83 hsg 17 binh duong hung phan

Website:tailieumontoan.com ĐỀ HỌC SINH GIỎI TỐN SGD BÌNH DƯƠNG NĂM HỌC:2016 - 2017 Câu (5,0 điểm) x  y 2017 a) Tìm tất ngiệm nguyên phương trình b) Xác định số điện thoại THCS X thành phố Thủ Dầu Một, biết số dạng 82xxyy với xxyy số phương Câu (4,0 điểm) Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R) , M  (O; R ) Chứng minh rằng: MA2  MB  MC 6 R Câu (3,0 điểm) x2 a) Giải phương trình:   x2   3  x2  1     x  y     5 xy      x  y    49   x2 y      b) Giải hệ phương trình: Câu (3,0 điểm) a  c   b2  d   ab  cd  a) Chứng minh với số a, b, c, d ta ln có:  b) Cho a, b  chứng minh rằng: Câu a  b2   4a  3b   3a  4b  25 (3,0 điểm) Cho tứ giác ABCD Gọi M , N , P, Q trung điểm AB, BC , CD, DA Chứng minh rằng: S ABCD MP.NQ   AB  CD   AD  BC  Câu (2,0 điểm) Cho đa giác lồi có 12 cạnh a) Tìm số đường chéo b) Tìm số tam giác có cạnh cạnh đa giác ? -Hết - Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ HỌC SINH GIỎI TỐN SGD BÌNH DƯƠNG NĂM HỌC 2016 - 2017 (5,0 điểm) Câu a) Tìm tất nghiệm nguyên phương trình x  y 2017 b) Xác định số điện thoại THCS X thành phố Thủ Dầu Một, biết số dạng 82xxyy với xxyy số phương Lời giải Do x, y  Z  ( x, y 0)  x 20172  y  4034 y x  y 2017 a) Phương trình: y Z  y a  Vậy nghiệm tổng quát phương trình là:  x (2017  a) b) Ta có: xxyy 11 x0 y số phương nên :  x  y 11  x  y 11    x0 y 11  100 x  y 11  99 x  x  y 11  x  y 11  x  y 0  x  y 0  Với x  y 0 ta tìm số : xxyy 0000 11  99x  x  y  11  99 x  11 112  x  1 x  y  11 xxyy  11 x y  Với ta có:  x 1 số phương  x 7  y 4 Vậy: xxyy 7744; xxyy 0000 Câu (4,0 điểm) Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R) , M  (O; R ) Chứng minh 2 2 rằng: MA  MB  MC 6 R Lời giải  Giả sử: M  AC Dễ thấy: MA  MC MB (trên MB lấy I cho MI MC , ta chứng minh: IB MA ) Đặt: MA x ; MB  y ; MC  y  x 2 2 x  y   x  y  Ta có: AM  BM  CM 2  x  y  xy  Liên hệ tài 039.373.2038 (1) liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com x  MH   AH  x 2 Kẻ AH  BM Mà x BH MB  MH  y  x x  y  x  xy 2  x2  y  xy (2)  AB  AH  BH  4 BH MB  MH  y  Từ (1), (2)  AM  BM  CM Câu (3,0 điểm) 2 x2   x2 a) Giải phương trình:  2 AB 2 R    x2 3  6 R (đpcm) 1      x  y     5 xy      x  y    49   x2 y      b) Giải hệ phương trình: Lời giải x a) Phương trình: 3 9 x   3  x2  1 9  x 0   x 3   Điều kiện: 3   x 0  x 0 x2  3  1   x2    x2         3 9 x   1 4   x      x      x   0 11 11     x     x   x   x  (tmñk ) 2 3 9 x 3  x2   x2 2 b) Hệ phương trình: Liên hệ tài 039.373.2038 2  x2 3 1 2     x  y     5 xy    ñk : x, y 0   x  y    49    x y2     liệu  word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com 1   x  y  x  y 5    1  x2  y   49  x2 y Đặt   x  x a   y  b y     x  x    a   y  7  y  b 7 1   x  x  y  y 5   2  x     y   53     x  y   a  b 5   2 a  b  53  ta được: a 5  b b 7; a    2b  10b  28 0 b  2; a 7  x    3 y     x  x 7  3  x   a     y     y  y   b   Câu (3,0 điểm) a  c   b2  d   ab  cd  a) Chứng minh với số a, b, c, d ta ln có:  b) Cho a, b  chứng minh rằng: a  b2   4a  3b   3a  4b  25 Lời giải a) Ta có: a 2  c   b2  d   ab  cd   a 2b2  a2 d  c2b2  c2 d a 2b2  c2 d  2abcd  a d  c2b2  2abcd 0   ad  cb  0 (luôn đúng) b) Với a, b  Ta có: a  b2   4a  3b   3a  4b  25  25a  25b2  4a  3b   3a  4b   13  a  b2  25ab  13  a  b   ab 0 Dấu “=” không xảy ra, vậy: Câu (3,0 điểm) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu a  b2   4a  3b   3a  4b  25 word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Cho tứ giác ABCD Gọi M , N , P, Q trung điểm AB, BC , CD, DA Chứng minh   AB  CD   AD  BC  S  MP NQ rằng: ABCD Lời giải Ta có: MP.NQ 2S MNPQ S ABCD Gọi R trung điểm AC , ta có : 1 NR  AB; QR  CD 2 Suy ra: NQ  NR  QR  Tương tự: PM   AB  CD  1  AD  BC   MP NQ   AB  CD   AD  BC   S ABCD MP.NQ   AB  CD   AD  BC  Câu (2,0 điểm) Cho đa giác lồi có 12 cạnh a) Tìm số đường chéo b) Tìm số tam giác có cạnh cạnh đa giác ? Lời giải 12  12  3 54 a) Số đường chéo đa giác là: b) Nhận thấy với cạnh đa giác, ta lập 10 tam giác mà tam giác thỏa mãn đề mà đa giác ban đầu có 12 cạnh nên số tam giác thỏa mãn đề 10.12 120 Tuy nhiên tính theo cách tam giác mà có cạnh cạnh kề đa giác cho tính lần Ta có số tam giác tính lần 12 tam giác nên số tam giác thỏa mãn đề thực chất là: 120  12 108 tam giác -Hết - Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC