Một số giải pháp giúp học sinh có kỹ năng giải phương trình vô tỉ

MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sang kiến kinh nghiệm 2.3 Sáng kiến kinh nghiệm khắc phục hạn chế học sinh 2.3.1 Một số toán phương trình vô tỉ 2.3.2 Thực nghiệm sư phạm 17 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 18 BÀI TẬP THAM KHẢO 18 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 20 TÀI LIỆU THAM KHẢO 21 1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Qua trình công tác giảng dạy trường THPT , mà cụ thể phân môn Đại số 10 em học sinh tiếp cận với phương trình chứa ẩn dấu căn, nhiên em làm quen với số cách giải thông thường, đơn giản Tôi nhận thấy việc học toán nói chung bồi dưỡng học sinh khá, giỏi toán nói riêng, muốn học sinh rèn luyện tư sáng tạo việc học giải toán thân thầy, cô cần phải có nhiều phương pháp nhiều cách hướng dẫn cho học sinh tiếp thu tiếp cận giải Từ đòi hỏi người thầy cần phải không ngừng tìm tòi nghiên cứu tìm nhiều phương pháp cách giải qua toán để từ rèn luyện cho học sinh lực hoạt động, tư sáng tạo, phát triển toán đề xuất tự làm toán tương tự nghiên cứu, bồi dưỡng Dạy cho học sinh nắm vững kiến thức bản, đảm bảo trình độ thi đỗ đại học khó cần thiết chưa đủ Là giáo viên dạy toán trường THPT mong muốn có nhiều học sinh yêu quý, có nhiều học sinh đỗ đạt, có nhiều học sinh giỏi Song để thực điều người thầy cần có say mê chuyên môn, đặt cho nhiều nhiệm vụ, truyền say mê cho học trò Khai thác sâu toán phần việc giúp người thầy thành công nghiệp Với chút hiểu biết nhỏ bé niềm say mê toán học viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số giải pháp giúp học sinh có kỹ giải phương trình vô tỉ” mong muốn chia sẻ, trao đổi kinh nghiệm làm toán, học toán dạy toán với bạn bè tỉnh Hy vọng đề tài giúp ích phần nhỏ bé cho quý thầy cô công tác giảng dạy 1.2 Mục đích nghiên cứu -Nhằm nâng cao nghiệp vụ chuyên môn, rút kinh nghiệm trình giảng dạy, phát triển tư linh hoạt, sáng tạo học sinh, phát bồi dưỡng học sinh giỏi Toán - Thông qua đề tài này, tài liệu tham thảo cóích cho giáo viên học sinh, đặc biệt làđối với học sinh tham gia kì thi học sinh giỏi cấp Tỉnh, thi đại học, cao đẳng 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Nghiên cứu phương pháp giải toán thi Đại học theo nhiều cách - Đề tài hướng tới đối tượng học sinh lớp chọn, chuyên Toán, học sinh giỏi học sinh ôn thi Đại học,nhất học sinh khối 10 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Với đề tài này, tác giả sử dụng chủ yếu phương pháp thống kê, lựa chọn toán hay, độc đáo, có phương pháp giảisau phân tích, so sánh, khái quát hóa, đặc biệt hóa để làm bật phương pháp rút kết luận NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1.Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm - Môn toán học môn quan trọng cần thiết học sinh Muốn học tốt môn toán em phải nắm vững tri thức khoa học môn toán cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào dạng tập Điều thể việc học đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư logic cách biến đổi Giáo viên cần định hướng cho học sinh học nghiên cứu môn toán học cách có hệ thống chương trình học phổ thông, vận dụng lý thuyết vào làm tập, phân dạng tập tổng hợp cách giải - Do vậy, mạnh dạn đưa sáng kiến kinh nghiệm với mục đính giúp cho học sinh THPT vận dụng tìm phương pháp giải gặp toán giải phương trình chứa ẩn dấu Trong sách giáo khoa Đại số 10 nêu phương trình dạng f(x) = g(x) trình bày phương pháp giải cách biến đổi hệ quả, trước giải đặt điều kiện f(x) ≥ Nhưng nên để ý điều kiện đủ để thực phép biến đổi trình giải học sinh dễ mắc sai lầm lấy nghiệm loại bỏ nghiệm ngoại lai nhầm tưởng điều kiện f(x) ≥ điều kiện cần đủ phương trình Tuy nhiên gặp toán giải phương trình vô tỉ, có nhiều toán đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng kết hợp nhiều kiến thức kĩ phân tích biến đổi để đưa phương trình từ dạng phức tạp dạng đơn giản Trong giới hạn SKKN hướng dẫn học sinh hai dạng phương trình thường gặp số toán vận dụng biến đổi số dạng toán không mẫu mực (dạng không tường minh) nâng cao * Dạng 1: phương trình Phương trình f(x) = g(x) (1)  g(x) ≥ f (x) = g(x) ⇔  điều kiện g(x) ≥ điều kiện cần f(x) = g (x)  đủ phương trình (1) sau giải phương trình f(x) = g2 (x) cần so sánh nghiệm vừa nhận với điều kiện g(x) ≥ để kết luận nghiệm mà không cần phải thay vào phương trình ban đầu để thử để lấy nghiệm * Dạng 2: phương trình Phương trình f (x) = g(x) (2)  f(x) ≥ ( g(x) ≥ ) f (x) = g(x) ⇔   f(x) = g(x) Điều kiện f(x) ≥ ( g(x) ≥ ) điều kiện cần đủ phương trình (2) Chú ý đâykhông thiết phải đặt điều kiện đồng thời f(x) g(x) không âm f(x) = g(x) • Dạng 3: phương trình f(x) − g(x) = h(x) (3) Bước 1: Đặt điều kiện Bước 2: Chuyển vế để vế dương f(x) = g(x) + h(x) Bước 3: Bình phương vế *Dạng toán không mẫu mực: Loại thực qua ví dụ cụ thể 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sang kiến kinh nghiệm Học sinh trường THPT DTNT lớp đặc biệt lớp 10 nhận thức chậm, chưa hệ thống kiến thức Khi gặp toán phương trình vô tỉ chưa phân loại định hình cách giải, lúng túng đặt điều kiện biến đổi,trong phương trình loại có nhiều dạng Nhưng bên cạnh chương trình đại số 10 không nêu cách giải tổng quát cho dạng, thời lượng dành cho phần Qua việc khảo sát kiểm tra định kỳ việc học tập, làm tập hàng ngày nhận thấy học sinh thường bỏ qua không giải trình bày cách giải đặt điều kiện lấy nghiệm sai phần Kết điều tra sau: Tổng số HS Quan niệm sai lầm HS Số HS có Số không Số HS quan niệm HS có quan không 179 sai lầm 100 niệm sai lầm biết 59 20 2.3 Sáng kiến kinh nghiệm khắc phục hạn chế học sinh - Để khắc phục hạn chế học sinh giải phương trình vô tỉ, làm sau: + Đầu tiên đưa cho học sinh toán đơn giản mà học sinh giải theo cách sách giáo khoa đưa cho học sinh thấy hạn chế cách giải + Tiếp đến đưa cho học sinh ví dụ phức tạp để học sinh thấy sử dụng cách giải thong thường để giải 2.3.1 Một số toán phương trình vô tỉ Một toán đơn giản : Giải phương trình 2x− = x− 1(1)[1] Nếu giải theo cách sách giáo khoa, học sinh giải Điều kiện x≥ (1) ⇒ 2x− = ( x− 1) ⇒ 2x− = x2 − 2x+ ⇒ x2 − 4x+ = ⇒ x= Sau so sánh điều kiện thay vào phương trình xem nghiệm có thoả mãn không Theo cách giải vừa nêu phức tạp việc thay giá trị nghiệm vào phương trình ban đầu để thử sau loại bỏ nghiệm ngoại lai dễ dẫn đến sai lầm số học sinh lấy nghiệm cuối nhầm tưởng điều kiện x≥ điều kiện cần đủ Trong toán phức tạp cách giải khó khăn Hay toán giải phương trình 5x2 + 6x− = x+ [1]  5x2 + 6x− ≥ Học sinh thường đặt điều kiện  sau bình phương vế để giải  x+ ≥ phương trình Cách làm rối không cần thiết, cần điều kiện x+ ≥ đủ Ví dụ toán sau giải theo cách thông thường Tôi xin đưa số cách giải tối ưu sau: Bài toán 1.Trong đề thi Đại học khối D năm 2006 có toán sau Giải phương trình: 2x − + x − 3x + = (1)[2] Lời giải : Dạng : f (x) = g(x) Tuy nhiên đưa số cách giải Cách 1: ĐK x≥ Khi đó: ⇔ 2x − − 2x + 1+ x2 − x = () Bài toán trích từ tài liệu tham khảo [2] Đặt 2x − = t , Phương trình cho trở thành: t − t + x2 − x = t =x ⇔ t =1 −x Trở lại phép đặt ta có  2x − = x   2x − = − x Giải phương trình, so sánh điều kiện ta nghiệm phương trình là: x =  x = − Nhận xét: Cách phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn, với cách làm ta khai thác nhiều với cách giải tương tự Cách ĐK x≥ PT ⇔ x − x+ = 2x − − 2x − +  2x − = x 1 ⇔ ( x − ) = ( 2x − − ) ⇔  2  2x − = − x Giải phương trình, so sánh điều kiện ta nghiệm phương trình là: x =  x = − Nhận xét: Cách phương pháp biến đổi tổng hiệu hai bình phương, với cách làm ta khai thác nhiều với cách giải tương tự Cách Cô lập thức, đặt điều kiện, bình phương hai vế, giải phương trình bậc x = bốn ta tìm nghiệm là:  x = − Tuy nhiên Cách không thú vị, nên làm phương trình có nghiệm đẹp, có nghiệm đẹp nên suy nghĩ đến phương pháp nhân liên hợp để xuất nhân tử chung Không thỏa mãn với cách tiếp tục suy nghĩ đến phương án đặt ẩn phụ đưa hệ đối xứng loại II tìm Cách Cách ĐK x≥ (1) ⇔ (1− x) − x= − −(1− x) + x 1 − x = u  −(1 − x) + x = v Đặt  u − x = −v Theo ta có:  v − x = −u Đến ta hệ phương trình đối xứng loại II, giải hệ ta u = v u = − v ; trở lại phép đặt,  x = Giải phương trình, ta nghiệm phương trình là:  x = − Nhận xét: Trong Cách Tôi chủ động đề cập tới dạng tổng quát ( mx + n ) + b = a a ( mx + n ) − b Đây cách giải mà tâm đắc, với cách giải khiến mở rộng toán thành nhiều toán thú vị, nhiều không làm theo cách gần bế tắc Với xu hướng đề thi phần phương trình, hệ phương trình câu chặn điểm Do dạy học phần phương trình vô tỷ không cung cấp cho học sinh kiến thức bản, kĩ thành thạo phải hướng dẫn học sinh đào sâu suy nghĩ từ toán quan tâm đến toán khó Trong khuôn khổ Sáng kiến kinh nghiệm này, tập trung khai thác sâu Cách 4, từ sáng tạo toán thú vị Bài toán [3] Giải phương trình x − 11x + = ( − x ) x − x + Nhận xét: Bài toán nghiệm đẹp việc nhân liên hợp hay bình phương hai vế khó khăn; Đặt ẩn phụ không hoàn toàn không đơn giản, với Cách ta có lời giải sau: Lời giải Điều kiện x ∈ R Phương trình cho tương đương với: ( − 3x ) − ( x − x + 3) = ( − x ) ( − x ) ( − 3x ) + ( x − x + 3) 2 − x = u Đặt   x − x + = v u = x − x + + ( − x ) v ⇒ u2 − v2 = ( 1− x ) ( v − u )  2 v = ( − x ) u + x − x + ta thu đượsc hệ  u = v ⇔ ( u − v ) ( u + v − x + 1) = ⇔  u + v − x + = Xét hai trường hợp xảy u = v ⇔2 −3x = x −6 x +5  − 14 x ≤ ⇔ ⇔x = 5 x −6 x −1 =  u + v − x + = ⇔ x2 − x + = 4x − 3  + 33 x ≥ ⇔ ⇔ x= 12 2  x − x + = 16 x − 24 x +   − 14 + 33  ;  12    Kết luận tập nghiệm S =  Nhận xét: Mức độ phức tạp tăng thực sự, nguyên dạng tổng quát ( mx + n ) − b = a a ( mx + n ) + b Trong a; b lúc theo thứ tự nhị thức bậc tam thức bậc hai ( − 3x ) − ( x − x + 3) = ( − x ) ( − x ) ( − 3x ) + ( x − x + 3) Bài toán trích từ tài liệu tham khảo [3] Ngoài cách làm trên, đặt ẩn phụ không hoàn toàn thu kết nhiên vất vả Sau mở rộng tiếp để toán phức tạp 16 x + 11x + Bài toán [3] Giải phương trình = x − 18 x − −x + Lời giải x ≠ Điều kiện  2 x − x − ≥ Phương trình cho tương đương với 16 x + 11x + = (− x + 4) x − 18 x − ⇔ (−4 x − 1) + x = (− x + 4) ( −4 x − 1)( − x + 4) − x Đặt −4 x − = u; x − 18 x − = v ta thu hệ phương trình u + 3x = (− x + 4)v ⇒ u − v = (− x + 4)(v − u )  v + x = (− x + 4)u  −4 x − = x − 18 x − 4(1) u = v ⇔ ⇔ u + v − x + =  x − 18 x − = x − 3(2)  Xét trường hợp  −4 x − ≥ 13 + 109 x ≤ − •(1) ⇔  ⇔ ⇔ x = −  12 16 x + x + = x − 18 x − 12 x + 26 x + =   5 x − ≥ x ≥ •(2) ⇔  ⇔ x − 18 x − = 25 x − 30 x +  21x − 12 x + 13 =  ( Hệ vô nghiệm) 13 + 109 Kết luận: Phương trình ban đầu có nghiệm x = − 12 Bài toán [4] Giải phương trình 2(x2 − x+ 6) = x3 + Khác với ví dụ biểu thức bậc 3, ta giải theo công thức A = Bđể thu phương trình bậc bốn 10 Lời giải Bài toán trích từ tài liệu tham khảo [3]  x3 + ≥  x≥ −2 ⇔ ( *) ⇔   2  4(x − x+ 6) = 25(x + 8)  x − 33x + 52x − 48x− 56 =  x≥ −2  x≥ −2  ⇔ ⇔  x2 − 6x− = ⇔ x= ± 13 (x − 6x− 4)(4x − 9x+ 14) =  4x2 − 9x+ 14 = VN  Lời giải 2: Ta giải phương pháp đặt ẩn phụ ví dụ sau biến đổi phương trình dạng ( x+ ) + ( x2 − 2x+ ) = ( x+ ) ( x2 − 2x+ ) (1) Đặt u = x+ ≥ 0,v= x2 − 2x+ ≥ u u ( 1) ⇔ 2u2 + 2v2 = 5uv⇔ 2( )2 − + = v v u v=  u = 2v  x+ = x − 2x+ ⇔ ⇒ ⇔ u 2u = v  x+ = x2 − 2x+   =  v ⇔ x= ± 13 2x2 − x − = x2 − 5x + Bài toán [4] Giải phương trình −2 x + Lời giải Điều kiện x ≠ Phương trình cho tương đương với 11 x − x − = (−2 x + 3) x − x + ⇔ ( − x + 1) + x − = (−2 x + 3) (−2 x + 3)(− x + 1) − x + Đặt − x + = u; x − x + = v,(v > 0) ta thu u + x − = (−2 x + 3)v u = v 2 ⇒ u − v = ( − x + 3)( v − u ) ⇔  u + v − x + = v + x − = (−2 x + 3)u  Xét trường hợp Bài toán trích từ tài liệu tham khảo [4] •u = v ⇔ − x + = x − x + x ≤ x ≤ ⇔ ⇔ ⇔ x ∈∅  x = x − x + = x − x +   •u + v − x + = ⇔ x − x + = x − 3 x ≥ 19 + 73 ⇔ ⇔ x= 16 8 x − 19 x + = Kết luận: Phương trình ban đầu có nghiệm x = 19 + 73 16 Nhận xét Đến nhiều bạn thắc mắc: dạng tổng quát: ( mx + n ) − b = a a ( mx + n ) + b “ Làm để tìm a, b, m, n” ? Câu trả lời sau: x − x − = ( −2 x + 3) x − x + ⇔ ( − x + n ) + x + a.x + b = (−2 x + 3) (−2 x + 3)(− x + n) − ( x + a.x + b)  n + b = −3 n =  3n − b =  ⇒ a = Đồng hệ số  − n + a = −  b = −4 −2n − − a =  Bài toán [3] Giải phương trình + = x + x + x Lời giải Điều kiện x ≠ Phương trình cho tương đương với 12 x + = x x + x + ⇔ ( x + ) − x + x − = x x( x + 2) + x − x + Đặt x + = u; x + x + = v,(v > 0) ta thu 2 u = v u − x + x − = xv 2 ⇒ u − v = x ( v − u ) ⇔  u + v + x =  v − x + x − = xu Xét trường hợp Bài toán trích từ tài liệu tham khảo [3]  x ≥ −2 •u = v ⇔ x + = x + x + ⇔  2 x + 4x + = 2x + x +  − 21 + 21   x ≥ −2 ⇔ ⇔ x∈ ;  2 x − x − =       x ≤ −1 •u + v + x = ⇔ x + x + = −2 x − ⇔  2 2 x + x + = x + x +  x ≤ −1 ⇔ ⇔ x = −3 x + x + =   − 21 + 21  ; ; −3 Kết luận: Phương trình ban đầu có tập nghiệm x ∈    Nhận xét Đối với toán ,phía thức có dạng nhị thức bậc nên tạm thời sử dụng : x + = x x + x + ⇔ ( x + n ) − ( x + a.x + b) = x x( x + n) + x + a.x + b n + b = n =  b =  ⇒ a = −1  n + a = Đồng hệ số  b = 2n − a =  ⇒ ( x + 2) − x + x − = x x( x + 2) + x − x + Bài toán [4] Giải phương trình − x2 + x x+ = 3− 2x− x2 ( *) Lời giải: Phương trình có dạng 13  A ≥  A = B ⇔   B ≥ A = B  Khi ta có: Bài toán 17được trích từ tài liệu tham khảo [4]  3− 2x− x2 ≥ ⇔ ( *) ⇔  2  − x + x x+ = 3− 2x+ x  −3 ≤ x≤  x+ ⇔ − ≥0 ⇔   x2 (x+ 5) = (x+ 2)2  −3 ≤ x≤   x+ x+ = −  x  −3 ≤ x≤  ⇔ x= −1  −2 ≤ x<  x3 + x2 − 16x− 16 =  Bài toán [3] Giải phương trình = 2x + (2 x − 1)(4 x + 3) − Lời giải   x ≥  −3 Điều kiện   x ≤    (2 x − 1)(4 x + 3) ≠ 36 Phương trình cho tương đương với 14 = (2 x + 1) ( ) (2 x − 1)(4 x + 3) − ⇔ 12 x + = (2 x + 1) x + x − ⇔ x + x + − x + x + = (2 x + 1) x + x + + x − x − ⇔ (2 x + 2) − x + x + = (2 x + 1) (2 x + 1)(2 x + 2) + x − x − Đặt x + = u; x + x − = v,(v ≥ 0) ta thu 2 u = v u − x + x + = (2 x + 1)v 2 ⇒ u − v = (2 x + 1)( v − u ) ⇔  u + v + x + =  v − x + x + = (2 x + 1)u Xét trường hợp  x ≥ −1  x ≥ −1 •u = v ⇔ x + = x + x − ⇔  ⇔  2  x + x + = x + x − 4 x − x − =  ± 37  ⇔ x∈     4 x ≤ −3 x = − •u + v + x + = ⇔ x + x − = −4 x − ⇔  ⇔  x + 22 x + 12 =   x = −2 Bài toán trích từ tài liệu tham khảo [3]  3 ± 37  Kết luận Phương trình cho có nghiệm x ∈ − ; −2;    Bài toán [4] Giải phương trình 3x+ − x− = 2x− Lời giải Bài có dạng f(x) − g(x) = h(x) ( *) Điều kiện: −1  x≥   3x+ ≥    x− ≥ ⇔  x≥ ⇔ x≥ 2x− ≥    x≥  Khi : * ⇔ 3x+ = x− + 2x− ⇔ 4(3x+ 1) = x− 1+ 4(2x− 1) + (x− 1)(2x− 1) ( )  x≥ ⇔ 2x2 − 3x+ = 3x+ ⇔  ⇔ x = 5(x= ≥ 1) 23x − 102x− 65 =  15 Vậy nghiệm pt x=5 Vậy nghiệm pt x=5 Bài toán 10[4] Giải phương trình x − x + = ( −4 x − 1) x + x − Lời giải Bài chia vế cho -4x-1 có dạng: f(x) = g(x) Điều kiện x + 3x − ≥ Phương trình cho tương đương với ( −2 x + 1) − x = ( −4 x − 1) ( −4 x − 1) ( −2 x + 1) + x Đặt −2 x + = u; x + 3x − = v ta thu hệ phương trình u − x = ( −4 x − 1) v u = v ⇒ u − v = ( −4 x − 1) ( v − u ) ⇔   u + v = + x v − x = ( −4 x − 1) u Xét hai trường hợp xảy −2x+ ≥ •u= v⇔ −2x+ = 8x2 + 3x− ⇔  2 4x − 4x+ = 8x + 3x−  1   x≤ ⇔ ⇔ x∈  ;−2  4  4x2 + 7x− =  Bài toán 9,10 trích từ tài liệu tham khảo [4] x ≤ • u + v = + x ⇔ x = x + 3x − ⇔  2 36 x = x + x − x ≥ ⇔ (Hệ vô nghiệm) 28 x − x + = Kết luận phương trình cho có hai nghiệm x = ; x = −2 Bài toán 11 [4] Giải phương trình x + 19 x + = x x − x + Lời giải Điều kiện x − x + ≥ Phương trình cho tương đương với ( x + 3) + x − = x x ( x + 3) − x + Đặt x + = u; x − x + = v ta thu hệ phương trình u + x − = xv u = v ⇒ u2 − v2 = x ( v − u ) ⇔   u + x − = xu u + v = − x Xét hai trường hợp xảy 16 2 x + ≥ • u = v ⇔ 2x + = 2x2 − 4x + ⇔  2 4 x + 12 x + = x − x + 3  x ≥ − ⇔ ⇔ x = −4 + 13 2 x + 16 x + =   x ≤ −1 −11 − 79 • u + v = − x ⇔ − x − x + = 3x + ⇔  ⇔x= 7 x + 22 x + = Vậy phương trình cho có hai nghiệm Nhận xét Các toán bạn giải phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn nhân liên hợp, không đơn giản đòi hỏi phải có nhiều kinh nghiệm kĩ thật tốt giải Sau tiếp tục làm phức tạp hóa toán lên, khiến cho phương pháp khác phải khó khăn x + x + 10 = x3 + x + x Bài toán 12 [5] Giải phương trình 2 x + 3x + Biến đổi PT dạng: ( x + 2) + x + = (2 x + x + 3) (2 x + x + 3)( x + 2) − (5 x + 6)  x + = u Đặt:   (2 x + x + 3)( x + 2) − (5 x + 6) = v Bài toán 11 trích từ tài liệu tham khảo [4], toán 12 trích từ tài liệu tham khảo [5] u + x + = (2 x + 3x + 3)v Ta thu hệ:  2 v + x + = (2 x + x + 3)u u = v Giải hệ ta được:  u + v + x + x + = Đến trở lại phép đặt, giải phương trình, đối chiếu điều kiện ta tìm  x = −1 nghiệm:   x = −1 + x + 29 x + 26 = x + x + 15 x + 14 Bài toán 13[6] Giải phương trình x + x+3 17 Biến đổi PT dạng: (3x + 5) + − x = ( x + x + 3) ( x + x + 3)(3x + 5) − (1 − x) 3 x + = u Đặt:   ( x + x + 3)(3 x + 5) − (1 − x) = v u + − x = ( x + x + 3)v Ta thu hệ:  2 v + − x = ( x + x + 3)u u = v Giải hệ ta được:  u + v + x + x + = Đến trở lại phép đặt, giải phương trình, đối chiếu điều kiện  x = −1 ta tìm nghiệm:  ± 37 x=  Bài toán 14 [7] Giải phương trình x2 + x + = x3 + x + x + 16 2x2 − x + Biến đổi PT dạng: ( x + 4) − x − 12 = (2 x − x + 1) (2 x − x + 1)( x + 4) + (7 x + 12)  x + = u  (2 x − x + 1)( x + 4) + (7 x + 12) = v Đặt:  u − x − 12 = (2 x − x + 1)v Ta thu hệ:  2 v − x − 12 = (2 x − x + 1)u u = v Giải hệ ta được:  u + v + x − x + = Đến trở lại phép đặt, giải phương trình, đối chiếu điều kiện x = ta tìm nghiệm:  −3 ± 17 x=  Bài toán 15 [8] Giải phương trình x + 10 x + = x3 + x + x + x +1 Biến đổi PT dạng: ( x + 3) + x − = ( x + x + 1) ( x + x + 1)( x + 3) − (4 x − 6)  x + = u  ( x + x + 1)( x + 3) − (4 x − 1) = v Đặt:  18 u + x − = ( x + x + 1)v Ta thu hệ:  2 v + x − = ( x + x + 1)u u = v Giải hệ ta được:  u + v + x + x + = Đến trở lại phép đặt, giải phương trình, đối chiếu điều kiện x = ta tìm nghiệm:  −3 + 33 x=  2.3.2 Thực nghiệm sư phạm * Mục đích thực nghiệm sư phạm: - Sơ đánh giá hiệu tiến trình dạy học việc khắc phục hạn chế học sinh * Đối tượng thực nghiệm sư phạm: - Học sinh khối 10 trường THPT Dân Tộc Nội Trú tỉnh Thanh Hoá * Thời gian, địa điểm công tác chuẩn bị thực nghiệm sư phạm - Việc thực nghiệm sư phạm thực năm học 2016-2017 - Thực nghiệm sư phạm tiến hành trường THPT Dân Tộc Nội Trú tỉnh Thanh Hoá * Kết quả: Bài toán 15 trích từ tài liệu tham khảo [8] - Học sinh mở rộng thêm kiến thức phương trình vô tỉ Qua theo dõi tiét dạy thấy học sinh hứng thú, tích cực hoạt động thực nghiệm Điều thể cụ thể qua biểu cụ thể học sinh qua tiết học sau: + Sẵn sàng cho việc thực nhiệm vụ để giải vấn đề + Hăng hái tham ra, đưa ý tưởng, giải pháp giải vấn đề + Hợp tác với bạn bè để thực nhiệm vụ + Có ý thức sửa chữa quan niệm sai than, giúp đỡ bạn bè sửa chữa quan niệm sai 19 - Để có nhận xét định lượng việc khắc phục quan niệm sai lầm học sinh, lại điều tra 179 học sinh lớp 10 Kết điều tra sau: Tổng số HS Quan niệm sai lầm HS Số HS có Số không Số HS quan niệm HS có quan không sai lầm 23 179 niệm sai lầm biết 149 - Từ bảng kết cho thấy số học sinh có quan niệm sai lầm 23/179 Kết cho thấy số học sinh có quan niệm sai giảm nhiều ( trước 100/ 179) - Số học sinh 7/179 ( trước 20/ 179) 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm : Với phương pháp tổ chức cho học sinh tiếp nhận học cách chủ động, tích cực, tất em hứng thú học tập thực hăng hái làm tập giao nhà tương tự Phương pháp dạy học dựa vào nguyên tắc: • Đảm bảo tính khoa học xác • Đảm bảo tính lôgic • Đảm bảo tính sư phạm • Đảm bảo tính hiệu Khi trình bày ý đến phương diện sau: • Phù hợp với trình độ nhận thức học sinh • Phát huy lực tư toán học học sinh BÀI TẬP THAM KHẢO x +3 Giải phương trình: x +4 x = 2 Giải phương trình: x + x + = x + Giải phương trình: = x +1 ( x − 1)(2 x + 3) − 20 2 Giải phương trình: x = + ( x − 1) x − x + x2 − x + Giải phương trình: =2 6x − 2 Giải phương trình: x − x = ( − x ) 3x − x + 2 Giải phương trình: x + 11x + = ( x + 1) x + x + 5 Giải phương trình: 2(2 x + x ) = 2 x + x − 9 Giải phương trình: 2(2 x + + x ) = x + x − 11 10 10 Giải phương trình: x + x + = 2 x + 3x − 13 11 Giải phương trình: x + x = 18 + x − 2 12 Giải phương trình: 4( x − x + 12) = ( x + 3) x + 10 x − 48 13 Giải phương trình: ( x − 1)( x − 2) + 18 = ( 3x + 1) ( x − 2)(3x + 10) 13 14 Giải phương trình: 18 x + x = 18 + x − 8x2 − 2x + Giải phương trình: =2 15 12 x − 16 Giải phương trình: x + 13 = (2 x + 4) 2(2 x − 1)(2x + 3) 17 Giải phương trình: = 5x + (5 x − 1)(10 x + 3) − 18 Giải phương trình: ( x + 1) + 27 = ( x + 3) ( x − 2)(x + 9) 19 Giải phương trình: x + 11 = x ( x − 1)(2x + 7) 20 Giải phương trình: x + 13 = ( x + 4) 2( x − 1)(x + 3) KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Nếu học sinh biết phương pháp có hiệu em tự tin giải toán dạng dạng tương tự Tuy nhiên 21 toán có nhiều cách giải , phương pháp giải dài phương pháp khác lại có đường lối nhận biết rõ ràng dễ tiếp cận phương pháp khác Hoặc tiền đề cho ta sáng tạo dạng tập khác Từ toán thi đại học đào sâu suy nghĩ đưa nhiều cách giải mở rộng thành nhiều toán khác độ khó tăng lên rõ rệt Đó hay, đẹp toán học, khiến người ta say mê toán học Về phía giáo viên: Tích cực trau dồi chuyên môn nghiệp vụ, trao đổi kinh nghiệm, kiến thức, phương pháp không trường mà mở rộng cụm trường tỉnh tỉnh xung quanh, trao đổi nhiều thu nhiều Về phía lãnh đạo nhà trường: Tăng cường động viên, khích lệ, khen thưởng đồng chí GV trẻ, có lực chuyên môn tốt tích cực viết sáng kiến , trao đổi kinh nghiệm với thầy cô trước để nhanh chóng trưởng thành XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hoá ngày 15 tháng năm 2017 Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm viết, không chép nội dung người khác Người viết SKKN Bùi Thị Bích TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Sách giáo khoa Đại số 10 [2] Đề thi tuyển sinh vào Đại Học năm từ 2001 đến 2015 [3] Chuyên đề phương trình, hệ phương trình thạc sỹ Lê Văn Đoàn-.Nhà xuất Đại Học Quốc Gia Hà Nội [4] Đề thi thử THPT Quốc gia năm 2015 nhiều trường THPT [5] Tài liệu tập huấn sách giáo khoa - Nhà xuất Giáo dục [6] Các giảng luyện thi môn toán - Nhà xuất giáo dục 22 (TG: Phan Đức Chính - Vũ Dương Thụy - Đào Tam - Lê Thống Nhất) [7] Toán nâng cao đại số 10 - Phan Huy Khải [8] Báo Toán học tuổi trẻ- Nhà xuất giáo dục 23 ... toán học viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm: Một số giải pháp giúp học sinh có kỹ giải phương trình vô tỉ mong muốn chia sẻ, trao đổi kinh nghiệm làm toán, học toán dạy toán với bạn bè tỉnh... chế cách giải + Tiếp đến đưa cho học sinh ví dụ phức tạp để học sinh thấy sử dụng cách giải thong thường để giải 2.3.1 Một số toán phương trình vô tỉ Một toán đơn giản : Giải phương trình 2x−... phục hạn chế học sinh - Để khắc phục hạn chế học sinh giải phương trình vô tỉ, làm sau: + Đầu tiên đưa cho học sinh toán đơn giản mà học sinh giải theo cách sách giáo khoa đưa cho học sinh thấy