49 HSG 19 HUYEN HOAI NHON MY NGUYEN

Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG HUYỆN HOÀI NHƠN NĂM HỌC 2018-2019 Câu 1: (4,0 điểm) a) Thu gọn biểu thức: x 2 3 6 84 2 3 2   11 b) Cho A B    x  x  x3  x     Tính giá trị biểu thức 2018 3 3 c) Cho x   2   2 y  17  12  17  2 Tính giá trị C  x  y   x  y   2018 biểu thức: Câu 2: (4,0 điểm) a) Tìm số nguyên dương có hai chữ số, biết số bội tích hai chữ số số b) Chứng minh số tự nhiên 1   1 A  1.2.3 2017.2018 1       2017 2018  chia hết cho 2019  Câu 3: (5,0 điểm) 3.1 Cho a , b , c số thực dương thỏa mãn điều kiện: a2  b2  c2   a  b    b  c    c  a  2 a) Tính a  b  c , biết ab  bc  ca  b) Chứng minh rằng: Nếu c  a , c  b c  a  b 2019 2019 2019  Tìm giá trị 3.2 Cho ba số dương x , y , z thỏa mãn x  y  z 2 lớn biểu thức: E  x  y  z Câu 4: (4,0 điểm) Cho tam giác ABC có cạnh a Hai điểm M , N di AM AN  1 động hai đoạn thẳng AB , AC cho MB NC Đặt AM  x AN  y Chứng minh rằng: 2 a) MN  x  y  xy b) MN  a  x  y c) MN tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác ABC Câu 5: (3,0 điểm)  O  , gọi M Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn trung điểm cạnh BC , H trực tâm tam giác ABC K Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com hình chiếu vng góc A cạnh BC Tính diện tích tam giác KM OM  OK  ABC , biết AM  30 cm ……………….HẾT…………… Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:…………………………………………….….Số báo danh: ………………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG HUYỆN HOÀI NHƠN NĂM HỌC 2018-2019 Câu 1: (4,0 điểm) A a) Thu gọn biểu thức: x b) 2 3 6 84 2 3   11 Cho B    x  x  x3  x   1 1 Tính giá trị biểu thức 2018 3 3 c) Cho x   2   2 y  17  12  17  2 Tính giá trị biểu thức: C  x  y   x  y   2018 a) Ta có A  Lời giải 2 3 6 84 2 3 2 3 4  2 3 2 3 x   11 b) Ta có: 2     1 1 1     1 1 1 1 Thay x  vào biểu thức, ta được: B  1  2         2  c) Ta có :  y  x3  3 3 3 2  3 2     2018   1 2   2    2  3x   2   x 17  12  17  2   2018   1 1  17  12  y  17  12  34  y Cộng vế theo vế ta được: x  y  40  x  y  x  y   x  y   2018  2058 2018 3 3 Vậy C  2058 x   2   2 y  17  12  17  2 Câu 2: (4,0 điểm) a) Tìm số ngun dương có hai chữ số, biết số bội tích hai chữ số số Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com b) Chứng minh số tự nhiên 1   1 A  1.2.3 2017.2018 1       2017 2018  chia hết cho 2019  Lời giải a) Gọi số cần tìm ab , theo đề, ta có 10a  b  kab (Trong đó:  a , b   a , b , k  ¢ ) 10 10 10 10  1 b  1 9  k   10 ka  1 a k k a a Vì a Suy 10   k  a  10 5   k    ; 2; ;5;10   a 3  10 : k   ¢   a Từ  b Nếu a  1 a  3k     k    k  a b   b   (không thỏa) a   k  b   (thỏa)  ab  36 a  a  k     k  2  k  a b  b   Nếu (thỏa)  ab  15 a   a   k     k   k  a 2  b  b  Nếu (không thỏa)  (thỏa)  ab  24 a  1  a  k     k  5  k  a b  b   Nếu (thỏa)  ab  12 a  1 a  k  10    k   10    k  11 a b  b   Nếu (thỏa)  ab  11 ab   11;12;15; 24;36 Vậy b) Ta có 1  1 B  1.2.3 n       n   * số tự nhiên Thật vậy:   * Với n  B  1 ¥ suy Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com  * Với n  B   ¥ suy 1  1 B  1.2.3 k 1      ¥ k  Giả sử n  k , nghĩa  * n  k  , nghĩa Cần chứng minh  *  1 B  1.2.3  k  1        k  1   ¥    Ta có:  1  1  1 B  1.2.3  k  1 1      1.2.3 1      k  1  1.2.3 k    k  k  1     1  1 1.2.3 1     k  ¥     B¥ k   ¥ 1.2.3 k  ¥  Có  1  1 1.2.3 n 1      n  số tự nhiên  Vậy   1 1.2.3 2k 1      2k   Suy ra, với n  2k 1  1 1.2.3 k       k  số tự nhiên  1        k  1  k   .2k 2k  Suy  k  k  số tự nhiên   1.2 1009 1     1009   Áp dụng chứng minh ta có: 1       .1010.1011 2018 2018   1010 1011 số tự nhiên 1011M3  1010.1011 1342 2018M2019  1342 M 673  Ta có    1.2 1009 1    .1010.1011 1342 2018M2019 1009   3M3  1.2.3 673 1009M2019  673 M 673  Và 1    1.2 1009     .1010.1011 2018 : 2019 2018   1010 1011 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 1   1 A  1.2.3 2017.2018 1       2017 2018  chia hết cho  Vậy số tự nhiên 2019 Câu 3: (5,0 điểm) 3.1 Cho a , b , c số thực dương thỏa mãn điều kiện: a2  b2  c2   a  b    b  c    c  a  2 a) Tính a  b  c , biết ab  bc  ca  b) Chứng minh rằng: Nếu c  a , c  b c  a  b 2019 2019 2019  Tìm giá trị 3.2 Cho ba số dương x , y , z thỏa mãn x  y  z 2 lớn biểu thức: E  x  y  z Lời giải a) Tính a  b  c , biết ab  bc  ca  Từ a  b  c   a  b    b  c    c  a   a  b  c   ab  bc  ca    ab  bc  ca  2 a ,b ,c  a bc   a  b  c   36  Mà ab  bc  ca  nên c  a c  b c  a  b b) Chứng minh rằng: Nếu , Lời giải a  b  c   a  b    b  c    c  a    c  a  b   4ab Ta có Khơng tính tổng qt, giả sử c  a  b Khi đó, ta có: c  a  b  2b  1  c  a  b   4ab  4b2   c  a  b  2b    1  c  a  b   c  a  b 2 2 2    c  a  b  2b  c  a  b   * , mà c  a  suy  * vơ lí Vậy c  a , c  b c  a  b 2019 2019 2019  Tìm giá trị 3.2 Cho ba số dương x , y , z thỏa mãn x  y  z 2 lớn biểu thức: E  x  y  z Lời giải Cách Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có đánh giá sau: x 2019  x 2019  1144 2 4 43   2019 x 2017 so Dấu “  ” xảy x  2019 2019 y  y  1144 2 4 43   2019 y 2017 so Dấu “  ” xảy y  z 2019  z 2019  1144 2 4 43   2019 z 2017 so Dấu “  ” xảy z  Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Khi đó: x y z 3  x 2019  y 2019  z 2019   6051  2019  x  y  z   x2  y2  z  2019 2019 2019 Dấu “  ” xảy x  y  z  Vậy E đạt giá trị lớn x  y  z  Cách Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có đánh giá sau: x 2019  1144 2 4 43   673 x3 y 2019  1144 2 4 43   673 y 672 so 672 so ; z 2019  1144 2 4 43   673 z 672 so x 2019  1144 2 4 43   2019 x 2018 so ; y 2019  1144 2 4 43   2019 y 2018 so z 2019  1144 2 4 43   2019 z 2018 so Khi đó: x y z 3 x 2019  y 2019  z 2019  2016  673  x  y  z   x3  y  z  2019 + 2019 2019 Dấu “  ” xảy x  y  z  x y z 3 x 2019  y 2019  z 2019  6054  2019  x  y  z   x y z 3 2019 + 2019 2019 Dấu “  ” xảy x  y  z   x3  x  y  y  z  z   x  y  z   x  y  z  Cos i Suy x  x  y  y  x  y  z 1  z3  z  Dấu “  ” xảy Vậy E đạt giá trị lớn x  y  z  Cách (Sử dụng BĐT HOLDER) Áp dụng bất đẳng thức HOLDER, ta có x 2019  y 2019  z 2019   x 2019  y 2019  z 2019  32017   x  y  z  x y z 3    32019   x 2 y 2 z  2019 2019 2019 2019  3 x 2 y 2 z Dấu “  ” xảy x  y  z  Vậy E đạt giá trị lớn x  y  z  2019 Câu 4: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có cạnh a Hai điểm M , N di AM AN  1 động hai đoạn thẳng AB , AC cho MB NC Đặt AM  x AN  y Chứng minh rằng: 2 a) MN  x  y  xy Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com b) MN  a  x  y c) MN tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác ABC Lời giải AN a  AM  AN   1 1 x    x  a  x AM AN  MB  NC  NC  x y  a  1     MB NC  AN   AM  AM   y  a  y  y  a  NC  MB MB  Vì Khơng tính tổng qt ta giả giử AM  AN Kẻ MH  AC hình vẽ bên AM AH  AM cos 60  Khi đó, ta có a) Áp dụng định lyd PYTAGO, ta có: MN  MH  HN  AM  AH   AN  AH   AM  AN  AN AH  AM  AN  AM AN  x  y  xy MN  x  y  xy   x  y   3xy  1 Vậy b) Theo đề ta có: AM AN AB AC   1 1 1  MB NC MB NC a a     a  a  x  y   a  3a  3a  x  y   3xy  a  2a  x  y   3xy   ax a y Thay  2 vào  1 ta được: MN   x  y   2a  x  y   a   x  y   2a  x  y   a   a  x  y  2 2 MN  a  x  y  a  x  y Vậy (vì x  y  a ) c) Gọi K , E trung điểm AB , AC D tâm đường tròn nội tiếp ABC  I  MN  Khi ta dễ dàng tính được: DK  DE  a ; Kẻ DI  MN a a MK   x NE   y 2 ; a a KM  NE   x   y  MN   ax  ay  3xy  a  a  x  y  2 Ta có KD.MK KE.NE AH AN S DMN  2S AKD  S MKD  S NED  S AMN  DK AK    2  DK AK   DK MN AH AN a a x 3y     a  x  y  12 12 3 a DK MN  a  a  a  x  y   3xy    a  x  y   ay  ay  3xy   12 12 12 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com DI MN DK MN   DI  DK 2 Do Suy DI bán kính đường trịn nội tiếp, mà MN  DI  MN tiếp tuyến đường tròn  O , Câu 5: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn gọi M trung điểm cạnh BC , H trực tâm tam giác ABC K hình chiếu vng góc A cạnh BC Tính diện tích tam giác ABC , biết OM  OK  KM AM  30 cm Lời giải Gọi D trung điểm AC Ta chứng minh AHB#MOD (ba cặp cạnh song song)  AH AB    HG  2OG OM MD Gọi G giao điểm AM OH Ta chứng minh  AG HG AH     AH  2OM GM GO OM Dễ dàng chứng minh tứ giác OMKH hình chữ nhật (hình bình hành có góc vng)  HO  KM  HO  4OM , suy 3OG  4OM Ap dụng định lý PYTAGO tam giác vng OGM , ta có: OM  OG  GM  OM  16 AM OM   5OM  AM  OM  9 cm Khi OH  24 cm; AH  12 cm; AK  18 cm 2 Ta có OC  OA  OH  AH  12 , từ tính BC  MC  OC  OM  12 Vậy Liên hệ tài 039.373.2038 SABC  liệu AK BC 18.112 19   108 19 2 (cm ) word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC ... đẳng thức HOLDER, ta có x 2 019  y 2 019  z 2 019   x 2 019  y 2 019  z 2 019  32017   x  y  z  x y z 3    32 019   x 2 y 2 z  2 019 2 019 2 019 2 019  3 x 2 y 2 z Dấu “ ... 2 4 43   2 019 y 2018 so z 2 019  1144 2 4 43   2 019 z 2018 so Khi đó: x y z 3 x 2 019  y 2 019  z 2 019  2016  673  x  y  z   x3  y  z  2 019 + 2 019 2 019 Dấu “  ” xảy...  1144 2 4 43   2 019 x 2017 so Dấu “  ” xảy x  2 019 2 019 y  y  1144 2 4 43   2 019 y 2017 so Dấu “  ” xảy y  z 2 019  z 2 019  1144 2 4 43   2 019 z 2017 so Dấu “  ”