PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÁI THỤY ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2015-2016 Mơn: TỐN Bài (4,0 điểm) 4 3 A : : 5 5 a) Tính 1 : 2x b) Tìm x biết: x x x c) Tìm số tự nhiên x thỏa mãn Bài (3,0 điểm) f x ax bx c a) Cho , với a, b, c ¢ Biết f 1 ; f (0); f (1) chia hết cho Chứng minh a, b, c chia hết cho 3 99 100 b) Cho đa thức B ( x) x x x x x Tính giá trị đa thức B( x) x Bài (4,0 điểm) 2 a) Cho x, y, z thỏa mãn x yz, y xz, z xy Chứng minh rằng: x y z 5z y 6x 4z y 5x x , y , z 3x y z 96 b) Tìm biết: Bài (3,0 điểm) a) Tìm giá trị nhỏ P x x 2a b b a , b b) Tìm tất số tự nhiên cho : Bài (5,0 điểm) Cho tam giác ABC cân A, BH vng góc với AC H Trên cạnh BC lấy điểm M (khác B C) Gọi D, E , F chân đường vng góc hạ từ M đến AB, AC , BH a) Chứng minh DBM FMB b) Chứng minh M chạy cạnh BC tổng MD ME có giá trị khơng đổi c) Trên tia đối tia CA lấy điểm K cho CK EH Chứng minh BC qua trung điểm DK Bài (1,0 điểm) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác 2 Chứng minh rằng: ab bc ca a b c ab bc ca ĐÁP ÁN Câu 4 3 4 a) A : : : : 7 5 1 1 b) : x x x 3 c) Với x 0, x thay vào không thỏa mãn 2 +) x thay vào ta (luôn đúng), x thỏa mãn x x 3 4 1(*) 5 5 +) x , ta có: x x x Với x ta có: x x x x 2 3 3 4 4 3 4 3 4 ; 1 x ktm 5 5 5 5 5 5 5 5 Vậy x Câu a) Ta có: f c; f 1 a b c; f 1 a b c f 0 M cM f (1)M a b cM a bM (1) f (1)M a b cM a bM 3(2) 2a M aM 2;3 bM Từ (1) (2) suy a b a b M Vậy a, b, c chia hết cho x giá trị đa thức b) Với 1 1 1 B 98 99 100 2 2 2 1 1 B 2.1 98 99 100 2 2 1 1 98 99 2 2 1 1 B 1 98 99 100 100 2 2 1 B B 100 B 100 2 B 100 Vậy Câu a)TH1: Nếu x y z x y z Tương tự với y, z 2 TH2: x, y, z số khác từ x yz , y xz , z xy 1 x z y x z y x y z ; ; y x z y x z y z x Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau: x y z x yz 1 x y z y z x yzx Vậy x y z (dfcm) 5z y 6x 4z y 5x b) Từ 20 z 24 y 30 x 20 z 24 y 30 x 16 25 36 20 z 24 y 30 x 20 z 24 y 30 x 0 10 25 36 20 z 24 y 30 x 20 z 24 y 30 x 20 z 24 y 30 x 10 z 12 y 15 x x y z 3x y z x y z 96 3 12 10 30 12 10 30 32 Giải kết luận : x 12; y 15; z 18 Câu a) Ta có: x 0; x x x P x x Dấu " " xảy x 0(tmdk ) Vậy Pmin x b) Nhận xét: với x x x x Với x x x Do x x ln số chẵn với x ¢ Áp dụng nhận xét b b số chẵn với b ¢ a a Suy số chẵn lẻ a Khi b b Nếu b b b 8( ktm) Nếu b b 5 b 9(tm) Vậy a, b 0,9 Câu a) Chứng minh DBM FMB(ch gn) b) Theo câu a ta có: DBM FMB (ch gn) MD BF (1) Chứng minh MFH HEM ME FH (2) Từ (1) (2) suy MD ME BF FH BH BH không đổi MD ME không đổi (đpcm) c) Vẽ DP BC P, KQ BC Q, gọi I giao điểm DK BC +Chứng minh : BD FM EH CK Chứng minh BDP CKQ(ch gn) DP KQ (hai cạnh tương ứng) · · Chứng minh IDP IKQ DPI KQI (c.g c) ID IK (dfcm) Câu a b a b a b a 2ab b a b 2ab 2 2 Tương tự: b c 2bc; c a 2ca; a b b c c a 2ab 2bc 2ca a b c ab bc ca a b c ab bc ca (1) +)Theo bất đẳng thức tam giác ta có: a b c, nhân vế với a dương ta được: 2 a ab ac Tương tự: b ba bc; c ca cb a b c ab ac ba bc ca cb ab bc ca (2) Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh ... ĐÁP ÁN Câu 4 3 4 a) A : : : : 7 5 1 1 b) : x x x 3 c) Với x 0, x thay vào không thỏa mãn 2 +) x