Một Số bài toán sử dụng tính chất chia hết Phần I : Đặt vấn đề 1. Lý do chọn đề tài Cùng với sự phát triển của đất nớc, sự nghiệp giáo dục cũng đổi mới không ngừng. Các nhà trờng đều chú trọng đến chất lợng toàn diện bên cạnh sự đầu t thích đáng cho giáo dục. Với vai trò là môn học công cụ, bộ mônToán đã góp phần tạo điều kiện cho các em học tốt các môn khoa học tự nhiên khác . Dạy nh thế nào để học sinh không những nắm chắc kiến thức cơ bản một cách có hệ thống mà phải đợc nâng cao, phát triển để các em có hứng thú, say mê học tập là một câu hỏi mà mỗi thầy cô chúng ta luôn đặt ra cho mình. Để đáp ứng đợc yêu cầu của sự nghiệp giáo dục và nhu cầu học tập của học sinh. Do vậy trong giảng dạy chúng ta phải biết chắt lọc nội dung kiến thức, phải đi từ dễ đến khó, từ cụ thể đến trừu tợng và phát triển thành tổng quát giúp học sinh có thể phát triển t duy Toán học. Xuất phát từ cơ sở lý luận về nội dung học vấn phổ thông, đồng thời quán triệt mục tiêu đào tạo, giáo dục phổ thông đã đợc ghi ra trong các văn kiện của Đảng và nhà nớc, căn cứ vào đặc điểm đặc trng của bộ môn toán ở trờng phổ thông . Đó là : - Phát triển năng lực t duy, trí tuệ trong quá trình học toán cho học sinh. - Đảm bảo cho học sinh nắm đợc hệ thống kiến thức, kỹ năng cơ bản của bộ môn toán . - Giáo dục kỹ thuật tổng hợp cho học sinh . - Giáo dục thế giới quan duy vật biện chứng cho học sinh . Để đảm bảo 4 nhiệm vụ cơ bản của việc giảng dạy thì việc dạy cho học sinh nắm vững kiến thức cơ bản là một vấn đề vô cùng quan trọng bởi vì mỗi bài học đều cung cấp những nội dung kiến thức, kỹ năng cơ bản cơ bản trong hệ thống kiến thức của chơng trình toán học nào đó Là giáo viên giảng dạy bộ môn Toán ở trờng phổ thông cơ sở, trong quá trình giảng dạy bản thân tôi nhận thấy 1 Một Số bài toán sử dụng tính chất chia hết học sinh thờng hăy gặp khó khăn với các bài toán chia hết trong N.Vì vậy làm cho học sinh nắm chắc và có kĩ năng thực hành chia hết là trách nhiệm của giáo viên giảng dạy. Với thời gian phân phối cho chơng trình thì không thể khắc sâu và h- ớng dẫn học sinh tỉ mỉ đợc nếu không lựa chọn hệ thống bài tập và có kế hoạch cụ thể. Bản thân tôi trong quá trình giảng dạy đã áp dụng một số bài tập về phép chia hết và thấy có hiệu quả thiết thực vì vậy tôi chọn đề tài Một số bài toán sử dụng tính chất chia hết. Với thời gian nghiên cứu còn hạn chế và kiểm nghiệm cha nhiều nên chắc đề tài còn nhiều thiếu sót rất mong các thầy cô giáo và bạn bè đồng nghiệp góp ý, trao đối để bản thân tôi rút kinh nghiệm nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ. Tôi xin cảm ơn! 2. Mục đích nghiên cứu Bản thân tôi trong năm học vừa qua đợc nhà trờng phân công dạy Toán lớp 6. Qua giảng dạy tôi thấy phép chia hết là một đề tài thật lý thú, phong phú và đa dạng không thể thiếu đợc ở môn số học lớp 6. 3. Đối tợng nghiên cứu Học sinh khối lớp 6 THCS Yên Nhân. 4. Phơng pháp nghiên cứu Từ giảng dạy thực tế ở lớp 6, tổng kết đúc rút kinh nghiệm nhằm phát huy tính tích cực tự giác học tập của học sinh. 5. Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu ảnh hởng của việc vận dụng Một số bài toán sử dụng tính chất chia hết cho học sinh lớp 6 trờng THCS Yên Nhân. 2 Một Số bài toán sử dụng tính chất chia hết Phần II : Nội dung I. Kiến thức cần nhớ về chia hết Trớc tiên là học sinh phải nắm vững định nghĩa phép chia hết, các dấu hiệu chia hết nh các tính chất về quan hệ chia hết. 1. Định nghĩa : Cho hai số tự nhiên a và b, trong đó b 0, nếu có số tự nhiên x sao cho b.x=a thì ta nói a chia hết cho b và ta có phép chia hết a : b = x 2. Các dấu hiệu chia hết : a. Dấu hiệu chia hết cho 2 Một số chia hết cho 2 khi và chỉ khi chữ số tận cùng của số đó là một số chẵn. b. Dấu hiệu chia hết cho 3 ( hoặc 9 ) Một số chia hết cho 3 (hoặc 9) khi và chỉ khi tổng các chữ số của số đó chia hết cho 3(hoặc 9). Chú ý : Một số chia cho 3 (hoặc 9) d bao nhiêu thì tổng các chữ số của nó chia cho 3 (hoặc 9) cũng d bấy nhiêu và ngợc lại. Một số chia hết cho 9 luôn chia hết cho 3.Nhng điều ngợc lại cha chắc đúng. c. Dấu hiệu chia hết cho 5 Một số chia hết cho 5 khi và chỉ khi chữ số của số đó có tận cùng bằng 0 hoặc bằng 5. d. Dấu hiệu chia hết cho 4 ( hoặc 25 ) Một số chia hết cho 4 (hoặc 25 ) khi và chỉ khi hai chữ số tận cùng của số đó chia hết cho 4 ( hoặc 25). e. Dấu hiệu chia hết cho 8( hoặc 125 ) Một số chia hết cho 8( hoặc 125 ) khi và chỉ khi ba số tận cùng của số đó chia hết cho 8 (hoặc 125). f. Dấu hiệu chia hết cho 11 3 Một Số bài toán sử dụng tính chất chia hết Một số chia hết cho 11 khi và chỉ khi hiệu giữa tổng các chữ số hàng lẻ và chữ số hàng chẵn (từ trái sang phải) chia hết cho 11. 3. Tính chất của quan hệ chia hết + 0 chia hết cho b với mọi b là số tự nhiên khác 0 : + a chia hết cho a với mọi a là số tự nhiên khác 0. + Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho a thì a = b. + Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho c thì a chia hết cho c. + Nếu a chia hết cho b và a chia hết cho c mà (b, c) = 1 thì a chia hết cho (b.c). + Nếu a.b chia hết cho c và(b, c) = 1 thì a chia hết cho c. + Nếu a chia hết cho m thì k.a chia hết cho m với mọi k là số tự nhiên . + Nếu a chia hết cho m và b chia hết cho m thì (a b) chia hết cho m . + Nếu a chia hết cho m, b không chia hết cho m thì (a b) không chia hết cho m. + Nếu a chia hết cho m và b chia hết cho n thì (a.b) chia hết cho (m.n). + Nếu (a.b) chia hết cho m và m là số nguyên tố thì a chia hết cho m hoặc b chia hết cho m. + Nếu a chia hết cho m thì a n chia hết cho m với n là số tự nhiên . + Nếu a chia hết cho b thì a n chia hết cho b n với n là số tự nhiên. II. Nội dung tiến hành Khi học sinh đã nắm chắc các vấn đề nêu trên thì giáo viên có thể đa ra một vài bài toán và phơng pháp thờng dùng để giải các bài toán chia hết : Phơng pháp 1 : Dựa vào định nghĩa phép chia hết . Để chứng minh a chia hết cho b (b 0) ta biểu diễn số a dới dạng một tích các thừa số, trong đó có một thừa số bằng b(hoặc chia hết b). Ví dụ 1:Chứng minh rằng (3n) 100 chia hết cho 81 với mọi số tự nhiên n. Giải : Ta có (3n) 100 = 3 100 .n 100 =3 4 .3 96 . n 100 = 81 . 3 96 . n 100 . 4 Một Số bài toán sử dụng tính chất chia hết Vì 81 chia hết cho 81 nên 81.3 96 . n 100 chia hết cho 81. (3n) 100 chia hết cho 81 . Phơng pháp 2 Dựa vào tính chất của quan hệ chia hết . * Dùng tính chất chia hết của một tổng hiệu : - Để chứng minh a chia hết cho b (b 0) ta biểu diển số a dới dạng một tổng của nhiều số hạng rồi chứng minh cho tất cả các số hạng đó đều chia hết cho b. - Để chứng minh a không chia hết cho b ta biểu diễn số a thành tổng các số hạng rồi chứng minh một số hạng không chia hết cho b còn tất cả các số hạng còn lại đều chia hết cho b. Ví dụ 2: Khi chia một số cho 255 ta đợc số d là 170. Hỏi số đó có chia hết cho 85 không? Vì sao? Giải : Gọi số đó là a (a là số tự nhiên ) Vì a chia cho 255 có số d là 170 nên a = 255.k +170 (k là số tự nhiên) Ta có : 255 chia hết cho 85 nên 255k chia hết cho 85. 170 chia hết cho 85. (255.k + 170) chia hết cho 85 (Tính chất chia hết của một tổng ). Do vậy a chia hết cho 85. Ví dụ 3 : Chứng minh rằng tổng của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3. Giải : Gọi ba số tự nhiên liên tiếp đó là a, a + 1, a + 2. Tổng của ba số tự nhiên liên tiếp là a + a +1 + a + 2 = (a + a + a) + (1 + 2) = (3a + 3) chia hết cho 3 (Tính chất chia hết của một tổng). Từ bài tập này giáo viên có thể đa học sinh vào tình huống : Có phải tổng của n số tự nhiên liên tiếp luôn luôn chia hết cho n hay không ? Qua đó gợi chí tò mò, đa học sinh vào tình huống có vấn đề cần phải giải quyết. Sau đó giáo viên gợi ý cho học sinh, để trả lời câu hỏi này, các em cần làm bài tập sau : 5 Một Số bài toán sử dụng tính chất chia hết Ví dụ 4 : Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho 4 hay không ? Giải : Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp đó là a, a + 1, a + 2, a + 3. Tổng của bốn số tự nhiên liên tiếp đó là : a + a + 1 + a + 2 + a + 3 = (a + a + a + a) + (1 + 2 + 3) = 4a + 6. Do 4 chia hết cho 4 nên 4a chia hết cho 4 mà 6 không chia hết cho 4 nên (4a + 6) không chia hết cho 4 . Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 4. Giáo viên chốt lại : Tổng của n số tự nhiên liên tiếp cha chắc đã chia hết cho n. * Dùng tính chất chia hết của một tích : Để chứng minh a chia hết cho b (b 0) ta có thể chứng minh bàng một trong các cách sau : + Biểu diễn b = m.n với (m, n) = 1. Sau đó chứng minh a chia hết cho m, a chia hết cho n. + Biểu diễn a = a 1 .a 2 , b = b 1 .b 2 , rồi chứng minh a 1 chia hết cho b 1 ; a 2 chia hết cho b 2 . Ví dụ 5: Chứng minh (1980a + 1995b) chia hết cho 15 với mọi a, b là số tự nhiên Giải : Vì 1980 chia hết cho 3 nên 1980.a chia hết cho 3 với mọi a. Vì 1995 chia hết cho 3 nên 1995.b chia hết cho 3 với mọi b. Nên : (1980a + 1995b) chia hết cho 3. Chứng minh tơng tự ta có : (1980a + 1995b) chia hết cho 5 với mọi a, b. Mà (3, 5) = 1. (1980a + 1995b) chia hết cho 15. Ví dụ 6: Chứng minh rằng tích của hai số chẵn liên tiếp luôn chia hết cho 8. Giải : Gọi hai số chẵn liên tiếp là 2n, 2n + 2. 6 Một Số bài toán sử dụng tính chất chia hết Tích của hai số chẵn liên tiếp là 2n .(2n + 2) = 4n . (n + 1). Vì n, n+1 không cùng tính chẵn lẻ nên n .(n + 1) chia hết cho 2. Mà 4 chia hết 4 nên 4n .(n + 1) chia hết cho (4, 2) 4n .(n + 1) chia hết cho 8. 2n .(2n + 2) chia hết cho 8. Phơng pháp 3: Dùng định lý về chia có d. Để chứng minh n chia hết cho p, ta xét mọi trờng hợp về số d khi chia n cho p. Ví dụ: Chứng minh rằng : a. Tính của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3 . b. Tích của bốn số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 4. Giải : a. Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là n, n + 1, n + 2. Tích của ba số tự nhiên liên tiếp là : n.(n+1).(n+2). Một số tự nhiên khi chia hết cho 3 có thể nhận một trong các số d 0; 1; 2 . - Nếu r = 0 thì n chia hết cho 3 n.(n+1).(n+2) 3. - Nếu r = 1 thì n = 3k +1 (k là số tự nhiên). n + 2 = 3k +1 + 2=(3k +3) 3. n.(n+1). (n+2) 3. - Nếu r = 2 thì n = 3k +2 (k là số tự nhiên) n + 1 = 3k +2 +1 = (3k +3) 3. n. (n+1). (n+2) 3. Tóm lại : n. (n+1). (n+2) chia hết cho 3 vối mọi n là số tự nhiên . b. Chứng minh tơng tự ta có n.(n+1).(n+2).(n+3) chia hết cho 4 với mọi n là số tự nhiên. Sau khi giải bài tập này, giáo viên yêu cầu học sinh nêu bài tập này ở dạng tổng quát . Giáo viên khắc sâu cho học sinh : Tích của n số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho n. 7 Một Số bài toán sử dụng tính chất chia hết * Khi học sinh nắm vững các phơng pháp thờng dùng để chứng minh chia hết, giáo viên có thể ra một số bài toán về chia hết nhằm giúp học sinh nắm một cách có hệ thống, đợc đào sâu các kiến thức về phép chia hết . Bài 1: Tìm tất cả các số x, y để có số 34x5y chia hết cho 36 . Giải : Vì (4, 9) = 1 nên 34x5y 36 34x5y 9 và 34x5y 4. Ta có : 34x5y 4 5y 4 y = {2; 6}. 34x5y 9 (3 + 4 + x + 5 + y) 9. (12+ x + y) 9. Vì x, y là các chữ số nên x + y thuộc {6; 15} Nếu y = 2 thì x = 4 hoặc x = 13 (>9 ) ( loại) Nếu y = 6 thì x = 0 hoặc x = 9 . Vậy các số phải tìm là : 34452; 34056; 34956. Bài 2: Cho các chữ số 0, a, b. Hãy viết tất cả các số có ba chữ số tạo bởi ba số trên. Chứng minh rằng tổng tất cả các số đó đều chia hết cho 211. Giải : Tất cả các số có ba chữ số tạo bởi ba chữ 0, a, b là : a0b; ab0; ba0; b0a. Tổng của tất cả các số đó là : a0b + ab0 + ba0 + b0a = 100a + b + 100a + 10b + 100b + 10a + 100b + a = 211a + 211b = 211(a + b) 211 Bài 3: Tìm số tự nhiên n để (3n + 10) chia hết cho (n + 2) Giải : Ta có3n + 10 = 3. (n + 2) + 4. Mà 3.(n + 2) chia hết cho (n + 2). Do đó (3n + 10) chia hết cho (n + 2) 4 chia hết cho (n + 2) (n + 2) là ớc của 4. (n + 2) {1; 2; 4} n {0; 2}. 8 Một Số bài toán sử dụng tính chất chia hết Vậy với n {0; 2} thì (3n + 10) chia hết cho (n + 2). Bài 4 : Tìm số tự nhiên n để 3 15 + + n n là số tự nhiên . Giải : Để 3 15 + + n n là số tự nhiên thì (n + 15) (n + 3). [(n + 15) (n + 3)]chia hết cho (n + 3). 12 (n + 3) (n + 3) là Ư(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}. n {0;1; 3; 9}. Vậy với n {0;1; 3; 9}thì 3 15 + + n n là số tự nhiên . Bài 5: Phải viết thêm vào bên phải số 579 ba chữ số nào để đợc số chia hết cho 5; 7; 9. Giải : Giả sử ba số viết thêm là abc . Ta có : 579abc 5; 7; 9 579abc 5.7.9 =315. Mặt khác : 579abc = 579000 + abc = (315.1838 + 30 + abc) 315. Mà 315 . 1838 chia hết cho 315 (30 + abc) 315. Do 30 30 + abc 1029 nên (30 + abc) {315; 630; 945}. abc {285; 600; 915}. Vậy ba số có thể viết thêm vào là 285; 600; 915. *Kết quả đạt đợc: Với những kinh nghiệm vừa trình bày ở trên, sau nhiều năm dạy toán, bản thân tôi thấy : Khi dạy phần chia hết trong tập hợp số tự nhiên, học sinh tiếp nhận kiến thức một cách thoải mái, chủ động, rõ ràng, có hệ thống, học sinh phải phân biệt và nhận dạng đợc các bài toán liên quan đến phép chia hết và từ đó hầu hết giải đ- ợc các bài tập phần này, xoá đi cảm giác khó và phức tạp ban đầu là không có quy 9 Một Số bài toán sử dụng tính chất chia hết tắc giải tổng quát. Qua đó rèn luyện cho học sinh trí thông minh, sáng tạo, các phẩm chất trí tuệ khác và học sinh cũng thấy đợc dạng toán này thật phong phú chứ không đơn điệu, giúp học sinh hứng thú khi học bộ môn này . Phần III : Kết luận Phần phép chia hết ở chơng trình toán THCS là một nội dung quan trọng bởi kiến thức này có liên quan chặt chẽ, nó là tiền đề cho học sinh học tốt các kiến thức về sau và đặc biệt ứng dụng của nó rất nhiều. Do vậy, trớc hết chúng ta cần cho học sinh nắm thật vững định nghĩa phép chia hết, các dấu hiệu chia hết đặc biệt là tính chất của quan hệ chia hết bởi vì tính chất này rất hay sử dụng. Để học sinh nắm vững và thích thú học tập, chúng ta cần chọn lọc hệ thống bài tập theo mức độ tăng dần từ dễ đến khó. Cần rèn luyện nhiều về cách lập luận và trình bày của học sinh vì đây là học sinh đầu cấp. Với mỗi dạng tuy không có quy tắc tổng quát, song sau khi giải giáo viên nên chỉ ra một đặc điểm, một hớng giải quyết nào đó để khi gặp bài tơng tự, học sinh có thể tự liên hệ đợc. Trên đây là một vài kinh nghiệm nhỏ của bản thân tôi tự rút ra khi dạy phần phép chia hết trong N. Trong quá trình giảng dạy chắc chắn cha thể hoàn hảo đợc. Rất mong nhận đợc sự góp ý chân tình của các bạn đồng nghiệp để những năm học tới đợc tốt hơn, đáp ứng với yêu cầu của sự nghiệp giáo dục nớc nhà. Yên Nhân Ngày Tháng .Năm Ngời viết : 10 . vận dụng Một số bài toán sử dụng tính chất chia hết cho học sinh lớp 6 trờng THCS Yên Nhân. 2 Một Số bài toán sử dụng tính chất chia hết Phần II : Nội dung I. Kiến thức cần nhớ về chia hết. ba số tận cùng của số đó chia hết cho 8 (hoặc 125). f. Dấu hiệu chia hết cho 11 3 Một Số bài toán sử dụng tính chất chia hết Một số chia hết cho 11 khi và chỉ khi hiệu giữa tổng các chữ số. hiệu chia hết cho 4 ( hoặc 25 ) Một số chia hết cho 4 (hoặc 25 ) khi và chỉ khi hai chữ số tận cùng của số đó chia hết cho 4 ( hoặc 25). e. Dấu hiệu chia hết cho 8( hoặc 125 ) Một số chia hết