THÔNG TIN TÀI LIỆU
Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2016-2017 Bài (6,0 điểm) 2m + 16m + + m+2 m −3 P= m −2 + m −1 −2 m+3 Cho biểu thức: a) Rút gọn P b) Tìm giá trị tự nhiên m để P số tự nhiên Cho biểu thức: P = ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) – abc Chứng minh a+b+c chia hết cho a, b, c với P số nguyên chia hết cho Bài (5,0 điểm) x, y a) Chứng minh rằng: với số thực b) Cho phương trình: dương, ta ln có: x + 3mx − = 1 + ≥ x y x+ y (m tham số) Có hai nghiệm x1 x2 M = ( x1 − x2 ) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: + x12 + x22 + − ÷ x2 x1 Bài (2,0 điểm) x, y , z Cho ba số dương Chứng minh rằng: 1 1 1 1 + + ≤ + + ÷ x + yz y + xz z + xy xy yz zx Bài (7,0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm điểm di động cung nhỏ a) Chứng minh BC MB + MC = MA O bán kính chân đường vng góc hạ từ S , S ’ M AB, BC , CA xuống ABC , MBC Gọi diện tích tam giác di động ta ln có đẳng thức: Liên hệ tài 039.373.2038 đường trịn H, I, K b) Gọi R M liệu word mơn tốn: Chứng minh rằng: Khi M TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com MH + MI + MK = Cho tam giác đoạn FD ABC N , lấy 3R AD, BE, CF có ba góc nhọn DE tia · NMF phân giác góc ( S + 2S') đường cao Lấy · · MAN = BAC cho Chứng minh MA M tia Hết - Họ tên học sinh:…………………………………………………SBD:………… (Cán coi thi khơng giải thích thêm, học sinh khơng sử dụng máy tính bỏ túi ) LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2016-2017 Bài (6,0 điểm) P= Cho biểu thức: a) Rút gọn P 2m + 16m + + m+2 m −3 m −2 + m −1 −2 m+3 b) Tìm giá trị tự nhiên m để P số tự nhiên Cho biểu thức: P = ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) – abc Chứng minh a+b+c chia hết cho a, b, c với P số nguyên chia hết cho Lời giải P= a) Rút gọn P= 1b) Ta có: (với m ≥ 0, m ≠ 1 ) m +1 =1 + m −1 m −1 P∈N Liên hệ tài 039.373.2038 m +1 m −1 ⇔ liệu ∈N ⇔ m −1 m −1 ước dương word mơn tốn: ⇒ m ∈ { 4; 9} (TMĐK) TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Vậy m = 4; m = giá trị cần tìm a + b + cM 4 (a, b, c∈ Ζ) Đặt a + b + c = 4k ( k ∈ Z ) ⇒ a + b = k – c; b + c = k – a ; a + c = k – b Ta có: P = ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) – abc = ( 4k – c ) ( 4k – a ) ( 4k – b ) – abc = ( 16k − 4ak − ack + ac ) ( 4k − b ) − abc = 64k − 16bk − 16ak + 4abc − 16ck + 4bck + 4ack − abc − abc = ( 16k − 4bk − 4ak + abk − 4ck + bck + ack ) − 2abc a, b, c Giả sử Mà: a + b + cM ⇒ a + b + cM 2 Do (1) (2) mâu thuẫn ⇒ ⇒ a+b+c chia dư chia dư (1) (theo giả thiết) ⇒ (*) (2) Điều giả sử sai a, b, c Trong ba số 4 ⇒ 2abcM có số chia hết cho (**) Từ (*) (**) 4 ⇒ PM Bài (5,0 điểm) x, y a) Chứng minh rằng: với số thực b) Cho phương trình: dương, ta ln có: x + 3mx − = 1 + ≥ x y x+ y (m tham số) Có hai nghiệm x1 M = ( x1 − x2 ) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: + x12 + x22 + − ÷ x2 x1 Lời giải a) 1 a+b 2 + ≥ ⇔ ≥ ⇔ ( a + b ) ≥ 4ab ⇔ ( a − b ) ≥ x y x+ y ab a+b Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: (đúng) TÀI LIỆU TỐN HỌC x2 Website:tailieumontoan.com a, c b) PT có trái dấu nên ln có hai nghiệm phân biệt x1 x2 Ta có: 3m x1 + x2 = − ( x1 − x2 ) 2 2 M = ( x − x ) + + x1 − + x2 = = ÷ x1.x2 = − x2 x1 2 − x1 x2 ) − x1 x2 ) ( ( 1 + = ( x1 + x2 ) − x1 x2 1 + 2 ( x1 x2 ) ( x1 x2 ) 2 = + ÷m + + ≥ + ÷ Dấu “=” xảy Vậy GTNN M m=0 +8 m=0 Bài (2,0 điểm) x, y , z Cho ba số dương Chứng minh rằng: 1 1 1 1 + + ≤ + + ÷ x + yz y + xz z + xy xy yz zx Lời giải Áp dụng BĐT Côsi cho số dương x + yz ≥ x yz = x yz 2 ⇒ x2 , ta có: 1 1 ≤ = x + yz x yz x yz 1 ≤ z + xy z xy 1 ≤ y + xz y xz 2 Tương tự, ta có: yz và 1 1 1 + + ≤ + + ÷ x + yz y + xz z + xy x yz y xz z xy ÷ Suy ra: 1 + + = x yz y xz z xy yz + Ta có: yz + xz + xy (2) xy ≤ x + y + z Ta có: Liên hệ tài 039.373.2038 xz + xyz (1) (3) liệu word môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com ⇔ yz + xz + xy ≤ x + y + z Thật vậy: (*) ⇔ ( x − y ) +( z − x ) +( x= y=z Dấu “=” xảy Từ (2) (3) suy ra: y − x ) ≥0 (BĐT đúng) 1 x+ y+ z 1 + + ≤ = + + x yz y xz z xy xyz yz xz xy (4) 1 1 1 + + ≤ + + ÷ x + yz y + xz z + xy xy yz zx Từ (1) (4) suy ra: Bài (7,0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm điểm di động cung nhỏ a) Chứng minh BC MB + MC = MA O bán kính chân đường vng góc hạ từ S , S ’ M AB, BC , CA xuống ABC , MBC Gọi diện tích tam giác di động ta ln có đẳng thức: MH + MI + MK = Cho tam giác đoạn đường trịn H, I, K b) Gọi R M FD ABC , lấy phân giác góc N Chứng minh rằng: Khi ( S + 2S') 3R AD, BE, CF có ba góc nhọn tia · NMF DE M đường cao Lấy · · MAN = BAC cho Chứng minh MA M tia Lời giải 1.a) Cách 1: Trên tia đối tia Ta có: ∆BEM tam giác MC lấy điểm E cho ME = MB ⇒ BE = BM = EM ∆BMA = ∆BEC ⇒ MA = EC Do đó: Liên hệ tài 039.373.2038 MB + MC = MA liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Cách 2: Trên AM Ta có: lấy điểm ∆BEM E cho ME = MB tam giác ⇒ BE = BM = EM ∆MBC = ∆EBA (c.g.c) MB + MC = MA Do đó: AN 1.b) Kẻ ⇒ MC = AE BC vng góc với ∆ABC Vì tam giác nên tam giác ⇒ A, O, N AN = AB.sin ·ABN Ta có: Ta có: thẳng hàng ⇒ O AN = ⇒ AB = N trọng tâm R AN 3 = R: =R sin ·ABN 2S ABM 2S MH AB = S ABM ⇔ MH = ABM = R AB S ACM = 2S ACM MK AC = S ACM ⇔ MK = R AC 2S BCM 2S ' 2S = MI BC = S BCM ⇔ MI = BCM = R R BC MH + MK + MI = Do đó: 2S ' 2S ' + + S ABMC ( S ABM + S ACM ) = R R R R 3 ( S + 2S ' ) 2S ' + ( S + S ') = 3R R R Qua Tứ giác Liên hệ tài 039.373.2038 M kẻ đường thẳng song song với AEDB liệu nội tiếp word BC cắt DE K · · ⇒ CDE = BAC mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Mà: · · MKD = CDE (vì MK / / BC · · MKD = MAN ⇒ Do đó: ) Tứ giác AMKN nội tiếp ⇒ ·AMN = ·AKN ¶ =D ¶ D Ta có: ∆DMK có DA ( · = BAC ) ¶ ¶ ⇒ D1 = D2 phân giác vừa đường cao nên cân D ⇒ DM = DK ∆AMD = ∆AKD Nên: Vậy: (c.g.c) ·AMF = ·AKN MA ⇒ ·AMD = ·AKD ( ·AMF = ·AMN = ·AKN Ta có: phân giác góc ·NMF ) =====HẾT===== Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC ... giải thích thêm, học sinh khơng sử dụng máy tính bỏ túi ) LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2016-2 017 Bài (6,0 điểm) P= Cho biểu thức: a) Rút gọn P 2m + 16m + + m+2 m −3 m −2 + m −1
Ngày đăng: 30/10/2022, 22:50
Xem thêm: