Website:tailieumontoan.com ĐỀ HỌC SINH GIỎI TỐN SGD BÌNH DƯƠNG NĂM HỌC:2016 - 2017 Câu (5,0 điểm) x y 2017 a) Tìm tất ngiệm nguyên phương trình b) Xác định số điện thoại THCS X thành phố Thủ Dầu Một, biết số dạng 82xxyy với xxyy số phương Câu (4,0 điểm) Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R) , M (O; R ) Chứng minh rằng: MA2 MB MC 6 R Câu (3,0 điểm) x2 a) Giải phương trình: x2 3 x2 1 x y 5 xy x y 49 x2 y b) Giải hệ phương trình: Câu (3,0 điểm) a c b2 d ab cd a) Chứng minh với số a, b, c, d ta ln có: b) Cho a, b chứng minh rằng: Câu a b2 4a 3b 3a 4b 25 (3,0 điểm) Cho tứ giác ABCD Gọi M , N , P, Q trung điểm AB, BC , CD, DA Chứng minh rằng: S ABCD MP.NQ AB CD AD BC Câu (2,0 điểm) Cho đa giác lồi có 12 cạnh a) Tìm số đường chéo b) Tìm số tam giác có cạnh cạnh đa giác ? -Hết - Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ HỌC SINH GIỎI TỐN SGD BÌNH DƯƠNG NĂM HỌC 2016 - 2017 (5,0 điểm) Câu a) Tìm tất nghiệm nguyên phương trình x y 2017 b) Xác định số điện thoại THCS X thành phố Thủ Dầu Một, biết số dạng 82xxyy với xxyy số phương Lời giải Do x, y Z ( x, y 0) x 20172 y 4034 y x y 2017 a) Phương trình: y Z y a Vậy nghiệm tổng quát phương trình là: x (2017 a) b) Ta có: xxyy 11 x0 y số phương nên : x y 11 x y 11 x0 y 11 100 x y 11 99 x x y 11 x y 11 x y 0 x y 0 Với x y 0 ta tìm số : xxyy 0000 11 99x x y 11 99 x 11 112 x 1 x y 11 xxyy 11 x y Với ta có: x 1 số phương x 7 y 4 Vậy: xxyy 7744; xxyy 0000 Câu (4,0 điểm) Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R) , M (O; R ) Chứng minh 2 2 rằng: MA MB MC 6 R Lời giải Giả sử: M AC Dễ thấy: MA MC MB (trên MB lấy I cho MI MC , ta chứng minh: IB MA ) Đặt: MA x ; MB y ; MC y x 2 2 x y x y Ta có: AM BM CM 2 x y xy Liên hệ tài 039.373.2038 (1) liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com x MH AH x 2 Kẻ AH BM Mà x BH MB MH y x x y x xy 2 x2 y xy (2) AB AH BH 4 BH MB MH y Từ (1), (2) AM BM CM Câu (3,0 điểm) 2 x2 x2 a) Giải phương trình: 2 AB 2 R x2 3 6 R (đpcm) 1 x y 5 xy x y 49 x2 y b) Giải hệ phương trình: Lời giải x a) Phương trình: 3 9 x 3 x2 1 9 x 0 x 3 Điều kiện: 3 x 0 x 0 x2 3 1 x2 x2 3 9 x 1 4 x x x 0 11 11 x x x x (tmñk ) 2 3 9 x 3 x2 x2 2 b) Hệ phương trình: Liên hệ tài 039.373.2038 2 x2 3 1 2 x y 5 xy ñk : x, y 0 x y 49 x y2 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com 1 x y x y 5 1 x2 y 49 x2 y Đặt x x a y b y x x a y 7 y b 7 1 x x y y 5 2 x y 53 x y a b 5 2 a b 53 ta được: a 5 b b 7; a 2b 10b 28 0 b 2; a 7 x 3 y x x 7 3 x a y y y b Câu (3,0 điểm) a c b2 d ab cd a) Chứng minh với số a, b, c, d ta ln có: b) Cho a, b chứng minh rằng: a b2 4a 3b 3a 4b 25 Lời giải a) Ta có: a 2 c b2 d ab cd a 2b2 a2 d c2b2 c2 d a 2b2 c2 d 2abcd a d c2b2 2abcd 0 ad cb 0 (luôn đúng) b) Với a, b Ta có: a b2 4a 3b 3a 4b 25 25a 25b2 4a 3b 3a 4b 13 a b2 25ab 13 a b ab 0 Dấu “=” không xảy ra, vậy: Câu (3,0 điểm) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu a b2 4a 3b 3a 4b 25 word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Cho tứ giác ABCD Gọi M , N , P, Q trung điểm AB, BC , CD, DA Chứng minh AB CD AD BC S MP NQ rằng: ABCD Lời giải Ta có: MP.NQ 2S MNPQ S ABCD Gọi R trung điểm AC , ta có : 1 NR AB; QR CD 2 Suy ra: NQ NR QR Tương tự: PM AB CD 1 AD BC MP NQ AB CD AD BC S ABCD MP.NQ AB CD AD BC Câu (2,0 điểm) Cho đa giác lồi có 12 cạnh a) Tìm số đường chéo b) Tìm số tam giác có cạnh cạnh đa giác ? Lời giải 12 12 3 54 a) Số đường chéo đa giác là: b) Nhận thấy với cạnh đa giác, ta lập 10 tam giác mà tam giác thỏa mãn đề mà đa giác ban đầu có 12 cạnh nên số tam giác thỏa mãn đề 10.12 120 Tuy nhiên tính theo cách tam giác mà có cạnh cạnh kề đa giác cho tính lần Ta có số tam giác tính lần 12 tam giác nên số tam giác thỏa mãn đề thực chất là: 120 12 108 tam giác -Hết - Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC