Một số giải pháp giúp học sinh có kỹ năng giải phương trình vô tỷ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT HOẰNG HÓA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ GIẢI PHÁP GIÚP HỌC SINH CĨ KỸ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ Người thực hiện: Lê Thị Hà Chức vụ: Giáo viên SKKN mơn: Đại số THANH HĨA, NĂM 2017 PHẦN I: MỞ ĐẦU I/ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI - Năm học 2016-2017, phân công trực tiếp giảng dạy lớp 10 Đa số học sinh nhận thức cịn chậm giáo viên cần có phương pháp cụ thể cho dạng toán để học sinh nắm tốt - Trong chương trình tốn Trung học phổ thông, mà cụ thể phân môn Đại số 10, em học sinh tiếp cận với phương trình chứa ẩn dấu tiếp cận với vài cách giải thông thường toán đơn giản Tuy nhiên thực tế tốn giải phương trình chứa ẩn dấu phong phú đa dạng đặc biệt đề thi Đại học - Cao đẳng, em gặp lớp toán phương trình vơ tỷ mà có số em biết phương pháp giải trình bày cịn lủng củng chưa gọn gàng, sáng sủa chí cịn mắc số sai lầm khơng đáng có trình bày Tại lại vậy? - Lý là: Trong chương trình Sách giáo khoa Đại số lớp 10 hành trình bày phần đầu chương III (Giữa học kỳ I) hạn hẹp có tiết lý thuyết sách giáo khoa, giới thiệu sơ lược ví dụ đưa cách giải rườm rà khó hiểu dễ mắc sai lầm, phần tập đưa sau học hạn chế Mặt khác số tiết phân phối chương trình cho phần q nên q trình giảng dạy, giáo viên đưa đưa nhiều tập cho nhiều dạng để hình thành kỹ giải cho học sinh Nhưng thực tế, để biến đổi giải xác phương trình chứa ẩn dấu đòi hỏi học sinh phải nắm vững nhiều kiến thức, phải có tư mức độ cao phải có lực biến đổi tốn học nhanh nhẹn thục II/ MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU - Từ lý chọn đề tài, từ sở thực tiễn giảng dạy khối lớp 10 trường Trung học phổ thông, với kinh nghiệm thời gian giảng dạy Tôi tổng hợp , khai thác hệ thống hoá lại kiến thức thành chuyên đề: ‘’Một số giải pháp giúp học sinh có kỹ giải phương trình vơ tỉ’’ - Qua nội dung đề tài mong muốn cung cấp cho học sinh số phương pháp tổng quát số kỹ phát đâu điều kiện cần đủ Học sinh thơng hiểu trình bày tốn trình tự, logic, khơng mắc sai lầm biến đổi Hy vọng đề tài nhỏ đời giúp bạn đồng nghiệp em học sinh có nhìn tồn diện phương pháp giải lớp toán giải phương trình vơ tỷ III/ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU : - Phương trình vơ tỉ (Phương trình chứa ẩn dấu căn) - Nội dung phần phương trình vơ tỉ số tốn bản, nâng cao nằm chương trình đại số 10 - Một số giải phương trình chứa ẩn dấu đề thi Đại học Cao đẳng V/ NHIỆM VỤ- YÊU CẦU CỦA ĐỀ TÀI: - Xuất phát từ lý chọn đề tài, sáng kiến kinh nghiệm thực nhiệm vụ: Giúp cho giáo viên thực tốt nhiệm vụ nâng cao chất lượng giáo dục, giúp học sinh hình thành tư logic kỹ phân tích để đến hướng giải thích hợp gặp tốn giải phương trình vơ tỉ từ phức tạp đưa dạng đơn giản, giải cách dễ dàng Muốn người giáo viên phải hướng cho học sinh biết dạng toán phân biệt điều kiện điều kiện cần đủ phương trình, ta có phép biến đổi tương đương, ta có phép biến đổi hệ lưu ý đến việc loại bỏ nghiệm ngoại lai phương trình - Yêu cầu sáng kiến kinh nghiệm: Nội dung giải pháp rõ ràng khơng rườm rà lơgíc phù hợp với trường Trung học phổ thơng vùng biển, có sáng tạo đổi Giới thiệu dạng phương trình bản, đưa giải pháp số ví dụ minh hoạ - Đề tài sử dụng để giảng dạy bồi dưỡng cho em học sinh khối 10 hệ Trung học phổ thông làm tài liệu tham khảo cho thầy cô giảng dạy mơn Tốn Các thầy học sinh sử dụng toán đề tài làm toán gốc để đặt giải tập cụ thể Trong đề tài đưa giải số dạng toán thường gặp tương ứng tập tự luyện Sau tốn tác giả có nhận xét bình luận khắc phục sai lầm giúp bạn đọc chọn cho phương pháp giải tối ưu nhất, để có lời giải gọn gàng sáng sủa - Nghiên cứu lý luận chung - Khảo sát điều tra từ thực tế dạy học - Tổng hợp so sánh , đúc rút kinh nghiệm Cách thực hiện: - Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên môn - Liên hệ thực tế nhà trường, áp dụng đúc rút kinh nghiệm qua trình giảng dạy - Thông qua việc giảng dạy trực tiếp lớp khối 10 năm học từ 2016 đến 2017 VII/ THỜI GIAN NGHIÊN CỨU Trong suốt thời gian trực tiếp giảng dạy khối lớp 10 trường Trung học phổ thơng Hoằng Hóa từ năm 2016 đến PHẦN II: NỘI DUNG ĐỀ TÀI CHƯƠNG 1: CỞ SỞ LÝ LUẬN - Nhiệm vụ trung tâm trường học THPT hoạt động dạy thầy hoạt động học trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài” Giúp học sinh củng cố kiến thức phổ thơng đặc biệt mơn tốn học cần thiết thiếu đời sống người Mơn Tốn mơn học tự nhiên quan trọng khó với kiến thức rộng, đa phần em ngại học môn - Muốn học tốt mơn tốn em phải nắm vững tri thức khoa học mơn tốn cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào dạng tập Điều thể việc học đơi với hành, địi hỏi học sinh phải có tư logic cách biến đổi Giáo viên cần định hướng cho học sinh học nghiên cứu môn tốn học cách có hệ thống chương trình học phổ thông, vận dụng lý thuyết vào làm tập, phân dạng tập tổng hợp cách giải - Do vậy, đưa sáng kiến kinh nghiệm với mục đính giúp cho học sinh Trung học phổ thơng vận dụng tìm phương pháp giải gặp tốn giải phương trình chứa ẩn dấu Trong sách giáo khoa Đại số 10 nêu phương trình dạng f( x ) = g(x) trình bày phương pháp giải cách biến đổi hệ quả, trước giải đặt điều kiện f(x) Nhưng nên để ý điều kiện đủ để thực phép biến đổi trình giải học sinh dễ mắc sai lầm lấy nghiệm loại bỏ nghiệm ngoại lai nhầm tưởng điều kiện f(x) điều kiện cần đủ phương trình Tuy nhiên gặp tốn giải phương trình vơ tỉ, có nhiều tốn địi hỏi học sinh phải biết vận dụng kết hợp nhiều kiến thức kĩ phân tích biến đổi để đưa phương trình từ dạng phức tạp dạng đơn giản Trong giới hạn sáng kiến kinh nghiệm hướng dẫn học sinh hai dạng phương trình thường gặp số toán vận dụng biến đổi số dạng tốn khơng mẫu mực (dạng khơng tường minh) nâng cao f (1) * Dạng 1: phương trình ( x ) = g(x) Phương trình g (1) (x) f g (x) (x) điều kiện gx) điều kiện cần đủ phương trình (1) sau giải phương trình f (x) = g2(x) cần so sánh nghiệm vừa nhận với điều kiện gx) để kết luận nghiệm mà không cần phải thay vào phương trình ban đầu để thử để lấy nghiệm * Dạng 2: phương trình f( x ) = g( x ) (2) Phương trình (2) f f (x) g (x) (x) Điều kiện f (x) điều kiện cần đủ phương trình (2) Chú ý không thiết phải đặt điều kiện đồng thời f(x) g(x) khơng âm f(x) = g(x) *Dạng tốn khơng mẫu mực: Loại thực qua ví dụ cụ thể CHƯƠNG II: THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI Học sinh trường Trung học phổ thơng Hoằng Hóa đa số em vùng biển nhận thức chậm, chưa hệ thống kiến thức Khi gặp toán phương trình vơ tỉ chưa phân loại định hình cách giải, lúng túng đặt điều kiện biến đổi,trong phương trình loại có nhiều dạng Nhưng bên cạnh chương trình đại số 10 không nêu cách giải tổng quát cho dạng, thời lượng dành cho phần Qua việc khảo sát kiểm tra định kỳ việc học tập, làm tập hàng ngày nhận thấy học sinh thường bỏ qua khơng giải trình bày cách giải đặt điều kiện lấy nghiệm sai phần Khi giảng dạy cho học sinh nhận thấy: Khi gặp toán: =xGiải phương trình (1) x Sách giáo khoa đại số 10 giải cách bình phương vế đưa phương trình hệ điều kiện pt(1) x 32 (*) (1) 2x - = x2 - 4x + x2 - 6x + = Phương trình cuối có nghiệm x = + x = - Cả hai nghiệm thoả mãn điều kiện (*) phương trình (1) thay giá trị nghiệm tìm vào phương trình (1) giá trị x = - bị loại Vậy nghiệm phương trình (1) x = + Mặt khác, số học sinh cịn có ý kiến sau giải nghiệm phương trình cuối cần so sánh với điều kiện x (*) để lấy nghiệm nghiệm phương trình x = + x = - Theo cách giải vừa nêu phức tạp việc thay giá trị nghiệm vào phương trình ban đầu để thử sau loại bỏ nghiệm ngoại lai dễ dẫn đến sai lầm số học sinh lấy nghiệm cuối nhầm tưởng điều kiện x điều kiện cần đủ Khi gặp tốn: Giải phương trình 5x2 x = x Học sinh thường đặt điều kiện x 6x sau bình phương hai vế để x giải phương trình Điều ý học sinh tìm cách để biểu thị hệ điều kiện phương trình mà khơng biết cần điều kiện x + điều kiện cần đủ mà không cần đặt đồng thời hai điều kiện Khi gặp tốn: Giải phương trình (x + 4) x = Một số HS có lời giải sai sau: Ta có: (x + 4) x x 2=0  x x-2=0 x Nhận xét: Đây toán đơn giản giải mắc sai lầm mà khơng đáng có Rõ ràng x = - khơng phải nghiệm phương trình B Chú ý rằng: A B 0 A B bị bỏ qua điều kiện là: B ≥ (x ≥ 2) Khi gặp tốn: Giải phương trình 4x 12x 11 = 4x2 - 12x + 15 Một số học sinh thường đặt điều kiện bình phương hai vế đến phương trình bậc bốn khó để giải kết cuối phương trình bậc bốn chưa có cách giải cụ thể học sinh bậc phổ thông Khi gặp tốn: Giải phương trình x x x x Một số HS có lời giải sai sau: Ta có: (x 5) x x x x 5x x x x x 3x (x 5)(x 4x 10 x x x 14 2) x 2 3x 10 x2 4x Vậy phương trình cho vô nghiệm Nhận xét: Rỏ ràng x = 14 nghiệm phương trình Lời giải làm cho tốn có nghiệm trở thành vơ nghiệm Cần ý rằng: B A AB B A B A 0; B A 0; B Lời giải xét thiếu trường hợp A < 0; B < Lúc vai trò người giáo viên quan trọng, phải hướng dẫn rõ cho học sinh phương pháp giải dạng toán, nên giải cho hợp lý loại toán để toán biến đổi suy luận có logic tránh tình rườm rà phức tạp dễ mắc sai lầm Trên sở hình thành cho học sinh kỹ tốt giải toán phương trình vơ tỉ CHƯƠNG III: MỘT SỐ GIẢI PHÁP Qua nghiên cứu trao đổi đúc rút kinh nghiệm từ thực tế ý kiến đồng nghiệp mạnh dạn đưa hướng gải vấn đề học sinh với giải pháp: Đưa số giải pháp giúp học sinh hình thành kĩ biến đổi giải phương trình chứa ẩn dấu 1/ Giải pháp 1: * Hướng dẫn học sinh giải phương trình dạng : f( x ) = g(x) (1) a, Phương pháp: Giáo viên: cho học sinh thấy bình phương hai vế để đến phương trình tương đương hai vế phải khơng âm pt f g (x) = g(x) (x) f g (x) (x) Điều kiện gx) điều kiện cần đủ f(x) = g2(x) Không cần đặt thêm điều kiện fx) b, Các ví dụ: + Ví dụ 1: Giải phương trình x = x - (1) Điều kiện x (*) (Chú ý: không cần đặt thêm điều kiện 3x - 0) Khi pt(1) 3x - = (x - 3)2 x2 - 6x + = 3x x2 - 9x + 13 = x x 29 29 đối chiếu với điều kiện (*) ta thu nghiệm phương trình (1) x = 29 ! Lưu ý: không cần phải thay giá trị nghiệm vào phương trình ban đầu để thử mà cần so sánh với điều kiện x (*) để lấy nghiệm + Ví dụ 2: Giải phương trình x 2 x = 3x = (2) Nhận xét : Biểu thức dấu biểu thức bậc hai, nên sử dụng phương pháp biến đổi hệ gặp khó khăn biểu thị điều kiện để 3x - 2x -1 thay giá trị nghiệm vào phương trình ban đầu để lấy nghiệm Ta giải sau: Điều kiện: x - (**) Khi pt(2) x 3x2 - 2x - = (3x + 1)2 3x2 - 2x - = 9x2 + 6x + 1 3x2 + 4x + = x đối chiếu với điều kiện (**) ta thu nghiệm pt(2) x = + Ví dụ 3: Giải phương trình x 12 x 11 = 4x2 - 12x + 15 (3) Nhận xét: Biểu thức dấu biểu thức bậc hai, ta bình phương hai vế đến phương trình bậc bốn khó giải Ta giải toán sau: Chưa vội đặt điều kiện bước giả này.ta biến đổi pt(3) 4x2 - 12x + 11 - x 12 x 11 + = Đặt x 12 x 11 = t ; đk t , (***) Phương trình trở thành: t2 - 5t + = t (thoả mãn điều kiện (***) ) t Với t = 4 x 12 x 11 = 4x2 - 12x + 10 = phương trình vơ nghiệm Với t = 4 x 12 x 11 = 4x2 - 12x - = x x 56 56 Vậy nghiệm phương trình là: x = 56 V x= 56 *Như gặp toán thuộc dạng nêu học sinh chủ động cách đặt vấn đề giải : điều kiện phương trình gì? đặt ? biến đổi biến đổi tương đương ? biến đổi biến đổi hệ quả? kết luận nghiệm cuối dựa vào điều kiện nào? 2/ Giải pháp * Hướng dẫn học sinh giải phương trình dạng 2: f ( x ) g( x ) (2) a Phương pháp: Giáo viên hướng dẫn học sinh đặt điều kiện biến đổi f(x) pt(2) f(x) 0( g ( x ) 0) g( x ) Chú ý: Khơng cần đặt đồng thời g(x) b Các ví dụ: + Ví dụ 1: Giải phương trình x = x , (1) , (*) Điều kiện x f(x) f(x) = g(x) pt(1) -3x + = 2x + 1 5x = 1x = (thoả mãn với điều kiện (*) ) Vậy nghiệm phương trình x = ! Lưu ý: Điều kiện x , (*) điều kiện cần đủ phương trình (1) nên ta cần đối chiếu với điều kiện (*) để lấy nghiệm cuối phương trình + Ví dụ 2: Giải phương trình x x = x , (2) Nhận xét: Biểu thức dấu vế trái biểu thức bậc hai nên ta đặt điều kiện cho vế phải không âm ĐK: x - , (*) pt(2) 2x2 + 3x - = 7x +2 x 2x2 - 4x - = 0x Đối chiếu với điều kiện (*), nghiệm phương trình x = + Ví dụ 3: Giải phương trình 2x x (*) Tóm tắt giải (*) 2x 5x x x 2x x2x Vậy phương trình cho vơ nghiệm 3/ Giải pháp : Hướng dẫn học sinh giải số phương trình khơng mẫu mực (Phương trình khơng tường minh) + Ví dụ 1: Giải phương trình x 2 x - x = (1) Điều kiện phương trình x -1 , (*) Nhận xét : Biểu thức dấu x 2 x có dạng đẳng thức (a + b)2 = a2 +2ab + b2 nên ta biến đổi sau pt(1) ( x 1)2 x 1=4 x +2 x 1=4 x = x + = x = (thoả mãn điều kiện (*) ) Vậy, nghiệm phương trình x = + Ví dụ2: Giải phương trình 3x 7- x 1=2 (2) Điều kiện 3x 7 x x x x1 (**) Chuyển vế bình phương hai vế ta pt(2) x = + x với điều kiện (**) nên hai vế ln khơng âm , bình phương hai vế ta 3x + = x + + x x 1=x+1 tiếp tục bình phương hai vế 4x + = x2 + 2x + x2 -2x - = x (thoả mãn điều kiện (**)) x Vậy nghiệm phương trình x = -1 V x = + Ví dụ 3: Giải phương trình x x 2x 4x 16 Lời giải : Ta có Pt2 x x x x x x x 2x x x 2x x x Vậy phương trình cho vơ nghiệm Lưu ý: Học sinh đưa lời giải sai sau Ta có : x x 2x 4x 16 x x 12x x 2x x x x x 2x x Vậy phương trình cho có nghiệm x = Nhận xét: Ta nhận x = nghiệm phương trình cho Chú ý rằng: A B A A C B + Ví dụ 4: Giải phương trình 2x x2 x2 x x 5= x2 x x 0 Hướng dẫn : Đk x x2 x C (3) (***) ! Lưu ý: Hệ điều kiện (***) phức tạp nên ta không cần giải cụ thể Từ ĐK (***) nên hai vế khơng âm ,bình phương hai vế ta pt(3) - x2 + x x = - 2x - x2 x x = - 2x - x (2 x 4) x ( x 5) x 16 x 16 2 x x x 16 x 16 x 2 x x x = -1 16) ( x 1)( x x Thay giá trị x = -1 vào hệ ĐK (***) , thoả mãn Vậy nghiệm phương trình x = -1 + Ví dụ 5: Giải phương trình 2x 3+ x = 3x + 2 x x - 16 , 2x HD: Điều kiện x x x (4) x -1 (****) NX: Đây phương trình phức tạp bình phương hai vế phương trình ta không thu kết thuận lợi giải nên ta cớ thể giải sau Đặt x + x = t , (ĐK: t 0) 3x + 2 x x = t2 - (nhận) V t = - (loại) pt(4) t2 - t - 20 = t = Với t = 2 x x =21 - 3x ( phương trình thuộc dạng 1) 21 x 4(2 x x 3) 441 x 236 x 429 x 216 x 9x2 x = 118 - 1345 (thoả mãn ĐK) 1345 Vậy nghiệm phương trình x = 118 + Ví dụ 6: Giải phương trình x2 – 7x + 12 = x x2 x 10 Lời giải sai: Ta có x2 – 7x + 12 = x x2 x x 3x 3x (x-3)(x-4) = ( x 3) x ( x 3)( x 4) (1) 4) ( x 3) x ( x 3)( x x Giải (1) x = (x-3)(x-4) x x x x x x Giải (2) x = (x-3)(x-4) x x x x 32 x (x-3)(x-4) = x x x x x x x x Vậy phương trình cho có nghiệm : x = v x = v x = Nhân xét: Bài tốn HS giải mắc sai lầm sau: Lời giải sai: Ta có: x2 – 7x + 12 = x x2 x (x-3)(x-4) = (x-3)(x-4) = x 3x 3x x 32 x x x x = (x-3)(x-4) x x x x x Giải ta có x x x x x x x x2 9x 14 Vậy phương trình cho có nghiệm x = x = HS kết luận với x =3 x = hai nghiệm thoả mãn phương trình Mà khơng ngờ phương trình cho cịn có nghiệm x = thoả mãn Chú ý rằng: A B A B A A A B A B A Lời giải bỏ sót trường hợp A ≤ * Sau tập giải phương trình vơ tỉ hướng dẫn học sinh giải Giáo viên dạng tập tương tự để học sinh giải Qua học sinh rèn luyện phương pháp giải hình thành kỹ giải phương trình vơ tỉ Bài tập Giải phương trình 11 a x = - 2x b 2x = x c x x + x - = HD: Biến đổi theo dạng dạng 2 Giải phương trình: x2 - 3x + x x = HD: Đặt t = x x (t ) ĐS: x = -1 v x = Giải phương trình: x + x = x HD: Đặt đk sau bình phương hai vế ĐS: x = x x Giải phương trình: A B HD : A A B B B x x A 0; B B A B B A 0; B ĐS : Nghiệm phương trình : x = -3 Giải phương trình: x HD: B A A B B AB x x x A 0; B A 0; B ĐS: Nghiệm phương trình là: x = 14 Giải phương trình: x + x 10 = x + x Giải phương trình: x + x = Giải phương trình: x2 + 3x + = (x + 3) x2 x3 = 2x3 + 2x +1 Giải phương trình: (4x - 1) x 2x 10 Giải phương trình: x2 - = 2x 11 Giải phương trình: x2 + 4x = (x + 2) x 2 x 12 PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 1/ Kết luận: Trên giải pháp mà đúc rút suốt trình giảng dạy trường Trung học phổ thơng Hoằng Hóa Phương trình vơ tỉ nội dung quan trọng chương trình mơn tốn lớp 10 nói riêng bậc Trung học phổ thơng nói chung Nhưng học sinh lại mảng tương đối khó, phần nhiều thầy cô giáo quan tâm Đề tài kiểm nghiệm năm học giảng dạy lớp 10, học sinh đồng tình đạt kết quả, nâng cao khả giải phương trình vơ tỉ Các em hứng thú học tập hơn, lớp có hướng dẫn kỹ em học sinh với mức học trung bình cứng trở lên có kỹ giải tập Học sinh biết áp dụng tăng rõ rệt Cụ thể lớp khối 10 sau áp dụng sáng kiến vào giảng dạy số học sinh hiểu có kỹ giải dạng tốn nói , kết qua kiểm tra thử sau : Năm học Lớp Tổng Điểm trở lên Điểm từ đến Điểm Số Số Số số Tỷ lệ Tỷ lệ Tỷ lệ lượng lượng lượng 2016 - 2017 10A3 25 20 % 13 52 % 28 % Như thấy phương pháp có hiệu tương đối Theo tơi dạy phần tốn giải phương trình vơ tỉ giáo viên cần rõ dạng toán cách giải tương ứng để học sinh nắm tốt Mặc dù cố gắng tìm tịi, nghiên cứu song chắn cịn có nhiều thiếu sót hạn chế Tơi mong quan tâm tất đồng nghiệp bổ sung góp ý cho tơi Tơi xin chân thành cảm ơn Kiến nghị đề xuất: - Đề nghị cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh giáo viên có nhiều tài liệu sách tham khảo đổi phòng thư viện để nghiên cứu học tập nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ - Nhà trường cần tổ chức bổi trao đổi phương pháp giảng dạy Có tủ sách lưu lại tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôn tập giáo viên hàng năm để làm cở sở nghiên cứu phát triển chuyên đề - Học sinh cần tăng cường học tập trao đổi, học nhóm nâng cao chất lượng học tập XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin chân thành cảm ơn! Hoằng Đạo, ngày 25 tháng năm 2017 Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm ………………………………………………của viết, khơng chép nội dung ……………………………………………… …………………………………………… ……………………………………………… người khác Người viết Lê Thị Hà 13 TÀI LIỆU THAM KHẢO + Sách giáo khoa đại số 10 - Nhà xuất giáo dục + Sách hướng dẫn giảng dạy - Nhà xuất giáo dục + Tài luệu tập huấn sách giáo khoa - Nhà xuất Giáo dục + Các giảng luyện thi mơn tốn - Nhà xuất giáo dục (TG: Phan Đức Chính - Vũ Dương Thụy - Đào Tam - Lê Thống Nhất) + Toán nâng cao đại số 10 - Phan Huy Khải + Báo Toán học tuổi trẻ- Nhà xuất giáo dục + Các đề thi đại học năm trước   14 ... Lời giải bỏ sót trường hợp A ≤ * Sau tập giải phương trình vơ tỉ hướng dẫn học sinh giải Giáo viên dạng tập tương tự để học sinh giải Qua học sinh rèn luyện phương pháp giải hình thành kỹ giải phương. .. pháp giúp học sinh hình thành kĩ biến đổi giải phương trình chứa ẩn dấu 1/ Giải pháp 1: * Hướng dẫn học sinh giải phương trình dạng : f( x ) = g(x) (1) a, Phương pháp: Giáo viên: cho học sinh. .. học sinh có nhìn tồn diện phương pháp giải lớp tốn giải phương trình vơ tỷ III/ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU : - Phương trình vơ tỉ (Phương trình chứa ẩn dấu căn) - Nội dung phần phương trình vơ tỉ số