Phạm Như Toàn/ ĐHSP HN/ 0988 819 343 Bổ trợ kiến thức, luyện thi đại học LỜI GIẢI VÀ BÌNH LUẬN ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN LỚP MƠN: TỐN Bài (5,0 điểm) a a a 1 a a a a 1 M a a a a a a Cho biểu thức với a 0, a �1 a) Rút gọn M b) Chứng minh M N M nhận giá trị nguyên c) Với giá trị a biểu thức Lời giải a) Với a 0, a �1, ta có M a a a 1 a a a a 1 a a a a a a a a a a 1 a a 1 a 1 a 1 a 1 a a 1 a a 1 a 1 a a 1 a a a a 1 a 1 a 1 a a 1 a 2a a a a a a a a 1 a a a a 1 a a 1 a a 1 a a 1 a 1 b) Chứng minh M Cách 1:Xét a M4 a Vì a 0, a �1 nên 2 a 1 a a 1 suy M � M (đpcm) Phạm Như Toàn/ ĐHSP HN/ 0988 819 343 Bổ trợ kiến thức, luyện thi đại học �2 a a Cách 2: áp dụng bất đẳng thức si ta có: a 1 �2 � a �4 a a � a � a 1 a (mâu thuẫn a 0, a �1 ) a Xét dấu xảy a Vậy dấu không xảy M 6 3 N 0 N Vậy Do N nhận giá trị nguyên N Khi c) Ta có M � M hay 1� M M a Ta có � a 1 a � a a 2 �a � a 74 3� � �� a 74 � �a Nhận xét: Bài tập tập bản, cần kiến thức em hoàn thành tốt Chỉ có ý c) toán cần tư chút nên theo thầy thuộc mức độ Bài (4 điểm) a) giải phương trình: x 5x 2x 2 b) Tìm nghiệm nguyên tố phương trình: x 2y lời giải x � a) Điều kiện xác định: Phương trình tương đương với phương trình: x 5x 4x 0 2x � � � x� 5x � 2x � � � x 5x 0 2x Phạm Như Tồn/ ĐHSP HN/ 0988 819 343 Xét phương trình: 5x Bổ trợ kiến thức, luyện thi đại học 2x � 5x 0 2x 2x � 5x � � x� 5x � � � 5x � x (vì 2x 1 2x 0 � � � 2x � � 2x 0 ) Vậy phương trình có nghiệm x Nhận xét ta giải tốn cách ngắn gọn sau: Với điều kiện x � x 5x 2 , ta có phương trình: 2x 2x � 5x 2x � 5x x 2x 2x � 5x 0 x 2x � � � x2 � 5x � x 2x � � Vì 5x x 2x 0 với x � (*) nên từ (*) ta x � x (tmđk) Vậy phương trình có nghiệm x Nhận xét: Đây toán hay ý tưởng toán cho nghiệm bội phương trình vơ tỷ Nhiều học sinh mắc sau trình liên hợp lần thứ không phát nghiệm bội 2 b) Tìm nghiệm nguyên tố phương trình x 2y 2 Từ phương trình ta có: x 2y suy x số lẻ 2 Đặt x 2k (k �N) , ta có x 4k 4k Phạm Như Toàn/ ĐHSP HN/ 0988 819 343 Bổ trợ kiến thức, luyện thi đại học 2 2 2 Do phương trình x 2y trở thành: 4k 4k 2y � y 2k 2k Do y chẵn suy y chẵn mà y số nguyên tố nên y 2 Khi ta x � x Vậy nghiệm nguyên tố phương trình x; y 3; Nhận xét: Đây toán số học bản, cần sử dụng tính chẵn lẻ giải toán Bài (4,0 điểm) a) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: a b c b c a c a b �a b c3 3abc 2 b) Tìm số tự nhiên x, y cho x 2y 2xy 3y (1) a) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: a b c b c a c a b �a b3 c3 3abc Khơng biết vơ tình hay ngẫu nhiên tốn sáng tác cho hs cho học sinh làm rồi, tiếc em lại không nhớ cách làm đơn giản Có thể vào phịng thi em bị tâm lý điều dễ hiểu mà Ta dùng phương pháp biến đổi tương đương để chứng minh bất đẳng thức Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với � a abc a b c b abc b c a c3 abc c a b �0 � a a bc ab ac b b ac bc ba c c ab ca cb �0 � a a b a c b b c b a c c a c b �0 (*) Khơng tính tổng quát giả sử a �b �c Khi VT (*) a b � a a c b b c � � � c c a c b a b a b c c c a c b a b Vì a �b �c a b c nên a b c c c a c b �0 Vậy (*) Đó đpcm Phạm Như Toàn/ ĐHSP HN/ 0988 819 343 Bổ trợ kiến thức, luyện thi đại học 2 b) Tìm số tự nhiên x, y cho x 2y 2xy 3y (1) x 2y 2xy 3y � x y y 1 y Ta có � y 1 y x y x y �0 Vì nên y 1 y �0 � 4 �y �1 � y � 0;1 (vì y số tự nhiên) • Với y 0, thay vào (1) ta có: x � x x 2x � x 1 � x 1 • Với y 1, thay vào (1) ta có: (loại) Vậy số tự nhiên cần tìm x 2, y 4 Bài Cho ba số không âm x, y, z thỏa mãn x y z x y z 3xyz 2016 2016 2016 Tính giá trị biểu thức M 2000x 16y z Lời giải Nhìn số số mũ biến biểu thức M ta thấy thật kinh khủng Tuy nhiên với thể loại tốn việc cho hệ số hay số mũ lớn mang tính hình thức, gây tâm lý cho học trò Bản chất đưa toán bản, quen bất đẳng thức đơn giản Từ giả thiết ta suy ra: x y z xyz x y z 2 Áp dụng bất đẳng thức a b c �ab bc ca với a, b, c (hs tự chứng minh) 4 2 2 2 Ta có: x y z x y y z z x (1) x y y z z x �xy.yz yz.zx zx.xy xyz x y z Từ (1) (2) suy (2) x y z �xyz x y z Dấu '' '' xảy dấu '' '' (1) (2) đồng thời xảy � x y z Kết hợp với x y z suy x y z 2016 2016 2016 Vậy M 2016.1 16.1 2033 Nhận xét: Đây toán cũ, tác giả làm số liệu nên câu khơng có nhiều tính sáng tạo, cần quen chút bất đẳng thức giải tốn Bài Cho đường trịn tâm O đường kính AB cố định Gọi M điểm di động đường trịn (O) cho M khơng trùng với A B Lấy C điểm đối xứng O qua A Đường thẳng Phạm Như Toàn/ ĐHSP HN/ 0988 819 343 Bổ trợ kiến thức, luyện thi đại học vng góc với AB C cắt đường thẳng AM N Đường thẳng BN cắt đường tròn (O) điểm thứ hai E Cac đường thẳng BM CN cắt F a) Chứng minh điểm A, E, F thẳng hàng b) Chứng minh tích AM.AN không đổi c) Chứng minh A trọng tâm tam giác BNF NF ngắn Lời giải a) Ta có FN AB C (gt) (1) o Vì M thuộc đường trịn đường kính AB nên ta dễ dàng chứng minh �AMB 90 hay NA FB M (2) Từ (1) (2) suy A trực tâm tam giác FBN suy FA BN (3) Mặt khác ta chứng minh AE BN (vì E thuộc đường trịn đường kính AB) (4) Từ (3) (4) suy F, A, B thẳng hàng b) Dễ thấy hai tam giác vuông ACN AMB đồng dạng AM AC � AM.AN AB.AC Do ta có AB AN Vì AC AO AB AB2 AM.AN nên (không đổi) (ĐPCM) c) Dễ dàng chứng minh hai tam giác vuông ACF NCB đồng �CFA �CBN dạng CF CB � CF.CN CA.CB AB2 suy CA CN (ko đổi) Vậy NF NC CF NC CF BA Vì BC nên A trọng tâm tam giác BNF (đpcm) Nhận xét: Để chứng minh NF ngắn ta ý đưa tốn tìm giá trị nhỏ tổng số dương Tổng có giá trị nhỏ hai số dương có tích khơng đổi Khi giá trị nhỏ tổng đạt hai số dương NHẬN XÉT CHUNG: Đây đề thi hay vừa sức với học sinh đủ để phân loại học sinh Thực lời giải phân tích đề thi (2h45’) Phạm Như Toàn/ ĐHSP HN/ 0988 819 343 Bổ trợ kiến thức, luyện thi đại học Thầy Phạm Như Toàn ... NHẬN XÉT CHUNG: Đây đề thi hay vừa sức với học sinh đủ để phân loại học sinh Thực lời giải phân tích đề thi (2h45’) Phạm Như Toàn/ ĐHSP HN/ 098 8 8 19 343 Bổ trợ kiến thức, luyện thi đại học Thầy... chút nên theo thầy thuộc mức độ Bài (4 điểm) a) giải phương trình: x 5x 2x 2 b) Tìm nghiệm nguyên tố phương trình: x 2y lời giải x � a) Điều kiện xác định: Phương trình... � 2x � � � x 5x 0 2x Phạm Như Toàn/ ĐHSP HN/ 098 8 8 19 343 Xét phương trình: 5x Bổ trợ kiến thức, luyện thi đại học 2x � 5x 0 2x 2x � 5x � � x� 5x �