MỘT số SÁNG tạo GIẢI PHƯƠNG TRÌNH vô tỷ

Tìm tòi sáng tạo số cách giải phương trình vơ tỷ - Nguyễn Minh Tuấn LỜI NĨI ĐẦU Phương trình vơ tỷ vấn đề quan trọng đại số sơ cấp, có nhiều tài liệu nói vấn đề này, nhiên viết giới thiệu tới bạn đọc vài kỹ thuật hay bao gồm kỹ thuật giải tốn khơng cần CASIO toán kết hợp với vài kỹ thuật CASIO nhỏ để giải toán hay khó Trong viết gồm chủ đề:  Một số kỹ thuật nhỏ phương trình vơ tỷ  Kỹ thuật nhân liên hợp, phân tích nhân tử số phương trình vơ tỷ tầm trung  Kỹ thuật chứng minh vô nghiệm  Kỹ thuật sử dụng tính đơn điệu hàm số  Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Bài viết kinh nghiệm, thủ thuật mà tơi tích lũy trình học tập Một số kỹ thuật viết sưu tầm phát triển lên, nhiên nhớ hết tác giả kỹ thuật đó, mong tác giả bỏ qua cho thiếu sót Chủ yếu viết tham khảo từ anh, chị, thầy cô, diễn đàn sau: Anh Bùi Thế Việt Anh Lâm Hữu Minh Thầy Lã Duy Tiến Thầy Đồn Trí Dũng Diễn đàn k2pi.net Diễn đàn VMF: diendantoanhoc.net Ngồi bạn đọc tham khảo số viết, tài liệu mạng để hiểu biết Hầu hết tất toán viết giải theo cách giải nên khơng thể tránh khỏi thiếu sót, nên mong bạn đọc góp ý để viết hồn thiện Mọi ý kiến đóng xin gửi tác giả Nguyễn Minh Tuấn – THPT Bình Minh Facebook: https://www.facebook.com/minhtuanblog Email: tuangenk@gmail.com Blog: https://kinhnghiemhoctoan.wordpress.com/ Fanpage: https://www.facebook.com/OlympiadMathematical/ Page Tìm tòi sáng tạo số cách giải phương trình vơ tỷ - Nguyễn Minh Tuấn MỤC LỤC A MỘT VÀI KỸ THUẬT NHỎ I KIỂM TRA NGHIỆM BỘI .4 a) Kiểm tra đạo hàm .4 b) Kiểm tra giới hạn hàm số c) Một số mẹo khác .5 II TÌM NHÂN TỬ .6 Cách tìm nhân tử chứa nghiệm hữu tỷ đơn Cách tìm nhân tử chứa nghiệm hữu tỷ kép Cách tìm nhân tử chứa nghiệm bội cao Cách tìm nhân tử chứa nghiệm vơ tỷ .7 Cách tìm nhân tử chứa nghiệm hữu tỷ nghiệm vô tỷ III KỸ THUẬT PHÂN TÍCH TỔNG BÌNH PHƯƠNG IV KỸ THUẬT HOÁN ĐỔI NHÂN TỬ 11 V KỸ THUẬT ẨN PHỤ KHƠNG HỒN TỒN 15 VI KỸ THUẬT CHIA CĂN 17 Công thức chia 17 Công thức chia 17 Công thức chia 19 VII MỘT KỸ THUẬT NHỎ ĐÁNH GIÁ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM KÉP 22 B KỸ THUẬT NHÂN LIÊN HỢP, PHÂN TÍCH NHÂN TỬ MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ CƠ BẢN VÀ TẦM TRUNG 24 I ĐỀ BÀI 25 II HƯỚNG DẪN GIẢI .26 C KỸ THUẬT CHỨNG MINH VÔ NGHIỆM 42 PHẦN CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN .42 I CÁC BÀI TOÁN 42 II HƯỚNG DẪN GIẢI .44 PHẦN PHỤ LỤC – MỘT SỐ CÁCH CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC MỘT BIẾN KHÔNG CHỨA CĂN 65 I PHƯƠNG TRÌNH BẬC 65 Sử dụng tính chất tam thức bậc 65 Sử dụng đạo hàm 66 II PHƯƠNG TRÌNH BẬC 67 III CÁCH PHÂN TÍCH RIÊNG CHO HAI DỊNG MÁY ĐẶC BIỆT .68 IV CHỨNG MINH TRÊN KHOẢNG 70 V CHỨNG MINH TRÊN ĐOẠN 72 D KỸ THUẬT SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU 78 I LÝ THUYẾT .78 Định lý .78 Page Tìm tòi sáng tạo số cách giải phương trình vơ tỷ - Nguyễn Minh Tuấn Định lý .78 Định lý .78 II ĐỀ BÀI 79 III HƯỚNG DẪN GIẢI 80 E ỨNG DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ 101 I CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ 102 Bất đẳng thức Cauchy – AM – GM 102 Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz 102 Bất đẳng thức Minkowski 102 Bất đẳng thức Holder .102 II ĐỀ BÀI .103 III HƯỚNG DẪN GIẢI 106 Page Tìm tòi sáng tạo số cách giải phương trình vơ tỷ - Nguyễn Minh Tuấn A MỘT VÀI KỸ THUẬT NHỎ I KIỂM TRA NGHIỆM BỘI Xét phương trình f  x   ta phân tích phương trình thành  x  x  k g  x    Nếu k  phương trình có nghiệm đơn  Nếu k  phương trình có nghiệm bội k Sau cách để kiểm tra nghiệm xem có phải nghiệm bội hay khơng phương trình a) Kiểm tra đạo hàm f  x    f '  x0    Xét phương trình f  x   có nghiệm x  x nghiệm bội n khi:    n 1  x0   f f  n  x    0 Khi phương trình f  x   có nghiệm bội n Ví dụ : Kiểm tra nghiệm bội x  phương trình: x  4x  6x  4x   Ta có:  f '  x   4x3  12x2  12x   x1  f ''  x   12x  24x  12  f '''  x   24x  24 x 1   f ''''  x   24  x1 0 Vậy phương trình có nghiệm bội x  Nhận xét: Cách kiểm tra nghiệm bội đạo hàm nhanh với phương trình đa thức Nhưng nhiên gặp phải phương trình vơ tỷ có trở lên mà nghiệm bội cao ví dụ bội có mà tính đạo hàm tay chết ln đừng có nói đủ tâm làm tiếp Do ta sử dụng cách b) Kiểm tra giới hạn hàm số Xét phương trình f  x   ta phân tích phương trình thành  x  x  g  x   có k nghiệm bội k x  x  f  x 0  lim k 1 x  x0 x  x     Khi  phương trình có nghiệm bội k  lim f  x    x  x0  x  x k   f i  x   0i  0, k   Về mặt đạo hàm ta có  i f  x   0i  k Ví dụ: Kiểm tra nghiệm bội x  phương trình:  x   x    x    x  x  4x  Ta có: Page Tìm tòi sáng tạo số cách giải phương trình vô tỷ - Nguyễn Minh Tuấn x  2 lim x   x  2 x x   x  2 x2 x   x  2 x3 x   x  2 x4 x   x  2 x5 x0 x  2 lim x0 x  2 lim x0 lim x  2 x0 lim x  2 x0 Lời giải là: x  2    x  x  4x  x  x  4x  x  x  4x  x  x  4x 0 0 0 0 0 x    x    x  x  4x  x1  1x 2  x  6x  8x  16   x  x  4x 2  x1  1x   x     x  6x  8x  16   x    x   x  18  12x  Việc tính lim cuối máy tính để kết xác khó Nhưng nhiên cần kiểm tra nghiệm bội phương trình nên cần cuối khác được, khơng cần quan tâm đến điều khác Còn điều nữa, tính lim bạn nên CALC X  0, 01 khơng kết tồn làm bạn khó suy đốn Việc tính lim nên CALC nhiều giá trị khác để đánh giá tính chất nghiệm c) Một số mẹo khác  Do đề thi đại học tối đa cho nghiệm kép hết cỡ ta kiểm tra nghiệm kép cách sau: + Dùng MODE ta thấy hàm không đổi dấu qua mốc nghiệm kép + Dùng tổ hợp phím SHIFT  tức tính đạo hàm Tính d  f  x    dx x  x0 nghiệm kép  Kiểm tra nghiệm bội 3: Nếu dùng MODE mà thấy hàm đổi dấu qua mốc 0, mà thức phép tính d  f  x    chứng tỏ nghiệm bội dx x  x0 Nói chung có phát trình làm bài! Page Tìm tòi sáng tạo số cách giải phương trình vơ tỷ - Nguyễn Minh Tuấn II TÌM NHÂN TỬ Đây điều quan trọng việc giải phương trình vơ tỷ, làm tốt bước chuyển sang bước sau Sau đưa cho bạn loại nhân tử gặp giải, số khơng có đề thi học sinh giỏi hay THPT Quốc Gia mà mang tính chất tham khảo Ngồi tơi nhắc bạn phải nắm cách tìm loại nhân tử hay gặp đề thi để xử lí tốt gặp phải Cách tìm nhân tử chứa nghiệm hữu tỷ đơn  Đối với phương trình căn:khi gặp phải loại bạn thay trực tiếp nghiệm x  x vào thức + Nếu kết ngun ta ln nhân tử chứa nghiệm đơn + Nếu kết vơ tỷ dạng phải dùng ẩn phụ khơng hồn tồn để giải dùng cơng thức chia để giải quyết, nói chung nhiều cách  Đối với phương trình lúc nhân tử có dạng tối ưu f  x   a g  x   b Cũng tương tự căn, phương trình có hệ số vơ tỷ, trường hợp bạn phải suy đoán loại nhân tử khác chứa nghiệm khơng phải cho phân tích thành nhân tử được, thay kết vào mà thấy dễ dàng suy nhân tử Để tìm nhân tử ta cho a tùy ý để tìm b cho số a số vừa nhỏ, tối ưu Với cách làm có nhiều nhân tử sinh ra, để kiểm tra nhân tử tối ưu nên chọn số a 1,-1 ta lấy biểu thức đầu chia cho nhân tử tơi suy đốn CALC giá trị bé chạy từ -3 đến 3, kết số hiển thị dạng nhân tử đẹp Chú ý chọn nhân tử có nghiệm ngoại lai làm chia bị lẻ Nếu gặp trường hợp thể tìm nghiệm ngoại lai trước ( bình phương nhân tử để tìm nghiệm) nhân nhân tử vào phương trình đầu Nếu thử hết cách mà khơng chuyển sang liên hợp chứng minh vơ nghiệm ( đọc phần chứng minh vơ nghiệm thấy thích cách J) Cách tìm nhân tử chứa nghiệm hữu tỷ kép  Phương trình vơ tỷ Nhân tử thức chứa nghiệm kép có dạng tổng quát sau: f  x   ax  b Do chứa nghiệm kép x  x nên có hệ phương trình sau:  d a   dx f  x   f  x   ax  b       f  x   ax  b '  b   f  x   d  dx  Từ ta suy nhân tử tốn  Phương trình vơ tỷ     x  x0  f x Cũng tương tự trên, nhân tử chứa nghiệm bội kép có dạng  x  x0 f  x   a g  x   b Do nghiệm hữu tỷ kép nên đạo hàm chứa nghiệm kép x  x phương trình f '  x   x  x nghiệm đơn, có hệ sau: Page Tìm tòi sáng tạo số cách giải phương trình vơ tỷ - Nguyễn Minh Tuấn  d f  x  dx x  x0 a   d  g  x   f  x  a g x  b  dx x  x0      d   f  x   a g  x   b '    dx f  x    x  x0  g  x b   f  x    d    g  x    x  x0   dx  Từ ta suy nhân tử tốn Cách tìm nhân tử chứa nghiệm bội cao  Phương trình vơ tỷ Xét phương trình f  x   có nghiệm x  x nghiệm bội n  n   Khi để tìm nhân           f  x    f '  x   tử chứa nghiệm bội n x  x ta làm sau: Giải hệ phương trình:  Khi   f  n  1  x    nhân tử có dạng  f  x   a.xn 1  b.xn 2  c.xn 3   dx  e Và sau giải hệ ta tìm hệ số nhân tử Ngoài cần ý nhân tử nghiệm bội cao bậc bậc khơng nên tìm nhân tử theo mà nên kiểm tra xem tách thành nhân tử nghiệm kép bình phương hay khơng ( nghiệm bội 4) hay tách thành nhân tử nghiệm bội nhân với nhân tử chứa nghiệm đơn hay không ( nghiệm bội ) để giảm bớt độ cồng kềnh nhân tử  Phương trình vơ tỷ Thơng thường gặp phương trình vơ tỷ hay nhiều chứa nghiệm bội trở lên cách làm mà nhiều người sử dụng tách sau tìm nhân tử liên hợp nhân liên hợp sau chứng minh phương trình lại vơ nghiệm Tuy nhiên tìm nhân tử chứa nghiệm bội sau + Nếu phương trình có nghiệm bội ( có nghiệm hữu tỷ), lúc nhân tử có dạng sau: f  x   a g  x   bx  c Để tìm hệ số a,b,c ta giải hệ   f  x   a g  x   bx  c    f  x   a g  x   bx  c '   Nhân tử   f  x   a g  x   bx  c ''   + Nếu phương trình có nghiệm bội ta tìm nhân tử chứa nghiệm bội kép sau bình phương lên thành nhân tử chứa nghiệm bội + Nếu phương trình có nghiệm bội ta kiểm tra xem tách thành nhân tử nghiệm bội nhân với nhân tử chứa nghiệm đơn hay khơng + Ngồi nghiệm bội cao ta tư theo hướng để tìm nhân tử Và nên làm theo phương pháp nhân liên hợp Cách tìm nhân tử chứa nghiệm vơ tỷ     Page Tìm tòi sáng tạo số cách giải phương trình vơ tỷ - Nguyễn Minh Tuấn  Cách tìm nhân tử chứa nghiệm vơ tỷ dạng a  b c Đây dạng nghiệm phương trình bậc nên ta có cách tìm nhân tử sau: + Đối với nhân tử có dạng  f  x   ax  b Khi dùng MODE với hàm  f  A   XA với A nghiệm vơ tỷ phương trình đầu Ta cho kiện máy hỏi theo ý định tìm nhân tử ( tức tìm giá trị X làm F  X  hữu tỷ) Nếu khơng tìm nhân tử cho   ta tiếp tục nâng hệ số  lên tìm nhân tử Thơng thường giải phương trình mà tìm nghiệm vơ tỷ ta nên nghĩ đến trường hợp đề thi đại học hay số đề thi thử hầu hết cho nghiệm dạng Để tìm dạng nghiệm chuẩn xác a  b c ta dùng MODE với hàm f  X   A  XA sau tìm tương tự ta phương trình bậc chứa nghiệm vơ tỷ vừa tìm + Đối với phương trình vơ tỷ ta nhân tử có dạng sau  f  x   a g  x   b sau dùng MODE với hàm F  X    f  A   X g  A  sau tìm tương tự ta nhân tử chứa nghiệm vơ tỷ Nếu thi ta gặp trường hợp nghiệm vô tỷ kép làm tương tự trên, khác sau tìm nhân tử chứa nghiệm vơ tỷ đơn phải bình phương nhân tử lên Cách tìm nhân tử chứa nghiệm hữu tỷ nghiệm vơ tỷ Ngồi dạng nhân tử tơi nói dạng dạng hay gặp đề thi Tuy nhiên cách làm tổng quát mà người đề muốn nhắm tới lơi hai nghiệm ( thông thường nghiệm vô tỷ trước ) sau phải dùng hàm số khảo sát để nghiệm Mặc dù lơi nghiệm lúc mà nhiều người cho không thể, cụ thể sau: f  x   phân tích thành Ta xét phương trình tổng qt  x  x   ax  bx  c  g  x   g  x  ln vơ nghiệm ax  bx  c phương trình bậc chứa nghiệm vơ tỷ phương trình đầu Khi để tìm nhân tử chứa nghiệm này( áp dụng cho căn) ta làm theo bước sau:  Bước 1: Ta tìm nhân tử bậc chứa nghiệm lẻ X  A MODE với hàm f  X   A  XA  Bước 2: Ta tìm nhân tử chứa nghiệm lẻ X  A MODE với hàm f  X    n f  A   XA  Bước 3: Khi nhân tử có dạng: n f  A   ax  b  k  cx  dx  e   Ta thay nghiệm hữu tỷ vào tìm k, k   n f  x0   ax  b cx  dx  e Vậy ta tìm xong nhân tử chứa nghiệm vô tỷ bậc nghiệm hữu tỷ đơn Page Tìm tòi sáng tạo số cách giải phương trình vơ tỷ - Nguyễn Minh Tuấn III KỸ THUẬT PHÂN TÍCH TỔNG BÌNH PHƯƠNG Ví dụ 1: Giải phương trình: 3x  2x   3x  x2  2x   2x2  2x  Đề thi thử THPT Quốc Gia 2016 lần – THPT Chuyên ĐH Sư phạm – Hà Nội  Giải Lời giải ngắn gọn sau: 3x  2x   3x  x  2x   2x  2x  2 1  3x  2x    3x  x  2x     x  1  2  3x  2x      Dễ thấy VT  nên dấu "  " xảy  3x  x  2x     x  1 x    Vậy x  1 nghiệm phương trình  Thế nào, sau đọc xong có thấy dài cách làm Cauchy khơng? Thực chất cách dùng bất đẳng thức, tên tiếng Anh Sum of square hay ta gọi SOS  Đầu tiên để làm theo cách ta làm theo bước sau:( ý áp dụng cho đa số đứng đơn lẻ,đa thức bậc có nghiệm kép) Tìm nghiệm phương trình Tìm nhân tử chứa nghiệm đơn cho Xác định dấu phương trình đầu CASIO Khi phân tích phương trìnhthành:        f  x  a   Với  ,  , ,  dấu,    f1  x   b     fn  x   z  0 f  x   a; f1  x   b nhân tử chứa nghiệm đơn vừa tìm Áp dụng vào  3x  2x   1 Ta có x  1   3x  x  2x   Nhận thấy VT  nên ta tách phương trình thành: 3x  2x   3x  x  2x   2x  2x  2 1  3x  2x    3x  x  2x     x  1  2    Page  Tìm tòi sáng tạo số cách giải phương trình vơ tỷ - Nguyễn Minh Tuấn Vídụ 2: Giải phương trình: x2  2x   x2  2x   x2  2x   Giải Áp dụng cách làm ta được: x  2x   x  2x   x  2x   2   x  2x    x  2x    2 Đến xong       x  2x    0 Ví dụ 3: Chứng minh rằng: f  x  x  x   32 x  4x2  7x  12   0x   3;   x  x2  16x  11 Trích từ “Những viên kim cương bất đẳng thức toán học” – Trần Phương  Giải Câu chắn phải làm theo AM – GM dùng SOS để giải          4 2 x   x  x   32 x    x  x    Ta có: f  x    x  x  16x  11 2 x   x  x    x3  Do dấu "  " xảy   x      x  x     Vậy toán giải quyết! Bài tập tương tự x    x  x  6x  11 2 1 Đ/s:  x2 1   x    x  3  2 2x   x   2x   12  x  2x  41 2 2 1 Đ/s:  2x    x3 2  2x     x   2 4 x  4x  6x  3x   2x   2x     0           2x   2x   2x   0 Đ/s:  x    4 4 x   3x  x   x   x  4x x 2 Đ/s: x  x   x  x   x  4x  2x  2x   x  4x  2x  6x  x       2x       x  12x   x  x  2x 4x   4x  x Đ/s:    4x  x   x  4x    x  4x   x  4x   x  x Page 10 0 Tìm tòi sáng tạo số cách giải phương trình vơ tỷ - Nguyễn Minh Tuấn  2x   Mà  , nên f  x   Dấu “=” xảy x   x   Bài 38: Giải phương trình: 2x  2x   2x     x   2x    1 x1  Giải   Nhìn dạng ta dùng bất đẳng thức vectơ Cho vectơ v  x; y  u  a; b  , ta có:     u  v  u  v  x2  y2  a2  b2   x  a   y  b  x y  Ngồi mở rộng cho vectơ, thêm a  m; n  : a b       2 u  v  a  u  v  a  x2  y2  a2  b2  m  n   x  a  m    y  b  n  Dấu “=” xảy Bây vấn đề phân tích biểu thức thành tổng bình phương để áp dụng bất đẳng thức Ta có: 2x2  2x   x  x  2x   x2   x   2x  2x   2  1 1    1 x1  x   x x   x    x   2 2      1  3  1 x1  x  x1 x  x  x  x        2 Đến áp dụng bất đẳng thức ta được: 1  VT   x  x   x     x   x  x   18x  2 2  Dễ thấy 18x2  chưa phải lớn 3, để ý điểm rơi bất đẳng thức khơng phải x  nên ta đánh giá sai Để đánh giá để ý ta áp dụng cho sau điểm rơi x  , nên ta xử đằng sau trước, ta được: 2 2  1  1  3   2  x  x    x    4x  4x   x  4x   x   x       2  2       3 Chú ý: Nếu ban đầu ta viết  x   điểm rơi lúc x  nên    2    3 để điểm rơi x  ta phải đổi  x    x         Còn lại để xuất ta cần phải biến đổi lại, ta được: 2 2x2  2x   x  x  2x   x2   x    x2    x    x Vậy VT  x    x   VP Dấu “=” xảy x  Page 133 Tìm tòi sáng tạo số cách giải phương trình vơ tỷ - Nguyễn Minh Tuấn Bài 40: Giải phương trình:  x  4x    3x  x3    x x Giải Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta được:  x  4x    AM  GM 2x     x    x3    3x  x3     x    x x x x   2x 1   x3      x x x x Vậy VT  VP Dấu “=” xảy x  Bài 41: Giải phương trình: 1  x  3x   1  x  3x   x2  Diễn đàn k2pi.net Giải Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: 1   x  3x   2  x  3x   x  3x  1  x  3x  x2  3x   x  3x    2x2    x2  x2    x2   x2   x2   x2    x2  x 1  x 11  0 Vậy VT  VP Dấu “=” xảy x  Bài 42: Giải phương trình: x  x  6x   x6  x   Bùi Thế Việt – Vted.vn Giải Đầu tiên ta dùng tiếp tuyến tìm đánh giá là: x6  x   5x  - Nếu x  bất đẳng thức - Nếu x  x  x   5x    x    4x  8x  12x  16x    Dễ thấy bất đẳng thức cuối nên ta : x  x  6x   x  x   x  x  6x   5x    x  1  x  x  1  VP Vậy toán giải quyết! Bài 43: Giải phương trình: x9  2x   x  x     x   x  2x  2x   Nguyễn Minh Tuấn Giải Page 134 Tìm tòi sáng tạo số cách giải phương trình vơ tỷ - Nguyễn Minh Tuấn   x  2x   x  Phương trình có nghiệm x  nên ta có đánh giá:   x8  x   x   2 Nếu x  đánh giá Nếu x  ta được: 7 x8  x   x    x    4x  8x  12x  16x  20x  24x  21   2 2 x9  2x   x    x    4x7  8x  12x  16x  20x  24x  28x  17   2  20x  24x  21  Dễ thấy với x  đương nhiên bất đẳng thức ln vì:   24x  28x  17  Vậy VT  VP   x    x    2 Dấu “=” xảy x  Bài 44: Giải phương trình:   2 x      2x   2x   2x  x 2x  x  Nguyễn Minh Tuấn Giải a  x b    a b   Đặt  phương trình trở thành: 2  a  a  1  b3  b  2x  Ta có bổ đề:  a  1 b   c     abc   - Đã chứng minh Áp dụng ta có:   a   a   b     a b    1  1  a  1    a    1   b   b     b  3 3 3 3 Nhân vế theo vế ta được: 3 3   a3    b3     a2 b    a    b2  3 1  a b 1  a 1  b   1  a  1  b  3 3   a b    a    b      a b   b    a  1 b  1  a  a  1 b  1 8 Vậy toán giải quyết! Page 135 2 Tìm tòi sáng tạo số cách giải phương trình vơ tỷ - Nguyễn Minh Tuấn  28x     Bài 45: Giải phương trình:  x    1     256  x    28x      Nguyễn Minh Tuấn Giải Cách 1: Bất đẳng thức Holder a  x  Nhìn thấy dạng tích lại nghĩ đến bất đẳng thức Holder Đặt  , phương trình b  28x  trở thành: b     a         256 a  b  Áp dụng hệ bất đẳng thức Holder cho dãy số:   a   b   c   d     abcd  4 b     b 9   a Ta được:   a              256  VP   a  a b b  b  b    Dấu “=” xảy a  3; b   x  Cách 2: Bất đẳng thức AM – GM Theo AM – GM ta có: 2 b   b     a           a  b       b  b  a  a  b  b   2    1   b     b  1  b   2    9    b  1  1 9  2 b   10   256   b  b  b b     Vậy VT  VP Dấu “=” xảy x  Cách 3: Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz  b   Cauchy Schwarz   Ta có:   a       b  1    256 a  b b   Vậy VT  VP Dấu “=” xảy x  Cách 4: Chú ý ta ln có đẳng thức sau:     2   b         b   a         256  32   b     b     a     a  b b   b   b   a   Áp dụng vào ta được:  28x     1 x  1      256  x  28x        2   3      28x    32   28x      28x      x   1  0   28x    28x    28x    x6   Dấu “=” xảy x  Page 136 Tìm tòi sáng tạo số cách giải phương trình vơ tỷ - Nguyễn Minh Tuấn  2x x1    4 4  2 2x 2x x1  x1 Bài 46: Giải phương trình: Nguyễn Minh Tuấn Giải a   x 1  a b  a  b  , phương trình trở thành:    Đặt    2 a b  b a  b  x  1  a b 1 a b     2     22 0  a b  b a  a b b a  a  b  2ab  2ab  2  a  b  a  b    a  b        a  b   a  b  1  Do a  b2    a  b   1;  Vậy bất đẳng thức cuối Dấu “=” xảy a  b  x  Bài 47: Giải phương trình:   x1  3x x1  3x   1 x1  3x  x    x  Nguyễn Minh Tuấn Giải Ta có: 1     x1  3x x1  x1  3x  x  1  x   x   x  1  x    x    x   x    x  x1  3x    1   x1  3x  x1  3x  Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:  x1  3x  x1  3x     x1  3x   x  1  x  2    x1  3x  4  x    x   2 x1  3x  4 x1  3x Cộng vế ta VT  VP Dấu “=” xảy x  Page 137    x    x   Tìm tòi sáng tạo số cách giải phương trình vơ tỷ - Nguyễn Minh Tuấn Bài 48: Giải phương trình:   x   2   1    1 x2 x2    2   1    17  2 3x   Nguyễn Minh Tuấn Giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có: 1   3x Cauchy  Schwarz   1    1 x2 x2       1   3x   1        x  1     x 1    2 x2   x    Cách 1: Phân tích nhân tử     1       x  1     x 1      17  12 2 x2   x                 x 1     x  1     34  24 x2  x           3x x2    3x  x2      34  24 x2 x2 3x  3x   x 2 x 11 3x x2   3x     x2     23 4  x x  x   x   34  24  2  2  3x  2 3x   x2  2 x  2    3x x2       2 3 2 3x x2 x2 3x    34  24       Bài toán giải ta chứng minh được:  3x  x2      34  24  3x  x2  Thật không may là:  3x  x2   2  23 2  43 x2 3x 3x  x2  Vậy toán giải quyết! 3x x2 AM  GM Dấu “=” xảy x     34  24  VP Cách 2: Bất đẳng thức a   x 1 1    2  a  b  , ta chứng minh   a  1      b  1     VP Đặt  2  b  a  b  x   Page 138 Tìm tòi sáng tạo số cách giải phương trình vơ tỷ - Nguyễn Minh Tuấn  1      a    b     b    a          1  1  a  b     b a     1 a b 2 2 a b     2              2 a b b a  ab  b a       b2 a2 3 3a  3b  AM  GM  4   a  b   2   b a  ab        2 2   2   a b  ab    AM  GM    4      4   6  2     17  12 ab  16 ab   6 a  b2     16      Vậy toán giải quyết!  1 Bài 49: Giải phương trình:   x 2x  x  2x   x  2x  64   0 Nguyễn Minh Tuấn Giải Ta có: 1   x 2x  x  2x    64 0     64 2    32  x     x    1        x  x  x  x  x  x x  2x  x 2x x  2x 2 Lại có: 2   x  2 4  2 2 2 2 2 2 2 2x    Theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có:   2 2x        x    x   x    x  0   x  x  x  2x    4 x    x        x    x   x     x    x    x   x    2x 2 2  x  2x   x    x    x   x      Page 139 2 2 2x    Tìm tòi sáng tạo số cách giải phương trình vơ tỷ - Nguyễn Minh Tuấn  x  2x 2 x 2x         2 2 x 2x  x  2x                 x  x  2x 2x  2 2x     x     Ta chứng minh:  2  x     x  2x 2x 2 2x     x     2x x  2x x       x      64 x   2  x     x    x  2x 2 2x         x   x 2  x    2x 32     x  2 x  2x  0 Vậy VT  VP Dấu “=” xảy x  Bài 50: Giải phương trình:  4x   8x   4x      x   x   8x    Nguyễn Minh Tuấn Giải Ta có:  4x   8x   4x   x     x   1 8x   1  8x    8x  3     x  1     x     2 x   2  4  4      8x      Chú ý rằng: 1   x1  0  2   x1  8x    8x             x1   x1     8x  8x       4   8x  8x    x1  4 2  8x   x1    x    4   8x   Do VT   x     Mà theo AM – GM ta ln có:      8x     x      8x    8x        x1     VT  x        4    Dấu “=” xảy x   8x   4 Page 140 Tìm tòi sáng tạo số cách giải phương trình vơ tỷ - Nguyễn Minh Tuấn Bài 51: Giải phương trình: x x   x  2x     2x  1 2x   x  x  2x  2x  Nguyễn Minh Tuấn Giải Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: 11   x  2x   3 x ;  x  2x      2x  1; 11  x  x 2x  x 2x   2x     x x Cộng lại ta được: VT      2x      2x   VP 2x  x 2x   x  Vậy dấu “=” xảy x  2x    x  Bài 52: Giải phương trình: x2  x  1  x  x2  x  x   x  Diễn đàn k2pi.net.vn Giải Áp dụng bất đẳng thức AM – GM phát Ta có: 3 VT   x  x     x    x  x    x     x2  x  1    x     x2  x  1   x  1   x2  Dấu “=” xảy x   x2  4x  1 Bài 52: Giải phương trình:  2x     x 16x Đề nghị 30/4/2014 – THPT Chuyên Lê Quý Đôn – Vũng Tàu Giải   2x   x   6  6  ĐKXĐ: x    ; ;   Theo AM – GM ta có:  Từ suy 3         x2 x2  ra: x VP  VT   4x  1 16x 4  x  1  x6  14x5  87x4  116x3  87x2  14x  1 x  3 x 16x6 Lại có: x  14x  87x  116x  87x  14x    6  6 58  2813   x  x  14x  16   71x  x    x  14x   0x    ; ;   71  71      2 Page 141 Tìm tòi sáng tạo số cách giải phương trình vơ tỷ - Nguyễn Minh Tuấn Vậy VP  VT Dấu “=” xảy x  1 Bài 53: Giải phương trình: x   x    x    2x  Giải   u u  x  3; x      x  3  x  Đặt   Theo bất đẳng thức vecto ta có:     v   1;  v         u.v  u v  x    x     x    2x    Vậy VT  VP Đẳng thức xảy hai vecto u, v phương với Tức x  Bài 54: Giải phương trình: 2  x  x9 x1 Giải Theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có: 2  2   x   x    2  x    x1 x    x1   x    x  9    x   x   VP x  x     Đẳng thức xảy 2  x1 Bài 55: Giải phương trình: 2x    x1 x1 8 x x x x1 1 3 3 x3 2 Giải  2x   3a  1  3 x  Khi ta có hệ phương trình:  Đặt a  2 2a    x  1 3a  3  x Mà f  t     t hàm đồng 2 x3 biến  0;   nên suy a  x  a  x  2x   Giả sử x  a  2x  2a   Đặt b  x  ta có hệ phương trình 2x   b  2b   x Page 142 Tìm tòi sáng tạo số cách giải phương trình vơ tỷ - Nguyễn Minh Tuấn x  Giả sử x  b   b   x  b  x  b  x Hay 2x  x     x    KTM   Vậy phương trình có nghiệm x  Bài 56: Giải phương trình: 27x2  24x  28 27  1 x6 Diễn đàn k2pi.net Giải Phương trình tương đương:  9x    9x       9x   28 27x  24x   1  24 3 Đặt 9x   y  y   Khi phương trình trở thành: 24 y2 3y y2 3y   1 2   1  6y 3 Theo AM – GM ta có:  y2  6y y2  y  6  6y  4   2y        y    3   Vậy đẳng thức xảy y   x  Bài 57: Giải phương trình: x  x   x  x   4x   32 x  2x   Giải Ta có: 4x  32 x  2x     1 64  4x   2x     2x    3  x  2x    Theo AM – GM ta có: 4x  Từ suy 4x  32 x  2x   32 x  2x   2   1 64 2 4x  2x   2 x  2x     3    4  54  Xét bất phương trình: x  x   x  x    x2  x    x2  x   2x   x2  x  Page 143 Tìm tòi sáng tạo số cách giải phương trình vơ tỷ - Nguyễn Minh Tuấn Nếu 2x    x  Bất phương trình ln  Nếu 2x   , bất phương trình lúc tương đương với :  4x  4x    x  x     Vậy VT   VP phương trình vơ nghiệm! Bài 58: Giải phương trình: x   x   x  Giải Theo AM – GM ta có: x   4x Theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có:   x   x    x     x    4x Từ suy phương trình vơ nghiệm! Bài 59: Giải phương trình: x2  x  19  7x2  8x  13  13x  17x   3  x   Giải Ta có: 1 3  x  x  19   x    18  18 2 4  7x  8x  13   2x     x     x   13x  2x  1  17x   2 2  4x    4x     4 Thế vào phương trình đầu ta VT  VP Dấu “=” xảy x  Bài 60: Giải phương trình: 11 25  1 x  x  2 Giải Đặt x   y  y   ta có x   y    y  10y  25 Phương trình trở thành:   625  25  y  10y  39y  250y  625    y    10  y    38    y  y   Đặt z  y  25 25  z  y  10 Phương trình  1 trở thành: z  10z  11   z  11 y y Page 144 Tìm tòi sáng tạo số cách giải phương trình vơ tỷ - Nguyễn Minh Tuấn Thay z  11  y  25  21  11  x  y  x10 y10  16 Bài 61: Giải phương trình:     x  y 16    x y   10 x  y Giải Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho số dương ta có:  x 10 y 10  x10 y 10 x 10 y 10 2 2      x y       8x y 2 2 2 y x x y x y  x16  y 16    4 x16 y 16  4x y  x 10 y 10        x 16  y 16   4x y  8x y x y  10 10 x y       x 16  y 16    x y   10 x  y Đẳng thức xảy x  y   x  y  1   4x y  16x y   x y  2y   x    x   x   Bài 62: Giải phương trình: Giải Với y  phương trình vơ nghiệm Với y  ĐK: x  ;   x y  Khi phương trình tương đương với: 2   25   2x y    y  x     x   x   Theo AM – GM ta có: x2 3x    1;  x    x2  x x     5   25  2x y      Để ý thấy  Nên phương trình có nghiệm x  ; y   y2  x2     Bài 63: Giải phương trình: 1    x   x    x  x  2 2   Giải  3 Điều kiện: x    ;   2 Page 145 Tìm tòi sáng tạo số cách giải phương trình vô tỷ - Nguyễn Minh Tuấn 1   Theo AM – GM ta có:   x   x   2   1  1     x   x     x  x  42  2   Theo Cauchy – Shwarz ta có:   3 1   x   x   x  x   2   x   x   2 2 2    Vậy VT  VP Do phương trình có nghiệm x  2  x1   x x  Bài 64: Giải phương trình:   x     1  x   1x   x11 Diễn đàn k2pi.net Giải Điều kiện: x   0; 1 Phương trình đầu tương đương:  x  x  1 x1 x x  x2    1 1x 1x  x   x11  x1  x  x  1 x x x  2     1x 1x  x   x1 1   x  x    x   1    x      1x  1x  1x     x x   x      0  x  x   Do x   0; 1 nên VT  Dấu “=” xảy x  Bài 65: Giải phương trình:  2013x   2013x    2014x   2014x    2014x   2014x Diễn đàn k2pi.net Giải Ta có: VT    2013x   2013x     2013x  2 x    2014x    2013x     2014x     2013x  2 2 2    2013x     2014x   VT    2014x  Page 146 Tìm tòi sáng tạo số cách giải phương trình vơ tỷ - Nguyễn Minh Tuấn VP    2014x   2014x    2014x   2014x    2  VP    2014x    2014x     2014x   2014x   a   2014x ab Đặt  b   2014x Ta chứng minh: VP  ab   a b  ab   ab  2ab  a  b   ab    4ab  ab  ab  ab  Ta lại có: ab    ab   ab  Bất đẳng thức  a  b  ab  ab  Vậy đẳng thức xảy x  Page 147 ... 24 Tìm tòi sáng tạo số cách giải phương trình vơ tỷ - Nguyễn Minh Tuấn B KỸ THUẬT NHÂN LIÊN HỢP, PHÂN TÍCH NHÂN TỬ MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ CƠ BẢN VÀ TẦM TRUNG I ĐỀ BÀI Giải phương trình: x ... 8x   21 Giải phương trình:    x    x 3x  2x     Page 25    Tìm tòi sáng tạo số cách giải phương trình vô tỷ - Nguyễn Minh Tuấn II HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: Giải phương trình: x ... DẪN GIẢI 106 Page Tìm tòi sáng tạo số cách giải phương trình vơ tỷ - Nguyễn Minh Tuấn A MỘT VÀI KỸ THUẬT NHỎ I KIỂM TRA NGHIỆM BỘI Xét phương trình f  x   ta phân tích phương trình