Phạm Như Toàn/ ĐHSP HN/ 0988 819 343 Bổ trợ kiến thức, luyện thi đại học LỜI GIẢI VÀ BÌNH LUẬN ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN LỚP MƠN: TỐN Bài (5,0 điểm) Cho biểu thức a) Rút gọn M a + a a −1 a − a a + a −1 M= + + a a− a a −a a b) Chứng minh a > 0, a ≠ với M > N= c) Với giá trị a biểu thức M nhận giá trị nguyên Lời giải M= a > 0, a ≠ 1, a) Với b) Chứng minh ta có a +1 a a −1 a − a a + a −1 + + a a− a a −a a ( )( a( ) +a a( a −1 a + a +1 ) a −1 + a −1 = a +1 + a = a −1 a a +1 a +1 a + a +1 + − a a a a −1 a +1 = a +1+ a + a +1 − a = 2a + a + a − a + − a a = a + a +1 = a+ + a a ) a −1 ( ( )( ( )( a( a (1− a ) ) )( ) ) a +1 a − a +1 ) a +1 M > Phạm Như Toàn/ ĐHSP HN/ 0988 819 343 ( M−4 = a + −2 = a ) Bổ trợ kiến thức, luyện thi đại học a −1 a Cách 1:Xét a > 0, a ≠ Vì nên ( ) a −1 > suy M−4>0⇔ M > ≥2 a a+ (đpcm) a a Cách 2: áp dụng bất đẳng thức si ta có: 1 ≥2⇔ a + +2≥4 a a ⇔ a+ ⇔ a =1 a a= Xét dấu xảy Vậy dấu khơng xảy 6 < M > 4⇒ M c) Ta có =1⇔ M = M a+ a > 0, a ≠ (mâu thuẫn ) M > N< hay 0< N< Vậy + = ⇔ a +1 = a ⇔ a ( a −2 Ta có ) Do N nhận giá trị nguyên N = Khi a = 2+ a = + =3⇔ ⇔ a = − a = − Nhận xét: Bài tập tập bản, cần kiến thức em hoàn thành tốt Chỉ có ý c) tốn cần tư chút nên theo thầy thuộc mức độ Bài (4 điểm) a) giải phương trình: x ( 5x + ) − ( ) 2x + − = x − 2y = b) Tìm nghiệm nguyên tố phương trình: lời giải Phạm Như Toàn/ ĐHSP HN/ 0988 819 343 a) Điều kiện xác định: Bổ trợ kiến thức, luyện thi đại học x≥− 4x =0 2x + + x ( 5x + ) − Phương trình tương đương với phương trình: ⇔ x 5x + − ÷= 2x + + ⇔x=0 5x + − Xét phương trình: =0 2x + + 5x + − 2x + − = ⇔ 5x + =0 2x + + 2x + + ⇔ 5x + ⇔ x 5x + ( ( 5x + ⇒x =0 Vậy phương trình có nghiệm ( 2x + − 1) ) 2x + + =0 =0 2 2x + + ( ) ) 2x + + >0 (vì ) x = Nhận xét ta giải tốn cách ngắn gọn sau: x≥− Với điều kiện x ( 5x + ) − , ta có phương trình: ( 2x + − = ( 2x + − = ⇔ 5x + 2x − ) ) Phạm Như Toàn/ ĐHSP HN/ 0988 819 343 Bổ trợ kiến thức, luyện thi đại học ( ) ⇔ 5x + x + − 2x + = ⇔ 5x + 2x =0 x + + 2x + ⇔ x 5x + ÷= x + + 2x + 5x + Vì x + + 2x + >0 x≥− với Vậy phương trình có nghiệm nên từ (*) ta x2 = ⇔ x = (*) (tmđk) x = Nhận xét: Đây toán hay ý tưởng toán cho nghiệm bội phương trình vơ tỷ Nhiều học sinh mắc sau q trình liên hợp lần thứ khơng phát nghiệm bội x − 2y = b) Tìm nghiệm nguyên tố phương trình x = 2y + Từ phương trình ta có: Đặt x = 2k + suy ∈ N) (k , ta có x2 số lẻ x = 4k + 4k + x − 2y2 = Do phương trình 4k + 4k − 2y = ⇔ y = 2k + 2k trở thành: y2 Do y = chẵn suy y chẵn mà y số nguyên tố nên Khi ta x = ⇒ x = ( x; y ) = ( 3; ) Vậy nghiệm nguyên tố phương trình Nhận xét: Đây tốn số học bản, cần sử dụng tính chẵn lẻ giải tốn Bài (4,0 điểm) a) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: a ( b + c ) + b ( c + a ) + c ( a + b ) ≤ a + b + c3 + 3abc Phạm Như Toàn/ ĐHSP HN/ 0988 819 343 Bổ trợ kiến thức, luyện thi đại học x + 2y + 2xy + 3y − = b) Tìm số tự nhiên x, y cho (1) a) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: a ( b + c ) + b ( c + a ) + c ( a + b ) ≤ a + b3 + c3 + 3abc Khơng biết vơ tình hay ngẫu nhiên tốn sáng tác cho hs cho học sinh làm rồi, tiếc em lại khơng nhớ cách làm đơn giản Có thể vào phịng thi em bị tâm lý điều dễ hiểu mà Ta dùng phương pháp biến đổi tương đương để chứng minh bất đẳng thức Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với ⇔ a + abc − a ( b + c ) + b + abc − b ( c + a ) + c3 + abc − c ( a + b ) ≥ ⇔ a ( a + bc − ab − ac ) + b ( b + ac − bc − ba ) + c ( c + ab − ca − cb ) ≥ ⇔ a ( a − b ) ( a − c ) + b ( b − c ) ( b − a ) + c ( c − a ) ( c − b ) ≥ (*) Khơng tính tổng qt giả sử Khi VT (*) Vì = ( a − b ) a ( a − c ) − b ( b − c ) + c ( c − a ) ( c − b ) = ( a − b) a≥b≥c a≥b≥c ( a + b − c) + c ( c − a ) ( c − b) a+b>c ( a − b) ( a + b − c) + c ( c − a ) ( c − b) ≥ nên Vậy (*) Đó đpcm x + 2y + 2xy + 3y − = b) Tìm số tự nhiên x, y cho (1) x + 2y + 2xy + 3y − = ⇔ ( x + y ) + ( y − 1) ( y + ) = Ta có ⇔ ( y − 1) ( y + ) = − ( x + y ) Phạm Như Toàn/ ĐHSP HN/ 0988 819 343 ( y − 1) ( y + ) ≤ ⇒ −4 ≤ y ≤ ⇒ y ∈ { 0;1} − ( x + y) ≤ Vì Bổ trợ kiến thức, luyện thi đại học nên (vì y số tự nhiên) y = 0, • Với thay vào (1) ta có: x + 2x + = ⇔ ( x + 1) = ⇔ x = −1 y = 1, • Với x − = ⇒ x = thay vào (1) ta có: (loại) x = 2, y = Vậy số tự nhiên cần tìm x + y + z = 3xyz x+y+z =3 Bài Cho ba số không âm x, y, z thỏa mãn M = 2000x 2016 + 16y 2016 + z 2016 Tính giá trị biểu thức Lời giải Nhìn số số mũ biến biểu thức M ta thấy thật kinh khủng Tuy nhiên với thể loại tốn việc cho hệ số hay số mũ lớn mang tính hình thức, gây tâm lý cho học trò Bản chất đưa toán bản, quen bất đẳng thức đơn giản x + y + z = xyz ( x + y + z ) Từ giả thiết ta suy ra: Áp dụng bất đẳng thức a + b + c ≥ ab + bc + ca với a, b, c (hs tự chứng minh) x + y4 + z = x y + y2 z + z x Ta có: (1) x y + y z + z x ≥ xy.yz + yz.zx + zx.xy = xyz ( x + y + z ) (2) x + y + z ≥ xyz ( x + y + z ) Từ (1) (2) suy Dấu '' = '' xảy dấu ⇔x=y=z (1) (2) đồng thời xảy x+y+z =3 Kết hợp với Vậy '' = '' x = y = z = suy M = 2016.12016 + 16.12016 + 12016 = 2033 Phạm Như Toàn/ ĐHSP HN/ 0988 819 343 Bổ trợ kiến thức, luyện thi đại học Nhận xét: Đây toán cũ, tác giả làm số liệu nên câu khơng có nhiều tính sáng tạo, cần quen chút bất đẳng thức giải tốn Bài Cho đường trịn tâm O đường kính AB cố định Gọi M điểm di động đường trịn (O) cho M khơng trùng với A B Lấy C điểm đối xứng O qua A Đường thẳng vng góc với AB C cắt đường thẳng AM N Đường thẳng BN cắt đường tròn (O) điểm thứ hai E Cac đường thẳng BM CN cắt F a) Chứng minh điểm A, E, F thẳng hàng b) Chứng minh tích AM.AN khơng đổi c) Chứng minh A trọng tâm tam giác BNF NF ngắn Lời giải a) Ta có Vì M FN ⊥ AB C (gt) (1) thuộc đường trịn đường kính AB nên ta dễ dàng chứng minh NA ⊥ FB M ∠AMB = 90o hay (2) Từ (1) (2) suy A trực tâm tam giác FBN suy Mặt khác ta chứng minh AE ⊥ BN FA ⊥ BN (3) (vì E thuộc đường trịn đường kính AB) (4) F, A, B Từ (3) (4) suy thẳng hàng b) Dễ thấy hai tam giác vng Do ta có AMB AB AM.AN = nên AB2 (không đổi) (ĐPCM) c) Dễ dàng chứng minh hai tam giác vuông ( ∠CFA = ∠CBN ) dạng suy đồng dạng AM AC = ⇔ AM.AN = AB.AC AB AN AC = AO = Vì ACN ACF CF CB = ⇒ CF.CN = CA.CB = AB2 CA CN NCB đồng (ko đổi) Phạm Như Toàn/ ĐHSP HN/ 0988 819 343 NF = ( NC + CF ) Vậy Vì BA = BC Bổ trợ kiến thức, luyện thi đại học NC = CF nên A trọng tâm tam giác BNF (đpcm) NF Nhận xét: Để chứng minh ngắn ta ý đưa toán tìm giá trị nhỏ tổng số dương Tổng có giá trị nhỏ hai số dương có tích khơng đổi Khi giá trị nhỏ tổng đạt hai số dương NHẬN XÉT CHUNG: Đây đề thi hay vừa sức với học sinh đủ để phân loại học sinh Thực lời giải phân tích đề thi (2h45’) Thầy Phạm Như Tồn ... a) giải phương trình: x ( 5x + ) − ( ) 2x + − = x − 2y = b) Tìm nghiệm nguyên tố phương trình: lời giải Phạm Như Tồn/ ĐHSP HN/ 098 8 8 19 343 a) Điều kiện xác định: Bổ trợ kiến thức, luyện thi. .. giá trị nhỏ tổng đạt hai số dương NHẬN XÉT CHUNG: Đây đề thi hay vừa sức với học sinh đủ để phân loại học sinh Thực lời giải phân tích đề thi (2h45’) Thầy Phạm Như Toàn ... Phạm Như Toàn/ ĐHSP HN/ 098 8 8 19 343 ( y − 1) ( y + ) ≤ ⇒ −4 ≤ y ≤ ⇒ y ∈ { 0;1} − ( x + y) ≤ Vì Bổ trợ kiến thức, luyện thi đại học nên (vì y số tự nhiên) y = 0, • Với thay vào (1) ta có: x + 2x