Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI SỐ 10 - CHỌN HSG NĂM HỌC 2018-2019 Câu 1: (5,0 điểm) Cho biểu thức: a a A = 1 − : − ÷ ÷ ÷ ÷ a +1 1+ a a a + a + a +1 Rút gon biểu thức A Giải phương trình Giải hệ phương trình: Câu 3: (4,0 điểm) a ≥ Thính giá trị biểu thức Câu 2: (4,0 điểm) (x , với A a = 2010 − 2009 + 1) ( x + ) ( x + ) ( x + ) = 28 x x − y = 3( x − y ) x + y = −1 y = − ( x6 − x3 y − 32 ) Câu 4: Câu 5: Tìm nghiệm nguyên phương trình: ABC A AD M N Cho tam giác vng có phân giác Gọi , hình chiếu B C AD , lên đường thẳng AD ≤ BM + CN Chứng minh rằng: ABC C M AB P (5,0 điểm) Cho tam giác vuông cân Gọi trung điểm cạnh , điểm BC N L CN ⊥ AP AL = CN AP cạnh ; điểm , thuộc cho MCN MAL Chứng minh góc góc ∆LMN Chứng minh vuông cân ∆ABC ∆MNL CAP Diện tích gấp lần diện tích , tính góc a, b ab = số thực thỏa mãn Chứng minh: LỜI GIẢI ĐỀ THI SỐ 10 - HSG NĂM HỌC 2018-2019 (5,0 điểm) (2,0 điểm) Cho Câu 1: a2 + b2 ≥ a −b Cho biểu thức: a a A = 1 − : − ÷ ÷ ÷ ÷ a +1 1+ a a a + a + a +1 Rút gon biểu thức Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word A , với a ≥ mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Thính giá trị biểu thức Điều kiện A= = ) a = 2010 − 2009 Lời giải Ta có: a − a +1 a : − a +1 + a (a + 1)(1 + a ) ( ) a −1 a +1− a : a +1 ( a + 1)(1 + a ) a − (a + 1)(1 + a ) (a + 1)( a − 1) = a a 1 − : − a +1 1+ a a a + a + a +1 = ( a≠0 A = 1+ a a = 2010 − 2009 = ( ) 2019 − 2 ⇒ A = + ( 2009 − 1) = 2009 (4,0 điểm) Câu 2: Giải phương trình (x + 1) ( x + ) ( x + ) ( x + ) = 28 x x − y = 3( x − y ) x + y = −1 Giải hệ phương trình: Lời giải Ta có (x + 1) ( x + ) ( x + ) ( x + ) = 28 x ⇔ ( x + 6x + ) ( x + x + ) = 28 x +) Với +) Với x=0 x≠0 ( 1) , khơng phải nghiệm phương trình (1) chia hai vế (1) cho x2 ( 1) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word ta được: ⇔ x + + ÷ x + + ÷ = 28 x x mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com t = x+ Đặt x , phương trình trở thành t = −2 ( t + ) ( t + ) = 28 ⇔ t + 15t + 26 = ⇔ t = −13 +) Với +) Với t = −2 t = −2 x+ ta có x+ ta có = − ⇔ x2 + 2x + = x , phương trình vơ nghiệm = − 13 ⇒ x + 13x + = ⇔ x = − 13 ± 137 x Vậy phương trình cho có hai nghiệm: Hệ phương trình: x = −13 ± 137 x − y = 3( x − y ) ( x − y )( x + xy + y − 3) = ⇔ x + y = −1 x + y = −1 Hệ tương đương với tuyển hai hệ phương trình sau: x − y = x + y = −1 (I) x + xy + y − = x + y = −1 (II) ( x; y ) = − 1 ; − ÷ 2 +) Giải hệ (I) có nghiệm x + y = −1 y = − x −1 +) Xét hệ (II) từ ta có thay vào phương trình đầu hệ (II) ta x = x + x − = ⇔ ( x − 1) ( x − ) = ⇔ x = −2 ( 1; − ) ; ( 2; −1) Từ ta thấy hệ (II) có hai nghiệm là: Kết luận: Hệ cho có nghiêm Câu 3: (4,0 điểm) ( x; y ) là: 1 − ; − ÷; ( 1; − ) ; ( 2; −1) 2 y = − ( x6 − x3 y − 32 ) Tìm nghiệm nguyên phương trình: ABC A AD M N Cho tam giác vng có phân giác Gọi , hình B C AD chiếu , lên đường thẳng Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Chứng minh rằng: AD ≤ BM + CN Lời giải y = − ( x − x3 y − 32 ) ⇔ x + ( y − x ) = 64 Ta có: : ⇒ x ≤ 64 ⇔ −2 ≤ x ≤ x∈ ¢ => x ∈ { −1; −2;1;0;1; 2} , Xét trường hợp: x = => + (y − x3 ) = => y = x = ⇒ ( y − x ) = 63 ⇒ y ∉ ¢ + x = ⇒ ( y − x3 ) = ⇒ y = , nên phương trình khơng có nghiệm ngun + x = − ⇒ ( y − x3 ) = 63 ⇒ y ∉ ¢ y=− + , nên phương trình khơng có nghiệm nguyên x = −2 ⇒ ( y − x3 ) = ⇒ y = − + ( x; y ) ∈ { ( 0;8) ; ( 0; −8) ; ( 2;8 ) ; ( −2; −8 ) } Vậy nghiệm phương trình là: ∆ANC ∆AMB MA = MB Ta có vng cân nên NA = NC BM + CN = AM + AN AB ≤ AC Nên Giả sử: Theo tính chất phân giác ta có BM // CN Vì suy DN ≥ DM DC AC = ≥1 DB AB DN DC = ≥1 DM DB MN AM + AN = AI AD ≤ AI trung điểm AD ≤ AI = AM + AN = BM + CN Khi (đpcm) Câu 4: (5,0 điểm) Nếu I Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com ABC C M AB P Cho tam giác vuông cân Gọi trung điểm cạnh , điểm cạnh BC N L CN ⊥ AP AL = CN AP ; điểm , thuộc cho MCN MAL Chứng minh góc góc ∆LMN Chứng minh vng cân ∆ABC ∆MNL CAP Diện tích gấp lần diện tích , tính góc Lời giải ·ACP = a ⇒ ·ACN = 90° − a Đặt · · MCN = ·ACN − 45° = 90° − a − 45° = 45° − a = LAM Khi đó, ∆ABC A AM Do vng mà trung tuyến nên · · MCN = LAM AM = CM AL = CN (gt) , ·AML = CMN · · · ⇒ LMN = 90° − ·AML + CMN = 90° ∆AML = ∆CMN ⇒ LM = MN Nên ∆LMN M Vậy tam giác vuông cân ∆LMN , ∆ABC Do vuông cân nên: S ∆LMN = MN S ABC = S ∆LMN S ∆ABC = AC MN = (gt) Từ suy MN = AC QM = QN = Q AC = MN AC Gọi trung điểm · · ⇒ QMN = 60° QNA = 60° − 45° = 15° · · AQ = NQ CAP = QNA = 15° Mặt khác nên Câu 5: (2,0 điểm) Cho Liên hệ tài 039.373.2038 số thực liệu a, b thỏa mãn word môn ab = a + b2 ≥ a −b Chứng minh: Lời giải toán: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com a + b (a − b) + 2ab 12 = = a−b + a −b a−b a −b Ta có: a−b + 12 12 ≥ a − b =4 a−b a −b Áp dụng bất đẳng thức Côsi : Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC ... a 1 − : − a +1 1+ a a a + a + a +1 = ( a≠0 A = 1+ a a = 2010 − 2009 = ( ) 2 019 − 2 ⇒ A = + ( 2009 − 1) = 2009 (4,0 điểm) Câu 2: Giải phương trình (x + 1) ( x + ) ( x + ) (