Phương pháp 1 phương pháp nâng lên lũy thừa giải phương trình vô tỷ

Phương pháp 1 PHƯƠNG PHÁP NÂNG LÊN LŨY THỪA Trong bài toán phương trình vô tỷ thì phép nâng lên lũy thừa là một biến đổi tự nhiên và có vẻ đẹp riêng.. Điều quan trọng của phép nâng lên

Phương pháp 1 PHƯƠNG PHÁP NÂNG LÊN LŨY THỪA

Trong bài toán phương trình vô tỷ thì phép nâng lên lũy thừa là một biến đổi tự nhiên và có vẻ đẹp riêng Có lúc phương pháp này được sử dụng trực tiếp hoặc gián tiếp nhưng mục đích chính vẫn là đi tìm nghiệm của phương trình vô tỷ Những bài toán sử dụng phương pháp nâng lên lũy thừa là những phương trình thuộc dạng cơ bản hoặc phương trình chứa các hằng đẳng thức Điều quan trọng của phép nâng lên lũy thừa đó là ta thu được phương trình tương đương hay phương trình hệ quả Để có thể biến đổi chính các phương trình ta cần kiểm tra dấu của hai vế phương trình xem có cùng dấu hay không, khi đó ta sẽ quyết định được phương trình thu được là phương trình tương đương hay phương trình hệ quả

+ Bước 3 Giải phương trình cơ bản F x( )=G x( ) và kiểm tra sự thỏa mãn của nghiệm tìm được với điều kiện xác định của phương trình để kết luận

Ví dụ 1 Giải phương trình 2 2

3x +69x 27+ = x +96x 2+

Phân tích và lời giải

Điều kiện xác định của phương trình là 3x2+69x 27 0; x+  2+96x 2 0+  Phương trình được cho ở trên có dạng cơ bản là f x( )= g x( ), do đó ta sử dụng phép nâng lên lũy thừa Chú ý rằng với điều kiện xác định tìm được ta biến đổi phương trình như sau

• Lời giải trên ta sử dụng phép biến đổi tương đương phương trình sau khi đã tìm điều

kiện xác định cho phương trình

• Có thể thực hiện biến đổi tương đương phương trình mà không cần đặt điều kiện xác

3x +69x 27 0; x+  +96x 2 0+  cùng một lúc như trong phép biến đổi trên, mà chỉ cần

viết một trong hai điều kiện là được, chẳng hạn như

2

x 96x 2 03x 69x 27 x 96x 2

Phương trình trong vì dụ có dạng cơ bản nên ta sử dụng phép biến đổi nâng lên lũy thừa Chú ý rằng trong hai điều kiện x3−x2 + 3 0; 3x 1 0+  thì điều kiện 3x 1 0+  đơn giản hơn Lại nhẩm một số giá trị đặc biệt ta được x=2 là một nghiệm Do đo ta trình bày lời giải cho phương trình như sau

Phân tích và lời giải

Phương trình trên có dạng cơ bản nên ta hướng đến sử dụng phép biến đổi nâng lên lũy thừa Khi nâng lên lũy thừa ta được phương trình có bậc 3, tuy nhiên nhận thấy x 0= là một nghiệm của phương trình nên ta dễ dàng phân tích được phương trình bậc 3 Ta trình bày lời giải như sau

• Trong hai điều kiện ( )2 2

x x 1− 0,x +7x 0 thì việc chọn điều kiện 2

x +7x 0 trong

phép nâng lên lũy thừa là hoàn toàn hợp lí

• Một số sai lầm thường gặp khi biến đổi phương trình của ví dụ trên

+ Vội vàng phát hiện nhân tử và biến đổi phương trình mà chưa đặt điều kiện

x x 1− = x +7x  x x 1− − x 7+ =0

Để thực hiện tách được 2

x +7x = x x 7+ thì cần có điều kiện x 0  Muốn vậy

ta ta tìm điều kiện xác định của phương trình trước ( )2

Ta biết rằng với biểu thức dạng A.B thì khi khai căn phải lấy dấu giá trị tuyệt 2

đối cho biểu thức đưa ra ngoài dấu căn A.B2 = B A

Với điều kiện x 0  ta chưa xác định được (x 1− ) mang dấu gì nên khi khai căn ta cần lấy dấu giá trị tuyệt đối ( )2

x x 1− = x x 1−

Ví dụ 4 Giải phương trình 2x 1 3x 1+ = +

Phân tích và lời giải

Phương trình cho trong ví dụ là phương trình dạng f x( ) ( )=g x nên ta sử dụng biến đổi nâng lên lũy thừa để giải Ta thấy vế trái của luôn không âm, do đó nếu vế phải của phương trình âm thì phương trình vô nghiệm Do đó ta chỉ có thể biến đổi nâng lên lũy thừa phương trình khi có điều kiện 3x 1 0+  Khi đó hai vế đều không âm và bình phương ta thu được phương trình tương đương

• Trong qua trình nâng lên lũy thừa ta chỉ cần đặt điều kiện 3x 1 0 +  là được mà không

cần phải có thêm điều kiện 2x 1 0 +  , bởi vì khi nâng lên lũy thừa ( )2

2x 1+ = 3x 1+ thì đã đảm bảo cho điều kiện 2x 1 0 + 

• Nếu trong qua trình biến đổi ta không đặt điều kiện 3x 1 0 +  thì khi tìm x 0 = và

Ví dụ 5 Giải phương trình x 1− = −5 2 3x 2−

Phân tích và lời giải

Việc đầu tiên khi giải phương trình trên là tìm điều kiện xác định của phương trình Vì chưa biết chắc chắn vế phải âm hay dương nên trước khi biến đổi nâng lên lũy thừa ta cần có thêm điều kiện 5 2 3x 2− − 0 Tuy nhiên để ý một tí

ta nhận thấy khi chuyển vế đại lượng 2 3x 2− sang vế trái thì hai vế của phương trình đều dương và đến đây ta có thể nâng lên lũy thừa hai vế mà không cần đến điều kiện 5 2 3x 2− − 0 Từ đó ta có lời giải như sau

Điều kiện xác định của phương trình là x 1 0 x 1

• Khi gặp phương trình dạng f x( ) g x( )= thì ta nên chuyển vế một hạng tử sao k

cho hai vế của phương trình đều không âm, từ đó ta thực hiện nâng lên lũy thừa mà không cần phải bổ sung thêm điều kiện của ẩn

• Ngoài biến đổi nâng lên lũy thừa như trên ta có thể giải phương trình trên theo phương pháp đánh giá như sau

Điều kiện xác định của phương trình là x 1 0 x 1

Phân tích và lời giải

Phương trình trong ví dụ có dạng cơ bản f x( ) ( )=g x nên ta sử dụng phép nâng lên lũy thừa, Sau phép nâng lên lũy thừa ta được một phương trình bậc hai Chú ý đặt điều kiện cho ẩn để phép nâng lũy thừa thực hiện được Ta có lời giải như sau

Điều kiện xác định của phương trình là x 1

Kết hợp với điều kiện xác định ta được x 1= là nghiệm duy nhất của phương trình

• Nhận xét Phương trình được viết lại thành 1( ) 3

Phương trình đã cho có nghiệm S 1;1

2 2

2 2

• Nhận xét Để ý đến biểu thức 4 2x 1 2.2 2x 1− = − ta viết phương trình về dạng

Phân tích và lời giải

Phương trình đã cho có dạng cơ bản và biểu thức trong căn là các đa thức bậc nhất Do đó ta sử dụng phép nâng lên lũy thừa để giải phương trình Sau hai lần nâng lên lũy thừa ta thu được một phương trình bậc hai

Điều kiện xác định của phương trình là x 1

2

 Phương trình đã cho tương

đương với

Kết hợp với điều kiện xác đinh ta được tập nghiệm S= 1; 5

• Nhận xét Ta cũng có thể thực hiện phép nâng lên lũy thừa theo cách khác

Phương trình đã cho tương đương với

3x 1 2x 1 2 6x x 1 1

x 1; 525x 10x 1 24x 4x 4

Phân tích và lời giải

Phương trình có dạng cơ bản f x( )+ g x( )= h x( ) nên ta sẽ sử dụng biến đổi nâng lên lũy thừa, tuy nhiên trước khi biến đổi ta cần đặt điều kiện cho phương trình và chuyển vế hạng tử 1 x− sang vế phải sao cho phương trình thu được có hai vế không âm

Điều kiện xác định của phương trình là 4 x 1

• Ở phương trình trên ta chuyển 1 x − qua vế phải rồi mới bình phương Mục đích của

việc làm này là tạo ra hai vế của phương trình luôn cùng dấu để sau khi bình phương ta thu được phương trình tương đương

• Sai lầm thường gặp khi bình phương hai vế phương trình đã cho là biến đổi phương

Điều kiện xác định của phương trình là x 1 Phương trình đã cho tương đương với

Phương trình đã cho tương đương với 3x 1+ − 4x 3− = 6x 4− − x 2+ Giả sử hai vế của phương trình cùng dấu Khi đó

= thỏa mãn phương trình đã cho

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là nghiệm x 5

Do đó ta có thể giả sử hai vế của phương trình 3x 1+ − 4x 3− = 6x 4− − x 2+

cùng dấu để phép có biến đổi tương đương Ngoài ta ta có thể biến đổi hệ quả là

Điều kiện xác định của phương trình là 1 x 1

7   Giả sử hai vế của phương trình

= thỏa mãn phương trình đã cho

Vậy phương trình dã cho có tập nghiệm S 1

2

 

=  

 

Ví dụ 20 Giải phương trình 2 2

4x 3+ + 3x 4+ = x + + +x 1 x + 2

Phân tích và lời giải

Dễ thấy điều kiện xác định của phương trình là x 3

Phân tích và lời giải

Điều kiện xác định của phương trình là x 1

1 x− và 3 x− sang vế kia thì ta được phương trình có hai vế cùng dương Lúc này bình phương hai vế ta được

Kết hợp với điều kiện xác định ta được tập nghiệm S= − − 1 3; 1− + 3

Nhận xét Có thể sử dụng phương pháp phân tích nhâ tử để giải quyết nhanh gọn phương

Phân tích và lời giải

Điều kiện xác định của phương trình là 0 x 1  Để giải phương trình này thì rõ ràng ta phải loại bỏ căn thức Điều đầu tiên là ta nghĩ đến bình phương hai

vế Vì hai vế của phương trình đã cho luôn không âm nên bình phương hai vế ta thu được phương trình tương đương

Kết hợp với điều kiện xác đinh ta có tập nghiệm S= 0;1

x x− biểu diễn được qua x+ 1 x− nhờ

  nên phương trình trên không có nghiệm Do đó ta xét phương trình khi x 0

Kết hợp với điều kiện xác định ta được x 1= là nghiệm duy nhất

• Nhận xét Bài toán này ta có thể giải bằng phương pháp đánh giá như sau

Với điều kiện xác định như trên thì phương trình đã cho tương đương với

− + − + +  Do đó kết hợp với phương trình ta được

• Nhận xét Phương trình cho trong ví dụ có dạng tổng quát 3f x( ) ( )=g x Để giải phương trình dạng này ta lũy thừa bậc ba hai vế và đưa phương trình về dạng phương trình đa thức

Ví dụ 28 Giải phương trình 3 3

x 34+ − x 3− =1

Phân tích và lời giải

Phương trình đã cho có dạng cơ bản 3 f x( )+3g x( )=3 h x( ) Do đó ta sử dụng phép nân lên lũy thừa để giải Chú ý rằng sau phép nâng lên lũy thừa thì phương trình xuất hiện biểu thức căn bậc ba dạng 3f x( )+3g x( ), khi đó ta thay thế bằng 3 h x ( )

Điều kiện xác định của phương trình là x  Phương trình đã cho tương đương với

Phân tích và lời giải

Phương trình có dạng cơ bản 3 f x( )+3g x( )=3 h x( ) nên ta nghĩ đến phép nâng lên lũy thừa để xử lý phương trình Quan sát phương trình ta nhận

x + +1 2x − − =x 3 3x − − , do đó ta biến đổi phương trình về dạng x 2

3x2+ +1 32x2− − =x 3 33x2− − và sau khi thực hiện phép nâng lên lũy thừa ta x 2thu được phương trình 3( 2 )( 2 ) (3 2 3 2 )

x +1 2x − −x 3 x + +1 2x − −x 3 =0 Đến đây ta

có lời giải cho bài toán như sau

Điều kiện xác định của phương trình là x R Phương trình đã cho tương đương với

• Nhận xét Với phương trình dạng 3f x( )+3 g x( )= 3h x( ) trong đó f x( ) ( ) ( )+g x =h x

thì ta thực hiện lập phương hai vế và đưa phương trình về dạng

biến đổi tương đương hay biến đổi hệ quả Trong một số ví dụ được nếu trên có nhiều bài toán được kết hợp giữa phép biến đổi tương đương và phép biến đổi hệ quả một cách hoàn hảo

• Trong một số trường hợp ta cần kết hợp phép nâng lên lũy thừa với các phương pháp khác như đặt ẩn phụ, phân tích thành tích, đánh giá,…

• Một số sai lầm thường gặp khi sử dụng phép nâng lên lũy thừa

+ Sử dụng dấu “  ” và dấu “  ” một cách tùy tiện

+ Thực hiện phép khai phương một tích A.B= A B; A2 = khi chưa xác Ađịnh được dấu của các biểu thức A và B

+ Không phân biệt được biến đổi tương đương hay biến đổi hệ quả

BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1 Giải các phương trình sau:

a) x 1+ = − b) x 1 2 2

x −2x 1+ + x +4x 4+ =3

Bài 2 Giải phương trình 3x 1+ − x 7− = x

Bài 3 Giải phương trình x 3+ + 3x 1+ =4

Bài 4 Giải phương trình x 1− + x 4− =3

Bài 5 Giải phương trình x 3 2 x+ + =2 3x 1+

Bài 6 Giải phương trình x+ 10 x− =4

Bài 7 Giải phương trình 3x+ 15 3x− = 8x 5−

Bài 8 Giải phương trình (4 x 6 x+ )( − )=x2−2x 12−

Bài 9 Giải phương trình: x 2+ + 5 2x− = +1 6 x−

Bài 10 Giải phương trình ( x 1 1 5 x+ + ) ( − )=2x

Bài 11 Giải phương trình x 1+ + 5x= 4x 3− + 2x 4+

Bài 12 Giải phương trình ( 2 ) ( 3 )

3 x −6 =8 x − −1 3

Bài 13 Giải phương trình 3 ( 2 )

5 1 x + = 2 x + 2

Bài 14 Giải phương trình x 2x 2 5x 9− + =

Bài 15 Giải phương trình x 1− + 4x 1+ =4

Bài 16 Giải phương trình ( ) ( 2 ) 2

x 1+ 2 x +4 =x − − x 2

Bài 17 Giải phương trình x+ x 11+ + x− x 11+ =4

Bài 18 Giải phương trình x 1 1+ − = x− x 8+

Bài 19 Giải phương trình x2 +2x 6+ − x2+ + = x 2 1

Bài 20 Giải phương trình x2+ +8 x2−3x 6+ = 5

Bài 21 Giải phương trình x2 −2x+ x2 −4x = 3x2+ x

Bài 22 Giải phương trình x2+ +x x2+3x=2 x2

Bài 23 Giải phương trình 2 ( ) x 3

Bài 24 Giải phương trình x x 1( − +) x x 2( + )=2 x2

Bài 25 Giải phương trình 32 4 2 5 2

x + + = −

Bài 26 Giải phương trình 2x 1 x− + 2−3x 1 0+ =

Bài 27 Giải phương trình x2 = x 1 1+ +

Bài 28 Giải phương trình x 4+ − 1 x− = 1 2x−

Bài 29 Giải phương trình x 2 3 x− − 2− =4 0

Bài 30 Giải phương trình 2x2− +1 x2−3x 2+ − 2x2+2x 3+ = x2− + x 6

Bài 31 Giải phương trình 4x2− +3 2 x− = 3x2+ 1

Bài 33 Giải phương trình 2 2 x x 9

Bài 34 Giải phương trình ( 2 )

2 2

Bài 35 Giải phương trình 4x2= 8x2−6x 10 4x 10− + +

Bài 36 Giải phương trình ( 2 )

Bài 39 Giải phương trình x3+3x2+2x 3+ − x= x3+2x2+ 1

Bài 40 Giải phương trình x3−2x2−2x 12+ − 2 x 1( + )= x3−8x 2+

Bài 41 Giải phương trình 2 ( 2 ) 2

x + 2− x +2 x= +4 2 x +2 Bài 42 Giải phương trình 3 x 2+ +3 7 x− = 3

Bài 43 Giải phương trình 3 3

x 3+ + 5 x− =2

Bài 44 Giải phương trình 3 3 3

x 1+ + x 1− = 5x

Bài 45 Giải phương trình 32x2+3x 2− =33x2+5x−3x2+2x 2+

Bài 46 Giải phương trình 3x 2+ +3x2+3x 5− =3x2+4x 4 1− +

Bài 47 Giải phương trình x+33x2+ − =x 3 36x2+12x 4+ +32x3+3x2+ + − x 1 2

Bài 48 Giải phương trình x+3x3+3x2+3x 1− = 32x3+3x2+3x 9 2− +

HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1

+ Với x −2 thì phương trình trên trở thành 1 x x 2 3− − − =  = − (loại) x 2

+ Với −  2 x 1 thì phương trình trên trở thành 1 x x 2 3− + + = 0x 0= (đúng với mọi x thỏa mãn −  2 x 1)

+ Với x 1 thì phương trình trên trở thành x 1 x 2 3− + + =  = x 1

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là −  2 x 1

Bài 2 Điều kiện xác định của phương trình là x 7 Phương trình tương đương với

Bài 4 Điều kiện xác định của phương trình là x 4 Biến đổi tương đương phương trình ta được

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x 5=

Bài 5 Điều kiện xác định của phương trình là x 0. Khi đó phương trình tương đương với

Bài 6 Điều kiện xác định của phương trình là 0 x 10 

Với điều kiện trên thì phương trình đã cho tương đương với

x 10 x 2 2 x 10 x+ − + − − =16 x 10 x− = 3 x x 10− =  =9 x 1; x 9= Kết hợp với điều kiện xác định ta được các nghiệm của phương trình là x 1; x 9= =

Bài 7 Điều kiến xác định của phương trình là 5 x 5

8  phương trình đã cho tương đương với

3x 15 3x 2 45x 9x 8x 5 45x 9x 4x 10

5x

Bài 8 Điều kiện xác định của phương trình là (4 x 6 x+ )( − )  −  0 4 x 6 Phương trình tương đương

x 2x 24 x 2x 12 0 x 2x 24 x 2x 24 12 0

− + + − + + =  − + + + − + + − =

Đặt t= − +x2 2x 24 , t 0+  Ta có phương trình t2+ −t 12 0=  =t 3; t= − (loại) 4Với t=  − +3 x2 2x 24+ = 3 x2−2x 15 0− = x1 =5; x2 = −3 (thỏa điều kiện) Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x= −3; x 5=

Bài 9 Điều kiện xác định của phương trình là 2 x 5

Kết hợp với điều kiện xác định ta có các nghiệm của phương trình là x= −1; x 2=

Bài 10 Điều kiện xác định của phương trình là x 1 0+    − x 1

Với x 0= không là nghiệm của phương trình

Với x 0 , nhân 2 vế với x 1 1 0+ −  ta được

Kết hợp với điều kiện xác định ta được x 3= là nghiệm của phương trình đã cho

Bài 11 Điều kiện xác định của phương trình là x 3

3

Kết hợp với điều kiện xá định ta được x 4

3

= là nghiệm của phương trình

Bài 12 Điều kiện xác định của phương trình là x 1 Ta có

x 9x 8x 10 8x 9x 8x 10 10 9x 8x 10 09x 8x 10 x 8x 10 0

+ Với 9x2+8x 10 0+ = , phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình có hai nghiệm là x 4= + 6; x 4= − 6

Bài 13 Điều kiện xác định của phương trình là 1 x+ 3   − 0 x 1

Cách 1 Phương trình đã cho tương đương với