Một số bài toán về phương trình vô tỷ

Kính gửi: - Tạp chí Toán học Tuổi thơ 2 - Chuyên mục: Thi giải toán qua th... x=y=z khi và chỉ khi M là trọng tâm của tam giác ABC.

Kính gửi: - Tạp chí Toán học Tuổi thơ 2

- Chuyên mục: Thi giải toán qua th

Bài toán Giải phơng trình

4x4 + x2 +3x +4 = 33 16x 3 12x (1)

Lời giải: Viết lại phơng trình (1)

8x4 + 2x2 +6x +8 = 33 8 4x( 4x2  3 )

 8x4 + 2x2 +6x +8= 33 8x.( 4x2  3 ) 4 (2)

Mặt khác: 8x4 + 2x2 +6x +8 = 8x4 +2( ) 2

2

3



2

7

Do đó phơng trình (1) có nghiệm khi: 3 2

) 3 4 ( 4

áp dụng BĐT Cô Si cho 3 số dơng 8x, 4x2 +3 và 4 Ta có:

33 8x.( 4x2  3 ) 4 8 ( 4 2 3 ) 4







 x x hay 33 8x.( 4x2  3 ) 4 4 2 8 7





BĐT(3) xẩy ra dấu bằng khi và chỉ khi 8x= 4x2 +3 = 4  x21 (*)

Từ (2) và (3) ta có: 8x4 + 2x2 +6x +8 4 2 8 7













 ( 2x- 1)2 .(2x2 +2x+1) 0 ( 2 1 ) 2 0





 x ( vì 2x2 +2x+1 0, x)  2 x 1= 0

2

1



 x Thoả mãn (*) Vậy phơng trình (1) có một nghiệm duy nhất

Địa chỉ: Ngô Đức việt

Chuyên viên phòng GD - ĐT huyện Lộc Hà, tỉnh Hà Tĩnh

Điện thoại: 0912539836

Kính gửi: - Tạp chí Toán học Tuổi thơ 2

- Chuyên mục: Thi giải toán qua th

Bài toán Giải phơng trình

X 2 - x = 1004( 1  8032x+ 1) (1)

Lời giải: Điều kiện: x

8032

1



Phơng trình (1)  4x2 - 4x = 4016( 1  8032x + 1)

 4016 1  8032x = 4x2 - 4x - 4016  4016 1  8032x = (2x-1)2 - 4017

X=

2 1

Đặt 1  8032x = 2y- 1 ( y

2

1

(2x– 1)2 = 8032y + 1 (2)

Khi đó phơng trình (1) (2y – 1)2= 8032x + 1 (3)

y

2

1

 (4) Trừ PT(2) cho PT(3) theo từng vế ta đợc:

4(x- y)(x+ y- 1) + 8032(x- y) = 0  (x- y)(x + y + 2007)= 0 (5)

Mặt khác: Từ (2), (3) và (4) ta có: 4(x2+ y2)- 4(x+y) + 2 = 8032(x+y)+2

 2009(x+y) = x2+ y2  0  x y 0  x y 2007 0 Từ đó PT(5)  x = y Thay vào PT(3) ta đợc: 4y2 - 4y = 8032y y2- 2009y = 0

 y = 2009 ( vì y

2

1

 )  x = 2009 thoả mãn (*) Vậy phơng trình (1) có một nghiệm duy nhất

Địa chỉ: Ngô Đức việt

Chuyên viên phòng GD - ĐT huyện Lộc Hà, tỉnh Hà Tĩnh

Điện thoại: 0912539836

Kính gửi: - Tạp chí Toán học Tuổi thơ 2

- Chuyên mục: Thi giải toán qua th

Bài toán Cho một điểm M nằm trong tam giác ABC; các đờng thẳng AM, BM,

CM kéo dài cắt các cạnh BC, CA, AB lần lợt tại A1, B1và C1 Tìm điểm M sao cho biểu thức P =

1

1 1

1 1

1

MC

MC MC

MC MB

MB MB

MB MA

MA MA

MA









Tính giá trị nhỏ nhất đó

Lời giải:

Gọi x, y, z theo thứ tự lần lợt là diện tích các tam giác MBC,MCA,MAB

( x, y, z dơng)

áp dụng tỷ số diện tích tam giác ta có:

z y

x S

S

S S

S

S S

S

S S

S

MA

MA

MBA MCA

MBC

MBA MCA

MBA MCA

MBA

MBA

MCA

MCA







































 1 1 1 1

1

Tơng tự:

z x

y MB

MB





1 ;

y x

z MC

MC





1

Khi đó biểu thức P trở thành:

X= 2009 X= 2009

P = y x z y x z x y z x y z x z y xz y



















z

y x y

z x x

z y y x

z z x

y z y



























z z x

y z y

x

(*), (BĐT này ta đã quen thuộc đó là BĐT Netsbit) BĐT (*) xẩy ra dấu bằng khi và chỉ khi x=y=z

áp dụng BĐT CôSi cho 2 số dơng ta có:   2

x

y y

x

,   2

y

z z

y

và   2

z

x x z

 yx z  xy z xz y = ( ) ( ) ( )

z

x x

z y

z z

y x

y y

x









chỉ khi x = y = z

Vậy P

2

15 6 2

3





 hay PMin=

2

15

khi x=y=z

x=y=z khi và chỉ khi M là trọng tâm của tam giác ABC

Tóm lại: Biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất PMin=

2

15

khi điểm M là trọng tâm của ABC

Địa chỉ: Ngô Đức việt

Chuyên viên phòng GD - ĐT huyện Lộc Hà, tỉnh Hà Tĩnh

Điện thoại: 0912539836