LỜI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH hữu tỷ

Chun đề phương trình vơ tỷ Nhóm thầy giáo Tốn THCS LỜI GIẢI CHUN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH HỮU TỶ Được thực q thầy cơ: Phạm Như Tồn, Nguyễn An Hưng, Ng Lan Anh, Ngô Thị Hải, Phong Suong, Nguyễn Thanh Hà, Hoa Nguyễn, Hoàng Dương, Thanh Loan, Cương Vân Bài Giải phương trình: x  90 x  76 x  58 x  36 x  15      15 10 12 14 16 17 Hướng dẫn Phân tích: Để ý x  90 10  x  76  2.12  x 58 3.14  x36 4.16  x15 5.17 Giải sơ lược: Biến đổi phương trình cho dạng  x  90   x  76   x  58   x  36   x  15   1    2    3    4    5    10   12   14   16   17  1 1 1   x  100          x  10  10 12 14 16 17  Kết luận: Phương trình cho có nghiệm x  10 Bài Giải phương trình: x  x  x  x  x  x  11 x  13 x  15        65 63 61 59 57 55 53 51 Hướng dẫn Phân tích: Mỗi phân thức đem cộng với 1, sau qui đồng ta nhân tử chung x  66 Giải sơ lược: Phương trình cho tương đương với  x    x    x    x    x    x  11   x  13   x  15   1    1    1    1    1    1    1    1   65   63   61   59   57   55   53   51  1 1 1 1    x  66             65 63 61 59 57 55 53 51   x  66 Kết luận: Phương trình cho có nghiệm x  66 Bài Giải phương trình: 315  x 313  x 311  x 309  x 307  x       101 103 105 107 109 Giải Tổng hợp: Phạm Như Tồn Chun đề phương trình vơ tỷ Nhóm thầy giáo Tốn THCS 315  x 313  x 311  x 309  x 307  x     5 101 103 105 107 109  315  x 313  x 311  x 309  x 307  x 1 1 1 1 1  101 103 105 107 109  416  x 416  x 416  x 416  x 416  x     0 101 103 105 107 109 1 1       0  101 103 105 107 109    416  x    x  416 Vậy phương trình có nghiệm x  416 Bài Giải phương trình: 21  x  x   x  x  10 Giải Đặt t  x2  x  10 , phương trình trở thành t  3 21  t    t  4t  21    t t  Với t  3, ta có x2  x  10  3  x2  x  13  (vô nghiệm) x  Với t  7, ta có x  x  10   x  x     x  Kết luận: Phương trình có tập nghiệm S  1;3 18 18   x  2x  x  2x  x  2x  Giải 18 18   Đặt y  x  x  Phương trình trở thành: y  y 1 y Bài Giải phương trình sau:  y( y  1)  18 y( y  4)  18( y  4)( y  1)  y  12  y  18 y  72   ( y  12)( y  6)    y   x  1 + Với y  12  x  x   12  x  x  11   ( x  1)2  12     x  2  Tổng hợp: Phạm Như Tồn Chun đề phương trình vơ tỷ Nhóm thầy giáo Tốn THCS  x  1 + Với y   x  x    x  x    ( x  1)      x      Vậy phương trình có tập nghiệm S   1; 2  1;  1;   Bài Giải phương trình sau: ( x  7)( x  5)( x  4)( x  2)  72 Giải Phương trình cho  ( x  x  14)( x  x  20)  72  2 Đặt y  x  x  14 Phương trình trở thành:  y  12 ( y  6) y  72   y  y  72   ( y  12)( y  6)    y  23 + Với y  12  x  x  14  12  x  x  26   ( x  )2   0(VN ) x  + Với y   x  x  14   x  x    ( x  1)( x  8)    x  Vậy phương trình có tập nghiệm S  8;1 Bài Giải phương trình sau: ( x 1)( x  3)( x  5)( x  7)  297 Giải Phương trình cho  ( x  x  21)( x  x  5)  297  2 Đặt y  x  x  Phương trình trở thành: ( y  16) y  297   y  16 y  297   ( y  8)2  192   y  27  ( y   19)( y   19)   ( y  27)( y  11)     y  11  x  8 + Với y  27  x  x   27  x  x  32   ( x  8)( x  4)    x  + Với y  11  x2  x   11  x2  x    ( x  2)2   0(VN ) Vậy phương trình có tập nghiệm S  8; 4 Bài Giải phương trình sau: (4 x  1)(12 x 1)(3x  2)(6 x  1)   Giải Phương trình cho  (12 x2  11x  2)(12 x2  11x 1)   Đặt y  12 x2  11x  Phương trình trở thành:  y  4 ( y  3) y    y  y    ( y  4)( y  1)    y 1 Tổng hợp: Phạm Như Tồn Chun đề phương trình vơ tỷ Nhóm thầy giáo Tốn THCS  x  + Với y   12 x  11x    12 x  11x    (3x  2)(4 x  1)    x   1 + Với y  4  12 x2  11x   4  12 x2  11x   0(VN )  1  Vậy phương trình có tập nghiệm S   ;  3  Bài Giải phương trình sau: (6 x  7)2 (3x  4)( x  1)  Giải Phương trình cho  (36 x  84 x  49)(3x  x  4)  2  (36 x2  84 x  49)(36 x  84 x  48)  72  Đặt y  36 x2  84 x  48 Phương trình trở thành:  y  9 ( y  1) y  72   y  y  72   ( y  9)( y  8)    y   x  2 + Với y   36 x  84 x  48   36 x  84 x  40   4(3x  2)(3x  5)    x   + Với y  9  36 x2  84 x  48  9  36 x2  84 x  57  0(VN )  2 5  Vậy phương trình có tập nghiệm S   ;  3 3 Bài 10 Giải phương trình sau: x4  x2 (2 x  1)  12(2 x  1)2  Giải Phương trình cho tương đương với x  x (2 x  1)  x (2 x  1)  12(2 x  1)   x  x  6(2 x  1)   2(2 x  1)  x  6(2 x  1)     x  6(2 x  1)   x  x     x   30   x  12 x   ( x  6)  30       x     x  4x   ( x  2)     Vậy phương trình có tập nghiệm S   30  6;   Bài 11 giải phương trình x2  x  3x  40 x x  x 5 Tổng hợp: Phạm Như Toàn 2 5 Chuyên đề phương trình vơ tỷ Phân tích: nhận phương trình có dạng ẩn phụ dạng t  Nhóm thầy giáo Toán THCS t Giải: Điều kiện xác định x  x  x   đặt t  x2  x  3x   x x  x 5 t Phương trình tương đương : t     t  4t    (t  3)(t  1)  t x   x2  x    3   x  4x    t  3   x  5 x      x  x 5  x  2x    t  1   x  1       x  1  x  Kết luận: nghiệm phương trình x  , x  5 , x  1  , x  1  Bài 12 Giải phương trình x  5x3  12x  5x   Phân tích: việc giải phương trình bậc khó nhăn.ta thường nghĩ việc nhóm nhân tử chia đưa phương trình bậc 2.ta thấy hệ số đối xứng x=0 khơng phải nghiệm phương trình nên chia vế cho x Giải: x=0 nghiệm chia vế cho x phương trình tương đương x  5x  12  Đặt t  x  1 1    (x  )  5(x  )  12   (x  )2  5(x  )  14  x x x x x x điều kiện ( t  ) Phương trình tương đương x  t  7(loai) t  5t  14     x    x  2x    x  x t  Kết luận: phương trình có nghiệm x=1 Bài 13 Giải phương trình x  3x3  6x  3x   Phân tích : việc giải phương trình bậc khó nhăn.ta thường nghĩ việc nhóm nhân tử chia đưa phương trình bậc 2.ta thấy hệ số đối xứng x=0 khơng phải nghiệm phương trình nên chia vế cho x Giải: Tổng hợp: Phạm Như Tồn Chun đề phương trình vơ tỷ Nhóm thầy giáo Tốn THCS x=0 khơng phải nghiệm chia vế cho x phương trình tương đương x  3x   Đặt t  x  1 1    (x  )  3(x  )    (x  )  3(x  )   x x x x x x Phương trình tương đương x  x  t    x t  3t      t  x   x  1  x  2   1   1 x  x 1    x   2   x  4x   4 x      x    Kết luận: nghiệm phương trình x  1 1 ,x  ,x  2 ,x  2   2 2 Bài 14 Giải phương trình 4x3  6x  12x   Phân tích: phương trình bậc ba ngồi cơng thức nghiệm nhóm dạng vế lập phương để giải học sinh áp dụng cân hệ số để tìm lập phương vế.chú ý ,12 -8 lập thành (x  2)3 Giải: Phương trình cho tương đương 3x3  (x  3.x 2  3.x.22  23 )   3x  (x  2)3   3x3  (2  x)3  x 3   x  x 3   x  x( 3  1)   x  3 1 Kết luận: phương trình có nghiệm x  Bài 15 Giải phương trình x  x  x  3 1 Phân tích: Phân tích: phương trình bậc ba ngồi cơng thức nghiệm nhóm dạng vế lập phương để giải học sinh áp dụng cân hệ số để tìm lập phương vế nhân vế với thấy dạng lập phương Giải : phương trình cho tương đương 3x3  3x  3x   3x3  3x  3x    4x3  (x  3x  3x  1)   4x   x  1  Tổng hợp: Phạm Như Tồn Chun đề phương trình vơ tỷ Nhóm thầy giáo Tốn THCS  4x  (1  x)3  x   x  x(  1)   x  Kết luận: phương trình có nghiệm x  1 1  x2  x2 x 4    Bài 16 Giải phương trình:      x    x 1  x 1 2 Giải Phân tích: Để ý Đặt a  x2  x  x   , ta hướng đến cách tiếp cận tốn đặt hai ẩn phụ x2 1 x 1 x  x2 x2 ,b  Phương trình trở thành: a  ab  b  x 1 x 1  a  2b  2a  5ab  2b2    a  2b  2a  b      2a  b +) Với a  2b, ta có: x2 x2    x   x  1   x   x  1 x 1 x 1   17 x    x  3x       17 x   +) Với 2a  b, ta có: x2 x2    x   x  1   x   x  1 x  x 1  3  17 x   x  3x      3  17 x   Bài 17 Giải phương trình: x  25 x  x  5  11 Giải ĐK: x  5 Tổng hợp: Phạm Như Tồn Chun đề phương trình vơ tỷ Phương trình x  25 x  x  5 Nhóm thầy giáo Tốn THCS  11  x  x x  x  10 x   11   x5  x5 x5 x  10 x  x  11    x5 x5   x2  x2   10  11   x5  x5  x2  x    1  11   x   x    x2 x2   11 x5 x5  x2  x   x  11x  55  VN    21 x     21 x    1  21   Kết luận: Tập nghiệm phương trình S        Bài 18 Giải phương trình: x(8x  1)2 (4 x  1)  Giải x(8 x  1) (4 x  1)   512 x  256 x3  40 x  x    256 x (2 x  1)  20 x(2 x  1)  18 x    256 x (2 x  1)  20 x(2 x  1)  9(2 x  1)   (2 x  1)(256 x3  20 x  9)   x      256 x  20 x    x  1  2x 1  Tổng hợp: Phạm Như Toàn Chuyên đề phương trình vơ tỷ Nhóm thầy giáo Tốn THCS Vậy phương trình có nghiệm x  1 x  Bài 19 Giải phương trình (12 x  7)2 (3x  2)(2 x  1)  Giải Ta có (12 x  7)2 (3x  2)(2 x  1)   (144 x2  168x  49)(6 x2  x  2)  Đặt t  x2  x  , phương trình trở thành: (24t  1)t   24t  t   1 1     t3  6x  x    6x  7x   x      t  3 6 x  x   3 6 x  x  19  x  5     8 Vậy nghiệm phương trình x  1 5 x  Bài 20 Giải phương trình: ( x  1)2 (4 x2  8x  3)  18 Giải ( x  1) (4 x  x  3)  18  ( x  1)  4( x  x  1)  1  18  ( x  1)  4( x  1)  1  18 Đặt t  ( x  1)2 với t   t (4t  1)  18  4t  t  18  Tổng hợp: Phạm Như Tồn Chun đề phương trình vơ tỷ Nhóm thầy giáo Tốn THCS  t  (nhan)    t  2(loai )    x 1   x2    x 1   x  5   2  ( x  1)  Vậy phương trình có hai nghiệm x  5 x  2 Bài 21 Giải phương trình:  x  x    15  x  x  10   Hướng dẫn Phân tích:Nhận xét biểu thức ngoặc để đưa phương trình bậc Đặt t  x  x    x  3  PT  t  15  t  1   t 15t 15   t 15t 16    t  1 t  16  t  1 loai  t     t  16  t  16  t / m   x2  x   16  x2  x     x  1 x     x  1  x  Kết luận: Vậy PT cho có nghiệm x  1 x  Bài 22 Giải phương trình  x  1  3x  x  1  x  1 Phân tích: Dễ thấy đặt x2   t vế trái phương trình đa thức bậc t , x  Phân tích thành nhân tử  Đưa phương trình tích đơn giản Tổng hợp: Phạm Như Tồn Chun đề phương trình vơ tỷ Nhóm thầy giáo Tốn THCS Giải: Đặt t  x   t  1 Phương trình (1) trở thành: t  3x.t  x   t  xt  xt  x   t t  x   2x t  x     t  x  t  x   t  x  t   x   t  x   t  2 x * Với t   x   x  x2   x2  x   1  x   0 2  1   Phương trình vơ nghiệm  x     2  * Với t  2 x  2 x  x2   x2  x     x  1   x 1   x  1  Phương trình (*) có nghiệm x  1 Bài 23 Giải phương trình  x    12 x  * Phân tích: Nhận thấy vế phải hai hạng tử cuối đẳng thức  x  1 Vậy, ta cộng hai vế với 36x Tổng hợp: Phạm Như Tồn Chun đề phương trình vơ tỷ Nhóm thầy giáo Tốn THCS *Lời giải: x 9   12 x      x   18 x  81  36 x   x  1   x   18 x  81   x  1   x     x  1    x   x  1 x   x  1    x  x   x  x   1    x  x   1 x  x   1   x   36 x  36 x  12 x  2 2 2 2 2 2 2 2 2 2   x  3  1  x  3  1      x       x  32   (v« nghiƯm)    x  3   x   1  x  4; 2 Bài 24 Giải phương trình  x     x  8  15  x  2 * Phân tích: Nhận thấy 15  x   x   x Khai triển đẳng thức vế phải đưa phương trình tích *Lời giải:  x     x  8  15  x  2   x     x  8    x   x  2 2   x     x      x     x     x 8  x      x   x   2 7  x  x    8  x  x  Tổng hợp: Phạm Như Toàn Chuyên đề phương trình vơ tỷ Nhóm thầy giáo Tốn THCS Vậy phương trình có nghiệm x  7, x  Bài 25 Giải phương trình: x4  x3  14 x2  x   Giải Nhận xét: x  không thỏa mãn phương trình Với x  , chia hai vế phương trình cho x , ta được:   1  x  x  14       x     x    14  x x x   x  Đặt t  x   t  2 , phương trình trở thành: 2t  9t  10  x  t   (TM)  t  x  5 +) Với t  , ta có: x    x  x     x  x 2   x  1   x  1 +) Với t   , x    x x 1  Kết luận: Phương trình cho có tập nghiệm S   ;1;  2  Bài 26 Giải phương trình: x4  25x3  12 x2  25x   Giải Nhận xét: x  khơng thỏa mãn phương trình Chia hai vế phương trình cho x , ta được: x  25 x  12  25  1       x    25  x    12  x x x  x   Tổng hợp: Phạm Như Toàn Chuyên đề phương trình vơ tỷ Đặt t  x  Nhóm thầy giáo Tốn THCS , phương trình trở thành:  t    25t  12  x  6t  25t  24   t    t     x  3 +) Với t   , ta có: x     x  3x      x 2 x     x 8  +) Với t   , x     3x  x     x  x  3 1  Kết luận: Phương trình cho có tập nghiệm S   ; ; 2; 3 2  5 x    x  Bài 27 Giải phương trình: x   x    x 1   x   Giải ĐKXĐ: x  1  x   Với x   ta có: 5 x    x  x  x    x 1   x     5 x   5 x  x    x  6   x 1   x 1   x2   x  x  1  x   x    x  1   x2   x2  x  5  x  25  10 x  x    x  x  1   x4  5x3  11x2  13x    x  x3  x3  x  x  x  x   2 Tổng hợp: Phạm Như Toàn Chun đề phương trình vơ tỷ Nhóm thầy giáo Toán THCS  x3  x  1  x2  x  1  x  x  1   x  1    x  1  x3  x2  x  6    x 1  x3  x2  x2  x  3x  6    x 1  x2  x  2  x  x  2   x  2    x  1 x  2  x2  x  3    x 1  x     x   x  (thoả mãn)  (vì x  x    x  1   với x ) Vậy phương trình cho có tập nghiệm S   1;  Bài 28 Giải phương trình:  x2  3x  3 x  x  3  x Giải Nhận thấy x  khơng nghiệm phương trình Do đó: x  3x  3 x  x  3  x      x    x     x  x   Đặt x  t x Ta  t  3 t    Tổng hợp: Phạm Như Tồn Chun đề phương trình vơ tỷ Nhóm thầy giáo Tốn THCS  t  5t   t   t   x  x   x  x   0(vn)   x    x  4x    x x   x  Vậy phương trình có tập ngiệm S  1;3 Bài 29 Giải phương trình: x  x2  x  1  Giải Điều kiện: x  1 Phương trình cho  x  x  1  x  8( x  1) 2  x  x  1  x  8( x  1) 2  x  x  x  16 x     x  2  x2  2x  2   x  2(t / m)    x   3(t / m)  x   3(t / m)    Vậy phương trình có tập ngiệm S  2;1  3;1  2  x   x  Bài 30 Giải phương trình:      90  x 1   x 1  Giải 2  x   x  Phương trình      90  x    x 1  Tổng hợp: Phạm Như Toàn Chun đề phương trình vơ tỷ x  x  1  x  x  1    x  1  x  1 2  90 x  x3  x  x  x  x x  1 Nhóm thầy giáo Toán THCS  90  x  x  90  x  x  1  44 x4  91x2  45    x  x       3 11  x2  x   11  11  x  1 Bài 31 Giải phương trình:  x  1   x  2 2  Giải Phương trình  x  1   x  1  x  2 8 x 1  x 1    x 1 8    x  1 x2 x2  2   x  12  x  1   8   2 x2  x   Đặt  x  1 y x2 , phương trình trở thành y  y   (1) Giải (1) ta được: y  y  4 Với y  2, ta có:  x  1 Với y  4, ta có: x    x2  x   x   x2    x2  x    x  1 x2  4  x  x   4 x   x  x    x  3 Tổng hợp: Phạm Như Tồn Chun đề phương trình vơ tỷ Nhóm thầy giáo Tốn THCS Kết luận: Tập nghiệm phương trình S    3;  3; 3 Bài 32 Giải phương trình: x4  x3  5x2  x   Giải Nhận xét x  khơng thỏa mãn phương trình Chia hai vế phương trình cho x  , ta được: x  x    0 x x2 1  1    x2     x     x   x  Đặt t  x  1  t  x2    x2   t  x x x t  Phương trình trở thành 2t  t     t    2  1 x  Với t  1, ta có x    x  x     x  1 x    1  17 x  1 Với t   , ta có x     x  x     x  1  17 x   *Bài 33 Giải phương trình: x   x  1  x  x    Giải Phương trình cho tương đương với x   x  1  x  1  1    Đặt y  x   x  y  Khi phương trình trở thành:  y  1  y  y  1   y  y3  y  y   Tổng hợp: Phạm Như Tồn Chun đề phương trình vơ tỷ Nhóm thầy giáo Tốn THCS Nhận xét y  khơng thỏa mãn phương trình y  Chia hai vế phương trình cho y  ta được: y2  y    0 y y2   1 1   y    5 y     y y    5  33 (ktm) t  Đặt t  y  , t  Phương trình trở thành t  5t     y  5  33 (tm) t   Suy y  5  33 5  33  42  10 33   y   33 y    y  y Khi x  1  33  42  10 33   Bài 34 Giải phương trình:  x  x  1   x  1  13  x3  1 2 Giải Phương trình tương đương với  x  x  1   x  1  13  x  1  x  x  1 2 1  Ta có x  x    x     0, x 2  2 x 1  x 1  Chia hai vế phương trình cho  x  x  1 , ta được:     13 x  x 1  x  x 1  Đặt y   y  2 x 1  , phương trình trở thành  y  13 y  y  x2  x    x  1 x 1  2  x  3x     Với y  2, ta có x   x  x 1  Tổng hợp: Phạm Như Tồn Chun đề phương trình vơ tỷ Với y  Nhóm thầy giáo Tốn THCS x  x 1 1 , ta có   x2  6x     x  x 1 7 x    Kết luận: Phương trình có tập nghiệm S  1;  ; 2;    Bài 35 Giải phương trình:  x  3x    x6   3x   3 Giải Phương trình tương đương với  x  3x     3x     x  3 Dễ thấy x2  x2  3x   3x  , ta viết lại phương trình sau x  3x     3x     x  3x     3x   3   x  3x     3x     x  3x     3x     x  x    x    x  x   x   3 3    x  3x    3x   x  x  3x     3 x    x2   x  x    x    x  Bài 36 Giải phương trình:  x   x  x   22  x  1 Giải Đặt y  x  , phương trình trở thành:  y  y  10  y  11y  10   22 y Dễ thấy y  khơng phải nghiệm phương trình Do ta chia hai vế phương trình cho  10  10  y  0, ta được:  y    y  11    22 y  y  Tổng hợp: Phạm Như Tồn Chun đề phương trình vơ tỷ Đặt t  y  Nhóm thầy giáo Tốn THCS t  10  2, ta được: t  t    22  t  9t  22    y t  11 Với t  2, ta có: y  10 y  10 22  (vô nghiệm) y y  13  129 y  10 Với t  11, ta có y    11  y  13 y  10    y  13  129 y    11  129 x  Khi ta   11  129 x   Tổng hợp: Phạm Như Toàn ... Chuyên đề phương trình vơ tỷ Nhóm thầy giáo Tốn THCS Vậy phương trình có nghiệm x  7, x  Bài 25 Giải phương trình: x4  x3  14 x2  x   Giải Nhận xét: x  không thỏa mãn phương trình Với... đề phương trình vơ tỷ Nhóm thầy giáo Tốn THCS Kết luận: Tập nghiệm phương trình S    3;  3; 3 Bài 32 Giải phương trình: x4  x3  5x2  x   Giải Nhận xét x  khơng thỏa mãn phương trình. .. Vậy phương trình có tập nghiệm S  8;1 Bài Giải phương trình sau: ( x 1)( x  3)( x  5)( x  7)  297 Giải Phương trình cho  ( x  x  21)( x  x  5)  297  2 Đặt y  x  x  Phương trình