UBND HUYỆN HỒI NHƠN PHỊNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016 Mơn TỐN Bài (4 điểm) a) So sánh hai số : ( −5 ) 39 b) Chứng minh : Số ( −2 ) 91 A = 11n+ + 122 n+1 chia hết cho 133, với n∈¥ Bài (4 điểm) ( x; y ) ( 2x − y + 7) 2012 + x−3 2013 ≤0 a) Tìm tất cặp số thỏa mãn + + + + n = aaa n a b) Tìm số tự nhiên chữ số biết rằng: Bài (4 điểm) Ba lớp trường A1 , K có tất 147 học sinh Nếu đưa A2 số học sinh A3 lớp số học sinh lớp số học sinh lớp thi học sinh giỏi cấp huyện số học sinh cịn lại ba lớp Tính tổng số học sinh lớp trường K Bài (4 điểm) Cho tam giác ABC có µA = 3B µ = 6C µ ∆ABC a) Tính số đo góc AD ⊥ BC ( D ∈ BC ) AD < BD < CD b) Kẻ Chứng minh : ABC Bài (4 điểm) Cho tam giác cân A Trên cạnh CA N AM + AN = AB đối tia lấy điểm cho AB lấy điểm M, tia a) Chứng minh rằng: BM = CN MN qua trung điểm đoạn thẳng · MN BAC c) Đường trung trực tia phân giác cắt K Chứng KC ⊥ AC minh b) Chứng minh rằng: BC ĐÁP ÁN Bài a) Ta có: ( −5) 39 = −539 = − ( 53 ) = −12513 ; ( −2 ) 13 12513 < 12813 ⇒ −12513 > −12813 ⇒ ( −5 ) 91 39 Ta thấy : b) Ta có: = −291 = − ( 27 ) = −12813 > ( −2 ) 13 91 A = 11n+ + 122 n+1 = 112.11n + 12.( 12 ) = 121.11n + 12.144 n n = ( 133 − 12 ) 11n + 12.144n = 133.11n − 12.11n + 12.144n = 133.11n + 12.( 144 n − 11n ) Ta thấy : 133.11n M 133 ( 144 n − 11n ) M ( 144 − 11) = 133 ⇒ 12.( 144n − 11n ) M133 133.11n + 12.( 144n − 11n ) Do suy chia hết cho 133 n+ 2 n +1 n∈¥ A = 11 + 12 Vậy: số chia hết cho 133, với Bài 2012 ⇒ x − y + ≥0 ( ) 2012 a) Ta có số tự nhiên chẵn 2013 x −3 ≥0⇒ x −3 ≥0 Và 2012 2013 2012 2013 ( 2x − y + 7) + x − ≤ ( 2x − y + 7) = & x − = Do đó, từ suy ra: 2 x − y + = x = ⇒ ⇒ x − = y = 13 + + + + n = n ( n + 1) aaa = a.111 = a.3.37 b) Ta có: + + + + n = aaa ⇒ n ( n + 1) = 2.3.37a Do đó, từ ⇒ n ( n + 1) chia hết cho số nguyên tố 37 ⇒n n +1 chia hết cho 37 (1) n ( n + 1) = aaa ≤ 999 ⇒ n ( n + 1) ≤ 1998 ⇒ n < 45 (2) Mặt khác: ⇒ n = 37 n + = 37 Từ (1) (2) 37.38 n = 37 ⇒ aaa = = 703(ktm) Với 36.37 n + = 37 ⇒ aaa = = 666(tm) Với n = 36 a = Vậy Bài a, b, c ( a, b, c ∈ ¥ *) A1 ,7 A2 ,7 A3 Goi tổng số học sinh 1 a − a = b − b = c − c(*) a + b + c = 147 Theo ta có: 2a 3b 4c 12a 12b 12c a b c ⇒ = = ⇒ = = ⇒ = = 18 16 15 18 16 15 Từ (*) Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: a b c a +b+c 147 = = = = = ⇒ a = 54, b = 48, c = 45 18 16 15 18 + 16 + 15 49 Vậy tổng số học sinh Bài A1 ,7 A2 ,7 A3 54;48;45 µ µ µ µ µ µ µA = 3B µ = 6C µ ⇒ A = B = C = A + B + C = 180 = 200 6 + +1 a) Từ µ = 400 , C µ = 200 ⇒ µA = 1200 , B Vậy µA = 1200 , B µ = 400 , C µ = 200 ∆ACD b) Trong có: 0 ·ADC = 90 , C µ = 20 ⇒ µ A2 = 700 ⇒ µA1 = 500 Xét ∆ABD có µ = 400 > C µ = 200 ⇒ AB < AC ⇒ AB < AC ( *) B ADB, ADC Áp dụng định lý Pytago cho hai tam giác vuông có: 2 2 2 AC = AD + CD AB = AD + BD 2 ⇒ AD + BD < AD + CD ⇒ BD < CD ⇒ BD < CD Do đó, từ (*) ⇒ AD < BD < CD Từ (1) (2) Bài (2) a) Theo giả thiết, ta có: 2AB = AB + AB = AB + AM + BM AM + AN = AM + AC + CN ∆ABC ⇒ AB = AC , cân A AM + AN = AB ⇒ BM = CN Do đó, từ ME / / AC ( E ∈ BC ) b) Qua M kẻ ∆ABC ⇒ ∆BME ⇒ EM = BM = CN cân A cân M ⇒ ∆MEI = ∆NCI ( g c.g ) ⇒ IM = IN Vậy BC qua trung điểm MN MN ⇒ KM = KN (1) c) K thuộc đường trung trực ∆ABK = ∆ACK (c.g.c) ⇒ KB = KC (2); ·ABK = ·ACK (*) BM = CN (3) Kết chứng minh câu a: · (**) ( 1) , ( ) , ( 3) ⇒ ∆BMK = ∆CNK (c − c − c) ⇒ ·ABK = NCK Từ 1800 · ⇒ ·ACK = NCK = = 900 ⇒ KC ⊥ AN Từ (*) (**) ... nguyên tố 37 ⇒n n +1 chia hết cho 37 (1) n ( n + 1) = aaa ≤ 999 ⇒ n ( n + 1) ≤ 1998 ⇒ n < 45 (2) Mặt khác: ⇒ n = 37 n + = 37 Từ (1) (2) 37. 38 n = 37 ⇒ aaa = = 70 3(ktm) Với 36. 37 n + = 37 ⇒ aaa =... + 7) + x − ≤ ( 2x − y + 7) = & x − = Do đó, từ suy ra: 2 x − y + = x = ⇒ ⇒ x − = y = 13 + + + + n = n ( n + 1) aaa = a.111 = a.3. 37 b) Ta có: + + + + n = aaa ⇒ n ( n + 1) = 2.3.37a... 666(tm) Với n = 36 a = Vậy Bài a, b, c ( a, b, c ∈ ¥ *) A1 ,7 A2 ,7 A3 Goi tổng số học sinh 1 a − a = b − b = c − c(*) a + b + c = 1 47 Theo ta có: 2a 3b 4c 12a 12b 12c a b c ⇒ = = ⇒ = = ⇒ = =