x2 + x- thức dư dạng Đặt ax + b đa thức bậc nên có đa f ( x ) = ( x − 1)( x + 2).q ( x ) + ax + b Theo đề ra: f ( x) : ( x- 1) dư f ( x) : ( x + 2) ⇒ f (1) = ⇔ a + b = ⇒ f (−2) = ⇔ −2a + b = dư Þ a= b= Từ (1) (2) Vậy f ( x ) : ( x − 1)( x + 2) f ( x) :[ (x- 1)(x + 2)] Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word dư mơn tốn: (1) (2) 2x + TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com x3 - 3x + x + = ⇔ ( x + 1)( x − x + 6) = Û x +1= 0 (1) (2) (1) Û x =- Û (x- 2)2 + = x2 - 4x + = 0 Do (2) (x- 2)2 + ¹ " x nên pt vơ nghiệm Vậy tập nghiệm phương trình cho S = { - 1} 5x2 + y2 = 17- 2xy ⇔ 4x +( x + y) = 17 ⇒ x ≤ 17 ⇒ x ≤ 17 x2 số phương nên x2 = 0; 1; Nếu x2 = Þ ( x + y) =17 x2 =1 ⇒ ( x + y ) = 13 (loại) Nếu Nếu x2 = ⇒ x = (loại) x =- x = ⇒ ( + y ) = ⇒ y =- x =- ⇒ ( - 2+ y) = ⇒ y = 3 Vậy phương trình có nghiệm: y =- y =1 ( x; y) = ( 2; - 3) , ( 2; - 1) , ( - 2; 3) , ( - 2; 1) Câu (3,0 điểm) a, b, c Cho độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: a) b) a b c + + a TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com ⇔ a (b + c ) > a ⇔ a (b + c ) + ab + ac > a + ab + ac ⇔ 2a (b + c) > a (a + b + c) ⇔ Tượng tự ta có: a 2a < b+c a+b+c b 2b < c+a a+b+c c 2c < b+a a+b+c ; a b c 2a 2b 2c + + < + + =2 b+c c+a a +b a +b+c b+c+a a +b+c Suy ra: b) Ta có (đpcm) a+ b> c 1 1 2 + > + = > = b + c c + a b + c + a c + a + b a + b + c ( a + b ) + (a + b) a + b Chứng minh tương tự ta có Vậy 1 ; ; a+b b+c c+a 1 + > c+a a+b b+c ; 1 + > a+b b+c c+a độ dài cạnh tam giác (đpcm) Câu (5,0 điểm) Cho tam giác giác 24 cm AI Tính ABC HI , IM vng A , đường cao AC = ; biết AB AH , trung tuyến AM diện tích tam giác , phân ABC Qua điểm O nằm tam giác ABC ta vẽ đường thẳng song song AB với cạnh tam giác Đường thẳng song song với cạnh cắt cạnh AC , BC BC E D ; đường thẳng song song với cạnh cắt AC N AC AB M cạnh và ; đường thẳng song song với cạnh BC AB F H cắt cạnh và Biết diện tích tam giác ODH , ONE , OMF a) Tính diện tích Liên hệ tài 039.373.2038 liệu S word a , b , c tam giác mơn tốn: ABC theo a, b, c TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com S ≤ ( a + b + c ) b) Chứng minh Lời giải Do AC = AB AB.AC = 2S = 48 (gt) , suy AC = 6( cm) ; AB = 8( cm) Áp dụng định lí Pitago tam giác ABC BC =10 cm vng ta tính suy AM = 5( cm) (1) Áp dụng tính chất cạnh đường ABC cao tam giác vng ta tính BH = AB = 3, (cm) BC (2) Áp dụng tính chất đường phân giác tam giác ta có IB AB IB AB IB 30 = ⇒ = ⇔ = ⇒ IB = cm IC AC IB + IC AB + AC 10 + I Từ (1), (2) (3), ta có HI = BI − BH = Vậy: nằm B M ; H (3) nằm B I 4,8 cm MI = BM − BI = cm Ta có tam giác Đặt S ABC = d ODH , EON , FMO đồng dạng với tam giác ABC Ta có: SODH a DH a DH = = ÷ ⇒ = S ABC d d BC BC ; S EON b ON HC b HC = = ÷ = ÷ ⇒ = S ABC d d BC BC BC Tương tự Liên hệ tài 039.373.2038 ; c BD = d BC liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Suy ra: Vậy a + b + c DH + HC + DB = =1⇒ d = a + b + c d BC S = d = ( a + b + c) Áp dụng BĐT Cosy, ta có: a + b ≥ 2ab; b + c ≥ 2bc; a + c ≥ 2ac S = (a + b + c) = a + b + c + 2ab + 2bc + 2ca S ≤ a + b + c + ( a + b ) + (b + c ) + (c + a ) = 3( a + b + c ) Dấu “=” xảy a=b=c , hay O trọng tâm tam giác ABC =====HẾT===== Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC ... − 22 32 1+ ; (Vì 1 1 + = + − 32 42 1 + − >0 1 ) ;… 1 1 + = + − 2 2018 2 019 2018 2 019 B = 2 019 − Suy ra: 4076360 = 2 019 2 019 Câu (4,5 điểm) Cho đa thức f ( x) chia cho f ( x) x −1 , tìm dư phép... GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG HUYỆN THẠCH HÀ NĂM 2018-2 019 Câu (4,5 điểm) ( A = + 15 Tính giá trị biểu thức )( 10 − ) − 15 Tìm điều kiện xác định biểu thức sau: M= 2018 N= x2 − 2x − −2 019 x − 2x + Lời... thức: 1 1 1 + 2+ = + + a b c a b c Tính giá trị biểu thức: B = 1+ 1 1 1 + + + + + + + + 2 2 2018 2 0192 Lời giải Ta có: 1 1 1 1 + + ÷ = + + + 2 + + ÷ a b c a b c ab bc bc = 1 a b